§8.1 状态变量与状态方程
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
热力学中的状态变量和状态方程
热力学中的状态变量和状态方程热力学是研究物质能量转化和传递的科学，它描述了物质在不同条件下的行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要引入状态变量和状态方程这两个重要概念。
本文将深入探讨这两个概念的含义和应用。
一、状态变量状态变量是用来描述物质所处状态的量。
在热力学中，常见的状态变量包括温度、压强、体积和物质的组成等。
这些状态变量可以用来描述物质的宏观状态，例如物质的热力学性质和热平衡条件。
温度是物质的一种状态变量，它反映了物质内部分子的平均能量。
温度的单位是开尔文（K），它是国际单位制中的温度标准。
温度是一个非常重要的状态变量，它不仅可以描述物质的热平衡状态，还可以用来计算物质的热力学性质，例如热容和热导率等。
压强是物质的另一种状态变量，它反映了物质所受到的力的大小。
压强的单位一般是帕斯卡（Pa），它是国际单位制中的压强标准。
压强可以用来描述物质的力学平衡状态，在研究物质的热力学性质时起到重要作用。
除了温度和压强，体积也是一个重要的状态变量。
体积用来描述物质所占据的空间大小，它可以用来计算物质的密度和体积变化等。
在研究物质的热力学性质时，体积是一个非常重要的参数，它可以用来描述物质的物理性质和热力学过程。
此外，物质的组成也是一个重要的状态变量。
物质的组成决定了物质的化学性质和相态行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要考虑物质的组成对物质性质的影响。
二、状态方程状态方程是用来描述物质状态的数学表达式。
它是热力学中最基本的方程之一，可以用来计算物质的热力学性质和描述物质的相态行为。
最著名的状态方程之一是理想气体状态方程。
理想气体状态方程是一个简化模型，它假设气体分子之间没有相互作用，只考虑气体的温度、压强和体积之间的关系。
理想气体状态方程可以用以下公式表示：PV = nRT其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质量（摩尔数），R表示气体常数，T表示气体的温度。
这个方程描述了理想气体的状态，可以用来计算理想气体的性质和热力学过程。
状态方程和相变
状态方程和相变是物理学中非常重要的概念。
状态方程描述了物质在不同条件下的状态，包括温度、压力、体积等参数，而相变则描述了物质从一个状态转变为另一个状态时所发生的变化。
本文将详细介绍的相关知识，以及它们在生活中的应用。
一、状态方程的定义和意义状态方程是描述物质状态的基本方程。
它通常表示为P（压力）、V（体积）、T（温度）之间的关系式，即P=f(V,T)或V=f(P,T)或T=f(P,V)。
其中，P、V、T称为状态参量。
状态方程是物态方程的简称，常见的物态方程有理想气体状态方程、范德华状态方程等。
状态方程的意义在于，通过一些参数的变化，可以描述物质从一个状态到另一个状态的变化过程。
例如，随着温度升高、压力降低，水会从液态变为气态；反之，随着温度降低、压力升高，水会从气态变为液态。
这些变化过程都可以通过状态方程进行描述。
二、常见的状态方程理想气体状态方程是最基本的状态方程之一。
它可以用于描述处于高温、低密度条件下的气体状态，满足PV=nRT（其中，n为物质的摩尔数，R为气体常数）。
在标准状况下，理想气体状态方程可以进一步简化为PV=RT。
然而，当温度和压力较高时，理想气体状态方程就不再适用，因为气体分子之间会发生相互作用，产生一定的吸引力和排斥力。
在这种情况下，需采用更加复杂的状态方程，如范德华状态方程、毛维－安德鲁状态方程等。
三、相变的定义和分类相变是指物质从一个状态（相）转变为另一个状态的过程，常见的相有固态、液态和气态。
相变分为两种类型：一种是温度和压力的变化对相的稳定性产生影响，如水从冰态到液态的融化过程，或水从液态到气态的沸腾过程；另一种是质量的变化对相的稳定性产生影响，如水在加热时的汽化过程。
相变还可以分为一次相变和二次相变。
一次相变，在过程中物质的内能发生跃变，如水从冰态到液态的融化过程。
二次相变，在过程中物质的内能发生连续的变化，如铁的铁磁相变。
四、状态方程与相变的应用在生活中有很多应用，以下是几个例子。
状态方程是描述状态参数之间关系的方程
一、概述状态方程是描述状态参数之间关系的数学原理，它在控制系统、热力学、化学动力学等领域都有广泛的应用。
状态参数可以是物理系统的变量，也可以是系统的特定特征。
通过建立状态方程，我们可以更好地理解和控制系统的行为，从而实现系统的优化和改进。
本文将从状态方程的定义、应用和实际意义等方面展开讨论。
二、状态方程的定义状态方程是描述系统状态参数之间关系的数学方程。
在控制系统中，状态参数可以是系统的位置、速度、加速度等动态变量，也可以是系统的输入、输出变量。
状态方程通常用微分方程的形式表示，如dx/dt = Ax + Bu，其中 x 是系统的状态向量，A 是状态矩阵，B 是输入矩阵，u 是系统的输入向量。
通过状态方程，我们可以描述系统状态的演化和系统输入对状态的影响，从而实现对系统行为的预测和控制。
三、状态方程的应用1. 控制系统中的应用在控制系统中，状态方程被广泛应用于系统建模和控制器设计。
通过状态空间法建立系统的状态方程，我们可以方便地分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质，从而设计出满足系统性能要求的控制器。
状态方程还可以用于系统的状态估计和滤波，提高系统的鲁棒性和稳定性。
2. 热力学中的应用在热力学领域，状态方程通常用于描述热力学系统的状态变化和能量转化过程。
通过建立热力学系统的状态方程，我们可以实现对系统的热力学特性进行定量分析和优化设计。
通过状态方程可以描述理想气体的状态方程，从而研究气体的热力学性质和行为。
3. 化学动力学中的应用在化学动力学中，状态方程被用于描述化学反应系统的状态变化和反应动力学性质。
通过建立化学反应系统的状态方程，我们可以分析反应速率、平衡常数等重要参数，从而优化反应条件和提高反应效率。
四、状态方程的意义和作用1. 了解系统的动态行为通过状态方程，我们可以了解系统的动态行为和状态演化规律。
系统的状态方程可以描述系统的状态变化和受控制因素对状态的影响，从而帮助我们更好地理解系统的行为。
状态方程
例6 输出: uc , iC , uR
电路理论基础
解 若已知状态量 uC在
t=0
R
ic
uc(t1)=3V和us=10V，也 uR us uc 可以确定t>t1电路的响应 uc , iC , uR。 uc 3e 500 ( t t1 ) 10(1 e 500 ( t t1 ) ) 500 ( t t1 ) ic 3.5e mA uR 7e 500( t t1 ) V 可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确 定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状 态变量及初始值。
上例中也可选uC和duC /dt为状态变量
duC uC d(C ) dt R u u (t ) L C S dt d 2 uC L duC LC uC uS ( t ) 2 R dt dt
iL L + uL + + uC uS(t)
电路理论基础
iL iC
C R 2 + uR
状态方程为
x (t ) A x (t ) Bv(t )
式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。 状态方程特点： (1)联立的一阶微分方程组 (2)左端为一个状态变量的一阶导数 (3)右端为状态变量和输入量的线性表示 (4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数
电路理论基础
整理为矩阵形式
duC 1 dt RC di 1 L dt L
状态变量
1 0 u C C i 1 uS ( t ) 0 L L
输入量
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
状态变量模型的基本概念
状态变量模型的基本概念状态变量模型是一种用于描述动态过程中各种状态的数学模型。
它是由一组状态变量和状态方程组成，通过定义状态变量之间的关系，可以推导出系统在不同时间点的状态。
在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
状态变量是用来描述系统状态的变量，它们可以是离散的或连续的。
比如，机械系统的状态变量可以是位置、速度和加速度；电路系统的状态变量可以是电荷和电流；经济系统的状态变量可以是价格和产量等。
这些状态变量的变化规律可以通过一组状态方程来描述。
状态方程是用来描述状态变量之间的关系的方程。
它可以是代数方程、微分方程或差分方程，取决于系统的性质和应用的要求。
状态方程通常包含两部分：状态变量的演化方程和外部输入的影响方程。
状态变量的演化方程描述了状态变量随时间的变化规律，而外部输入的影响方程描述了外部因素对系统状态的影响。
在状态变量模型中，系统的状态可以通过给定初始条件和外部输入来确定。
通过求解状态方程，可以得到系统在不同时间点的状态。
这种方法可以用于模拟和预测系统的行为，从而为系统设计、控制和优化提供依据。
状态变量模型的应用非常广泛。
在物理学中，状态变量模型可以用来描述天体运动、流体力学和热传导等过程。
在工程学中，状态变量模型可以用来描述机械系统、电路系统和控制系统等。
在经济学中，状态变量模型可以用来描述市场供需关系、经济增长和金融市场等。
此外，状态变量模型还可以用于生态学、生物学和社会科学等领域。
在实际应用中，状态变量模型可以通过数值方法进行求解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法和有限元法等。
这些方法可以通过离散化状态方程，将连续的变化转化为离散的时间步骤，从而得到系统在离散时间点的状态。
总之，状态变量模型是一种描述动态过程中各种状态的数学模型。
通过定义状态变量和状态方程，可以推导出系统在不同时间点的状态。
它在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用于模拟和预测系统的行为，为系统设计、控制和优化提供依据。
第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
【精品】§8.1状态变量与状态方程
▲
■
第 6页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
▲
■
第 12 页
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 解：选状态变量 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) Lx 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) Cx ( t) = 0 x1 ( t) 2(t) + iR R 2
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动态方程的一般形式
n阶多输入–多输出LTI {xi(t0)} 连续系统，如图 。 fp(t) 其状态方程和输出方程为 1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y2 c21x1 c22 x2 c2 n xn d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p yq cq1 x1 cq 2 x2 cqn xn d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
已知线性时不变连续系统状态方程
8.1 已知线性时不变连续系统状态方程)(][)](][[)(t x B t A dt t d +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλ )(][)](][[)(t x D t C t y +=λ其中：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=b a A 00，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10B ，[][]11=C ，[]0=D 系统转移函数H （s ）表达式为——————————————（ ）（1）a s +1 （2）b s +1（3）))((1b s a s ++ （4）))((1b s a s --8.2 已知线性时不变离散系统状态方程和输出方程 )](][[)](][[)]1([n x B n A n +=+λλ )](][[)](][[)]([n x D n C n y +=λ其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1001][,10][,01][C B b a A ，0][=D ， 求系统函数()[]H z8.3 描述系统的微分方程为：)()(5)(3)(2)(3)(2222t x dt t dx dt t x d t y dt t dy dt t y d ++=++ 1．画出直接形式的信号流图；2．根据所画流图建立系统的状态方程与输出方程（写成矩阵形式）。
8.4 已知连续时间系统的系统函数为： )127)(1(104)(2++++=s s s s s H 1．画出由三个一阶系统并联形式的流图；2．在所画流图上建立系统的状态方程与输出方程（用矩阵形式表示）。
8.5 已知系统的微分方程为)(2)()(3)(4)(22t x dtt dx t y dt t dy dt t y d +=++1．求系统函数H （s ），并画出并联结构的信号流图；2．根据所画信号流图，建立系统的状态方程与输出方程（写成矩阵形式）。
8.6 一离散系统流图如题图所示，1．列写系统的状态方程与输出方程（写成矩阵形式）； 2．求系统函数H （z ）；3．列写系统的差分方程式。
系统的状态空间分析
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
第第88--33页页
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
状态方程的参数
状态方程的参数简介状态方程是描述动态系统行为的数学模型，它通过表示系统的状态和状态变化的方程来描述系统的演化规律。
状态方程的参数是指在状态方程中出现的变量和常数。
这些参数决定了系统的特性和行为，对于系统的分析和控制至关重要。
在本文中，我们将介绍状态方程的基本概念和常见形式，然后详细讨论状态方程的参数，包括变量和常数的定义、物理意义、取值范围以及对系统行为的影响。
状态方程的基本概念状态方程描述了系统的状态随时间的演化规律。
一般来说，状态方程可以写成如下形式：dx/dt = f(x, u, t)其中，x是系统的状态向量，u是系统的输入向量，t是时间，f是状态方程的右侧函数。
状态方程可以是线性或非线性的，具体形式取决于系统的性质和特点。
状态方程的参数包括状态向量x中的变量和常数，以及右侧函数f中的变量和常数。
下面我们将分别讨论这些参数的定义和物理意义。
状态向量的参数状态向量x是描述系统状态的一组变量。
它的具体定义和物理意义取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的状态向量及其参数的例子：•位置向量：描述物体在空间中的位置，参数包括物体在三个坐标轴上的位置变量（例如x、y、z）。
•速度向量：描述物体在空间中的速度，参数包括物体在三个坐标轴上的速度变量（例如v_x、v_y、v_z）。
•电路变量：描述电路中的电流和电压，参数包括电流和电压变量（例如i、v）。
状态向量的参数在状态方程中起到了关键的作用。
它们决定了系统的状态空间的维度和范围，以及状态变化的规律。
不同的参数可以对系统的行为产生不同的影响。
右侧函数的参数右侧函数f描述了状态向量x随时间的变化规律。
它的具体定义和物理意义也取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的右侧函数及其参数的例子：•线性函数：描述线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和常数矩阵。
•非线性函数：描述非线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和非线性函数。
状态方程介绍
状态方程介绍
状态方程是描述物质内部状态的方程。
它是通过对物质的性质和变化进行观察和实验，总结出的一种定量关系式，可以用来描述物质在不同条件下的状态和性质。
状态方程是研究物质的基础，它可以帮助我们理解物质的性质和规律。
在化学领域，状态方程被广泛应用于物质的研究和实验中。
通过对物质的状态方程的研究，我们可以了解物质在不同条件下的状态和性质，从而为实际应用提供基础。
一个常见的状态方程是气体状态方程。
气体状态方程描述了气体在不同条件下的状态和性质。
根据理想气体状态方程，气体的压力、体积和温度之间存在着一定的关系。
当气体的温度不变时，压力和体积成反比。
当气体的压力不变时，体积和温度成正比。
当气体的体积不变时，压力和温度成正比。
除了气体状态方程，还有液体和固体的状态方程。
液体和固体的状态方程描述了它们在不同条件下的状态和性质。
液体和固体的状态方程通常包括密度、压力、温度等参数，根据这些参数可以确定液体和固体的状态和性质。
状态方程的研究对于理解物质的性质和规律非常重要。
通过对物质状态方程的研究，我们可以深入了解物质的内部结构和性质，从而帮助我们更好地应用物质，解决实际问题。
状态方程是描述物质内部状态的方程，它可以帮助我们了解物质的性质和规律。
通过对状态方程的研究，我们可以深入了解物质的内部结构和性质，为实际应用提供基础。
状态方程的研究对于理解物质的性质和规律非常重要，它是化学研究的基础之一。
第8章 系统的状态变量分析
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
信号与系统第八章(1) 状态方程
{x(k0)}
y1(k) y2(k)
yq(k)
它的p个输入为 它的q个输出为
f1(k), f2(k), , f p (k)
y1(k), y2 (k), , yq (k)
将系统的n个状态变量记为 x1(k), x2 (k), , xn (k)
则其状态方程和输出方程可写为
x(k 1) Ax(k) Bf (k) y(k) Cx(k) Df (k)
上式简记为 y(t) Cx(t) Df (t)
d1p f1(t)
d2
p
f
2
(t
)
dqp
f
p
(
t
)
式中
c11
C
c21
cq1
y(t) [ y1(t) y2(t) yp (t)]T 输出矢量
c12 c22 cq2
y2 (t
)
c21
yq
(
t
)
cq1
c12 c22 cq2
c1n x1(t ) d11
c22
x2(
t
)
d 21
cqn
xn
(t
)
dq1
d12 d22 dq2
R5
L5
x3
C1
l2 a
C2 b L6 i6
Q
＋ ＋x1－
＋ ＋x2－
us －
l1
C3
u3 －
R4
is
图 8.2-2
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x(k +1) = Ax(k) + Bf (k) y(k) = Cx(k) + Df (k)
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状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立. 状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立.
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内部法——状态变量法 内部法——状态变量法
本章将介绍的内部法 状态变量法是用 本章将介绍的内部法——状态变量法是用 个状态 内部法 状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组(状态方程) 变量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系 统. 优点有 优点有: (1)提供系统的内部特性以便研究. )提供系统的内部特性以便研究. (2)便于分析多输入多输出系统; )便于分析多输入多输出系统; (3)一阶方程组便于计算机数值求解.并容易推广用 )一阶方程组便于计算机数值求解. 于时变系统和非线性系统. 于时变系统和非线性系统.
这是由三个内部变量uC(t),iL1(t)和iL2(t)构成的一 这是由三个内部变量 , 和 构成的一 阶微分方程组. 阶微分方程组. 若初始值u 已知, 若初始值 C(t0),iL1(t0)和iL2(t0)已知,则根据 0时 , 和 已知 则根据t≥t 就可惟一地确定在t≥t 的给定激励u 的给定激励 S1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在 0时的解 和 就可惟一地确定在 uC(t),iL1(t)和iL2(t). , 和 .
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在初始时刻的值称为初始状态. 在初始时刻的值称为初始状态. 初始状态 阶动态系统需有n个独立的状态变量 对n阶动态系统需有 个独立的状态变量,通常用 阶动态系统需有 个独立的状态变量, x1(t),x2(t),…,xn(t)表示. 表示. , , , 表示 说明: 说明: (1)系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 ) 的线性组合; 的线性组合; (2)状态变量应线性独立; )状态变量应线性独立; (3)状态变量的选择并不是唯一的 . )
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§8.1 状态变量与状态方程
一,状态与状态变量的概念 以u(t)和iC(t)为输出 和 为输出 若还想了解内部三个 变量u 变量 C(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况. 的变化情况. 这时可列出方程
R1Biblioteka 从一个电路系统实例引入 a iL2 L2 iL1 L1 R2 a
iC uC u us2
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R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC
R2
us1
uC
u
us2
duC 1 1 = iL1 iL2 C C dt R diL1 1 1 = uC 1 iL1 + uS1 L1 L1 L dt 1 diL2 1 R2 1 = uC iL2 uS 2 dt L2 L2 L2
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 状态变量与状态方程 连续系统状态方程的建立 离散系统状态方程的建立与模拟 连续系统状态方程的求解 离散系统状态方程的求解
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第八章 系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法, 前面几章的分析方法称为外部法,它强调用系统 外部法 的输入,输出之间的关系来描述系统的特性. 的输入,输出之间的关系来描述系统的特性. 特点: 其特点: (1)适用于单输入单输出系统,对于多输入多输出系 )适用于单输入单输出系统, 将增加复杂性; 统,将增加复杂性; (2)只研究系统输出与输入的外部特性,而对系统的 )只研究系统输出与输入的外部特性, 内部情况一无所知,也无法控制. 内部情况一无所知,也无法控制.
us1
duC 1 1 duC = iL1 iL2 C + iL2 iL1 = 0 dt C C dt R diL1 1 1 d iL1 1 = uC iL1 + uS1 R iL1 + L + uC uS1 = 0 1 1 L1 L1 L1 dt dt diL2 1 R2 1 d iL2 = uC iL2 uS 2 L2 + R2iL2 + uS 2 uC = 0 L2 L2 L2 dt dt
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系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出: 个内部变量和激励求出:
duC 1 1 = iL1 iL2 dt C C diL1 1 1 R = uC 1 iL1 + uS1 dt L1 L1 L1 diL2 1 1 R2 = uC iL2 uS 2 dt L2 L2 L2
y1 = c11x1 + c12 x2 + + c1n xn + d11 f1 + d12 f 2 + + d1p f p y2 = c21x1 + c22 x2 + + c2n xn + d21 f1 + d22 f 2 + + d2 p f p yq = cq1x1 + cq2 x2 + + cqn xn + dq1 f1 + dq2 f 2 + + dqp f p
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二,状态方程和输出方程
用状态变量分析系统时, 在选定状态变量的情况下 ,用状态变量分析系统时, 一般分两步进行: 两步进行 一般分两步进行: 是根据系统的初始状态求出状态变量; (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量; )第一步是根据系统的初始状态求出状态变量 (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 )第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出. 系统输出. 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到, 一阶微分方程组称为状态方程. 称为状态方程 程组来得到,该一阶微分方程组称为状态方程. 状态方程描述了状态变量的一阶导数与 描述了状态变量的一阶导数 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 而描述输出 激励之间的关系 . 而描述输出与状态变量和激励之 输出与状态变量和激励之 代数方程称为 间关系的一组代数方程称为输出方程 间关系的一组代数方程称为输出方程 . 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程 动态方程或系统方程. 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程.
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动态方程的一般形式
n阶多输入 多输出 阶多输入-多输出 阶多输入 多输出LTI 连续系统, 连续系统,如图 . 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇ yq(t)
x1 = a11x1 + a12 x2 + + a1n xn + b11 f1 + b12 f 2 + + b1p f p x2 = a21x1 + a22 x2 + + a2n xn + b21 f1 + b22 f 2 + + b2 p f p xn = an1x1 + an2 x2 + + ann xn + bn1 f1 + bn2 f 2 + + bnp f p
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矩阵形式
状态方程 输出方程
x(t) = Ax(t) + Bf (t) y(t) = Cx(t) + Df (t)
方阵, 系统矩阵, 其中A为n×n方阵,称为系统矩阵, × 方阵 称为系统矩阵 B为n×p矩阵,称为控制矩阵, 矩阵, 控制矩阵, × 矩阵 称为控制矩阵 C为q×n矩阵,称为输出矩阵,D为q×p矩阵 矩阵, 输出矩阵, × 矩阵 称为输出矩阵 × 矩阵 对离散系统, 对离散系统,类似有 状态方程 输出方程
u(t) = R2iL2 (t) + uS 2 (t) 一组代数方程 iC (t) = iL1 (t) iL2 (t)
状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t 状态是指表示该系统所必需 是指表示该系统所必需最 系统在某一时刻 0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值,已知这组数值和t≥t 时系统的激励, 少的一组数值,已知这组数值和 0时系统的激励, 就能完全确定t≥t 时系统的全部工作情况. 就能完全确定 0时系统的全部工作情况. 状态变量是描述状态随时间 变化的一组变量, 是描述状态随时间t 状态变量是描述状态随时间 变化的一组变量, 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态 状态. 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态.