高级宏观经济学(暨南大学,王洪)

1 动学的最优化入门
1.1 问题; 1.2 拉格朗日乘子法的应用; 1.3 最大值原理; 1.4 动态规划; 1.5 无限期界规划;应用举例: 最优增长模型
暨大经院 王洪光
1
1.1问题
max∑t =0 f (xt , ct )
T −1
s.t.
x0 = x0 .
xt +1 = g (xt , ct ) + xt ,
V ( xt ) = max{ f ( xt , ct ) + V (g ( xt , ct ) + xt )} max{ f ( xt , ct ) + V [g ( xt , ct ) + xt ]} ⇒ f c ( xt , ct ) + V ′( xt +1 )g c ( xt , ct ) = 0
故TVC成立。See figure1.1.
暨大经院 王洪光 11
v
v′(kt )
v(kt )
kt
v/ kt
Figure 1.1
1.62 连续时间模型
max
ct
∫
∞
0
e − ρ t u (c t )dt
s .t .
& k t = F (k t ) − c t − δ k t , k 0 = k 0
暨大经院 王洪光 12
1.6 应用举例: 最优增长模型 1.61 离散时间模型
max∑t =0 β t u(ct ), β = 1/(1 + ρ ), ρ > 0
∞
暨大经院 王洪光 9
s.t .
k t +1 = k t + F (k t ) − ct − δk t
Here , u ′ > 0; u ′′ < 0;0 < δ < 1; ˆ F (k , l ) = F (k ), l = 常数 ; F ′(k t ) > 0; F ′′(k t ) < 0 .
t
最后一式即为消费的尤拉方程式。
暨大经院 王洪光 13
附：连续时间模型必要条件的粗略证明
max
ct
∫
∞
0
e − ρ t u (c t )dt
s .t .
& k t = F (k t ) − c t − δ k t , k 0 = k 0
暨大经院 王洪光 5
(2 c ) (3c ) (4 c )
1.4 动态规划

max ∑t = 0 f ( xt , ct )
T −1
s.t.
xt +1 = g ( xt , ct ) + xt , x 0 = x
沿着上述问题解的路径已经求解到 给定，求解剩余的 T 定义 ( xt ) ≡ max V
ˆ max H = e − ρt f c ( xt , ct ) + λt g c ( xt , ct ) = 0
ct
& ˆ λt = −∂ H / ∂xt = − e − ρt f x (xt , ct ) − λt g x ( xt , ct ) & x = ∂ H / ∂ λt = g ( xt , ct )
V (x t ) =
ˆ t = t ，tˆ + 1
期以后的解与将 xtˆ 看作
− 1 − tˆ
期问题的解一致。这就是所谓的Bellman原理。
∑
ct
T −1 s =t
f ( xt , ct ), 则有以下的Bellman方程式：
t
max { f (x
, c t ) + V ( x t + 1 )}
把 xt +1 = g(xt , ct ) + xt 代入上式可得
ct ct
(1d) (2d)
（1d)两边对
x
t
微分，有
暨大经院 王洪光 6
V ′( xt ) = f x ( xt , ct ) + V ′( xt +1 )[g x ( xt , ct ) + 1]
(3d)
这里，若令 V ′(xt ) ≡ λt , 则(2d),(3d)与拉格朗日乘子法推出的条件相同。 1.5 无限期界规划 1.51 离散时间
T −1 t =0 t t 0 0 0 T −1 t =0 t t t +1 t t
T −1 t=0 T −1 t=0
λ t +1 [g ( x t , c t ) + x t − x t +1 ]
λ t +1 ( x t − x t +1 ) + λ 0 ( x 0 − x 0 )
t = 0,1L, T − 1 t = 0,1L, T − 1
fc + qt g c = 0 & qt = ρqt − f x − qt g
暨大经院 王洪光
x
令 e ρt λt = q t , 则
8
重新定义哈密尔顿函数为
ˆ H = e ρt H = f ( x t , c t ) + q t g ( x t , c t ), 则 ′ max H ⇒ (1) f c (x t , c t ) + q t g c (x t , c t ) = 0
∞
t
记 V (k t ) ≡ max ∑ s = t β s − t u (c s )，则 Bellman 方程式为 V (k t ) = max {u (c t ) + β V (k t +1 )}
ct
s .t .和 max ⇒ u ′ (c t
ct
) = β V ′ (k t + 1 )
(1)
即现在的边际效用=将来的边际效用。更进一步地，Bellman方程两边对 k t 微分有
(3)式称为消费的尤拉方程式，它与约束条件一起构成表达最优解的动学体系。
对(3)的解释:
(3 ) ⇒
u ′ (c t − 1 ) 1 + F ′ (k t ) − δ = u ′ (c t ) 1+ ρ
上式左边代表消费的异时点间替代率，而右边的分子母中1以外的项则分别代 表资本的净边际生产率与贴现率。
TVC
limV ′(kt )kt = 0
t →∞
∞
t
由于 V (kt ) = max ∑s =t β s −t u (cs ) ⇒ V ′(kt ) > 0;V ′′(kt ) < 0, 所以该函数是凹的。 c
因此，
While lim V (kt ) = 0 (必须)，
t →∞
V ′(kt ) ≤ V (kt ) / kt ⇒ ktV ′(kt ) ≤ V (kt ).
(1a)
dλt h[ f x (xt , ct ) + λt +h gx (xt , ct )] = −λt +h + λt ⇒ = −( f x (xt , ct ) + λt gx (xt , ct )) (2a) dt dxt (3a) = g ( xt , ct ); t ∈ (0, T ] dt (4a) x0 = x0
t→∞ ct
(1)
(2 )
(3) (4)
(1)两边对t微分有
& & u ′′(ct )ct = qt .
& ct = u ′ (c u ′′ (c
将上式带入(2)可推出
& ct = − ct
) [ρ + δ − F ′ (k )] ⇒ t ) t u ′ (c t ) [F ′ (k t ) − δ − ρ ] c t u ′′ (c t )
ct
& (2 )′ ⇒ q t In
= ρ q t − ∂H / ∂x t & addition , x t = ∂H / ∂q t = g ( x t ，c t )
注意:无限期界的经济问题中最常用的TVC是
lim λt xt = 0 ⇒ lim e − ρt q t xt = 0.
t →∞ t →∞
λT = 0
1.32 最大值原理 考虑下面的哈密尔顿函数
(5a)
maxH ≡ f (xt , ct ) + λt g(xt , ct ), λt is costate variable.
(1b) (2b)
∂H / ∂ct = fc (xt , ct ) + λt gc (xt , ct ) = 0 ⇔
dλt / dt = −∂H / ∂xt = − f x ( xt , ct ) − λt g x ( xt , ct ) ⇔
暨大经院 王洪光
(1a) (2a)
4
(3b) 总结 连 续 时 间 模 型 最 优 化 的 必 要 条 件
dxt / dt = ∂H / ∂λt = g(xt , ct ) ⇔ (3a)
问 题
max ∫ e − ρt f ( x t , c t )dt
0
∞
s.t.
& xt = g ( x t , c t ), x 0 = x 0
ˆ H = e − ρt f (xt , ct ) + λt g ( xt , ct )
哈密尔顿函数
必 要 条 件
(1) (2 ) (3)
(1 )′ (2 )′
(1) (2)
2
∂L / ∂λt +1 = g ( xt , ct ) + xt − xt +1 = 0 ∂L / ∂λ0 = x0 − x0 = 0 ∂L / ∂xT = −λT = 0
1.3 最大值原理
h x c = ,g
h t +
t = 0,1L, T − 1
(3) (4) (5)
这里变量的个数（c：T个；x:T+1个； ：T+1个） =方程的个数=3T+2. λ
t = 0,1,L, T -1
这里T为计划期间,
x t 为状态变量, ct 为控制变量, x t 的初始值 x0 给定,
1.2 拉格朗日乘子法的应用
构造拉格朗日函数如下
L=
∑ f (x , c ) + λ (x − x ) + ∑ = ∑ [ f ( x , c ) + λ g ( x , c )] + ∑
哈密尔顿函数 必 要 条 件
H = u ( ct ) + q t ⎡ F ( k t ) − c t − δ k t ⎤ ⎣ ⎦ m ax H ⇒ u ′ ( c t ) = q t & qt = ρ qt − ∂H / ∂k t = ( ρ + δ − F ′ ( k t )) qt & k t = ∂ H / ∂ q t = F ( k t ) − ct − δ k t k0 = k0 ; TVC lim e − ρ t q t k t = 0
max ∑t =0 β t f ( xt , ct )
∞
s.t.
xt +1 = g ( xt , ct ) + xt , x 0 = x 0
β 为贴现因子, β = 1 / (1 + ρ ), ρ 为贴现率.
max ∑ s =t β s f ( xs , cs ) = β t max ∑ s =t β s −t f ( xs , cs ) = β tV ( xt )
∞ ∞
根据Bellman原理
β tV (xt ) = max{β t f (xt , ct ) + β t +1V (xt +1 )}
V ( xt ) = max{ f (xt , ct ) + βV (xt +1 )}
ct ct
⇒
暨大经院 王洪光
7
最后一式即为含有贴现的动态规划问题的Bellman方程式. 1.52 连续时间
max ∫ f ( xt , ct )dt
T 0
Sub to
& xt = g(xt , ct )
x x0 = x 给定， T 自由变动
哈密尔顿函数
(1c )
H ≡ f ( xt , ct ) + λ t g ( xt , ct ) ⇒
ct
max H ⇒ ∂ H / ∂ c = f c ( xt , ct ) + λ t g c ( xt , ct ) = 0 & λt = − H x = − ( f x + λ g x ) & xt = H λ = g ( xt , ct ) x 0 = x , λT = （ TVC) 0
最优化的必要条件为
∂ L / ∂ c t = f c ( x t , c t ) + λ t +1 g c ( x t , c t ) = 0
∂ L / ∂ x t = f x ( x t , c t ) + λ t +1 g x ( x t , c t ) − λ t + λ t +1 = 0
暨大经院 王洪光
V ′ (k t ) = β V ′ (k t + 1 ) ⋅ [1 − δ + F ′ (k t )] (1 ) ⇒ u ′(c t −1 ) = β V ′(k t ) ⇒ u ′(c t −1 ) = β u ′(c t )[1 − δ + F ′(k t )]
暨大经院 王洪光
(2)
(3)
10
1.31 微分方程式与差分方程式的关系
对于差分方程xt + h = hg (xt , ct ) + xt 通常假定h = 1），可以推出 （ lim
h →0
xt + h − xt dxt = = g (xt，c t ) h dt
暨大经院 王洪光
3
(1),(2),(3)用连续时间可表示为
f c (xt , ct ) + λt +h gc (xt , ct ) = 0 ⇒ h → 0, f c (xt , ct ) + λt gc (xt , ct ) = 0