矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

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矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：

A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,)

|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

即的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：

等价、相似、合同的关系

矩阵等价、相似与合同的区别与联系

等价、相似与合同是矩牡的三大变换•应了解其定义.关系及有关性质.

1）定义及相互之间的关系

设K是淤心矩阵，若存在M阶可逆矩阵P和以阶可逆矩阵©•使得PAQ=B f则称Z 与3等价，记为A=B.设£是以阶方阵，若存在池阶可艾矩阵P,使得P S P =E，则称A^R 相似，记为A〜R：若存在总阶可逆矩阵P,使得pT AP =孙，则称/与亦合同，记为A + ;若存在以阶正交•矩阵使得Q~l AQ= Q T AQ= 5,则称/与不正交相似.由走义可知其关系，如下冒所示・

正交相似

2)性质

(1)等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即

/二4〜/, A-反身性)；

若A", /〜力，A"，则A, R〜A, A (对称性)；

若A", B = C则A M C;

若A〜E,运〜C■则N~C；若B = C则传递性).

(2) A = R O A 与*司型，且rank A = rank B .若rank A = r则

(E r O\

A= r,称后者为矩阵/的等价标准形

I。O)

(3) B => rank A = rank B , det A= detB /与* 的粹征值相同.

注所给的都是必要条件，即Efe rank A - rank B ,或d et A = det B ,或/ 与力的特征值相同不能推知A^B. fe若/与*都可对角化，且特征值相同，贝U A〜孙.

(4) A-B =>ranky4 = rank^ ,对称性不变(如果/或B对称的话). 若A与R是实对称矩阵，则与/?有相同的正、负惯性指数.

矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同，等价与相似

一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件

（一）矩阵的等价：

1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与

B 等价，记为A B ≅。

2、性质：

（1）反身性：即A A ≅.

（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅

（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅

（4）若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）

和Q （n 阶），使得000r

m n

I PAQ B ⨯⎛⎫

⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5）设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =

3、判定：

矩阵等价的充要条件：

两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的

n 阶矩阵Q ，使B PAQ =

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.

（二）矩阵的合同： 1、定义：

两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则

称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。 2、性质：

（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.

（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.

（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A = B。

2、矩阵等价的充要条件：

A厂「 A.B同型，且人r（A）=r（B）

A -

B ：= {

存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=®立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A三B P T AP二B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T BX有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P4AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：

A T〜

B T, A k ~ B k,A- ~ B-(前提，A, B均可逆)

|XE-A |=|XE -B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)

A ~

B r(A)=r(B)

tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件:

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A〜Bu (.E—AtCE—B)

二、矩阵相等、合同、相似的关系

(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：

设矩阵 A 乂i,，2,||l, n)，B=C'1, -2JH, m)

1、若向量组(川，d )是向量组(’1,'2,川Jn )的极大线性无关组，则有m ^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。

矩阵的等价,合同,相似的联系及区别

摘要I

引言1

1矩阵间的三种关系1

1.1 矩阵的等价关系1

1.2 矩阵的合同关系1

1.3. 矩阵的相似关系2

2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系

3 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别6

结束语7

参考文献7

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．

关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：

在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.

1矩阵间的三种关系

1.1 矩阵的等价关系

定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

(一)等价：

1、概念.若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价,记为A B ≅.

2、矩阵等价的充要条件:

A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立

3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同.

（二）合同：

1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换.

2、矩阵合同的充要条件:矩阵A ，B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。

（三)相似

1、概念:n 阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A ，B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质:

~A B 11~,~,~(,)

|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

即的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件:

①充分条件：矩阵A ，B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

（一)、矩阵相等与向量组等价的关系：

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

摘要....................................................................................................................... I 引言. (1)

1矩阵间的三种关系 (1)

1.1 矩阵的等价关系 (1)

1.2 矩阵的合同关系 (1)

1.3. 矩阵的相似关系 (2)

2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)

3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)

结束语 (6)

参考文献 (6)

关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：

1矩阵间的三种关系

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

200509113 李娟娟

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：

A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,)

|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

即的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B 等价，记为 A B 。

2、矩阵等价的充要条件：

A B { A.B同型，且人r（A）=r（B）

存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A B P T AP B 成立，则称A,B 合同，记作 A B 该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则 A B 二次型X T A X 与X T B X有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B P1AP成立，则称矩阵A,B 相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：

A T~

B T, A k~ B k,A 1~ B 1(前提，A,B 均可逆)

| E-A | | E B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)

A~ B r(A)=r(B)

tr(A) tr(B)即A,B的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件:

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~ B ( E A) ( E B)

二、矩阵相等、合同、相似的关系

(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：

设矩阵 A ( i, 2,L , n)，B ( i, 2,L , m)

1、若向量组(1, 2,L , m)是向量组(1, 2丄，n)的极大线性无关组，则有m n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A) r(B)但不能得出A B。

矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同、等价和相似是三种不同的关系。

合同关系是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1} = B。也就是说，两个矩阵可以通过一个可逆矩

阵的相似变换，得到一个相同的矩阵。

等价关系是指对于两个矩阵A和B，存在两个可逆矩阵P和Q，使得PABQ = I，其中I为单位矩阵。等价关系是合同关

系的一个特殊情况，即当P = Q时，合同关系变为等价关系。

相似关系是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1} = B。相似关系不要求被相似变换的矩阵是方阵，因此相似关系是合同关系的推广。

综上所述，矩阵的合同关系是最强的，矩阵的等价关系是合同关系的特殊情况，矩阵的相似关系不要求矩阵是方阵，是合同关系的推广。

矩阵合同的定义

篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质（一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A

。

2、矩阵等价的充要条件：

AB{

同型，且人r(A)=r(B)

存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPB

二次

型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,A

A~B

TTkk1

~B(前提，A,B均可逆)

|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

tr(A)tr(B)即A,B的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)

1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：

A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,)

|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）

r(A)=r(B)

即的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-

二、矩阵相等、合同、相似的关系

（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：

设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=

1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关

组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B