2.4.2抛物线的几何性质
2.4.2-抛物线的简单几何性质 (1)
课堂讲义
当堂检测
预习导学
[知识链接]
2.4.2
抛物线的简单几何性质
类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2
＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程 验证？
答案
(1)范围：x≥0，y∈R；
(2)对称性：抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称； (3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点； (4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离的比叫抛物线的离心率．用e表示，由定义可知e＝1.
课堂讲义
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦) 长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 ( )
A．y2＝8x
C．y2＝8x或y2＝－8x 答案 解析 C
B．y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.
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2.4.2
抛物线的简单几何性质
解析
由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的 1 距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F( ， 0)， 4 1 2 所以 P 点的横坐标为 ， 代入抛物线方程得 y＝± ， 故点 P 8 4 1 2 的坐标为( ，± )，故选 B. 8 4
人教a版高中数学选修2-1 2.4.2《抛物线的简单几何性质》课件(共29张ppt)
联立
y kx y2 2x
b
k
2
x2
(2kb
2)
x
b2
0
y
x1x2
b2 k2
同理y1 y2
2b k
由OA OB x1x2 y1y2 0
即 b2 k2
2b k
0
b
2k
A
.
OF
•
x
B
AB : y kx 2k 与x轴交点(2,0) 综上所述,直线AB与
当AB∥y轴时, AB与x轴相交于点(2, 0) x轴的交点为定点(2,0).
o F x 2 p ─过焦点垂直轴的弦长.
焦点 F (
p , 0) 和准线 l
通径.
:x
p
2
2
对称你性和认顶为点这关个于 x标轴对准称,方顶点程(0,对0)(应抛物的线和抛轴的物交点线)
还有范围什么几x≥何0性, y质 R呢(向?右上方和右下方无限延伸)
离心率 e
e 1 (即 MF d )
方程 图
⑴只有一个公共点
k 0,或
k 0 △ 16(2k2 k 1) 0
k 1,或 k 0,或 k= 1
2
⑵有两个公共点
k 0 △ 16(2k2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2
天津中高中数学学案《2.4.2抛物线的简单几何性质(3课时)》2-1
2。4。2抛物线的简单几何性质（3课时）
【学习目标】
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 重点：抛物线的几何性质及其运用 难点：抛物线几何性质的运用
【课前导学】阅读教材完成下列学习 一．抛物线的几何性质 (第2课时）
对于抛物线的几种不同形式的方程，列表如下： 标准方程
px y 22=
px y 22-=
py x 22=
py x 22-=
图形
范围 对称轴 顶点 焦点 准线
注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离；抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
二、直线与抛物线的位置关系（第3,4课时） （1）位置关系:
相交(两个公共点或一个公共点);相离（无公共点)；相切（一个公共点）
下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22
>=p px y
当直线为0
y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点
当0≠k ，设b kx y l +=: 将b kx y l +=:代入0:22
=++++F Ey Dx Cy Ax
C ,消去
y ，得到
关于x 的二次方程02
=++c bx ax
（*）
若0>∆，相交;0=∆,相切;0<∆,相离
综上，得:
联立⎩⎨
⎧=+=px
y b
kx y 22
,得关于x 的方程02
=++c bx ax
当0=a （二次项系数为零）,唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则
若0>∆,两个公共点（交点）
教学设计2：2.4.2 抛物线的简单几何性质
教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质
三维目标
【知识与技能】
1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；
2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；
3．学会判断抛物线与直线的位置关系；
4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．
【过程与方法】
通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】
通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。教学难点抛物线性质的应用．
教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习
引入
一．引入新课
【师】复习提问：
1、抛物线定义：
平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。点F叫
做焦点
．．，l叫做准线。
．．．
2、抛物线的标准方程
标准方程px
y2
2=px
y2
2-
=py
x2
2=py
x2
2-
=
图形
焦点坐标⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
0,
2
p
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-0,
2
p
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
,0
p
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
,0
p
准线方程
2
p
x-
=
2
p
x=
2
p
y-
=
2
p
y=开口方向向右向左向上向下
那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。
新课学习
二．新课讲解
1．抛物线的简单几何性质
标准方程px
y2
2=px
y2
2-
=py
x2
2=py
x2
2-
=
图像
范围0
≥
x0
≤
x0
≥
y0
≤
y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称
2.4.2抛物线的 几何性质
过点 A 作 x 轴的垂线,垂Baidu Nhomakorabea为 E. 在△ AFE 中 EF AF cos .
Q
E
N
p ∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA 1 cos
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
p p p 2p 同理 FB ,∴ AB 1 cos 1 cos 1 cos sin 2
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
§(实用)2.4.2_抛物线的简单几何性质(1)
p 解 由题意可知, p 2, 1, 2 焦点F 1,0 , 准线l : x 1. 如
y
A
A`
O
B` B
F
图2.3 4, 设A x1 , y1 , B x2 , y2 , A, B到准线l的距离分别为d A , d B . 由抛物线的定义可知
x
图2.3 4
| AF | d A x1 1, | BF | d B x2 1.
2 y 4 x上一动点，F为抛物线的焦点， 1.已知M为抛物线 MP MF 定点P(3,1),则 的最小值为（ ） B (D)6 (A)3 (B)4 (C)5
N M
M
. .
P
已知抛物线y 8 x上的动点为p，过p
2
分别做y轴和直线x-y+8=0的垂涎，垂足 为A,B，求 PA PB 的最小值
2p 问题2 : 若 l 的倾斜角为 , 则 AB sin 2
p 2 问题3 : 求证 : x1 x2 , y1 y2 p . 4
2
问题4 : SAOB
p . 2 sin
2
已知过抛物线y 2 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛 物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点.
p ( ,0 ) 2 p ( ,0 ) 2 p (0， ) 2
2.4.2抛物线的简单几何性质(1)
(4)离心率 始终为常数1 (5)焦半径 |PF|=x0+p/2
M(1,0) 例1.过点M(2,0)作斜率为1的直线交抛
物线y2=4x于A,B两点,求|AB|.
弦长公式：
焦点弦长公式： 焦半径公式:
引申:一直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点, 与抛物线相交于两点A,B,求线段AB的最值.
通径的定义：通过焦点且垂直对称轴的弦
叫做抛物线的通径。
1.通径越大,开口越大
y（ p ，p）
A2
2.画草图的方法:通径端点 (p/2,p), (p/2,-p)
3.通径的长度：2p
} 2p
OF
x
标准方程中系数 2p的几何意义.
B （
p
，
p）
2
通径是抛物线过焦点弦中最短弦．
特点 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
引申3: 以 y 轴为准线,F(3,3)为焦点的抛物 线的方程.
例3.已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的
直线交抛物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
求证 : (1)x1x2为定值. (2) 1 1 为定值.
| FA | | FB |
(3)若直线AB的倾斜角为
,则
y
2.4.2抛物线的几何性质
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
五、抛物线的通径 y2=2px
通径----过焦点且垂直于对称 轴的弦 2 p Y
F
X
直线与抛物线
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
复习:
把直线方程代入双曲线方程 得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0
<0
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
2
2
y kx a 2 （2） 证明：由 2 得 x x 4ay 设A（x1，y1）、B（x 2，y2）
4akx 4a 0
2
2
则x1 x2 4ak，x1 x2 4a
y1 y2 k（x1 x2） 2a 4ak 2 2a y1 y2 k 2 x1 x2 ak（x1 x2） a2 a2
设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB 1 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=
( y1 y1 )2 4 y1 y2 = 2 8b ，
4b 2
, ABCD 为正方形有 2 8b = 由
4b
2 解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .
由题知 k 0且 0恒成立
高中数学 第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质讲解与例
2.4.2 抛物线的简单几何性质
问题导学
一、抛物线几何性质的应用
活动与探究1
已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．
迁移与应用
1．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．
2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．
注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
二、抛物线的焦点弦
活动与探究2
已知直线l 经过抛物线y 2
＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
迁移与应用
1．过抛物线y 2
＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．
A ．45°
B ．90° C．60° D．120°
2．过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |
的
值．
已知过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设
第二章2.4.2抛物线的几何性质PPT课件
x
2
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
•9
（二）归纳：抛物线的几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px x （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
一、复习回顾：
前面我们已学过椭圆与双曲 线的几何性质,它们都是通过标准 方程的形式研究的,现在请大家想 想抛物线的标准方程、图形、焦 点及准线是什么?
•1
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
练习6：求以Q(1,-1)为中点的抛物线 y2=8x的弦AB所在的直线方程.
•25
（三）、例题讲解：
例6：求抛物线y2=64x上的点到直 线4x+3y+46=0的距离的最小值,并 求取得最小值时的抛物线上的点的 坐标.
【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.4.2抛物线的几何性质
【感悟情境】
如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形
的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何
一条平行于抛物面轴的光
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
(p
2，0)(－
p
2，0)(0，
p
2)(0，－
p
2)
叫做抛物线的通径，是焦点弦中最短的．
，y1y2＝－p2.
高中数学抛物线的几何性质-抛物线焦点弦的性质
y
A
O
F
x
B
3
探求新知
设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，y2)
1、焦点弦AB的长如何计算？ |AB|＝x1＋x2＋p
y
A
O
F
x
B
4
探求新知
y 2、抛物线的焦点弦AB的长是否存在最小值？
A
若存在，其最小值为多少？
O
F
x
B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛物线的通 径，其长度为2p．
5
探求新知
2.4.2抛物线的几何性质
1
复习回顾
1.抛物线y2＝2px（p＞0）的范围、对称性、 顶点、离心率、焦半径分别是什么？
范围：x≥0，y∈R； 对称性：关于x轴对称；
顶点：原点；
离心率：e＝1；
焦半径：
|
MF
|=
x 0.
+
p 2
2
问题提出
过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，线段AB叫做抛物线的焦点弦，请你 探究焦点弦具有哪些性质.
解 : 设A x1, y1 , B x2 , y2 则
yA
直线OA的方程为y y1 x 2 p x
x1
y1
O F
x
令x
p 2
,
则yC
p2 y1
课件6：2.4.2抛物线的几何性质
跟踪练习
2.抛物线y＝4x2上的点到直线y＝4x－5的距离最短， 则该点坐标是什么？
解 设所求点为(x0，y0)，则 y0＝4x02，
故(x0，y0)到直线 y＝4x－5 的距离为
d＝|4x0－1y70－5|＝|4x0－41x720－5|＝|
2x0－1 17
2＋4| .
故当 2x0＝1，x0＝21时，dmin＝41717，∴y0＝1.
顶点
原点O(0,0)
焦点坐标 __(_0_，_p2_)_______ __(_0_，__－_p2_)____
准线方程 y＝__－ __p2____ y＝___p2_____
离心率
e＝1
预习效果展示
1.已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准 方程为( )
A．x2＝－28y
B．y2＝28x
C．y2＝－28x
解 (1)由题意，方程可设为 y2＝mx 或 x2＝ny， 将点 A(2,3)的坐标代入， 得 32＝m×2 或 22＝n×3， ∴m＝92或 n＝43. ∴所求的抛物线方程为 y2＝92x 或 x2＝34y.
(2)由焦点到准线的距离为52，可知 p＝25. ∴所求抛物线方程为 y2＝5x 或 y2＝－5x 或 x2＝5y 或 x2＝－5y.
例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部 分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物 线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯 泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多 少？（图2-24（1））
学案10：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质
教材新知
入门答辩
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？
原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？
问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？
问题3：抛物线有渐近线吗？
新知自解
1.抛物线的简单几何性质
类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形
性质
焦点F(
p
2，0)F(－
p
2，0)F(0，
p
2)F(0，－
p
2)准线x＝－
p
2x＝
p
2y＝－
p
2y＝
p
2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0
对称轴x轴y轴
顶点O(0,0)
离心率e＝1
开口方向向右向左向上向下
抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做
焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：
标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)
焦半径|PF||PF|＝x0＋p
2|PF|＝
p
2－x0|PF|＝y0＋
p
2|PF|＝
p
2－y0
焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2归纳领悟
2.4.2抛物线的几何性质
2
x1 4x
消去y得:x2－6x＋1＝0.
解法1： （所有弦都通用）
弦长公式 AB = x1 - x2 1+ k2 .
l
B
·F
A
= (1+ k2 )[(x1 + x2 )2 - 4x1x2] 解法2： （焦点弦才可以使用该公式）
抛物线焦点弦 AB AF BF x1 x2 p
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
P69思考
【练习】求顶点在原点，对称轴是坐标轴， 过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.
【练习】求顶点在原点，对称轴是坐标轴，
过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.
解：∵点A(-3,2)在第二象限， ∴抛物线的开口可能向左，也可能向上，
． 当抛物线的焦点在y轴
y2 = 2px (p>0)中，令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
4、 离心率
注：抛物线上距离焦 点最近的点是顶点。
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线 的距离之比，叫做抛物线的离心率， e=1 。
抛物线的简单几何性质
方程
图
形 范围
y2 = 2px （p＞0）
抛物线的简单几何性质
方程ຫໍສະໝຸດ Baidu
图
形 范围
高中数学《抛物线的简单几何性质》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
[解] (1)抛物线的方程为 x2＝2y，设 AB 的方程为 y＝kx＋12，
联立y＝kx＋12， 得 x2－2kx－1＝0， x2＝2y，
Mk，k2＋12，同理 N－1k，k12＋12，
∴S△FMN＝12|FM|·|FN|＝12 k2＋k4· k12＋k14＝12
课前自主预习
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
拓展提升 与抛物线几何性质相关问题的求解策略
(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方 程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．
(2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线 上点的坐标，结合抛物线的范围求解．
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答案
(5)如图，∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)．∴其焦点 F 的坐标为p2，0.
∴S△AOB＝S△AOF＋S△BOF ＝12|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋12|OF|·|BF|·sinθ＝12·p2·sinθ·|AB|. 由(2)知，|AB|＝si2np2θ，∴S△AOB＝2spin2 θ.
(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、 定值、定线．
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y
O
原点
F
l
x2 = 2py p p F (0, ) y 2 x （p>0） 2
在x 轴 的上方
(0,0)
y
O
F
y轴 x2 = -2py F (0, p ) y p 2 2 x （p>0）
l
在x 轴 的下方
三、数学建构 问题2：通过和椭圆、双曲线的几 何性质相比，抛物线的几何性质 有什么特点？
学生活动：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴ຫໍສະໝຸດ Baidu） 方程 焦点 准线 开口方向
3 2
y 6x
2
F ( ,0)
F (1,0)
3 2
x
开口向右 开口向左
y 4 x
2
x 1
y 1
x 4y
2
F (0,1)
7 8
开口向上
开口向下
2 x 7 y 0 F (0, )
2
y
7 8
四、数学运用
高二（15）班的全体同学 你们好！
射阳县第二中学 高二数学组
一、问题情境
请同学们看一段动画。 问题1：一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶 离水面2米,一水面上飘浮一宽2米,高 出水面1.4米的大木箱,问能否通过该 拱桥？
2.4.2抛物线的几何性质
二、探究活动 回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时 用的何种方法?有哪些性质?
图 形
y
l O F
归纳：抛物线的几何性质
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
在y 轴 的右侧
方程
y2 = 2px p p F ( ,0) x （p>0） 2 2 x
l
x轴
在y 轴 的左侧
y
F O
p y2 = -2px F ( p , 0) x 2 2 x （p>0）
y
O
原点
F
l
x2 = 2py p p F (0, ) y 2 x （p>0） 2
在x 轴 的上方
(0,0)
y
O
F
y轴 x2 = -2py F (0, p ) y p 2 2 x （p>0）
l
在x 轴 的下方
抛物线特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内, 它可以 无限延伸; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线
例2：如图：一个抛物线型拱桥，当水面 离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降 1m，求水面的宽度，
2
4
五、拓展延伸
解决问题1：一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶 离水面2米,一水面上飘浮一宽2米,高出水 面1.4米的大木箱,问能否通过该拱桥？
变式:一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶离水面 2米,一水面上飘浮一宽2米,高出水面1.6米 的大木箱,问能否通过该拱桥？
抛物线呢?
范围 对称性 顶点
三、建构数学
图 形
y
l O F
归纳：抛物线的几何性质
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
在y 轴 的右侧
方程
y2 = 2px p p F ( ,0) x （p>0） 2 2 x
l
x轴
在y 轴 的左侧
y
F O
p y2 = -2px F ( p , 0) x 2 2 x （p>0）
抛物线特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内, 它可以 无限延伸; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线
三、数学建构 问题3：抛物线标准方程中的p对抛 物线开口有何影响? 动画
P越大,开口越开阔
四、数学运用
例1 求适合下列条件的抛物线方程 1 、顶点在原点,焦点为(5,0) 2 、顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在 直线 x+y-5=0上 16 x 2 9 y 2 144 3 、已知抛物线的顶点是双曲线 的中心,而焦点是双曲线的右焦点
五、回顾与反思
请问同学们通过本节课的 学习你获得哪些知识？
阅读材料：抛物线的光学性质及应用
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装 在圆柱形手电筒里，经过调节，就能射出一束比较强的平行光 线，这是为什么呢？ 原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状 是一个由抛物线绕它的轴旋转所得到的曲面，叫抛物面。人们 已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过 抛物线上任一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。探照 灯 就是利用这个原理设计出来的。 应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴 的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点。人们利用这个原 理设计了一种加热水和食物的太阳灶。在这个太阳灶上装有一 个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴于太阳光平行时，太阳光 经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。
六、作业布置
P49. 1 2 3 4
预习题
思考题
思考题：一辆货车要通过跨度为8米， 拱高为4米的单行抛物线型隧道， 为保证安全，车顶离隧道顶部至少 要有0.5米的距离,若货车宽为2米, 求货车的限高至少多少米?
• 预习题：在本节课中没有研究离心 率e，那么抛物线中离心率e如何定 义的呢？
三、建构数学