13_高阶与分数低阶统计量信号处理

j x

2 2 / 2
– 随机变量x的各阶原点矩可表示为
k d ( ) k (k ) k mk ( j)k ( j) (0) E { x } k d 0
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– 对第一特征函数求各阶导，并且将 0 带入所得 的各阶导数表达式，得高斯随机变量的高阶矩计算 结果，即
1
j(11 2 2 k 1 tk 1 ) ... c ( , , , )e k 1 2 k 1


k
– 高阶谱是多个频率的谱，称为多谱。三阶谱称为 双 谱用B(1, 2 ) 来表示，四阶谱 T (1, 2 , 3 )称为三谱。
• 由性质4得出一重要结论：若一个非高斯信号是在与 之独立的加性高斯有色噪声中被观测，则观测过程 中的高阶累计量将与非高斯信号的高阶累积量恒等。
– 性质5：若随机变量 {xi } 一子集与其余部独立，则
cum( x1, x2 ,, xk ) 0
– 性质6：若 是常数，则
cum( x1, x2 ,, xk ) cum( x1, x2 ,, xk )
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信号处理与数据分析
Part V 现代信号处理简介
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2015年12月
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信号分析与数据处理
第13章
高阶与分数低阶统计量信号处理
电子信息与电气工程学部 邱天爽
2015年12月
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mon(1 x1 , 2 x2 ,, k xk ) i mon( x1 , x2 ,, xk )
i 1 k k
cum(1 x1 , 2 x2 ,, k xk ) i cum( x1 , x2 ,, xk )
i 1
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– 性质2：矩和累积量关于他们的变元是对称的，即：
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• 高阶矩与高阶统计量
– 在非高斯信号处理中，一些信号的二阶统计量无法 描述信号的特征，需要采用高阶统计量。例如三阶 和四阶统计量：
c3 (k1, k2 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 )]
c4 (k1 , k2 , k3 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k1)]E[ x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k2 )]E[ x(n k1 ) x(n k3 )]E[ x(n k1 ) x(n k2 )]
归零化峰度>0
归零化峰度=0
归零化峰度<0
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• 矩和累积量的关系
– 高阶矩和高阶累积量可以互相转换：
– （1）用高阶矩表示高阶累积量：
c( I )
q p 1 I p I

( 1)
q 1
( q 1)! m( I p )
p 1
q
– （2）用高阶累积量表示高阶矩：
• 便于计算分析。
– 但是实际应用中，大部分随机信号是非高斯分布的； – 若采用高斯分布来描述，会使所设计的信号处理系 统退化。
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• 非高斯信号分析与处理成为信号处理领 域的热点研究问题
– 科学技术的发展提出了这种需要；
– 数学、信号处理和计算机技术的发展，提供了这种 可能。
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• 双谱的性质
① 双谱一般是复数，可表示为幅值与相位的乘积
B(1, 2 ) B(1, 2 ) e j (1 ,2 )
② 对称性：
B(1, 2 ) B(2 , 1 )
③ 周期性： 双周期函数，两周期均为 2 。
B(1, 2 ) B(1 2π, 2 2π)
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• 2. 矩与统计量的概念
– 根据上图，二阶矩以上的统计矩称为高阶矩或高阶 统计量，其范围为 (2, ) ，一般取整数阶。
– 二阶矩以下的统计矩称为分数低阶矩，或分数低阶 统计量，其范围为（0,2），可以取这个范围内的任 何值。
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• 二阶矩与二阶统计量
m1 0, m2 2 , m3 0, m4 3 4
– 根据 ( ) 各阶导数的规律，高斯随机变量的任意高 阶矩可表示为
0, k为奇数 mk k 1 3 ( k 1) , k为偶数
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– 高斯随机变量的第二特征函数是第一特征函数的自 然对数 () ln () 22 / 2 – 高斯变量的各阶累积量，即
– 说明：上式是定义式，一般不用于计算。
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• 3. 高斯信号的高阶矩和高阶累积量
– 设 x (t ) 是高斯随机变量，均值为0，方差为 2 ，其 概率密度函数表达式为
f ( x)
2 1 e 2 2 x2
– 则第一特征函数为
() f ( x)e dx e
– 不存在二阶和高阶统计量； – 因此常规的基于二阶统计量的信号处理算法退化； – 常用分数低阶统计量的方法进行信号处理。
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• 分数低阶统计量
– 统计矩从0阶一直延伸至无穷，最常用的是一阶和 二阶统计量； – （0,2）阶的统计量称为分数低阶统计量； – 有多种分数低阶统计量，例如共变、分数阶相关、 分数阶协方差等； – 分数低阶统计量适合于Alpha稳定分布信号处理。
由以上三个性质可知，累积量相对于其变元是线性的。
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– 性质4：若随机变量 {xi } 和随机变量 则累积量具有半不变性：
{ yi }
统计独立，
cum( x1 y1, x2 y2 ,, xk yk ) cum( x1, x2 ,, xk ) cum( y1, y2 ,, yk )
– 主要包括相关与功率谱等概念方法；
– 在最优信号处理方面，基于二阶矩的最小均方误差 准则，往往是重要的选择；
– 设 X (n) {x(n)} 表示具有零均值的广义平稳离散随机 信号。 – 在不引起混乱的情况下，以x(n)来表示同样的离散 随机信号。x(n)的二阶统计矩（自相关序列）定义 为
RX (m) E[ x(n) x(n m)]


C4 (w1 , w2 , w3 )
k1 k2 k3
c (k , k , k ) exp[ j(k w k w

k3w3 )]
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• Alpha稳定分布
– 是广义的高斯分布;
– 是唯一的一类构成独立同分布（i.i.d.）随机变量之 和的极限分布；
mon( x1,, xi yi ,, xk ) mon( x1,, xi ,, xk ) mon( x1,, yi ,, xk ) cum( x1,, xi yi ,, xk ) cum( x1,, xi ,, xk ) cum( x1,, yi ,, xk )
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• 信号的双谱和三谱
– 信号的双谱和三谱分别是信号的三阶累积量和四阶 累积量的二维和三维傅里叶变换：
C3 (w1 , w2 )
k1 k2

c (k , k ) exp[ j(k w k w )]
3 1 2 1 1 2 2
4 1 2 3 1 1 2 2
mon( x1 , x2 , , xk ) mon( xi1 , xi2 ,, xik ) cum( x1 , x2 ,, xk ) cum( xi1 , xi2 ,, xik )
其中 (i1, i2 ,..., ik ) 是（1,2,…,k） 的一个排列 – 性质3：矩和累积量相对于其变元具有可加性
则上式变成单变量x(t)的k阶矩,即：
mk (1,, k 1 ) E{x(t ) x(t 1 ) x(t k 1 )}
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• 2. 高阶累积量的定义
– 随机信号 x (t ) 的 k 阶累积量表示为：
ck (1,, k 1 ) cum[ x(t ), x(t 1 ),, x(t k 1 )]
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• 峰度（kurtosis）的概念
– 实信号 x(t ) 的峰度定义为：
Kx E{x4 (t )} 3E 2{x2 (t )}
– 归零化峰度（左）和归一化峰度 （右）
Kx E x 4 (t ) E {x (t )}
2 2
3, K x
E x 4 (t ) E 2{x 2 (t )}
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§13.3 高阶谱与高阶谱估计
• 高阶谱的概念
– 假定随机信号 x(t ) 的高阶累积量ck (1, 2 ,, k 1 ) 是绝 对可和的，则k阶累积谱定义为：k阶累积量的 k 1 维离散傅里叶变换，即
Sk (1, 2 ,, k 1 )
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• 4. 非高斯信号
• 非高斯信号的定义
– 概率密度函数为非高斯函数的信号称为非高斯信号； – 非高斯信号一定存在某个高阶累积量不为0。
• 斜度(skewness)的概念
– 实信号 x(t ) 的斜度定义为： –
Sx E{x3 (t )}
– 斜度是衡量一个随机信号偏离对称分布的歪斜程度。
m( I )
p 1 q p 1 I p I
c( I
q
p
)
I p 的矩和累计量。
– 式中： 和 m( I p )
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C( I p ) 分别表示符号集
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• 矩和累积量的性质
– 设 mon( x1, x2 ,, xk ) 和 cum( x1, x2 ,, xk ) 分别表示k个随 机变量 x1, x2 ,, xk 的k阶矩和累积量 – 性质1：设 i 为常数，xi 为随机变量，其中 i=1,2,3,…,k，则：
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• 二阶矩与二阶统计量（续）
–
RX (m) 与其傅里叶变换即功率谱密度函数
Px ( w)
m


Rx (m)e jwm
– 一起构成基于二阶或二阶统计量的统计信号建模、 分析和处理的基础。 – 在过去的半个世纪中，自相关函数和功率谱密度函 数为信号处理提供了许多重要的概念和结构，例如 随机信号的频域表示，自适应滤波和线性预测理论 等。
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§13.2 高阶矩与高阶累积量
• 1. 高阶矩的定义
– 令 x1 (t ), x2 (t ),, xk (t ) 是k个连续的随机变量，则这 k个变量的 k 阶矩表示为
m1,1,,1 E x1 (t ) x2 (t ) xk (t )
特别地，令
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) x(t 1 ),, xk (t ) x(t k 1 )
内容概要
• §13.1 • §13.2 概述 高阶矩与高阶累积量
• §13.3
• §13.4
高阶谱与高阶谱估计
Alpha稳定分布与分数低阶统计量
• §13.5
非高斯信号处理应用
§13.1 概述
• 1. 高斯分布与非高斯分布
– 传统信号处理中，通常假定随机信号与噪声服从高 斯分布： • 服从中心极限定理（大量随机变量之和趋于高斯 分布）；
c1 0, c2 2 , , ck 0, k 3,4,.....
– 综上所述，任意高斯随机过程的二阶矩和二阶累积 量相等，均等于其方差；
– 奇数阶矩恒为0，偶数阶矩不为0；3阶及以上各阶 累积量恒为0。 – 由此看出，高阶累积量对于高斯随机过程是“盲 的”，即高阶累积量适用于处理非高斯信号。