一元二次方程——根与系数的关系

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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4 一元二次方程根与系数关系一、内容和内容解析1．内容一元二次方程根与系数的关系．2．内容解析一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的12b x x a +=-，12c x x a⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．二、目标和目标解析1．目标（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．三、教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。

因此，先引导学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．四、教学过程设计1．复习一元二次方程一般形式及求根公式问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系问题3 一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？师生活动：学生独立思考后，教师追问：如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）学生独立完成证明过程，然后再全班交流。

一元二次方程根与系数的关系公式有哪些

⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。

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⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。

设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。

根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。

韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。

已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。

一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解

一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
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九年级数学一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2=，x 1·x 2=。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2=；x 1·x 2=；2111x x +；x 21+x 22=；(x 1+1)(x 2+1)=；｜x 1－x 2｜=。

3、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m=。

4、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。

5、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

6、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。

7、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

8、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则A.m=0且n ≥0B.n=0且m ≥0C.m=0且n ≤0D.n=0且m ≤9、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22=+-=--x x x10、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

11、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

12、(1)方程x 2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是。

(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足。

13、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a=，另一个根是。

14、以2，－3为根的一元二次方程是22+x －6=0 C.x 2－2－x －6=015、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是2－2+2x －3=0C.3x 2－6x －2+6x －9=016、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是2+2x－2－2x+3=0 C.x22－2x－3=017、以－3，－2为根的一元二次方程为，18、在解方程x2+px+q=0时，小X看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。

一元二次方程根与系数的关系

第一讲一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12）第二讲一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝．3.二次函数的三种表示方式：一般式顶点式交点式注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

方程的根与系数之间的关系

方程的根与系数之间的关系1. 引言方程的根与系数之间存在着一定的关系，通过研究这种关系，可以帮助我们更好地理解和解决各类方程。

在本文中，我们将深入探讨方程的根与系数之间的关系，并通过具体的例子和推导，解释其中的数学原理。

2. 一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是方程的系数，x是方程的未知数。

我们来讨论一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.1 根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以通过判别式D=b2−4ac来确定。

根据判别式的值，我们可以得到以下结论： - 当D>0时，方程有两个不相等的实根； - 当D=0时，方程有两个相等的实根； - 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

2.2 根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间存在着以下关系： 1. 根与系数之间的和：设方程的。

2. 根与系数之间的乘积：设方程的两个根分别为x1和x2，则x1+x2=−ba。

两个根分别为x1和x2，则x1⋅x2=ca由以上关系可以看出，当我们知道方程的系数时，就可以通过这些关系推导出方程的根的和与积，从而进一步研究方程的性质和解法。

3. 三元一次方程的根与系数之间的关系三元一次方程是形如ax+by+cz=d的方程，其中a、b、c和d是方程的系数，x、y和z是方程的未知数。

接下来，我们探讨三元一次方程的根与系数之间的关系。

3.1 方程的解三元一次方程的解是以有序数组的形式表示的，例如(x0,y0,z0)。

解的存在唯一性要求方程的系数满足一定的条件，即系数的行列式不为零。

具体而言，当abc−ac2−b2d=0时，方程无解；当abc−ac2−b2d≠0时，方程有唯一解。

3.2 根与系数之间的关系三元一次方程的根与系数之间的关系可以通过高斯-若尔当消元法进行求解。

解方程组的过程中，我们可以得到以下结论： 1. 根与系数之间的关系是复杂的，且很难直接表达； 2. 方程的解与系数的变化密切相关，系数的微小变化可能导致解的大幅度变化； 3. 方程的解可以通过变量的代换和消元的方法求得，求解过程中可以使用线性代数的相关理论和方法。

一元二次方程根与系数的关系

（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5，由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。（2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0，即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系一、韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，则=+21x x ，=21x x 。

二、应用1、求待定系数值；2、求关于根的代数式值；3、结合△，讨论根的符号特征；4、构造一元二次方程辅助解题。

三、以两个数21,x x 为根，构造一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 。

四、方程根的符号特征)0(02≠=++a c bx ax 有两根21,x x ：①若0021=⇔=+b x x ，21,x x 互为相反数； ②若c a x x =⇔=121，21,x x 互为倒数；⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ③方程两根同为正数； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ④方程两根同为负数； ⇔⎩⎨⎧<>∆0021x x ⑤方程两根异号；⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ⑥方程两根异号且正根绝对值大； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<+>∆0002121x x x x ⑦方程两根异号且负根绝对值大。

五、典例讲解例1、（1）以3、2为根作一元二次方程是。

（2）以313-，212为根作一元二次方程式。

（3）解方程组⎩⎨⎧=+-=67y x xy（4）求作一元二次方程使它的根是方程0132=++x x 的各根的平方。

（5）不解方程0262=+-x x ，求作一元二次方程是它的一根为原方程两根和的倒数，另一根是原方程两根差的平方。

④两根立方和。

练习2、设方程03742=--x x 两根是21,x x ，求：①)3)(3(21--x x ；②；③21x x -；2112x x x x +④；⑤||21x x -；⑥3231x x +；⑦222111x x -；⑧2112x x x x -+-例3、（1）关于x 的方程2)12(22=+++k x k x 两根的平方和为11，求k 的值。

一元二次方程根与系数关系

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一元二次方程根与系数关系
知识定位
设一元二次方程有二实数根，则，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。

其逆命题也成立。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。

而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。

知识梳理
知识梳理1：求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

知识梳理2：构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

知识梳理3：证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式
知识梳理4：研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。

关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
1。

一元二次方程根与系数的关系

●
b b 2 4ac 2a
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
4ac 4a 2
c = a
若已知ax2+bx+c=0 (a≠o)的两个根x1,x2,
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 3x +
1 2
x1+x2=2
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（ 1） x 2 x 2 1 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。解：设方程的另一个根为x2, 19 16 则x2+1= 3 , ∴ x2= 3 , 又x2 1=
●
m , 3
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1) 的值. 3 x2= 解：由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · 2
x px q 0
2
x x p
1 2
x x q
1 2
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。

第三讲一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系1、一元二次方程的根的判别式综上所述，一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有：（1）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根；（2）当0=∆时，方程有两个相等的实数根；（3）当0<∆时，方程没有实数根。

2、一元二次方程的根与系数的关系如果()002≠=++a c bx ax 的两个根是21x x 、，那么ab x x -=+21，ac x x =⋅21。

[例1]已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．[例2]设方程22630x x --=，的两个根是12,x x ，求2221x x +、3231x x +、21x x -的值；[练1]若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．[练2]已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．类型三：利用韦达定理和根的判别式，判断方程根的情况[例]当m 取什么实数时，关于x 的方程()()05242=-+-+m x m x 分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）正根绝对值大于负根绝对值；小知识：利用根的判别式和韦达定理，可以判定方程()002≠=++a c bx ax 的正根、负根情况：（1）方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两正根相等）（2）方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两负根相等）（3）方程有一正根和一负根⎪⎩⎪⎨⎧<=⋅>-=∆⇔004212a cx x ac b ；此时又可进一步分为三种情况：①021>-=+ab x x 时，正根大于负根的绝对值；②021<-=+ab x x 时，正根小于负根的绝对值；③021=-=+ab x x ，即0=b 时，两根互为相反数。

1元二次方程根与系数的关系公式

1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。

咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。

韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。

可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。

”我笑了笑，给他举了个例子。

假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。

那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。

比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。

再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。

而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。

一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。

通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。

在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。

一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)

一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x -==⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1. 阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．根据上述材料解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2；有两个实数根：x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【思路点拨】（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围；（2）由y=x 1+x 2=-ba，代入即可求得：y=2-2m ，根据（1）中m 的取值范围，即可求得最小值．【答案与解析】【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．举一反三：【变式】（杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4；（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，∴m2﹣4m﹣45=0，解得m1=9，m2=﹣5．当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；故m的值为9；（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，解得：m=﹣1，∴方程变为x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，不能组成三角形；当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19．2.（肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x 1﹣x 2）2；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2==10．（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=x 1x 2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134；（2）3．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3.（灌云县期末）已知关于x 的方程x 2+ax ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【答案与解析】解：（1）在方程x 2+ax ﹣2=0中，△=a 2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8，∵a 2+8≥8，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系得：2m=﹣2，解得：m=﹣1．∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程2222cx bx a bx ax b ++=++有两个相等的实数根，那么这个三角形是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．（曲靖一模）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6.（芦溪县模拟）设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（） A ．15 B ．12 C ．6 D ．3二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．（凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m≠n，则n m m n+= ．9．（濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2﹣7x ﹣1=0各根的倒数．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k 为时，两根互为相反数；（2）当k 为时，有一根为零，另一根不为零. 12．（仁寿县一模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则m 的值是．三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.15．（杭州校级期中）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1•x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x 2+px+q=0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或a ＝c ，∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A ．4.【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根，再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2=，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2×=6．故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则m ，n 是方程3x 2+6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程x 2﹣7x ﹣1=0的两根为α、β，则有：α+β=7，α•β=﹣1． ∴==﹣7，=﹣1，∴以、为根的方程为x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为x 1, x 2，则x 1+x 2=-=-；x 1x 2= .（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x 1+x 2=-=0，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x 1x 2==0，解得k=.又当k=时，x 1+x 2=-≠0，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=>0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得m 1=﹣1，m 2=5，当m=﹣1时，原方程变形为x 2+x ﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；当m=5时，原方程变形为x 2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m 的值为﹣1．故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=．由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭，整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-13，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-13，且k ≠0 . (2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-kk ，且01)1(2=-+kk k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-13，且k ≠0矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5=0的解，当a ≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5， +====﹣47；当a=b 时，原式=2．（3）设方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则+==﹣，•==，则方程x 2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。

1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。

而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。

2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。

当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。

当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。

3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。

当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。

当 c 为负数时，根的值为两个虚数。

而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。

根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。

例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。

-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。

一元二次方程的根与系数关系

一元二次方程的根与系数关系韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达，全名弗朗索瓦·韦达，年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“现代数学之父”。

1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22-1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为______．A ．k 1≥4 B．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 12．已知关于x 的一元二次方程x m 2-=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22-4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．4．已知关于x 的方程()x k x k 2-+1+2-2=0．（1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是-2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．9．已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．10．已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2⋅-2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 1211-．11．已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．12．已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于54．13．若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为________．14．已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________．15．已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．16．已知一元二次方程()ax a x a 2+3-2+-1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．17．已知二次方程342x x k 2-+-=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．。

一元二次方程——根与系数的关系

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

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