11-12学年高中数学 3.3 一元二次不等式及其解法第二课时优化训练新人教B版必修5

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高中数学第三章一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法(习题课)练习(含解析)

第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法（习题课）A 级基础巩固一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋2≥0或x ＝－2，⇒x ≥1或x ＝－2，故选C.答案：C2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4} 解析：因为ax 2－ax ＋1<0无解，当a ＝0的显然正确；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0⇒0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D.答案：D3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R(M ∩N )D ．∁R(M ∪N )解析：因为M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |x ≤－3}，所以M ∪N ＝{x |x <1}，故∁R(M ∪N )＝{x |x ≥1}，选D.答案：D4．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：由题意知，一元二次不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12.而f (10x )＞0，所以－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12，即x ＜－lg 2. 答案：D5．对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0，a ∈[－1，1]恒成立⇒(x －2)a ＋x 2－4x ＋4>0，a∈[－1，1]恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）×1＋x 2－4x ＋4>0，解得3<x 或x <1.选B.答案：B二、填空题6．若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 7．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________．解析：由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，所以a ＝－2.答案：－2 8．关于x 的方程x 2m＋x ＋m －1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________．解析：若方程x 2m ＋x ＋m －1＝0有一个正实根和一个负实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －1＞0. 所以0＜m ＜1或∅.答案：(0，1)三、解答题9．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围．解：因为y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4为二次函数，所以m ≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，2＜m ＜6.所以m 的取值范围为{m |2＜m ＜6}．10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0.解：f (1)＝－3＋a (6－a )＋3＝a (6－a )，因为f (1)≥0，所以a (6－a )≥0，a (a －6)≤0，方程a (a －6)＝0有两个不等实根a 1＝0，a 2＝6，由y ＝a (a －6)的图象，得不等式f (1)≥0的解集为{a |0≤a ≤6}．B 级能力提升1．若实数α，β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－494解析：因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，因为m ≥3或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.答案：A2．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －8－4（x －8）x 升．依题意，得x －8－4（x －8）x≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403. 又x ＞8，所以8＜x ≤403.答案：⎝⎛⎦⎥⎤8，403 3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0.解得－56<m <－12.。

高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式及其解法二练习新人教A版必修5

第二课时一元二次不等式及其解法(二)课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．不等式x －1x －2≥0的解集为( ) A ．[1,2] B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 解析：选D x －1x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，故选D. 2．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 解析：选A 因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.故选A.3．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －b x －2>0的解集是( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1<x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >2} 解析：选A 依题意，a >0且－b a ＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a (x －2)>0，即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.故选A.4．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是( )A ．(90,100)B ．(90,110)C ．(100,110)D ．(80,100) 解析：选A 设每个涨价x 元，则y 表示涨价后的利润与原利润之差，则y ＝(10＋x )(400－20x )－10×400＝－20x 2＋200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2－10x <0，得0<x <10.∴售价应在(90,100)范围之内．故选A.5．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0] 解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．6．不等式x ＋1x≤3的解集是．解析：由x ＋1x ≤3，得x ＋1x －3≤0，即2x －1x ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x (2x －1)≥0，解得x <0或x ≥12.∴不等式x ＋1x ≤3的解集是(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 7．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝4m 2－4m <0.解得0<m <1.由①②知，0≤m <1.答案：[0,1)8．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？ (用“能”或“不能”填空)；若“能”，当长、宽分别为 m ， m(若不能，此处不填)时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25，即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：能 25 259．若关于x 的不等式4x ＋m x 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，所以不等式4x ＋m x 2－2x ＋3<2.同解于4x ＋m <2x 2－4x ＋6，即2x 2－8x ＋6－m >0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x 2－8x ＋6－m >0的解集为R ，∴方程2x 2－8x ＋6－m ＝0须满足Δ<0，即64－8×(6－m )<0.整理并解得m <－2.∴实数m 的取值范围是(－∞，－2)．10．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知，在[－1,1]上g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．‖层级二‖|应试能力达标|1．如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 解析：选A 由4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，解得1<m <3.故选A.2．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4 解析：选A 由Δ＝a 2－4×4≤0，得a 2≤16，即－4≤a ≤4.故选A.3．若不等式x 2＋mx ＋m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．m >2 B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2 解析：选D 由Δ＝m 2－4×m 2＝m 2－2m <0，可得0<m <2.故选D. 4．在R 上定义运算“♣”：x ♣y ＝x (1－y )．若存在实数x ，使得不等式(x －m )♣(x ＋m )>1成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D 由题可知，原不等式可化为(x －m )(1－x －m )>1，即存在x 使x 2－x －m 2＋m＋1<0成立，故只需Δ＝1＋4(m 2－m －1)>0，解得m <－12或m >32.故选D. 5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是．解析：由题意知，a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a >0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.答案：[0,4]6．已知axx －1<1的解集是{x |x <1或x >2}，则实数a 的值为．解析：∵ax x －1<1，∴ax －x ＋1x －1<0，即[(a －1)x ＋1](x －1)<0，又∵不等式ax x －1<1的解集为{x |x <1或x >2}， ∴a －1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a －1(x －1)>0， ∴－1a －1＝2，∴a ＝12. 答案：127．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意，得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧ －60x 2＋20x >0，0<x <1，解不等式组，得0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

3.3 一元二次不等式及其解法第二课时优化训练

3.3 一元二次不等式及其解法第二课时优化训练1．设集合P ＝{m |－1＜m ＜0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，那么以下关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅m ＝0时，不等式mx 2＋4mx －4＜0化为－4＜0，对任意实数x 恒成立，适合题意．当m ≠0时，不等式mx 2＋4mx －4＜0为一元二次不等式，假设使不等式mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立．需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4m 2＋16m ＜0，解得－1＜m ＜0. 综上，Q ＝{m ∈R |－1＜m ≤0}，所以P Q .2．假设不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，那么a ＋b 的值为( ) A ．－10 B ．－14C ．10D ．14解析：选B.由题意，可知关于x 的方程ax 2＋bx ＋2＝0的根分别为－12，13，所以－b a＝－12＋13＝－16，2a ＝(－12)×13＝－16.所以b ＝－2，aa ＋b ＝－14. 3．f (x )是R 上的减函数，那么满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)f (x )是R 上的减函数，且f (1x )>f (1)，那么1x <1⇒1x －1<0⇒1－x x<0⇒x >1或x <0. 4．集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}．假设A ∩B ＝∅，那么实数a 的取值范围是________．解析：B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}⇒B ＝{x |x ≥4或x ≤1}，A ＝{x ||x －a |≤1}⇒A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，因为A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<4a －1>1⇒2<a <3. 答案：(2,3)5．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a ＜0.解：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以(1)当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；(2)当a ＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．1．对于x ∈R ，式子1mx 2＋mx ＋1恒有意义，那么常数m 的取值范围为( )A ．0＜m ＜4B ．0≤m ≤4C ．0≤m ＜4D ．0＜m ≤4解析：选C.m ＝0时，mx 2＋mx ＋1＝1满足题目要求，m ≠0时，mx 2＋mx ＋1＞0恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＜0，解得0＜m ＜4，∴0≤m ＜4.2．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：选B.①a ＝0时成立．②a >0时⎩⎪⎨⎪⎧a >0f 0>0∴a >0. ③a <0时⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0∴－2≤a <0. 综上a ∈[－2，＋∞)，选B. 3．假设不等式x 2＋px ＋q <0的解集是{x |1<x <2}，那么不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0的解集是( ) A ．(1,2)B ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)C ．(－1,1)∪(2,6)D ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)x 2＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)知，x 2＋px ＋q x 2－5x －6>0等价于(x －1)(x －2)(x 2－5x －6)>0⇒(x －1)(x －2)(x －6)(x ＋1)>0⇒x <－1或1<x <2或x >6.4．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )*(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，那么( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12x *y ＝x (1－y )，得(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，因而(x －a )*(x ＋a )＜1为(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，故Δ＜0，即1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32. 5．要使关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1大且另一根比1小，那么a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．－2<a <1D ．a <－2或a >1解析：选C.设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，由得f (1)<0，即a 2＋a －2<0，所以－2<a <1.6．假设关于x 的不等式：x 2－ax －6a ＜0有解且解的区间长不超过5个，那么a 的取值范围是( )A ．－25≤a ≤1B ．a ≤－25或a ≥1C ．－25≤a ＜0或1≤a ＜24D ．－25≤a ＜－24或0＜a ≤1x 2－ax －6a ＜0有解得a 2＋24a ≥0，①由解的区间长度不超过5个，得a 2＋24a ≤5，②由①②得－25≤a ≤－24或0≤a ≤1.当a ＝0时，原不等式化为x 2＜0，不合题意；当a ＝－24时，原不等式化为(x ＋12)2＜0，不合题意；故－25≤a ＜－24或0＜a ≤1.7．假设关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，那么实数a ＝________.解析：注意到x －a x ＋1>0等价于(x －a )(x ＋1)>0，而解为 x <－1或x >4，从而a ＝4. 答案：48．假设a ＜0，那么不等式3a x ＋a＞1的解集是________．解析：原不等式可化为(x －2a )(x ＋a )＜0，∵a ＜0，∴2a ＜x ＜－a .答案：{x |2a ＜x ＜－a }9．不等式x 2－(a ＋1a )x ＋1<0的解集为{x |a ＜x ＜1a}，那么a 的取值范围是________．解析：由题意可知a <1a，当a >0时，a 2<1，∴0<a <1；当a <0时，a 2>1，∴a <－1，∴所求a 的取值范围为0<a <1或a <－1.答案：(0,1)∪(－∞，－1) 10．假设a <－1，求关于x 的不等式a (x －a )(x －1a)<0的解集．解：∵a <－1，∴a (x －a )(x －1a)<0⇒(x －a )(x －1a )>0. 又∵a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a ，即原不等式解集为{x |x >1a或x <a }． 11．设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2.解：法一：∵a 2x ＋b 2(1－x )＝(a 2－b 2)x ＋b 2，[ax ＋b (1－x )]2＝(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，∴原不等式等价于(a －b )2x 2＋[2b (a －b )－(a 2－b 2)]x ≤0，即(a －b )2(x 2－x )≤0.∵a ≠b ，∴(a －b )2>0.从而，不等式同解于x 2－x ≤0，解二次方程x 2－x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1，故不等式的解集为{x |0≤x ≤1}．法二：∵[ax ＋b (1－x )]2＝a 2x 2＋2abx (1－x )＋b 2(1－x )2，∴原不等式等价于a 2(x 2－x )＋2abx (1－x )＋b 2x (x －1)≤0，即x (x －1)(a 2－2ab ＋b 2)≤0.∵a ≠b ，∴a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2>0，故不等式同解于x (x －1)≤0，即0≤x ≤1.故原不等式的解集为{x |0≤x ≤1}．12．f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，∴要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，∴－3≤a ＜－1.当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法

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有两相异CONTEN有TS P两AG相E 等实根实根x1，x2 x1＝x2＝－2ba
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<2ba }
R
ax2＋bx＋c<0 {x|x1<
∅
∅
(a>0)的解集
x<x2}
预课当习堂导讲检学义测
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第三章——
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
3.3 一元二次不等式及其解法
1
预课当习堂导讲检学义测
3.3
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挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
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一元二次不等式及其解法
[学习目标]
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式的方法. 3.培养数形结合、分类讨论思想方法.
Δ＝b2－4ac<0；
3.3 一元二次不等式及其解法
4
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(5)一元二次函数y＝a
x2
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＋bx C＋ONcTEN<TS0P恒AGE成立⇔
a<0挑重当，战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
解析 (1)由于Δ>0，故正确；
Δ＝b2－4ac>0.
(2)由于Δ＝0，所以方程有两个相等实根，故错误；
栏目索引
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解原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为∅.

(新课标)高中数学第3章不等式 3.3 一元二次不等式及解法第2课时含参数的一元二次不等式问

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含参数的一元二次不等式问题课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集,则a的取值范围是错误!( A )A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4C．a≤－4或a≥4D．a＜－4或a＞4[解析］欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0,∴－4≤a≤4. 2．不等式错误!≥0的解集为错误!（ C ）A．（－错误!,1］B．［－错误!，1]C．(－∞,－错误!）∪［1,＋∞）D．（－∞,－错误!］∪[1,＋∞）［解析]原不等式可化为｛x－12x＋1≥0，2x＋1≠0，∴x〈－错误!或x≥1，故选C．3．若0＜t＜1,则不等式x2－（t＋错误!)x＋1＜0的解集是错误!( D ）A．｛x|错误!＜x＜t｝B．{x|x＞错误!或x＜t｝C．｛x|x＜错误!或x＞t｝D．｛x|t＜x＜错误!}［解析]化为（x－t)（x－错误!）＜0,∵0＜t＜1，∴1t＞1＞t，∴t＜x＜错误!，4．下列选项中,使不等式x＜错误!＜x2成立的x的取值范围是错误!（ A ) A．(－∞，－1）B．（－1,0）C．(0，1）D．（1,＋∞)[解析］由1x>x，得错误!－x>0，错误!〉0即x(1－x2)>0,∴x〈－1或0〈x<1；由错误!〈x2，得错误!－x2〈0，错误!〈0，即x(1－x3)〈0，∴x〈0或x〉1，∴不等式x〈错误!〈x2的解集为x<－1，选A．本题可也用特殊值代入法进行排除．5．若f（x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值,则m的取值范围是错误!（ A )A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3［解析］∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，∴△＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2。

高中数学第三章不等式3.2第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)高一5数学

12/13/2021
解决不等式恒成立问题的2种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围； (2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．
12/13/2021
(2)当a＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>
2 a
，原不等式的解集为
xx<2a或x>2
.
综上所述，
当0<a<1时，原不等式解集为xx>2a或x<2
；
当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式解集为xx<2a或x>2
.
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不等式的恒成立问题 [典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________． [解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0. [答案] {0}
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[一题多变] 1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒
解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x
－4，因为x∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<
－x2＋4x－4 x－2
＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．
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3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋ 4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m) ＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以gg－ 1＝1＝x－x－ 2×2× 1＋－x2－1＋4xx＋2－4>40x，＋4>0，解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．

高中数学第三章不等式 3.3 第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)课件新人教B版必修5

(3)不等式与不等式组的同解关系
①f(x)g(x)≥0⇔fgxx≥≥00，或fgxx≤≤00，，
②f(x)g(x)≤0⇔fgxx≥≤00，或fgxx≤≥00，，
③f(x)g(x)>0⇔fx>0， gx>0
(2)原不等式可化为23x－－41x－1>0，即34xx－－23<0.
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴23<x<34.
∴原不等式的解集为x23<x<34

.

(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．
(2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①gfxx>0⇔f(x)g(x)>0； ②gfxx<0⇔f(x)g(x)<0； ③gfxx≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0； ④gfxx≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)＝0.
C.x|1＜x＜2
D. x|x＞2

解析：选A 依题意，a>0且－ba＝1.
axx－－2b>0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔x－ba(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1.
不等式中的恒成立问题
[典例] 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0 恒成立，求实数a的取x≤1}
解析：选B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}， ∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不

高中数学人教B版学案：第3章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案

3.3一元二次不等式及其解法学习目标：1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)[自主预习·探新知]1．一元二次不等式的概念一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．4．三个“二次”之间的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解．()(4)x2－x>0为一元二次不等式．()[解析](1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故该说法正确．(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．不等式x2≤1的解集为________.{x|－1≤x≤1}[令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．]3．不等式2x≤x2＋1的解集为________．R[2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，∴x∈R.]4．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．M N[因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以M N.]5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：{x |x ＜－2或x ＞3} [可根据图表求得两个零点为x 1＝－2，x 2＝3，结合二次函数的图象(图略)求解．][合作探究·攻重难](1)x 2－5x >6； (2)4x 2－4x ＋1≤0； (3)－x 2＋7x >6.[解] (1)由x 2－5x >6，得 x 2－5x －6>0.∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x |x <－1，或x >6}． (2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0，方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12.∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0，而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6. ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为{x |1<x <6}．[规律方法] 1.在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集.2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.[跟踪训练]1．解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.[解](1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．[思路探究]因式分解→比较根的大小→分类讨论求解[解]原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为：a>0时，{x|－a<x<2a}；a＝0时，x∈∅；a<0时，{x|2a<x<－a}．[规律方法] 1.含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小).2.解含参数的一元二次不等式(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0与等于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. [跟踪训练]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0).[解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a.[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．这说明：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx＋a <0的解集．[思路探究] 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝ca ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53.∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . ∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0.所求不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ，知c ＞0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b c ，x 1x 2＝ac，其中a c ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2，－b c ＝－b a c a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12，∴x 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3，x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.[规律方法] 已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. [跟踪训练]3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a ，2×3＝ca，a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a <0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0)．即6x 2＋5x ＋1<0，解得－12<x <－13，所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13. [当堂达标·固双基]1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 A [因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2．不等式2x ＋1＜1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)A [∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＝2－x －1x ＋1＜0，即x －1x ＋1＞0，∴(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1，∴不等式2x ＋1＜1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________． (1,3) [由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.]4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.－1 1 [由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.]5．解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解高中数学课程集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．。

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的应用同步aa高一数学

解析：25x－(3 000＋20x－0.1x2)≥0，所以 x2＋50x－30 000≥0，得 x≤－200(舍去)或 x≥150，又因为 0<x<240，x∈N，所以 150≤x<240，x∈N. 答案：150
类型 1 分式不等式的解法 [典例 1] 解下列不等式． (1)23xx－＋11≥0；
所以－x≠53≤－x53≤，1，即－53<x≤1. 故原不等式的解集为x－53<x≤1. (2)原不等式可化为xx－＋12－1>0，所以x－1－x＋（2x＋2）>0，所以x－＋32>0，则 x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}．
类型 2 一元二次不等式恒成立问题 [典例 2] 已知不等式 ax2＋(a－1)x＋a－1<0 对于所有的实数 x 都成立，求 a 的取值范围．解：若 a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x－ 1<0，显然它对于任意的 x 不都成立，所以 a＝0 不符合题目要求。若 a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数 x 都成立，所以对应二次函数的图象抛物线必须开口向下，且判别式 Δ<0，
(4)已知不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为∅，则
a>0，
Δ≤0. (
)
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|x－x 2≤0}，
则 A∩B 等于( )
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x<2}
D．{x|0≤x≤1}
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

精品-新人教版高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式及其解法习题课优化练

第2课时一元二次不等式及其解法（习题课）[课时作业] [A 组基础巩固]1．已知A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x －a >0}，A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是( )A ．a ＝3B ．a ≥3C ．a <3D ．a ≤3解析：A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≤0}＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x －a >0}＝{x |x >a }，因为A ∩B ＝∅，所以a ≥3.故选B.答案：B2．已知x ＝2是不等式m 2x 2＋(1－m 2)x －4m ≤0的解，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知，4m 2＋(1－m 2)·2－4m ≤0，∴m 2－2m ＋1≤0.即(m －1)2≤0，∴m ＝1.答案：A3．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1<x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >2}解析：依题意，a >0且－ba＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a (x －2)>0，即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.答案：A4．不等式x2－2x －2x2＋x ＋1＜2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x ＜－2或x ＞2}解析：∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0，原不等式⇔x 2－2x －2＜2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4＞0⇔(x＋2)2＞0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．答案：A5．设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m ∈R|mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系式中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅解析：当m ＝0时，－4<0对任意实数x ∈R 恒成立；当m ≠0时，由mx 2＋4mx －4<0对任意实数x ∈R 恒成立可得．⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16m2＋16m<0，解得－1<m <0，综上所述，Q ＝{m |－1<m ≤0}，∴PQ ，故选A.答案：A6．若关于x 的不等式x －ax ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.解析：x －a x ＋1＞0⇔(x ＋1)( x －a )＞0⇔(x ＋1)(x －4)＞0，∴a ＝4. 答案： 47．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x %，八月份销售额比七月份增长x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2或x %≤－3.2(舍去)，所以x ≥20，即x 的最小值为20.答案：209．解关于x 的不等式mx2mx －1－x >0.解析：原不等式可化为xmx －1>0，即x (mx －1)>0.当m >0时，解得x <0或x >1m ；当m <0时，解得1m <x <0；当m ＝0时，解得x <0.综上，当m >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎪⎪x⎭⎬⎫x<0或x>1m ；当m <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎪⎪x⎭⎬⎫1m <x<0；当m ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}．10．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2>0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2>0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝22－4×2a<0，解得a >12.综上，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[B 组能力提升]1．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解析：设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧＝x2－3x ＋2＞0－＝x2－5x ＋6＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞2x ＜2或x ＞3⇔x ＜1或x ＞3.答案：B2．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：因为α，β为方程f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．a ，b 为 (x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x－b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．如图可知f (x )的图象可由g (x )的图象向上平移2个单位得到，由图知选A.答案：A3．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________．解析：易知函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，因此要使得f (a )＝g (b )，必须有－x 2＋4x －3>－1，即x 2－4x ＋2<0.解得2－2<x <2＋ 2.答案：(2－2，2＋2)4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，则实数k ＝________.解析：设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，将x ＝5代入g (x )＝0，可以解得k ＝365(经检验满足题意)．答案：3655．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x －4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解析：若对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x －4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧－，，－3<2－a<1，即⎩⎪⎨⎪⎧17－6a<0，2a<7，1<a<5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>176，a<72，1<a<5.⇒176<a <72.即存在实数a ∈⎝⎛⎭⎪⎫176，72，满足对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．6．已知函数f (x )＝x2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若对任意a ∈[－1,1]，f (x )>4恒成立，求实数x 的取值范围．解析：(1)对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，即x2＋2x＋ax>0对x∈[1，＋∞)恒成立，亦即x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a>－x2－2x对x∈[1，＋∞)恒成立，即a>(－x2－2x)max(x∈[1，＋∞))．∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，∴当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3(x∈[1，＋∞))，∴a>－3.(2)∵当a∈[－1,1]时，f(x)>4恒成立，则x2＋2x＋ax－4>0对a∈[－1,1]恒成立，即x2－2x＋a>0对a∈[－1,1]恒成立．把g(a)＝a＋(x2－2x)看成a的一次函数，则g(a)>0对a∈[－1,1]恒成立的条件是g(－1)>0，即x2－2x－1>0，解得x<1－2或x>2＋1.又∵x≥1，∴x>2＋1.。

高中数学第三章不等式3.2第2课时一元二次不等式及其解法课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料一元二次不等式及其解法［A组学业达标]1．不等式错误!≤0的解集是（）A．(－∞，－1)∪(－1，2］B．（－1，2］C．(－∞，－1）∪[2，＋∞）D．［－1,2］解析：错误!≤0⇔错误!⇔错误!∴x∈(－1，2］．答案：B2．不等式错误!≤1的解集为(）A．（－∞，1]B.错误!C.错误!D。

错误!∪[1，＋∞)解析：由题意可知，错误!－1≤0⇒错误!≤0⇒错误!⇒－错误!＜x≤1。

答案：C3．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（) A．[－1，4]B．(－∞，－2]∪［5，＋∞）C．(－∞，－1]∪［4，＋∞）D．[－2,5］解析:因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4。

答案：A4．若ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(－4,0）B．（－4，0］C．［0，＋∞) D．［－4,＋∞)解析：若a＝0，则不等式等价为3≥0，满足条件．若a≠0，要使ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则满足｛a＞0，Δ＝a2－4a×(a＋3)≤0解得a＞0,综上可得实数a的取值范围是［0，＋∞)．答案：C5．不等式错误!＜0的解集为()A ．{x ｜－1＜x ＜2或2＜x ＜3}B ．{x |1＜x ＜3}C ．｛x |2＜x ＜3｝D ．｛x ｜－1＜x ＜3｝解析：原不等式等价于错误!解得－1＜x ＜3,且x ≠2。

答案：A6．不等式错误!＜1的解集是________．解析：不等式2x －53x －1＜1可改写为错误!－1＜0，即错误!＜0，即错误!＞0，可化为(x ＋4）(3x －1）＞0，所以x ＜－4或x ＞错误!。

答案：错误!7．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈［0，1］恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：设f (x ）＝x 2－4x ＝(x －2）2－4，所以f (x )在x ∈[0,1］上单调递减，所以当x ＝1时,函数f （x ）取得最小值f （1)＝－3.所以要使x 2－4x ≥m 对于任意x ∈[0，1］恒成立,则需m ≤－3.答案：(－∞，－3]8．若实数a ，b 满足a ＋b ＜0，则不等式错误!＜0的解集为________．解析：原不等式等价于（x ＋a )（b －x ）＜0⇔(x －b )（x ＋a )＞0.又a ＋b ＜0，所以b ＜－a 。

学案3.3一元二次不等式及其解法答案

学案3.3 一元二次不等式及其解法基础梳理2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系【小试身手】1. (1)解析 ∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2.故原不等式的解集为(1,2)．答案 (1,2)(2)解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． (3) 解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.(4)解析：由x 2－4ax －5a 2>0，得(x －5a )(x ＋a )>0，∵ a <0，∴ x <5a 或x >－a . 答案：x >－a 或x <5a2．解析：∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)(x －2)≤0，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]．答案：B3. 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＜0，x 2－3x ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，0＜x ＜3⇒0＜x ＜1. 答案：C 4. 解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎨⎧－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28. 答案 C5．解析：由Δ1<0，即a 2－4(－a )<0，得－4<a <0；由Δ2≥0，即a 2－4(3－a )≥0，得a ≤－6或a ≥2. 答案： (－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)6.[答案] 12[解析] 原不等式可化为(a －1)x ＋1x －1＜0.∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}，∴a －1＜0且－1a －1＝2.∴a ＝12.考向一一元二次不等式的解法【例1】 [审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】解析依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)考向二含参数的一元二次不等式的解法【例2】（１）解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.（２）解：.012<-+ax ax )(* （1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ，此时两根为a a a a x 2421++-=，aaa a x 2422+--=.①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242aaa a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(； ③当4-=a 时，0=∆，21)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->aaa a x 242+--<.综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aaa a 242++-)；当04≤<-a 时，解集为R ；当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); 当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aaa a ).解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】解由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝⎛⎭⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a . 当a ＜0时，2a＜x ＜0. 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ＜x ＜0. 考向三分式及高次不等式的解法【例3】[解析] (1)原不等式可化为(a －2)xx ＋1≥0.①当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ②当a >2时，原不等式的解集为{x |x ≥0或x <－1}． ③当a <2时，原不等式的解集为{x |－1<x ≤0}． (2)原不等式等价变形为x 2－2x －3x 2－3x ＋2>0，等价变形为(x 2－2x －3)(x 2－3x ＋2)>0，即(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －3)>0.由穿根法可得所求不等式解集为{x |x <－1或1<x <2或x >3}．【训练３】[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎨⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以f (x )＝x 22－x (x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x ＜(k ＋1)x －k 2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2时，解集为x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)＞0，解集为x ∈(1,2)∪(2，＋∞)；③当k ＞2时，解集为x ∈(1,2)∪(k ，＋∞)．考向四不等式恒成立问题【例４】[解析] (1)对所有实数x ，不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图像全部在x 轴下方，当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数图像可知， ⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (m －2)<0，解得m <1－2，综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0知g (m )在[－1,1]上为增函数，则由题意只需g (1)<0即可，即x 2＋1－2x －2<0，解得1－2<x <1＋ 2. 即x 的取值范围是(1－2，1＋2)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练４】解法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1].考向五不等式恒成立问题【例5】[分析] 抓住主干，理解题意，正确将不等式关系转化成不等式问题是关键． [解析] (1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝⎛⎭⎫1＋x10元，每月卖出数量为n ⎝⎛⎭⎫1－y10件，每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝⎛⎭⎫1＋x 10·n ⎝⎛⎭⎫1－y 10，所以z ＝(10＋x )(10－y )100. (2)在y ＝kx 的条件下，z ＝1100·⎩⎨⎧⎭⎬⎫100＋25(1－k )2k －k ·⎣⎡⎦⎤x －5(1－k )k 2，由于0<k <1，所以使z 取大值时x 的值是x ＝5(1－k )k. (3)当y ＝23x 时，z ＝(10＋x )⎝⎛⎭⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z >1，应有(10＋x )·⎝⎛⎭⎫10－23x >100，即x (x －5)<0，所以0<x <5，所以所求x 的范围是(0,5)．不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回归实际问题．【训练5】[解析] 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R .由题意，得70(100－10R )R %≥112，整理，得R 2－10R ＋16≤0.∵Δ＝36＞0，方程R 2－10R ＋16＝0的两个实数根为x 1＝2，x 2＝8.然后画出二次函数y ＝R 2－10R ＋16的图像，由图像得不等式的解为：2≤R ≤8.。

学年高中数学第三章不等式.一元二次不等式及其解法第课时一元二次不等式的解法优化练习新人教A版必修

第1课时一元二次不等式的解法[课时作业][A 组根底稳固]1．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |x 2<4}，那么( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ∩N ＝MC ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝R 解析：M ＝{x |0<x <1}，N ＝{x |－2<x <2}，∴M ∩N ＝M .应选B.答案：B2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( )A ．{x |x ≥5或x ≤－1}B ．{x |x >5或x <－1}C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1≤x ≤5} 解析：由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0.因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．答案：B3．不等式x (2－x )＞3的解集是( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜1}C ．{x |x ＜－3或x ＞1}D ．∅ 解析：将不等式化为标准形式x 2－2x ＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x (2－x )＞3的解集为∅.答案：D4．集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6>0}，那么M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}B ．{x |－4<x ≤－2或3≤x <7}C ．{x |x ≤－2或x >3}D ．{x |x <－2或x ≥3}解析：∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，∴M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．答案：A5．假设0＜t ＜1，那么不等式(x －t )(x －1t)＜0的解集为( )A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t或x ＜t } C ．{x |x ＜1t 或x ＞t } D ．{x |t ＜x ＜1t} 解析：∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t， ∴(x －t )(x －1t )＜0⇔t ＜x ＜1t. 答案：D6．假设不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，那么a ＋b 的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，∴a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.答案：－147．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个实根，那么实数m 的取值范围是________．解析：由Δ＝(m －3)2－4m ≥0可得m ≥9或m ≤1.答案：m ≤1或m ≥98．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，，那么不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：当x ≥0时，f (x )＞f (1)＝3，即x 2－4x ＋6＞3，解得0≤x ＜1或x ＞3；当x <0时，f (x )>f (1)＝3，即x ＋6>3，解得－3<x <0.故f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞) 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)9．解不等式0≤x 2－x －2≤4.解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4，解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．10．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－2或x >－12，求ax 2－bx ＋c >0的解集．解析：由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，。

【优化设计】高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)学案设计新人教a版必修5

第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)学习目标1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的解法.2.会解含参数的一元二次不等式.3.能应用一元二次不等式解决简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组解答下列各题:(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是.(2)若关于x的不等式x2+2x+m>0的解集为R,则实数m的取值范围是.(3)已知a<0,则关于x的不等式(x-a)(x+a)<0的解集为.(4)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},则a+b=.二、信息交流,揭示规律问题1:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系?问题2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些?三、运用规律,解决问题题组二:提高型题组【例1】已知关于x的不等式ax2+x+2>0.(1)若该不等式对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数t的值.【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到0.01km/h)四、变式训练,深化提高题组三:反馈型题组变式训练1:若不等式ax2+x+2>0对任意的x∈(-1,2)恒成立,求实数a的取值范围.变式训练2:若将例2中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解.五、反思小结,观点提炼问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组(1)0,4 {x|0<x<4}(2)(1,+∞)(3)(a,-a)(4)-1二、信息交流,揭示规律问题1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形.一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时,自变量的取值.也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自变量的取值集合,也就是函数图象在x轴上方的部分对应的横坐标的取值集合.一元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<x1或x>x2}时,可以得到a>0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x1<x<x2}时,可以得到a<0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.问题2:规律二:首先是二次项系数a的符号;其次是相应一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之,一元二次不等式的系数a,b,c决定了它的解集.因此,当系数a,b,c不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论.三、运用规律,解决问题题组二:提高型题组【例1】解:(1)由题意,得解得a>.(2)由题意,-1,t是关于x的方程ax2+x+2=0的两根,所以解得a=-1,t=2.【例2】解:不等式可化为a(x-1)<0,①当<1,即a>1时,不等式的解集为;②当=1,即a=1时,不等式的解集为⌀;③当>1,即0<a<1时,不等式的解集为.综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为.【例3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h,根据题意,我们得到x+x2>39.5.移项整理得:x2+9x-7110>0,显然Δ>0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94}.在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.四、变式训练,深化提高题组三:反馈型题组变式训练1:解:方法一:设f(x)=ax2+x+2,①当a≥0时,因为-1<x<2,所以x+2>0,故f(x)>0显然成立;②当a<0时,由二次函数图象知,只需即解得a≥-1,所以-1≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是a≥-1.方法二:①当x=0时,不等式ax2+x+2>0显然成立,此时a∈R;②当x≠0时,不等式ax2+x+2>0可以化为a>-2,令t=,则t∈(-∞,-1)∪.由题意,不等式a>-2t2-t在t∈(-∞,-1)∪时恒成立,所以,a≥-1.综上可知,实数a的取值范围是[-1,+∞).变式训练2:解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);②当a>0时,同例2;③当a<0时,因为<1,所以,不等式的解集为∪(1,+∞).综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪(1,+∞).五、反思小结,观点提炼问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想.。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。

高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法课后训练新人教B版必修5(2021学年)

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3。

３一元二次不等式及其解法课后训练１.下列四个不等式：①－x 2＋x+1≥０;②20x +>-;③ｘ2＋６x +１０＞0;④2x 2-3x +４<１.其中解集为R 的是______．A ．① B.② C.③ Ｄ.④2．若{ｘ｜2＜x <3}为x 2+ax ＋b <0的解集，则bx ２＋ax +１>0的解集为( ).A ．｛ｘ|x <2或x ＞３}B ．{x |２＜ｘ<3}C ．1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 3.已知不等式x 2＋ｐx +ｑ＜0的解集为｛x ｜1<x <2｝，则不等式22>056x px q x x ++--的解集是( )．A ．(1，2)Ｂ．(-∞，－1）∪(１,２)∪（6,＋∞)C ．(-1,1)∪（2，6)Ｄ．（－∞,-1）∪（6，＋∞)4．不等式f (x )=a ｘ２-x -ｃ>0的解集为｛ｘ｜-2＜x ＜1｝,则函数ｙ=f （－x )的图象为图中的( )．5.设()1232<2=log 12x e x f x x x -⎧⎨(-)≥⎩，，，，则不等式ｆ（ｘ)>2的解集为（）. A ．（1，2)∪(3，＋∞) B ．(Ｃ．D ．(1，２)６.函数1()=f x x的定义域为＿_＿_＿_． 7.设x 满足不等式组2130,5622,3x x x x (-)(-)>⎧⎪+⎨(+)<⎪⎩则点P （x ＋2,x -2）在第__＿___象限．． 8.求函数y =的定义域. 9．已知ｆ(x ）＝x -2ａｘ＋2,当x ∈［-1,＋∞)时，ｆ(x ）≥a 恒成立，求a 的取值范围．设集合A 为函数y ＝ln （-x 2－2ｘ+8)的定义域，集合B 为函数1=1y x x ++的值域，集合C 为不等式1ax a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x +4)≤0的解集，（１)求A ∩Ｂ;（２)要使C A ⊆R ,求a 的取值范围.参考答案1. 答案：C解析:①④显然不可能；②中△＝2(-->0,解集不是Ｒ;③中△=６２－４×１0＜0,∴选C ．2. 答案：D解析:由题意知，2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝０的两根,由韦达定理，得23=23=a b +-⎧⎨⨯⎩，，解得a ＝－５,b ＝6。