整数指数幂(一)

16.2.3 整数指数幂（一）三维目标一、知识与技能1．进一步理解整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题．2．理解零指数幂和负整数指数幂的意义．二、过程与方法1．在进一步体会幂的意义的过程中，•发展学生的推理能力和有条理的表达能力．2．提高学生观察、归纳、类比、概念等能力．三、情感态度与价值观在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣、培养学习数学的信心，感受数学的内在美．教学重点负整数指数幂的意义及其运算性质．教学难点负整数指数幂的意义．教具准备投影仪．教学过程一、回顾思考、引入新课活动1问题：1．幂的意义．2．正整数指数幂的运算性质有哪些？3．零指数幂的意义．设计意图：通过回顾有关幂的运算性质，帮助学生回顾这些运算性质的得出过程，为探索负整数指数幂的意义及其运算性质打好基础，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯． 师生行为：教师提问，学生回答；学生回答以上问题： 1．幂的意义：n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个=a n2．正整数指数幂的运算性质：（1）同底数幂相乘、底数不变，指数相加． 即：a m·a n=am+n（m 、n 都是正整数）；（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）；（3）积的乘方、等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：（ab ）n =a n b n （n 是正整数）；（4）同底数幂相除、底数不变，指数相减． 即：a m ÷a n =a m-n （a≠0，m 、n 是正整数，m>n ）； （5）分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方． 即：()nnn aab b= （n 是正整数）．3．任何不等于零的数或式的零次幂等于1．即：a ≠1时，a 0=1． 在此次活动中，教师应重点关注：（1）学生对已学过的知识的记忆，及叙述语言的准确性； （2）学生对得出其运算性质的过程的回顾； （3）学生是否积极参与其活动． 二、讲授新课 活动2 思考：一般地，a m 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m表示什么？ 设计意图：学习了分式后，对指数的认识会有新发展，a m 中指数m 为负整数时，a m 就属于分式． 联系已有知识，经过探讨得出新知识，让学生在学习过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦，从而激发学生的学习兴趣． 师生行为：教师提问问题，让学生思考；学生分组讨论，得出结论，教师评价． 师生共同分析：以a 3÷a 5为例． 由分式的约分可知：当a≠0时， a 3÷a 5=3353221a aaa aa==⋅ ①另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质：a m÷a n=a m-n（a≠0，m 、n 是正整数，m>n ）中的条件m>n 去掉，即：假设这个性质对于a 3÷a 5的情形也能使用，则有： a 3÷a 5=a 3-5=a -2 ②由①②两式，我们想到如果规定是a -2=21a（a≠0），就能使a m ÷a n =a m-n 这条性质也适用于像a 3÷a 5这样的情形． 因此，在数学中规定： 一般地，当n 是正整数时， a -n =1na（a ≠0）这就是说：a -n （a≠0）是a n 的倒数．像上面这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数． 在此活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能通过具体事例找到规律；（2）学生是否能经过自己的努力，克服困难，获得解决问题的方法；（3）学生能否理解负整数指数幂的意义． 活动3问题：你现在能说出当m 分别是正整数、0、负整数时，a m 各表示什么意思呢？ 设计意图：从学生已有的知识及其新学内容出发，通过数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识体系，培养合作的意识． 师生行为：教师提出问题，学生分组讨论、归纳． 教师深入小组参与活动，与学生一起探究．正整数幂的意义是表示n 个相同的数相乘．如：a m 表示m 个a 相乘． 当m 是0时，我们规定：a 0=1（a≠0） 当m 是负整数时，规定：a m=1ma-如：103÷103=1，借助于同底数幂的除法可得．103÷103=103-3=100，•因此规定：100=1．一般情况则为：a m ÷a m =1（a≠0）而：a m ÷a m =a m-m =a 0，所以a 0=1（a≠0）而：a m ÷a n =()1()m an an m aa a am n a a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个=1n ma-（m<n ），根据同底数幂除法得：a m ÷a n =a m-n （m<n ，m-n 为负数）令n-m=p ，m-n=-p ，则：a m-n =1n ma-•即：a -p =1pa（a≠0，p 为正整数）．强调：0的0次幂，0的负整数次幂是无意义的，就如同除数为0时无意义一样，•因此在：a 0=1，a -p =1pa中的a 是有限制的．a≠0．活动4问题：引入负整数指数和0指数后，a m ·a n =a m+n （m 、n 是正整数）•这条性质能否扩大到m 、n 是整数的情形．观察： a 3·a -5=3521a aa==a -2=a 3+(-5)， 即：a 3·a -5=a 3+(-5)a -3·a -5=358111aaa⋅==a -8=a-3+(-5)．即：a -3·a -5=a -3+(-5)．a 0·a -5=1·51a=a -5=a 0+(-5)．即：a 0·a -5=a 0+(-5)． 设计意图：数的范围扩大了，相应的性质是否适合．围绕这个问题，展开讨论，让学生亲身经历从已有知识发现新知识，进而获取新知识的全过程，激发了学生的求知欲． 师生行为：学生观察、思考问题，动手验证所找到的规律． 教师深入学生当中，参与活动，倾听学生交流． 归纳： a m ·a n=am+n，这条性质对于m 、n 是任意整数的情形仍然适用．教师在此活动中，应重点关注： （1）学生对知识的积累情况；（2）学生能否主动地与同学合作、交流各自的想法． 活动5 探究：类似于上面的观察，你可以进一步用负整数指数幂或0指数幂来验证：（a m ）n =a mn ， （ab ）n =a n b n ，a m ÷a n =a m-n ．()n nna ab b，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．设计意图：通过学生运用实践，验证上述性质的适用性，进一步培养学生的抽象概括能力及合情推理能力．让学生用语言清楚地表达所得的性质，有利于提高语言表达能力．师生行为：学生分组讨论，动手验证．教师深入到学生的活动中，观察指导学生的探究方法，并倾听同学们的讨论．总结：随着指数的取值范围推广到全体整数，上述性质也推广到整数指数幂．此次活动中，教师应重点关注：（1）学生在小组活动中的参与意识．（2）学生在探索这些性质的适用性时，考虑问题是否全面．（3）学生在小组讨论交流的过程中，是否敢于发表自己的见解，•注意倾听他人的见解，并能重新审视和完善自己的想法．活动6【例9】计算（1）（a-1b2）3（2）a-2b2·（a2b-2）-3【例10】下列等式是否正确？为什么？（1）a m÷a n=a m·a-n（2）（ab）n=a n b-n设计意图：了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功的体验的空间激发学习的积极性、建立学好数学的自信心．师生行为：教师出示例题，学生尝试完成． 教师给予适当的帮助和指导． 例9的解答．解：（1）（a -1b 2）3=a -3b 6=63b a．（2）a -2b 2·（a 2b -2）-3=a -2b 2·a -6b 6=a -8b -8=88b a．例10的解答．解：（1）因为a m ÷a n =a m-n =a m+(-n)，=a m ·a -n ， 所以：a m ÷a n =a m ·a -n ；（2）因为()nnn aab b =a n·1n b =a n b -n，所以：（a b）n =a n b -n ．说明：负数的引入可以使减法转化为加法，即：x-y=x+（-y ）；负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法．即：x y＝x·y -1．三、随堂练习练习：教科书第25页练习 1、2 活动7 设计意图：及时巩固所学知识，了解学习效果． 师生行为：学生独立完成；教师巡视、指导、及时纠正错误． 四、课时小结 活动8小结：本节学习了哪些内容？重点掌握整数指数幂的运算法则，注意运算顺序及符号．布置作业习题16．2 7设计意图：学生归纳本章主要内容，交流在探索过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验．通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况．师生行为：教师布置作业．学生独立完成作业．板书设计16．2．3 整数指数幂（一）1．回顾正整数指数幂的运算性质a m·a n=a m+n（a m）n=a mn（ab）n=a n b na m÷a n=a m-n（a≠0）()n nna ab ba0=1（a≠0）a-p=1pa（a≠0）2．负整数指数幂一般地，当n是正整数时a-n=1na（a≠0）3．指数为全体实数时，幂的运算性质成立4．例题5．练习6．小结活动与探究解关于x的方程（x-1）|x|-1=1过程：这个方程是一个指数方程，乍一看无从下手，但冷静思考后你会发现方程的左边是幂的形式，右边是1，一个数的幂是1．有三种情况：其一：1n=1；•其二：（-1）2n=1；其三：a0=1（a≠0），所以解此方程只需抓住这三点便能解决．结果：解：分三种情况．（1）当x-1=1时，即x=2时，方程左边=1|2|-1=1，右边=1所以左边＝右边，因此x=2是此方程的解．（2）当x-1=-1时，即x=0时，方程右边＝（-1）|0|-1=（-1）-1=-1，右边＝1，所以，•左边≠右边，因此x=0不是方程的解．（3）当│x│-1=0且x-1≠0时，即x=-1时，方程左边＝（-1-1）|1|-1=（-2）0=1．•右边＝1，所以，左边＝右边，因此，x=-1是方程的解．综上所述，方程的解为2或-1．备课资料分式求值问题的解题技巧（二）六、特殊值法【例6】（2004年安庆市初中数学竞赛题）已知abc≠0，且a+b+c=0，则a111111()()()b ca c c a a b+++++的值为_______．解：依题意，不妨令a=1，b=1，c=-2，则原式=（1-12）+（-12+1）-2（1+1）=-3．评注：根据填空题的特点，取满足条件的a、b、c的特殊值，问题立即获解，令人耳目一新．七、解方程（组）法【例7】（2003年合肥市初中数学竞赛题）已知x 、y 、z 、a 、b 、c 都为实数，•且1,x y z a b c a a a x y z++=++=0，求222222x y z abc++的值．解：由已知得abc≠0，xyz≠0．将x y z abc++=1两边平方得222222222x y zx y x z y zabc a b a c b c+++++=1 ① 将x b c ayz++=0两边同乘以xyz abc，得yz xz xy bcacab++=0． ②①-②×2得222222x y z abc++=1．评注：将待求值的分式整体视为一个未知数，再利用已知条件，通过解方程或方程组求出这个未知数．八、构造一元二次方程法【例8】（2002年沈阳市初中数学竞赛题）已知2a 2-7a=-2，2β2+2=7β，且α≠β，求22αββα+的值．解：由已知条件，得2a 2-7a+2=0，2β2-7β+2=0．因α≠β，故是一元二次方程2x 2-7x+2=0的两个不等实根． ∴α+β=72，αβ=1，于是，原式=33αβαβ- =α3-β3= （α-β）（α2+αβ+β2）2[()]αβαβ+-27[()1]2-=±评注：这里不直接求α与β的值，而是从α与β所满足的方程的共同特征出发，构造出一个一元二次方程，使问题顺序获得解．九、整体拆出法【例9】（2004年太原市初中数学竞赛题）若实数x 、y 、z 满足3x+7y+z=•1•和4x+10y+z=2005，求分式3200420042004x yx y z +++的值．解：由题意得方程组371,4102005.2(3)()1,3(3)()2005.32004,4007.x y z x z x y x y z x y x y z x y x y z ++=⎧⎨++=⎩++++=⎧∴⎨++++=⎩+=⎧⎨++=-⎩解之得于是原式= 312004()4007x yx y z +=-++．评注：这里待求分式的分母是2004（x+y+z ），分子是x+3y ，尝试从已知的不定方程组中整体拆出x+y+z 和x+3y ，果然获得成功，再整体消元就能立即求出x+y+z 与x+3y 这两个整体的值．十、竖式相除法【例10】（2002年杭州市初中数学竞赛题）已知x 2-5x+1=0，求4322291021x x x x x ---++的值．解：视2x 4-9x 3-x 2-10x+2为被除式，x 2-5x+1为除式，利用竖式相除法得2x 4-9x 3-x 2-10x+2=（2x 2+x+2）（x 2-5x+1）+（-x ）．∵x 2-5x+1=0．∴2x4-9x3-x2-10x+2=-x．再由x2-5x+1=0，得x2+1=5x．于是原式=1 55xx-=-．评注：这里多项式2x4-9x3-x2-10x+2的次数高于多项式x2-5x+1的次数，•将它们整体相除，进而将第一个多项式降次（变为-x），使复杂问题简单化．竖式相除法是解决这类问题的有效方法．以上介绍了初中数学竞赛中分式求值问题的十种解题技巧，解题的关键在于把握相关式子（已知的或待求的）在整体上的结构特点，选择恰当的技巧，有时候需要几种技巧融为一体，共同发挥作用．。