随机信号分析第二章 随机信号
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通信原理第2章-随机信号分析
1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
随机信号分析第2章--随机信号
18
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
《随机信号分析基础》第2章 课件_随机信号时域分析
随机过程的一维统计特性具有普通随机变量的各种性质，区别在它们同时还是时间t 的函 数。“一维”只描述出随机过程在各个孤立时刻（任一时刻）的统计特性，没有反映各时刻之 间的内在联系 Þ 用“n 维”更为全面。 （2）二维分布
二维概率分布函数： X(t1)与 X(t2 ) ， FX (x1, x2;t1,t2 ) = FX (x1, x2 ) = P[X(t1) £ x1, X(t2 ) £ x2 ]
= E {X 2(t) - mX2 (t) - 2X(t)mX (t)} = E {X 2(t)} - mX2 (t)
【含义】 ① t2(t) ----随机信号在t 时刻取值相对于中心（均值）的偏离程度。 t(t)称为标准差。
② 若 X(t)为归一化阻抗下的电压或电流，则 E {X 2(t)}表示时刻t 上的瞬时总功率的统计平
若 n 阶偏导数存在，可有 n 维概率密度函数
fX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn )
=
¶FX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn ) ¶x1¶x2 × × × ¶xn
显然，n Þ 反映“内在联系”愈充分，也就越为完整地描述随机过程的全部统计特性。
2、定义 令随机试验的概率空间为 {W, F, P} ，若对于样本空间 W 中的任何一个样本点
xi Î W ，总有一个确知函数 xi = X(t, xi )，t Î T 与之对应，这样对于所有的 x Î W ，就可得 到一族关于t 的函数 X(t, x) ，称为随机信号。
族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。随机信号 X(t, x)常简记为 X(t)，对应的 样本函数简记为 x (t ) 。
2.1.3 随机过程的数字特征
通信原理 第2章 确定信号和随机信号分析
其中: a t 是包络函数；c 是中心频率； t 是随机相位函数。
②上式利用三角函数和角公式，可写成
t a tcos tcosct sin tsin ct
其中 c tcosct s tsin ct
c t s t
a a
tcos t t 的同相分量 tsin t t 的正交分量
双边能量谱密度（焦耳/ 赫兹）
③
G
2E
0,
,
R E
0 0
单边能量谱密度（焦耳/ 赫兹）
R
f
*t
f
t
dt
E R0
2.2 确定信号的表示
(2) 功率信号：平均功率有限的信号f t F
① S lim 1 T T
T /2
T / 2 fT t
2 dt 1
2
lim FT
：
Fn
1 T
FT
n0
Fn
2
1 T
PT
() n0
④ Fn 与 f t
：
F
2 Fn
n0
n
P 2
Fn 2
n0
n
R
Fn
2 e jn0t
n
2. 3 随机过程
设 t是一个随机过程，任意时刻
机变量，定义：Page 13
t1上 t1 是一个随
1 t
v1
总体： t
t
2 t
1 T
T
2
T 2
xt
xt
dt
①各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态 似的。
②任一实现都能代表整个随机过程。
③各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历 经过程。
第二章 随机信号分析复习-2009
一个信号f(t)作用在1Ω电阻上， 一个信号f(t)作用在1Ω电阻上， f(t)作用在1Ω电阻上 其瞬时功率为： 其瞬时功率为：p=|f(t)|2 消耗的能量为： E = 消耗的能量为：
∞
∫
−∞
f 2 (t)dt
T∫
T /2 −T / 2
平均功率为： 平均功率为： P = lim 1
T→ ∞
f (t) dt
τ A τ τ πτ A πτ A 2 Cn = , Sa Sa , T T T T T τ 1 1 1 设 ： = ，τ = ， = T T 5 20 4
A/5
… …
离散频谱
ω
-40π -24π -8π 0 8π 24π 40π
周期矩型脉冲频谱特点
1、离散性：由不连续的线条组成; 、离散性：由不连续的线条组成 2、谐波性：线条之间的距离相等， 、谐波性：线条之间的距离相等， 谐波频率与基波频率间有简单的 整数倍关系。 整数倍关系。
2 −∞
∞
1、 对于能量信号
E = (1 / 2π )∫
∞
−∞
ε (ω )dω = (1/ 2π )∫
f
∞
−∞
| F (ω ) | dω
2
因此能量谱为
ε (ω ) = F (ω )
f
2
可以看出能量谱是一个实偶函数，所以有
E = (1 / π )∫
∞
0
ε (ω )dω
f
2、对于一般的功率信号
将 f(t) 截短成 fT(t),即 fT(t)= f(t) , 0, | t | < T/2 其它 t
2
∞
∞
= (1 / 2 π )∫ F(ω) F (ω)dω
∞
∫
−∞
f 2 (t)dt
T∫
T /2 −T / 2
平均功率为： 平均功率为： P = lim 1
T→ ∞
f (t) dt
τ A τ τ πτ A πτ A 2 Cn = , Sa Sa , T T T T T τ 1 1 1 设 ： = ，τ = ， = T T 5 20 4
A/5
… …
离散频谱
ω
-40π -24π -8π 0 8π 24π 40π
周期矩型脉冲频谱特点
1、离散性：由不连续的线条组成; 、离散性：由不连续的线条组成 2、谐波性：线条之间的距离相等， 、谐波性：线条之间的距离相等， 谐波频率与基波频率间有简单的 整数倍关系。 整数倍关系。
2 −∞
∞
1、 对于能量信号
E = (1 / 2π )∫
∞
−∞
ε (ω )dω = (1/ 2π )∫
f
∞
−∞
| F (ω ) | dω
2
因此能量谱为
ε (ω ) = F (ω )
f
2
可以看出能量谱是一个实偶函数，所以有
E = (1 / π )∫
∞
0
ε (ω )dω
f
2、对于一般的功率信号
将 f(t) 截短成 fT(t),即 fT(t)= f(t) , 0, | t | < T/2 其它 t
2
∞
∞
= (1 / 2 π )∫ F(ω) F (ω)dω
第二章随机信号分析基础习题
2.6
解:由图可得下表 ξ1 ξ2 ξ3
X(2) 3 X(6) 5
所以：
4 7
6 2
1 14 E[ X (6)] (5 7 2) ; 3 3 1 55 E[ X (2) X (6)] (3 5 4 7 6 2) ; 3 3
出现一个典型的错误：
1 13 E[ X (2)] (3 4 6) ; 3 3
2
0
cos( ot )d
由定义先求出均方值，就可以得到方差：
E[ X (t )] E[a cos (0t )] 2 1 cos(2 0 t 2 ) E[a ] 2 2 2 a a 2 cos(2 0t 2 )d 22 2 0 a 2
2.12 证明：
dX (t ) E[ X (t ) ] dt
X (t t ) X (t ) E[ X (t )lim ] t t 0
E[ X (t ) X (t t )] E[ X (t ) X (t )] lim t t 0
lim
t 0
RX (t , t t ) RX (t , t ) t
3、随机过程的数字特征 数学期望
m X (t ) E[ X (t )] x p X ( x; t )dx
2 X 2
2 ( t ) E [ X ( t )] x 均方值 p X ( x ; t )dx
2 2 ( t ) D [ X ( t )] E [{ X ( t ) m ( t )} ] 方差 X
第二章 随机信号概论
本章要点： 1、随机过程的概念 可理解为依赖于时间t的一族随机变量或 随机试验得到的一族时间t的函数。 2、随机过程的概率分布
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第2章
一维概率分布函数为
FX(x; t)=P［X(t)≤x］ 一维概率密度函数为
（2-3）
fX
( x; t )
FX (x;t) x
（2-4）
第二章 随机信号的基本概念
与随机变量不同的是， 随机信号的一维概率分布或概率 密度函数不仅是状态x的函数， 也是时间t的函数。 图2-9给 出了一维概率密度函数示意图。
计算二元变换的雅可比行列式
g1 J = a
g2 a
g1 1
g2
=
cos 0t1+ cos 0t2 +
a a
cos cos
0t1 0t2
+ +
1
=
a
sin
1
0
t1
t2
第二章 随机信号的基本概念
1
a2
fX x1,x2;t1,t2
fA (a, )
J
2π
2
sin
0
t1
t2
exp
2
2
第二章 随机信号的基本概念
图2-5 脉冲信号发生器的典型波形
第二章 随机信号的基本概念
（3） 连续型随机信号(时间连续、 状态连续)。 例如随机正弦信号X(t)=acos(ωt+θ)， 式中a, ω, θ 部分或全部是随机变量。 图2-6示出了它在某个变量是随机 变量、 其他两个为常数时的典型波形。
y
mY
2
2 Y
2
第二章 随机信号的基本概念
在t=t1时刻， X(t1)是一个随机变量， 令 X1=X(t1)=Ycosω0t1， 根据一维随机变量函数的变换， 需求 出反函数及其导数：
Y X1 ,
cos 0t1
第二章-信号分析与信息论基础
设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1 上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统 计特性，可以用概率分布函数或概率密度函数去描述。
4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的 数学期望被认为是时间t的函数。
2.1 确知信号分析
信号是通过电的某一物理量（如电压或电流）表 示出的与时间t之间的函数关系。 确知信号：能用函数表达式准确表示出来的信号。它 与时间的关系是确知的。 随机信号：与上述相反。
通信中传输的信号及噪声都是随机信号。
2.1.1 周期信号与非周期信号 周期信号：满足条件 s(t)=s(t+T0) -∞＜t＜∞，T0＞0 非周期信号：不满足上述条件。 功率信号：信号在（0，T）内的平均功率S(式2-2)值为 一定值。 能量信号：当T→ ∞时，式(2-3)是绝对可积的。
解： Γ[COS ω0 t]= π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] 冲激 强度为π，根据卷积定理：
Γ[f(t)COS ω0 t] =（1/2 π)F(ω)* {π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] }
=(1/2) [F(ω- ω0)+ F(ω+ω0)]
2.1.3 信号通过线性系统
线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许
说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足：
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程 广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差 与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随
4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的 数学期望被认为是时间t的函数。
2.1 确知信号分析
信号是通过电的某一物理量（如电压或电流）表 示出的与时间t之间的函数关系。 确知信号：能用函数表达式准确表示出来的信号。它 与时间的关系是确知的。 随机信号：与上述相反。
通信中传输的信号及噪声都是随机信号。
2.1.1 周期信号与非周期信号 周期信号：满足条件 s(t)=s(t+T0) -∞＜t＜∞，T0＞0 非周期信号：不满足上述条件。 功率信号：信号在（0，T）内的平均功率S(式2-2)值为 一定值。 能量信号：当T→ ∞时，式(2-3)是绝对可积的。
解： Γ[COS ω0 t]= π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] 冲激 强度为π，根据卷积定理：
Γ[f(t)COS ω0 t] =（1/2 π)F(ω)* {π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] }
=(1/2) [F(ω- ω0)+ F(ω+ω0)]
2.1.3 信号通过线性系统
线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许
说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足：
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程 广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差 与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
2. 随机信号分析_随机信号的时域分析
2· 4、随机过程的数字特征 1·
一、数学期望
如果将过程X(t)中的 t 看成是固定的，则 X(t)就是一个随机变量， 它随机的取值x，其在 t 时刻取x值的概率密度为 f X ( x, t ) 。 据期望的定义： E[ X (t )]
x f X ( x, t )d mX (t )
X (t ) X (t1 ) 0 t1 X (t 2 ) t2 X (ti ) ti X (t n ) tn t
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1) ,X(t2) ,…,X(tn)构 成n维随机变量[ X(t1),X(t2),…,X(tn) ]，当t0,n ∞时的 n维随 机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研 究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。 一、随机过程的一维分布
整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。
所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：
FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 ; X (t 2 ) x2 }......... .........1 , t 2 T t
随机过程X(t) 二维概率密度：
E[ X (t )] x 2 f X ( x, t )dx
2
将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。 同理，过程X(t)的方差：
D[ X (t )] E{[ X (t ) mX (t )] } [ x mX (t )]2 f X ( x, t )dx X 2 (t )
可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)， t∈T，∈S。 对于某个时刻t=ti， X(ti，) －通常称为随机过程X(t，)在t=ti时刻 的“状态”。它仅是参变量的函数，对所有实验结果∈S而言， 它随机地取{X(ti ，1) ， X(ti ，k)，… ， X(ti，n)} 中的任一个 “值” 所以随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态” －X(ti，) 是定义 在S上的一个“随机变量”Xi。 而随机过程X(t，)在t=tj时刻的 “状态” － X(tj，)是定义在S上的另一个“随机变量”Xj 。随着t 的变化，得到一个个不同的“状态” ——X(t1，) ,…,X(ti，), …, X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2, …, Xm。所以又可以将随机 过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t) ”。对于随机过 程X(t)而言： 固定， t变化。 ———一个确定的时间函数。 t 固定， 变化。 ———一个随机变量（状态）。 t固定， 固定。 ———一个确定的值。… ， X(t， n)}， t变化， 变化。 ———随机过程（一族时间函数的总体， 或随时间变化的随机变量） 一般随机变量写成:X,Y,Z。一般随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t) 一般样本函数写成: x(t ), y(t ), z (t )
随机信号分析基础
1
x 2 (t )
0
t1
x 2 (t1 )
τ
x n (t ) x n (t1 )
x n (τ )
0
t1
τ
t
图 2.2.2 随机信号的 N 次记录 接下来考虑随机信号精确的数学描述。 如图 2.2.2 ， 对一个信号进行了 N 次记录 ( N 次 试 验 )， 得 到 N 个 随 时 间 变 化 的 函 数 (即 每 次 记 录 都 是 时 间 的 函 数 )， 记 为
第二章 随机信号分析基础 ........................................................................................... 25 § 2. 1 概述 ............................................................................................................. 25 § 2. 2 随机信号的概率结构 ................................................................................... 28 § 2. 2. 1 概率论基本概念 ............................................................................... 29 § 2. 2. 2 随机信号有限维概率密度及数字特征 ............................................. 32 § 2. 3 随机信号的平稳性 ...................................................................................... 34 § 2. 4 离散随机信号和复随机信号 ....................................................................... 37 § 2. 4. 1 离散时间随机信号及其数字特征 .................................................... 37 § 2. 4. 2 复随机信号 ...................................................................................... 39 § 2. 5 随机信号的遍历性 ...................................................................................... 40 § 2. 5. 1 总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征 .......................... 40 § 2. 5. 2 平稳随机信号的遍历性 .................................................................. 41 § 2. 6 平稳随机信号的功率谱密度 ....................................................................... 43 § 2. 6. 1 维纳 — 辛钦定理 ............................................................................... 44 § 2. 6. 2 功率谱密度的性质 ........................................................................... 45 § 2. 6. 2 离散随机序列的功率谱密度 ............................................................ 47 § 2. 7 几种常见的随机信号 ................................................................................... 49 思考题 .................................................................................................................... 52 习 题 .................................................................................................................... 53
第二章 随机 信号分析
第二章 随机信号分析 Analysis for Random Signal
2.1 概率、随机变量、概率分布
Probability, stochastic variable , probability distribution
2.2 随机变量的数字特征
Digital stencil of stochastic variable
一、随机过程(Random processes) 概念
事物变化
确知过程 随机过程
如 y=sint
如 噪声y=n(t)
下一
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定义1: 随机过程就是一个全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定时
间函数，而随机性就表现在出现哪一个实现是不确定的.
(t) xi(t) ，i=1,2,……n……
（2） （3）
=1
f (=x)dx
b a
f
= F(b)-F(a)
(x)dx
=b P{a≤X<b}
f (x)dx
a
f (x)dx
上一
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2.2 随机变量的数字特征 Digital stencil of stochastic variable
一、数学期望(Mean)
1.离散随机变量
k
E X xi P(xi)
① | | 1
② 相关性:若
，则X，Y线性不相关
0 ③ 独立（Independent）与相关（Correlation） ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱY
统计独立 不相关
不相关 统计独立
一定 不一定
上一 页
四、几种典型的概率分布 (Several representative probability distribution)
2.1 概率、随机变量、概率分布
Probability, stochastic variable , probability distribution
2.2 随机变量的数字特征
Digital stencil of stochastic variable
一、随机过程(Random processes) 概念
事物变化
确知过程 随机过程
如 y=sint
如 噪声y=n(t)
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定义1: 随机过程就是一个全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定时
间函数，而随机性就表现在出现哪一个实现是不确定的.
(t) xi(t) ，i=1,2,……n……
（2） （3）
=1
f (=x)dx
b a
f
= F(b)-F(a)
(x)dx
=b P{a≤X<b}
f (x)dx
a
f (x)dx
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2.2 随机变量的数字特征 Digital stencil of stochastic variable
一、数学期望(Mean)
1.离散随机变量
k
E X xi P(xi)
① | | 1
② 相关性:若
，则X，Y线性不相关
0 ③ 独立（Independent）与相关（Correlation） ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱY
统计独立 不相关
不相关 统计独立
一定 不一定
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四、几种典型的概率分布 (Several representative probability distribution)
第二章 随机过程
• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 • 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
程孤 立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多 时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程 在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差 等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数 ； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱 密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都 是随机变量。 随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与 和 都有直接的关系，是 二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相 关函数也将会含有一个常数项 。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在 整个频率轴上是非负的，即
且对于所有 都成立。 注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程 具有以下四种含义：
1.若 和 在发生变 一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成 了随机过程的完整概念； 2.若和 都固定，则随机过程是一个 确定值；
3.若 取固定值，则随机过程是一个确定 的时间函数，即样本函数,对应于某次试 验的结果；
4.若 取固定值，则随机过程是一个随 机变量；
图 随机过程数字特征
例2-14.设随机过程 的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。 解:
随机信号分析(2-4章)
求： 解：
1 1 F ( , x ), F (1, x ), F ( ,1, x1 , x2 ) 2 2
1 0 cos , 1 2 2 t 时，X ( 1 ) 2 1 2 1 2 , 1 2 2
1 - 1 cos( t ), 2 t 1时，X（ 1 ） 2 2 1, 1 2
例3 求随机二进制信号的均值和自相关函数
半随机独立二进制（观察信号的起始时刻为每个时 隙的起点）
随机二进制信号（观察信号的起始时刻在一个时隙 均匀分布）
解：
E[ X (t0 )] 0 q 1 p p R X (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( R半随机 (t1 , t2 )) E E X [ X (t1 ) X (t2 ) / ]
一维分布函数
FX ( x1, n1 ) P{ X ( n1 ) x} 0, x 0 q,1 x 0 1, x 1
一维密度函数
f x ( x1, n1 ) q ( x) p ( x 1)
例2 利用投掷硬币的实验 定义R.S
cost X (t ) 2t 1 2 1 硬币出现反面而且概率 为 2 硬币出现正面而且概率 为
2 密度函数
F ( x, t ) x F ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) x1x 2 f X ( x, t ) F ( x, t )
2.1.3 随机过程的数字特征
第二章随机信号分析
• 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
5
样本空间
S1 S2 Sn x 2(t) t x 1(t) t
ξ (t)
x n(t) t tk
• 样本函数的总体
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 6
2.1.1 随机过程
• 随机过程具有随机变量和时间函数的特 点。 • 在进行观测前是无法预知是空间中哪一 个样本。 • 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t 变化的随机变量。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
13
2.2.1定义 定义
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
14
2.2.3平稳随机过程自相关 平稳随机过程自相关 函数的性质
• 平稳随机过程的自相关函数特别重要。
– 其统计特性，可通过自相关函数来描述； – 自相关函数与谱特性有着内在的联系。
• 设ξ(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关 函数 R (τ ) = E [ξ ( t )ξ ( t + τ )]
自协方差函数和自相关函数
B(t1 , t2 ) = E {x (t1 ) - a (t1 ) ] x (t2 ) - a (t2 ) ] [ [ }
=
蝌
- ?
ゥ
[ x1 - a (t1 )][ x2 - a (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
R(t1 , t2 ) = E [ (t1 )x (t2 ) ]= x
通信原理
第二章 随机信号分析 刘柏森
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 1
随机信号分析 第二章随机信号概论
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
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随机信号分析第2章随机信号
第2章随机信号
第2章随机信号
2.1 定义与基本特性
2.2 典型信号举例
2.3 一般特性与基本运算
2.4 多维高斯分布与高斯信号
2.5 独立信号
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.1 定义与基本特性
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.2 典型信号举例
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算
2.3 一般特性与基本运算。