最新人教版高中数学选修1.5.3定积分的概念 (8)ppt课件

(3)24
x2
2xdx
9 4
9. 已知f(x)是连续函数，若
f(x)dx＝1，02
f(x)dx＝0，
2则
2
f(x)dx＝________.
0 2
解析：由定积分的性质：
f(2x)dx＝ f(x)d0x＋ f(x)dx， 2
2
2
0
得 f(0x)dx＝ f(x)dx2－ f(x)dx＝0－2 1＝－1.
C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
2．若f′(x)＝cos x，则可有f(x)＝________.
sin x
3．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin3x围成的平面图形的面积可以表示
为( )
D
A. (x13＋1 sin3x)dx B. (x131＋sin3x)dx
2
2
0
答案：－1
10．已知f(x)是一次函数，其图象经过点(0,0)，且 f(x)dx＝1，求f(x)的1 解析 0
式．
解析：设f(x)＝kx，如右图三角形的面积S＝ ×1×k＝1，
1 2
所以 k＝2.
即f(x)＝2x.
11.
2 0
4d－x＝x2________.
解析：积分
02dx4表－示x如2 下图所示的圆的面积的 .
x4， －xx∈ ，求[x0∈ f， (x[)22在，区3间[0,5]上的定积分． 52－2x，x∈[3，5]
由定积分的几何意义得：
3 3
9－x2dx＝π×2 32＝92π，
3 3
x3dx＝0.
由定积分性质得
3 3
(
3 3
x3dx＝92π.
9－x2 －x3)dx＝
值．
b a
谢谢观看！
b a
B. [f(bax)＋1]dx＝ f(x)dx＋ba b－a
C.
f(xba)g(x)dx＝
f(x)dx·ba
g(x)dx
b a
D.
s2i2nxdx＝
sin xd02x＋
sin xdx
2
0
解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立．
例如
xdx10＝
， x212dx＝10 ，
1 4
答案：π
12．已知 f(x)d10x＝cos x| ，求f(x)的10表达式．
解析：∵(cos x)′＝－sin x，f＝ －sin x＋c(c 为x任意常数)．
1．用定义求解定积分 f(x)dx时，ba 其解题步骤为：①分割；②近似代替；③求和；
④取极限．
2．定积分 f(x)dbax的几何意义可以是面积，可通过求面积去求定积分 f(x)dx的
(4) 取极限．
当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，
Sn＝161－1n2－1n趋向于 10x2dx，从而有
1 0
x2dx＝linm→∞Sn＝linm→∞
161－1n2－1n＝13.
跟踪训练
1．利用定积分的定义，计算 (3x＋2)dx的 12值．
5 3
52－2x
跟踪训练 3．已知函数f(x)＝
x23x， ，xx∈ ∈求[[f－ (2x， )2在， π区2， 间， [－2,2π]上的积分． cos x，∈[π，2π]，
解析：由定积分的几何意义知
x3dx＝0，
2 2
2x2dx＝
π－2＝2ππ＋ 2－44，
1 0
10xx22ddxx≈≈SSn＝ n＝i＝ni＝ 1nΔ1ΔSiS′i′＝＝i＝n1i＝ fn1if－ ni－ 1n·1Δ·xΔx
＝ ＝＝ ＝n01n0· 311n[· 311n＋ [12＋ ＋ 2＋ n12n1222·＋ 12n2·＋ ＋ 1n… ＋… …＋…＋ ＋(＋ n(－ nn－ － nn1－ )1n12]2)1· 21n]2·1n ＝＝161611－－1n1n2－ 2－n1n1. .
4．直线x＝0, x＝π，y＝0与曲线y＝sin x所围成的图形的面积用积分表示为 ________．
0sin xdx
5．用定积分表示下图中阴影部分的面积．
答案： S＝ fba1(x)dx－ f2(x)badx
6．定积分
x3dx的1 取值的符号为________， 0
x正3dx的取值的符0号1 为______，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2× 23×12＝ 23，
3
∴
2 3
1－x2dx＝π3－
43＋
23＝π3＋
3 4.
2
跟踪训练
2．根据定积分的几何意义推出下列定积分的值：
(1) xd1x1；(2) cos xd02x；(3) |x|dx.
1 1
解析：(1)如图①， xdx＝(－11A1＋A1)＝0.
x3dx的取值的符负号为_____1___． 1
0
自测自评
1．定积分 A．1
dx的02 值2x 等于(
)
B．2Biblioteka C．3D．4解析：定积分 ＝ ×2×1＝1.
答案：A
dx等于02 2x直线y＝ 与x＝0，x＝2x2，y＝0围成的三角形的面积，S 1 2
2．下列等式不成立的是( )
A. [mbaf(x)＋ng(x)]dx＝m f(x)dx＋nba g(x)dx
叫做积__分__区__间______．
被积函数
3．定积分 f(x)dbax(f(x)＞0)的几何意义是什么？
答案：几何意义是：由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯 形的面积．
例如： 定积分 x3dx的02几何意义是
______由__直__线__x_＝__0_，__x_＝__2_，__y_＝__0_和__曲__线__y_＝__x_3所__围__成__的__曲__边__梯__形__的__面__积________．
(1) (3x3＋1 1)dx；(2)
3
－2d3x. 1－x2 2
解析：(1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示． (3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴
上方的面积31减去在x轴下方的面积，
∴ 31(3x＋1)dx
b a
f(x)dx
例如：函数f(x)＝x2在[0,1]上的定积分，记作__________，即
1 0
x2dx
________10_f_(_x_)d_x_＝ __ln_i→m _∞_i＝ _n_1 _1n_(_ξ_i)_2_．
2．函数f(x)在[a，b]上的定积分 f(x)dx，区间ba[a，b]叫做____________，函数f(x)
1 4
用定义求定积分
用定积分的定义计算：
x2dx.
1 0
解析：(1)分割． 将区间[0,1]分成n等份， 0＜1n＜2n＜…＜n－ n 1＜nn＝1， 分割后的区间长为 Δx＝ni －i－n 1＝1n.
(2)近似代替．
第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
ΔSi≈ΔSi′＝fi－n 1·Δx＝ i－n 12·1n(i＝1,2，…，n)． (3)求和．
导数及其应用
§1.5 定积分的概念 1．5.3 定积分的概念
1．了解定积分的概念． 2．会用定义求一些简单的定积分．
基础梳理
1．连续函数f(x)在[a，b]上的定积分，记作________，即
____________ba_f(_x_)_d_x_＝__lni→ _m∞ __i_＝n_1_b_－ _n__a_f(_ξ．i)
分析：用定义求定积分的方法步骤是：分割、近似代 替、求和、取极限．
解析：令f(x)＝3x＋2，(1)分割．在区间[1,2]上等间隔 地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间 n＋ni－1，n＋ n i (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝ n＋ n i－n＋ni－1＝1n.
3 3
9－x2 dx－
(2)由定积分的几何意义得：
xd02x＝A1＝ ×2×122＝2.
(432－x)dx＝A2＝ ×(1＋212)×1＝ ， dx53＝A3＝ ×2×12 1＝1.
∴ f(x50)dx＝ xdx＋02 (4－x)dx32＋
2＋ ＋321＝ .
9 2
3 2
dx＝
② [f1b(ax)±f2(x)]dx＝
f1(x)dx±ba f2(x)dx；
b a
③ f(xb)dx＝ f(x)dxc＋ f(x)dx(a＜bc＜b)；
a
a
c
④ f(xb)·g(x)dx＝ f(x)dx·b g(x)dx. b
a
a
a
其中正确的有_______①_．②③
(2)如图②， cos x02dx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图③，∵A1＝A2，∴ 应各处的面积)
|x|dx＝2A11＝1 2× ＝1.(A1，A2，A312分别表示图中相
利用性质求定积分
(1)计算 (2)已知f(x)＝
解析：(1)如图：
(
33－x3)9d－ x的x值2 ；
(2)近似代替．
取ξi＝
n＋i－1 n
(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积代替小
曲边梯形的面积ΔSi＝f(ξi)·Δx.
(3)求和．所有这些小矩形面积的和
n
n
Sn＝i＝ Σ1f(ξi)Δx＝i＝ Σ1 (3ξi＋2)Δx
n
＝i＝ Σ1
3n＋ni－1＋2·1n
n
＝i＝ Σ1
3in－2 1＋5n