第十届耀华杯学科知识竞赛初二数学

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八年级数学上学期竞赛选拔试题试题

八年级百科知识竞赛选拔〔数学〕试卷一、选择题〔每一小题4分，一共20分〕1．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天较第二天增加了10%，那么第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是〔〕A．一样多 B．多了 C．少了 D．多了或者少了的可能性都有2．△ABC中，假设AB=π，BC=1+2，CA=7，那么以下式子中能成立的是〔〕A．∠A＞∠C＞∠B B．∠C＞∠B＞∠AC．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B3．正方形ABCD的边长为4，E、F、P分别为AB、BC、DA上的点，且AE＝BE，DP＝3AP〔F为动点〕，那么EF＋FP的最小值为〔〕AC．102D．以上都不对〔第3题图〕〔第4题图〕4．如图△ACB和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDC=90º，连AE、EB，点M为BE的中点，连结DM，假设点D在BC上，那么AEDMBE =〔〕ACA ．25B ．23C ．47 D ．595．如图，汽车在东西向的公路l 上行驶，途中A ，B ，C ，D 四个十字路口都有红绿灯．AB 之间的间隔为800米，BC 为1000米，CD 为1400米，且l 上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或者同时亮绿灯，每次红〔绿〕灯亮的时间是一样，红灯亮的时间是与绿灯亮的时间是也一样．假设绿灯刚亮时，甲汽车从A 路口以每小时30千米的速度沿l 向东行驶，同时乙汽车从D 路口以一样的速度沿l 向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，那么每次绿灯亮的时间是可能设置为〔〕A ．50秒B ．45秒C ．40秒D ．35秒二、填空题〔每一小题4分，一共20分〕 6．设a △b=a 2-2b ，那么(-2)△(3△4) = ．7.在1，2，3,4…，2021，2021之间填上“＋〞或者“﹣〞号，求和式可以得到最小的非负数是．8．如图，把一个长20cm ，宽12cm 的长方形分成五块，其中两个大正方形和两个长方形分别全等．那么中间小正方形的面积是 cm 2．9.从两块分别重20千克和30千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块, 再把切下的每一块与另一块切后剩余的局部合在一起,熔炼后两者含铜的百分比恰好相等,那么切下的一块重量是千克．10．一个三角形有一内角为30°，假如经过其一个项点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．三、解答题(一共30分)11.〔此题8分〕假设正数a ，b ，c 满足不等式组1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，请比拟a ，b ，c 的大小关系。

广东省深圳市福田区耀华实验学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题

广东省深圳市福田区耀华实验学校2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题一、单选题1．下列计算正确的是（）A ．236236x x x ⋅=B ．336x x x +=C ．()222x y x y +=+D ．()32mm m x x x ÷= 2．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．以下说法错误的是（）A ．两直线平行，内错角相等B ．三角形的最大内角不小于60度C ．同位角相等，两直线平行D ．两边和他们一边的对角对应相等的两个三角形全等4．△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离等于（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．25．下列说法正确的有( )．①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知3x y -=，10xy = ，则()2 x y +的值为（）A ．49B ．39C ．29D ．197．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A ．()()a b a b +--B ．()()b m m b +-C ．()()x b x b ---D ．()()x a x a +-8．阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：222a b c +=，根据阅读资料，完成以下题目：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5a =，12b =，则c =（）A ．5B ．12C ．17D ．139．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4，△ACD 的周长为18，则△ABC 的周长为（）A ．18B ．22C ．24D ．2610．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为BC 、AD 的中点，EF=2FC ，若△ABC 的面积为12 cm 2，则△BEF 的面积为（）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm二、填空题11．阅读：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，读作“根号a ”，规定：0的算术平方根是0，0，如：2416=，所以4是16的算术平方根，4=，填空：17的算术平方根是，1=． 12．阅读，一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．如：()224-=，224=，所以2-和2叫做4的平方根，4的平方根记为2=±，又如：若22x =，则2的平方根是：25的平方根是，49121的平方根是，5的平方根是． 13．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则n ＝． 14．如图，将ABC V 沿经过点A 的直线AD 折叠，使边AC 所在的直线与边AB 所在的直线重合，点C 落在边AB 上的E 处，若45B ∠=︒，20BDE ∠=︒，则CAD ∠=．15．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC V 的外角EAC ∠、内角ABC ∠、外角ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABC ∠=︒-∠；④12BDC BAC ∠=∠．其中正确的结论有（填序号）．三、解答题16．计算题：(1)()()1269--+-； (2)2343292⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭； (3)()()20132414123⎛⎫-+-÷-+-- ⎪⎝⎭． 17．解方程：(1)432x x -=-； (2)2151136x x +--=． 18．先化简，再求值：()()()()()2222x y x y x y y x y y ⎡⎤+--+--÷⎣⎦，其中2008x =，12y =． 19．声音在空气中的传播速度()/y m s （秒音速）与气温()x C ︒的关系，如下表．（1）直接写出y 与x 间的关系式；（2）当150x C =︒时，音速y 是多少？当音速为352/m s 时，气温x 是多少？20．如图，在ABC V 中，8AB AC ==，5BC =，36A ∠=︒，AB 边的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ．(1)求DBC ∠的度数；(2)求BCD △的周长．21．如图1，点O 为线段AB 上的任意一点（不于A ，B 重合），分别以AO ，BO 为一腰在AB 的同侧作等腰AOC △和BOD V ，OA OC =，OB OD =，AOC ∠与BOD ∠都是锐角，且AOC BOD ∠∠=．(1)试说明：CB AD =；(2)如图2，AD 与BC 相交于点P ，86COD ∠=︒，求APB ∠的度数．22．（1）如图（1），已知：在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．猜测DE 、BD 、CE 三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC V 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE 、BD 、CE 之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断线段DF 、EF 的数量关系，并说明理由．。

成功学校第十届华杯赛集训题8

马鞍山市成功学校第十届“华杯赛”集训题（8）一、填空题（每小题10分，共60分）1．已知ab ＜0，则|)||(|||||22b a ab a b b a -+-＝．2．已知xz z y x +=+=531，则z y y x +-22的值为． 3．已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(有一组公共解，则公共解为． 4．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至 A ＇，B ＇，C ＇，使得AA ＇＝3AB ，BB ＇＝3BC ，CC ＇＝3AC ．若S △ABC ＝1，则S △A ＇B ＇C ＇等于．5．对于自然数n ，将其数字之和记为n S ，如750022005=+++=S ，那么++10S S …20052004S S ++＝．6．三个不同的质数a ，b ，c 满足2000=+a c ab b，则c b a ++＝．二、解下列各题（每小题10分，共60分）7．已知0|2|)1(2=-+-ab a ，试求 +++++++)2)(2(1)1)(1(11b a b a ab …)2004)(2004(1+++b a 的值．8．若x 为整数，且式子|429||319|79x x x ---+-的值恒为一个常数，求x 的值．C A B ABC ＇＇＇9．某商店有A 型和B 型两种计算器共143个，A 型计算器每个60元，B 型计算器每个37.8元．某学校购了该商店的全部B 型计算器和部分A 型计算器，经过核算后，发现应付款的总数与A 型计算器的总数无关．问购买的A 型计算器是该商店A 型计算器总数的百分之几？应付款的总数是多少元？10．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1、S 2、…、S 8，试比较S 3与S 2＋S 7＋S 8的大小，并说明理由．A D CB F E S S S S S S S S 2134567811．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回．在出发后第60天，考察队行进了24km后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？12．今有长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的线段各一条，问可用多少种不同的方法，从中选出若干条来拼接成正方形？参考答案一、填空题1．0 2．23 3．⎩⎨⎧-==10y x 4．19 5．28027 6．42 二、解下列各题7．∵ 0|2|)1(2=-+-ab a ，且2)1(-a ≥0，|2|-ab ≥0．∴ ⎩⎨⎧=-=-,02,01ab a 解得1=a ，2=b ． ∴ 原式＝+⨯+⨯+⨯431321211 (2006)20051⨯+ ＝+-+-+-41313121211 (2006)120051- ＝200611-＝20062005． 8．因为式子|429||319|79x x x ---+-的值恒为一个常数，所以化去式子中的绝对值符号后，x 的系数和应为0．即|429||319|79x x x ---+-＝)429()193(79x x x ---+-＝3742919379-=+--+-x x x ．这时，x 应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-≤-.0429,0319x x 解得 316≤x ≤417．因为x 为整数，故x 的值为7．9．设该商店有A 型计算器m 个，学校购买的A 型计算器是该商店A 型计算器总数的 %x ．应付款的总数为W 元，则)143(8.37%60m x m W -+⋅=m mx 8.374.54056.0-+=4.5405)8.376.0(+-=m x ．∵ W 与m 无关，∴ 08.376.0=-x ，63=x ，这时W ＝5405.4．答：购买的A 型计算器是该商店A 型计算器总数的百分之63，应付款的总数是5405.4元．10．S 3＝S 2＋S 7＋S 8．∵ S 1＋S 3＋S 6＝S 4＋S 3＋S 5＝正方形面积的21， ∴ S 1＋S 2＋S 6＋S 7＋S 8＝S 1＋S 3＋S 6，∴ S 2＋S 7＋S 8＝S 3．11．设考察队到生态区用了x 天，返回用了y 天，考察用了z 天，则且11725=-x y ，①（这里x 、y 是正整数）由①得 171817125-+=-=y y y x ，令k y =-1718（k 为正整数）则k y x +=，8128117++=+=k k k y ，令t k =+81（t 为正整数）则18-=t k ．于是，有217)18(2-=+-=t t t y ，325-=t x ．所以，542-=+t y x ．依题意，0＜y x +＜60，故当且仅当1=t 时才符合题意．这时37542=-=+y x ，从而23)(60=+-=y x z ．答：科学考察队在生态区考察了23天．12．因为9条线段互不相等，所以，拼成的正方形至少有3条边上需要线段的拼接，也就是说，拼接一个正方形至少需要7条线段．又因为9条线段的总长度为1＋2＋…＋9＝45，所以，正方形的边长不会大于11．当边长为7时，由7＝1＋6＝2＋5＝3＋4知，可拼出1个正方形．当边长为8时，由8＝1＋7＝2＋6＝3＋5知，可拼出1个正方形．当边长为9时，由9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5知，可拼出5个正方形．当边长为10时，由10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6知，可拼出1个正方形．当边长为11时，由11＝2＋9＝3＋7＝4＋6知，可拼出1个正方形．共计可拼接出9个正方形．。

2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级(上)学科知识竞赛数学试卷(初赛)(含解析)

2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知△ABC ≌△ADE ，∠C =79°，DE ⊥AB ，则∠D 的度数为( )A. 79°B. 68°C. 60°D. 71°2.若1x −1y =1z ，则z 等于( )A. x−yB. y−x xyC. xy x−yD. xy y−x 3.若a ，b ，c 都是负数，并且c a +b <a b +c <b c +a ，则a 、b 、c 中( )A. a 最大B. b 最大C. c 最大D. c 最小4.如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为( )A. 54°B. 91°C. 81°D. 101°5.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，AC =5，∠DAB =∠DCB =90°，则四边形ABCD 的面积为( )A. 15B. 12.5C. 14.5D. 176.如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是( )A. 25B. .30C. 35D. 407.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )A. 4S1B. 4S2C. 4S2+S3D. 3S1+4S38.如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是( )A. 54B. 1C. 2D. 52二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

长春市第二实验中学2023-2024学年八年级上学期10月竞赛数学试卷(含解析)

数学试卷一、选择题（共18分）1. 立方根是（）A. ±B.C.D. 答案：D解析：详解：因为，所以的立方根是，故选：D．2. 实数，，，中，无理数是（　）A. B. C. D. 答案：C解析：详解：解：在实数，，，中，，，，是有理数，是无理数，故选C3. 下列计算正确的是（　）A. B. C. D. 答案：D解析：详解：解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；B、，该选项不符合题意；C、，该选项不符合题意；D、，该选项符合题意；故选：D．4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　）A. B.C. D.答案：B解析：详解：解：A、，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C、，把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意．故选：B．5. 根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A. AB＝3，∠A＝60°，∠B＝40°B. AB＝3，BC＝4，∠A＝40°C. AB＝3，BC＝4，AC＝8D. AB＝3，∠C＝90°答案：A解析：详解：A、两角夹边三角形唯一确定．本选项符合题意，B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，C、不满足三边关系，本选项不符合题意，D、一边一角无法确定三角形．本选项不符合题意，故选：A．6. 若，，则的值为（）A. 2B. 1C.D.答案：B解析：详解：解：∵，∴①，∵，∴②，①②得，解得．故选B．7. 用如图所示几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为，这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为，所以有，故选：C．8. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　）A. B. C. D.解析：详解：解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，∴PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，故可判断B选项正确．故选B．二、填空题（共18分）9. 的算术平方根是________．答案：2解析：详解：解：∵，4的算术平方根是2，∴的算术平方根是2．故答案为：2．10. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）．答案：假解析：详解：解：假设，则满足，但，因此，这个命题是假命题．故答案：假．11. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．答案：3详解：解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．12. 已知，，则__________．答案：解析：详解：当，，时，．故答案为：．13. 如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为____.答案：40°详解：解：∵∠AEC=110°，∴∠AED=180°-∠AEC=180°-110°=70°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∴∠DAE=180°-2×70°=180°-140°=40°．故答案为40°．14. 已知是一个完全平方式，则m的值等于_______．答案：9或-7##-7或9解析：详解：解：根据题意得，，或，故答案为：9或-7三、解答题（共78分）15. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）（2）（3）（4）0小问1详解：；小问2详解：；小问3详解：；小问4详解：；16. 把下列多项式分解因式：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：；小问2详解：17. 简便运算：（1）；（2）.答案：（1）（2）10000解析：小问1详解：；小问2详解：.18. 如图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．（1）与全等，以点为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．（2）与全等，且不与重合．答案：（1）见解析（2）见解析解析：小问1详解：解：如图中，即为所求，小问2详解：解：如图②所示，即为所求；19. 先化简，再求值：，其中．答案：，29解析：详解：解：，当时，原式．20. 如图，在中，点在上，点为的中点，连结并延长至点，使，连结．（1）求证：．（2）若平分，求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：小问1详解：证明：∵点E为的中点，∴，∵∴；小问2详解：证明：由（1）得：，∴，∵平分，∴∴∴；21. 某学校教学楼前有一块长为米，宽为米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为米．（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当，时，需要铺地砖的面积是多少？答案：（1）铺设地砖面积是22a2+16ab+2b2平方米；（2）202平方米．解析：详解：解：（1）根据题意得：铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）-2（a+b）2=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2=22a2+16ab+2b2（平方米）；（2）当a=2，b=3时，原式=88+96+18=202（平方米）．22. 已知，．（1）求的值．（2）求的值．（3）求的值．答案：（1）18 （2）20（3）1解析：小问1详解：解：原式，当，时，原式小问2详解：解：原式当，时，原式小问3详解：解：∵，∴，∴．∵，∴．∴．23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图13.5．1，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．求证：．分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，已知的周长为20，则的长为__________．（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，，，则的最小值是__________．答案：教材呈现：见解析；定理应用：（1）20；（2）解析：详解：教材呈现：证明：∵，∴，∵∴，∴；定理应用：解：（1）∵的垂直平分线分别交于点，∴，∵△ADE的周长为20，∴，∴，即，故答案为：20；（2）过点C作，垂足为点E，交于点P，∵，∴，∴是的垂直平分线，∴，∴，此时的值最小，∵，∴的面积，∴，∴，故答案为：．24. 直角三角形中，，直线过点．（1）当时，如图，分别过点，作于点，于点．求证：．（2）当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示）②直接写出当与全等时的值．答案：（1）见解析（2）①，②或5或．解析：小问1详解：证明：∵直线，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；小问2详解：解：①由题意，得：，∴，∵点与点关于直线对称，∴，∴，故答案为：，；②当与全等时，和是对应边，∴，当点在时，，即：，解得，不符合题意；当点在时，此时：，则：，解得：；当点在时，此时：，则：，解得：；当点在时，此时：，则：，解得：；综上：当与全等时，或5或．。

广东省深圳市福田区深圳市耀华实验学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题(无答案)

2024－2025学年度第一学期耀华实验学校初中部八年级数学学科9月考试试卷考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数，3.141592658中，无理数有（）A．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（）A．a 2＝3，b 2＝4，c 2＝5B ．a ：b ：c ＝3；4：5C ．∠A＋∠B ＝∠C D ．∠A ：∠B：∠C ＝1：2：33．下列二次根式中，最简二次根式是（）AB C D 4的结果是介于下列哪两个数之间（）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．下列各式中，正确的是（）A B ．C D 6．下列说法正确的是（）①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0A ．①②B ．③⑤C ．②④D ．①⑤7．下列各组数中是勾股数的是（）A ．2，3，4B ．6，8，10C ．8，11，12D ．10，14，158．如图直线上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，b 的面积分别为5和13，则c 的面积为（）A ．4B ．8C ．12D ．189．有一圆柱体如图，高4cm ，底面周长6cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离为（）cm π322713=±3=3=-4=-A ．3B ．6C ．8D ．510．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（）A ．121B ．110C ．100D ．90二、填空题（每小题3分，共15分）11．已知正数a 的两个平方根分别是b 和c ，则代数式a ＋b ＋c ＋bc 的值为______．12．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ．则CD 的长为______．第12题图13．______．14有意义，则x 的取值范围是______．15．如图，长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积是______．第15题图三、解答题（本题有7小题，共55分）16．（9分）计算（1）（2）1)201212-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭+--（317．（6分）解方程（1）4x 2－9＝0（2）4（2x －1）2＝3618．（7分）a 的整数部分，b 是它的小数部分，求的值．19．（8分）一架方梯AB 长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？20．（8分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？21．（8分）长方形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，将长方形折叠，使得点B 落在线段CD 上，求线段BE 的长．22．（9分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ，大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为()()322a b -++，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB ＝4，AC ＝5，BC ＝6，设BD ＝x ，求x 的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母a ，b所表示的线段．()2142ab a b ⨯+-222a b c +=()()22232a b a b a ab b ++=++。

华杯赛历届试题及答案

华杯赛历届试题及答案华杯赛，全称“华罗庚数学金杯赛”，是一项面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

以下是历届华杯赛的部分试题及答案，供参考：一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，那么这个数除以15的余数是多少？- A. 3- B. 4- C. 5- D. 6答案：A二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是________ 立方厘米。

答案：2402. 计算下列数列的第10项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...答案：55三、解答题1. 一个水池有注水口和排水口，单开注水口每小时可注水20吨，单开排水口每小时可排水10吨。

如果同时打开注水口和排水口，水池每小时净增水量是多少吨？如果池中原有水100吨，需要多少时间才能将水排空？答案：同时打开注水口和排水口时，水池每小时净增水量是20吨- 10吨 = 10吨。

要将100吨水排空，需要的时间为100吨÷ 10吨/小时 = 10小时。

2. 一个班级有48名学生，其中1/3是男生，剩下是女生。

问这个班级有多少名女生？答案：班级中有48名学生，其中1/3是男生，即48 * (1/3) = 16名男生。

剩下的学生是女生，所以女生人数为48 - 16 = 32名。

四、证明题1. 证明对于任意的正整数n，n的立方与n的和不小于n的平方与n 的两倍之和。

答案：设n为任意正整数。

我们需要证明n^3 + n ≥ n^2 + 2n。

展开立方项，得到n^3 + n - n^2 - 2n = n(n^2 - n - 1) = n(n - (1 + √5)/2)(n - (1 - √5)/2)。

由于n是正整数，(n - (1 +√5)/2)和(n - (1 - √5)/2)都是负数或零，因此整个表达式是非负的，即n^3 + n ≥ n^2 + 2n。

华杯赛初二试题及答案

华杯赛初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的面积公式为S=πr^2B. 圆的面积公式为S=2πrC. 圆的周长公式为C=πdD. 圆的周长公式为C=2πr答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D3. 以下哪个选项是二次方程的一般形式？A. ax^2 + bx + c = 0B. ax^2 + bx + cC. ax^2 + bx = cD. ax^2 = bx + c答案：A4. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是______cm³。

答案：242. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_____。

答案：53. 如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，那么第三边长x满足的不等式是_____。

答案：1<x<74. 一个数的绝对值是4，那么这个数可以是_____或_____。

答案：4或-4三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个等腰三角形的两条腰长为5cm，底边长为6cm，求这个三角形的面积。

答案：首先，我们需要确定这个三角形的高。

由于这是一个等腰三角形，我们可以将底边平分，得到两个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为3cm（底边的一半）和高h。

根据勾股定理，我们有：(3cm)^2 + h^2 = (5cm)^29 + h^2 = 25h^2 = 16h = 4cm现在我们可以计算三角形的面积：面积 = (底边长 * 高) / 2 = (6cm * 4cm) / 2 = 12cm²2. 一个数列的前三项为1, 2, 4，且从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求这个数列的第10项。

答案：这个数列的规律是每一项都是前三项的和。

耀华初二数学期末试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 下列方程中，解为x=3的是（）A. 2x - 5 = 1B. 3x + 2 = 9C. 4x - 1 = 13D. 5x + 3 = 163. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）4. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 等腰三角形B. 长方形C. 等边三角形D. 正方形5. 已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，则该三角形是（）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 普通三角形6. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 4B. 3x < 6C. 4x ≤ 8D. 5x ≥ 107. 下列函数中，是正比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x - 5C. y = 4xD. y = 5x + 28. 在一次函数y=kx+b中，k和b的值分别是（）A. k=1，b=0B. k=0，b=1C. k=2，b=3D. k=3，b=29. 下列分数中，最小的是（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/510. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 + 2ab - b^2二、填空题（每题5分，共50分）11. 2的平方根是______，3的立方根是______。

12. 若x=5，则x^2 - 2x + 1的值为______。

13. 在直角坐标系中，点P（-3，4）到原点的距离是______。

14. 下列图形中，是圆的是______。

四川省达州市耀华中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

四川省达州市耀华中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题一、单选题1．下列各组数据中不能．．作为直角三角形三边长的是（） A ．3、4、6 B ．7、24、25 C ．6、8、10 D ．9、12、152x 的取值范围是（）A ．2x >B ．2x =C ．2x ≤D ．2x ≥3．平面直角坐标系中，点()23P -，关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．()2,3--B ．()2,3-C ．()3,2--D ．()3,2-4．23m y x =+表示一次函数，则m 等于（） A ．1B ．1-C ．0或1-D ．1或1-5．下列四组数值中，是二元一次方程26x y +=的解是（）． A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．22x y =⎧⎨=⎩C ．31x y =⎧⎨=-⎩D ．22x y =-⎧⎨=-⎩6．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）． A ．50元，30元 B ．50元，40元 C ．50元，50元D ．55元，50元7．有下列两个命题：①若两个角是对顶角，则这两个角相等；②若一个三角形的两个内角分别为30︒和60︒，则这个三角形是直角三角形．说法正确的是（） A ．命题①正确，命题②不正确 B ．命题①、②都正确 C ．命题①不正确，命题②正确D ．命题①、②都不正确8．如图，一次函数1y ax b =+和2y bx a =-+（0a ≠，0b ≠）在同一坐标系的图像，则12y ax b y bx a=+⎧⎨=-+⎩的解x my n =⎧⎨=⎩中（）A ．0,0m n >>B ．0,0m n ><C ．0,0m n <>D ．0,0m n <<9．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( )A ．13cmB ．Ccm D ．10．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A ，B 两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，54t =或154．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如果()240x y +-，那么2x y -的值等于．12．已知a ，b 是Rt ABC △2(4)b --，则第三边长是． 13．如图，22.5AOE BOE ∠=∠=︒，EF OB ∥，EC OB ⊥，若1EF =，则EC =．14．在平面直角坐标系中，已知点A ，0），B 0），点C 在x 轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C 的坐标．15．如图，点B C ，分别在直线2y x =和y kx =上，点A D ，是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k 值为．三、解答题16．（1）计算((2222+；（2）解方程组：23328x y x y -=⎧⎨+=⎩．17．已知225490y -=，且y18．如图，已知DE BC ∥，CD 是ACB ∠的平分线，70B ∠=︒，50∠=°ACB ，求EDC ∠和BDC ∠的度数．19．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．20．（1）已知关于x 的一次函数(23)1y k x k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．（2）已知函数(43)y m x =-是正比例函数，且y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围． 21．国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整）．其中分组情况：A 组：时间小于0.5小时；B 组：时间大于等于0.5小时且小于1小时；C 组：时间大于等于1小时且小于1.5小时；D 组：时间大于等于1.5小时．根据以上信息，回答下列问题：（1）A 组的人数是人，并补全条形统计图；（2）本次调查数据的中位数落在组；（3）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC．23．如图，在平面直角坐标系内，梯形OABC的顶点坐标分别是：A（3，4），B（8，4），C（11，0），点P（t，0）是线段OC上一点，设四边形ABCP的面积为S．（1）过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=，用含t的代数式表示PC=．（2）求S与t的函数关系．（3）当S＝20时，直接写出线段AB与CP的长．24．某乐园的门票价格规定如下表所列．某校初一（1）、（2）两个班共104人去游长风乐园其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱．问两班各有多少名学生？25．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？(2)设三人间共住了x 人，一天一共花去住宿费y 元，请写出y 与x 的函数关系式； (3)一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用．26．如图①，在平面直角坐标系中，AOB V 的边OA 在x 轴上，点A 坐标为140(,)，点B 在第一象限，45BAO ∠=︒，AB =D 为射线OB 上一点，过D 作直线l y P 轴交OA 于E ，交射线AB 于G ．(1)求B 点坐标；(2)当D 为线段OB 中点时，在直线l 上找点P ，当PBD △为等腰三角形，请直接写出P 点坐标；(3)如图②，F 为AO 中点，当2BDF BDG S S =△△时，求D 点坐标．。

八年级上学期数学知识竞赛试卷(含答案)

(2)如果每节A型车厢最多装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢方案？
（3）最低运费是多少？
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
D
A
D
C
B
C
A
C
A
13、，；14、9；15、、；16、①②③④；
那么第（7)个三角形的直角顶点的坐标是_______________，第（2011)个三角形的直角顶点坐标是____________________。
三、用心做一做（本大题共7小题，满分46分）
19、求下列各式的值：(本题6分=3分×2）
（1） + + (2）
20、(本题6分=3分×2)如图,已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,Байду номын сангаасD与BE相交于点F．
15、点P(1,2)关于x轴对称的点的坐标是，关于直线y=—1对称的点的坐标是。
16、如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含300角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC,BA的延长线于E，G，则下列结论
1AG=CE②DG=DE
③BG-AC=CE④S△BDG—S△CDE= S△ABC
其中总是成立的是（填序号）
17、一辆汽车在行驶过程中,路程y（千米）与时间x(小时）之间的函数关系如图3所示当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为
y= 60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____________。

历届华杯赛初二试题及答案

历届华杯赛初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可能是：A. -1B. 1C. 2D. 0答案：B, D3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数列的前三项为2, 4, 6，如果这是一个等差数列，那么第四项是：A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B二、填空题（每空5分，共30分）1. 一个数的立方根是2，这个数是________。

答案：82. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是________平方厘米。

答案：78.53. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰相等，如果它的周长是18厘米，那么腰长是________厘米。

答案：64. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________或________。

答案：5 或 -5三、解答题（每题25分，共50分）1. 解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]答案：首先，我们可以通过因式分解来解这个方程：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]因此，\( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。

2. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。

答案：根据三角形的三边关系，如果对于任意三角形的两边a和b，它们的和大于第三边c（即a + b > c），那么这个三角形是存在的。

这是因为，如果a + b ≤ c，那么a和b的延长线将会相交于c的延长线上，而不是形成一个封闭的三角形。

因此，这个条件保证了三角形的存在性。

结束语以上是历届华杯赛初二试题及答案的示例。

这些题目旨在考察学生的数学基础知识和解题技巧。

希望这些示例能够帮助学生更好地准备华杯赛，提高他们的数学能力。

首届耀华杯高二年级数学竞赛

首届“耀华杯”高二年级数学竞赛本试卷共二页（第一页）一．选择题（每题4分，共40分）１．已知函数)(x f y =有反函数，则方程03)(=+x f （）Ａ．有且仅有一个实根Ｂ．至多有一个实根Ｃ．至少有一个实根Ｄ．不同于以上结论２．方程)12lg(22++=-x x 的实根的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４３．在等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n 有1321-=+++n n a a a Λ，则22221n a a a +++Λ等于（）A ．19-n B ．()1921-n C ．()1931-n D ．()213-n ４．过椭圆的一个焦点F 作与椭圆长轴的夹角为43arccos 的直线，交椭圆于A 、B 两点，若31∶∶=BF AF ，则椭圆的离心率等于（） A ．31 B ．32 C ．33 D ．32 ５．若方程()002>=++a c bx ax 的两个实根为21x x 、，集合{}1|x x x S >=，{}2|x x x T >=，{}1|x x x P <=，{}2|x x x Q <=，则不等式02>++c bx ax 的解集为（）A ．()()Q P T S I Y IB ．()()Q P T S I I IC ．()()Q P T S Y Y YD ．()()Q P T S Y I Y ６．对角α和β。

若满足0cos cos sin sin =+βαβα，则βα2sin 2sin +的值等于（）A ．0B ．1C ．2D ．比2大的值７．函数()[]12lg 2+-+=x m x y 的值域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,0B ．[]4,0C ．()()+∞∞-,40,YD ．(][)+∞∞-,40,Y８．在直角坐标平面内，()0,4A ，B 在圆()1222=+-y x 上，以AB 为边作正三角形ABC （A 、B 、C 按顺时针排列），则顶点C 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支９．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a １０．在区间[]2,1上，函数()q px x x f ++=2与()x x x g 12-=在同一点取得相同的最小值，则q p 62-的最小值为（）A ．9-B ．8-C ．7-D ．不存在二．填空题：（每题6分，共30分）１．已知两个等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和n S ，n T 的比7213++=n n T S n n ，用n 表示，则___________1212=++n n b a ２．设()x f y =对任意R x ∈满足()()410-=-x f x f ，且()0=x f恰有三个不同的实根_______,321321=++x x x x x x 则、、３．对任意实数x ，不等式都成立434322--≥--a a x x ，则实数a 的取值范围是____________ ４．_______________21992的系数是展开式中x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛- ５．某排共有8个座位，若3人坐在座位上，每人左右都有空位，那么不同的坐法共有____________种三．解答题１．设A 、B 、C 为常数，0≠C 方程Cx C x B x A =--2cos 2sin cos 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-22ππ，内有两个相异实根βα，，求βα+的值（用A 、B 、C 表示）２．已知抛物线)0,4()0(42+>=a A F a ax y ，以点焦点为为圆心，|AF|为半径的圆在x 轴的上方，与抛物线交于M 、N 两点，（1）求证：点A 在以M 、N 为焦点，且过F 的椭圆上（2）设点P 为MN 的中点，是否存在这样的a ，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.。

初中数学天津初二竞赛测试模拟考试题考点.doc

初中数学天津初二竞赛测试模拟考试题考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、判断题评卷人得分1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1）（）2=-（）（2）=- （）（3）（-）2=- （）（4）（2）2=2×=1 （）1．判断题：（1）给定一组数据，那么描述这组数据的平均数一定只有一个.（）（2）给定一组数据，那么描述这组数据的中位数一定只有一个.（）（3）给定一组数据，那么描述这组数据的众数一定只有一个.（）（4）给定一组数据，那么描述这组数据的平均数一定位于最大值与最小值之间.（）（5）给定一组数据，那么描述这组数据的中位数一定位于最大值与最小值的正中间.（）（6）给定一组数据，如果找不到众数，那么众数一定就是0.（）18．解下列方程组（1）（2）19．（1）（2）20．有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

19．计算题（1）（2）19．计算：（1）（2）20．计算：（1）4+-+4（2）6-2-320．化简：(1)；(2)；(3)(a＞0，c＞0)．22．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x＝______________；y=______________;(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈______________；②已知＝1.8，若＝180，则a＝______________；(3)拓展：已知，若，则z=______________。

17．计算：(1)4＋－＋4(2)÷3×(－5)．16．如果两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的内角之和为1 440°，请你确定这两个多边形的边数．11．已知直角三角形斜边长为（2＋）cm，一直角边长为（＋2）cm，求这个直角三角形的面积．2．如图：已知AB∥CD，∠B=120度，∠D=150度，则∠O等于（）.A．50度B．60度C．80度D．90度6．如图，△ABD≌△ACE，AB＝9，AD＝7，BD＝8，则BE的长是（）A．1B．2C．4D．65．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( )A．9B．12C．7或9D．9或125．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( ) A．c＞b＞aB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．a＞b＞c1．在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴的对称点的坐标为( ) A．(－2，－3)B．(2，－3)C．(－3，－2)D．(3，－2)3．分式：①，②，③，④中，最简分式有( )B．2个C．3个D．4个16．已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为（）A．81B．7C．9D．128．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．85°10．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个2．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形6．不等式组的解是______________．13．_______________。

初中数学八年级(上)数学竞赛试题(含答案)

1 2－1A 八年级〔上〕数学竞赛试题一、填空题:〔40分〕1、在ABC Rt ∆中,b a 、为直角边,c 为斜边,若14=+b a ,10=c ,则ABC ∆的面积是；2、计算：=⋅27 311 ；3 313÷⨯＝；2 3 2 +-＝；3、某位老师在讲实数时,画了一个图〔如图1〕,即以数轴的单位长线段为边作一个正方形,然后以0点为圆心,正方形的对角线长为半径画图,交x 轴于一点A ,作这样的图是用来说明；〔1〕4、在电子游戏中有一种方格拼图游戏,若在游戏过程中,已拼好的图案如图2,又出现了一个方格体正向下运动,为了使所有图案消失,你必须按后才能拼一个完整图案,从而使图案自动消失〔游戏机有此功能〕。

5、如图3,=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A ；6、图4是一住宅小区的长方形花坛图样,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,则草地与空地的面积之比为；<4> <5> <6>7、如图5,一块白色的正方形木板,边长是cm 18,上面横竖各有两根木条〔阴影部分〕,宽都是cm 2,则白色部分面积是2cm ；8、如图6,一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成,这地板上的两条对角线上的瓷砖全是黑色,其余的瓷砖是白色的,如果有101块黑色瓷砖,则瓷砖的总数是；二、选择题:〔30分〕9、CD 是ABC Rt ∆斜边AB 上的高,若2=AB ,1:3:=BC AC ,则CD 为〔〕A 、51B 、52 C 、53 D 、5410、如图,长方形ABCD 中,3=AB ,4=BC ,若将该矩形折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长为〔〕A 、3.74B 、3.75 C 、3.76 D 、3.77DFD)(A '11、如果a a -=-1 1 ,则a 的取值范围是〔〕A 、1=aB 、10<<aC 、0≥aD 、10≤≤a 12、若2 2 -+-x x 有意义,则x 的取值为〔〕A 、2>xB 、2<xC 、2≤xD 、2=x13、如上中图所示,一块边长为cm 10的正方形木板ABCD ,在水平桌面上绕点D 按顺时针方向转到D C B A ''''的位置时,顶点B 从开始到结束所经过的路径为〔〕A 、cm 20B 、cm 220C 、cm 10πD 、cm 25π14、如上右图所示,设M 是边上任意一点,设CMB ∆的面积为2S ,CDM ∆的面积为S ,AMD ∆的面积为1S ,则有〔〕A 、21S S S +=B 、21S S S +>C 、21S S S +<D 、不能确定三、画图题:〔12分〕15、如图,历史上最有名的军师诸葛亮,率精骑兵与司马懿对阵,诸葛亮一挥羽扇,军阵瞬时由左图变为右图,其实只移动了其中的3骑而己,请问如何移动？〔在图形上画出来即可〕16、有一等腰梯形纸片,其上底和腰长都是a ,下底的长是a 2,你能将它剪成形状、大小完全一样的四块吗？若能,请画出图形。

天津市耀华滨海学校八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

天津市耀华滨海学校八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF2．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，()0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．（1）求点C 的坐标；（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿x 轴正方向向终点C 运动，设运动时间为t 秒，点P 到直线AC 的距离PD 的长为d ，求d 与t 的关系式；（3）在（2）的条件下，当点P 到AC 的距离PD 为33时，连接AP ，作ACB 的平分线分别交PD 、PA 于点M 、N ，求MN 的长．3．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．4．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ．（1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABFACF S S 的值．5．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．6．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．7．在等腰ABC ∆中，AB AC =,AE 为BC 边上的高，点D 在ABC ∆的外部且60CAD ∠=，AD AC =,连接BD 交直线AE 于点F ，连接FC ．(1)如图①，当120BAC ∠<时，求证：BF CF =；(2)如图②，当40BAC ∠=时，求AFD ∠的度数；(3)如图③，当120BAC ∠>时,求证：CF AF DF =+．8．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．（1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB=；（3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）10．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角．（3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．11．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；（1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数；（3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．12．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ．（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？13．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC 的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．14．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．①请直接写出∠AEB的度数为_____；②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同－直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．15．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．16．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．17．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．（1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）18．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．19．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．20．请按照研究问题的步骤依次完成任务．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．2．（1）C （4，0）；（2）433d t =；（3）103MN =【解析】【分析】（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案；（3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得3CQ AO ==37QN =，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．【详解】（1）∵点B 、C 关于y 轴对称， ∴12OB OC BC ==， ∴AB AC =，∵60BAC ∠=︒，∴ABC ∆为等边三角形，∴8AB BC AC ===， ∴142OC BC ==， ∴点C 的坐标为：()4,0C ；（2）连接AP ，∵1122APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅，∵()0,43A ，∴43OA =，∵2BP t =，∴82PC t =-，∵8AC =，∴433PC OA PD t AC⋅==-，即：433d t =-；（3）∵点P 到AC 的距离为33，∴43333d t =-=，∴1t =，∴2BP =，延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形，∴1302BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌，∴CQ AO ==设2QN a =，在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒，∴112)22NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+， ∴111222BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅，∴1112822)222a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，∴a =∴7QN =， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，∴30DPC ∠=︒，∵30BCQ ∠=︒，∴PM CM =，在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12MD MC =，∴12MD PM =，PD =∴PM CM ==，∴MN CQ QN CM =--==【点睛】本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．3．（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，故答案为：122︒；（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠，又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=；（3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠，180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠， 11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠，结论：1902BQC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF ＝∠1+∠BAF ＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC ≌△ADB ，即可推出∠BFC ＝∠ADB ＝90°；（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．只要证明△ABK ≌CAF ，可得S △ABK ＝S △AFC ，再证明AF ＝FK ＝BK ，可得S △ABK ＝S △AFK ，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵AD ⊥BN ，∴∠ADB ＝90°，∵∠MBN ＝30°，∠BFD ＝60°＝∠1+∠BAF ＝∠2+∠BAF ，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°，∴BF ＝2DF ，∵BF ＝2AF ，∴BF ＝AD ，∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，∴△BFC ≌△ADB ，∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，∴BF ⊥CF（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ， ∴ABF AFCS 2S ∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=，故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=，故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=， ()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.6．（1）HL ；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；（2）过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作FH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH ，再利用“角角边”证明△CBG 和△FEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH ，再利用“HL ”证明Rt △ACG 和Rt △DFH 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D ，然后利用“角角边”证明△ABC 和△DEF 全等；（3）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 不全等；（4）根据三种情况结论，∠B 不小于∠A 即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL ．（2）证明：如图①，分别过点C 、F 作对边AB 、DE 上的高CG 、FH ，其中G 、H 为垂足．∵∠ABC 、∠DEF 都是钝角∴G 、H 分别在AB 、DE 的延长线上．∵CG ⊥AG ，FH ⊥DH ，∴∠CGA ＝∠FHD ＝90°．∵∠CBG ＝180°－∠ABC ，∠FEH ＝∠180°－∠DEF ，∠ABC ＝∠DEF ，∴∠CBG ＝∠FEH ．在△BCG 和△EFH 中，∵∠CGB ＝∠FHE ，∠CBG ＝∠FEH ，BC ＝EF ，∴△BCG ≌△EFH ．∴CG ＝FH ．又∵AC ＝DF ．∴Rt △ACG ≌△DFH ．∴∠A ＝∠D ．在△ABC 和△DEF 中，∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF ．（3）如图②，△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．7．（1）见解析；（2）60AFD ∠=；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE 垂直平分BC ，F 为垂直平分线AE 上点，即可得出结论；（2）根据（1）的结论可得AE 平分∠BAC ，∠BAF=20°，由AB=AC=AD ，推出40ABD ADB ∠=∠=，根据外角性质可得AFD BAF ABF ∠=∠+∠计算即可；（3）在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，证明△ACM ≌△ADF （SAS ），进而证得△AFM 为等边三角形即可．【详解】（1）证明：∵AE 为等腰△ABC 底边BC 上的高线，AB=AC ，AE BC ∴⊥，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，∴AE 垂直平分BE ，F 在AE 上，BF CF ∴=；(2) ,AB AC AD AC ==，AB AD ∴=，100BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，40ABD ADB ∴∠=∠=，由（1）知，AE 平分∠BAC ，20BAF CAF ∴∠=∠=，60AFD BAF ABF ∴∠=∠+∠=，故答案为：60°；(3) 在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，由（1）可知，∠ABC=∠ACB ，∠FBC =∠FCB ，ABF ACF ∴∠=∠，AB AC AD ==，ABF D ∴∠=∠，ACF D ∴∠=∠，在△ACM 和△ADF 中，AC AD ACM ADF CM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM ≌△ADF （SAS ），,AF AM FAD MAC ∴=∠=∠，60FAM DAC ∴∠=∠=，∴△AFM 为等边三角形，FM AF ∴=，CF FM MC AF DF ∴=+=+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．8．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23．【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=；（3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，∴AE=BD+BP=DP ．∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，∴△NEA ≌△CDP （SAS ），∴AN=PC ．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（1）4；（2）DEF ∆的最小内角为15°或9°或180()11︒；（3）30°＜x ＜45°．【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据n 倍角三角形的定义判断即可得到答案；(2) 根据△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．【详解】解：(1)∵在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故ABC ∆为4倍角三角形；(2) 设其中一个内角为x °，3倍角为3x °，则另外一个内角为：1804x ︒-①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时，即：x=13（90°-3x ），解得：x=15°，②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的13时，即：3x=13（90°-x ），解得：x=9°， ③当()11804903x x ︒-=︒-时，解得：45011x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭，此时：4501804180411x ⎛⎫︒-=︒-⨯︒ ⎪⎝⎭=180()11︒，因此为最小内角，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°或180()11︒． (3) 设最小内角为x ，则2倍内角为2x ，第三个内角为（180°-3x ），由题意得： 2x ＜90°且180°-3x ＜90°，∴30°＜x ＜45°，答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°．11．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）//MN GH ，180ACB NAC ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90CAN ∴∠=︒，30BAC ∠=︒，9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，45EDF ∠=︒，18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，90DFE ∠=︒，15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，由（1）知，60BAN ∠=︒，30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；当90AFD ∠=︒时，如图4，90DFE ∠=︒，∴点A ，E 重合，45EDF ∠=︒，45DAF ∴∠=︒，由（1）知，60BAN ∠=︒，15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．12．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s 点P 与点Q 第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；（2）利用SAS 可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm ，∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，∴BD=5cm ．又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，∴PC=8﹣3=5cm ，∴PC=BD又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ；（4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇．由题意，得154x=3x+2×10，解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇．【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．13．（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．【解析】【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．【详解】（1）补全图形，如图1所示（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点∵等边△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．②证明：连接DE，DF．如图3所示∵△ABC，△ADC是等边三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝12∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD ≌△FED （SAS ）∴∠AFD ＝∠EFD∴点D 到AF ，EF 的距离相等．【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．14．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ．（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ，即∠ACD = ∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ．∴AE = DE+AD=2CM+BE ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．15．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．16．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒ 【解析】【分析】（1）过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1）过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ，∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=， EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线，BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=，理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯ 同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯.。

耀华实验初中数学招聘试卷

一、填空题（每空2分，共20分）1. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an的表达式为______。

2. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标为______。

3. 若一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长大于1，则第三边长的取值范围是______。

4. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与x轴的交点坐标为______。

5. 已知正方体的体积为64立方厘米，则其表面积为______平方厘米。

6. 若a、b、c、d为等比数列，且a + b + c + d = 0，则公比q的值为______。

7. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 75°，则∠C的度数为______。

8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S10 = 100，则公差d为______。

9. 函数y = 2x - 1的图像是一条______直线。

10. 若点A（1，2）在直线2x + 3y - 6 = 0上，则点B（-1，3）到直线2x + 3y - 6 = 0的距离为______。

二、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数列中，不是等差数列的是（）A. 2，5，8，11，14B. 1，3，5，7，9C. 1，2，4，8，16D. 1，2，4，8，162. 已知点P（3，4）在直线y = -2x + 5上，则点P到该直线的距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若sinA = 1/2，且A为锐角，则cosA的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 3/24. 在△ABC中，若AB = 5，AC = 8，BC = 10，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 函数y = x^3 - 3x + 1在区间[-1, 1]上的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 = 1，q = 2，则第5项a5为（）A. 2B. 4C. 8D. 167. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点坐标为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 3)8. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则a、b、c的符号分别为（）A. a > 0，b < 0，c < 0B. a > 0，b > 0，c > 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 09. 已知正方体的对角线长为6厘米，则其边长为（）A. 2厘米B. 3厘米C. 4厘米D. 6厘米10. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 45°，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形三、解答题（每题15分，共45分）1. 解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - y = 6\end{cases}\]2. 已知函数f(x) = -x^2 + 4x + 3，求：（1）函数的图像与x轴的交点坐标；（2）函数的最大值及对应的x值。