第五章 方差分析(第五节)
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5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
假设检验与方差分析
这是不合理的，应拒绝原假设。
三、假设检验的步骤
1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设 (alternative hypothesis)
原假设为正待检验的假设：H0； 备择假设为可供选择的假设：H1 一般地，假设有三种形式：
（1）双侧检验：
H0 : 0; H1 :0 （2）左侧检验：
这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判
断：
例1要判明工艺改革后零件平均 长度是否仍为4cm；
进行这种判断 的信息来自
例2要判明该批产品的次品率是 所抽取的样本
否低于3%。
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断 原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设
对比来构造检验统计量。
可以证明，若H0为真，则
2
(n 1)S 2
2 0
~
2 (n 1)
因此，可构造2 统计量进行总体方差
的假设检验。
当H0成立时，S2/02 接近于1，2的 值在一个适当的范围内，
当H0不成立时，S2/02远离1，2的值 相当大或相当小。
在例2中，由于所抽样本只为10，为小样本，因 此无法构造Z统 计量进行总体比例的假设检验。
如果总体X~N(,2)，在方差已知的情况下，对总体均 值进行假设检验。
由于
因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：
注意： 如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样
本（n>=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体 方差需用样本方差 s 替代。
例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正 态分布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16 件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命 是否有显著提高（显著性水平：5%）？
三、假设检验的步骤
1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设 (alternative hypothesis)
原假设为正待检验的假设：H0； 备择假设为可供选择的假设：H1 一般地，假设有三种形式：
（1）双侧检验：
H0 : 0; H1 :0 （2）左侧检验：
这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判
断：
例1要判明工艺改革后零件平均 长度是否仍为4cm；
进行这种判断 的信息来自
例2要判明该批产品的次品率是 所抽取的样本
否低于3%。
所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断 原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设
对比来构造检验统计量。
可以证明，若H0为真，则
2
(n 1)S 2
2 0
~
2 (n 1)
因此，可构造2 统计量进行总体方差
的假设检验。
当H0成立时，S2/02 接近于1，2的 值在一个适当的范围内，
当H0不成立时，S2/02远离1，2的值 相当大或相当小。
在例2中，由于所抽样本只为10，为小样本，因 此无法构造Z统 计量进行总体比例的假设检验。
如果总体X~N(,2)，在方差已知的情况下，对总体均 值进行假设检验。
由于
因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：
注意： 如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样
本（n>=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体 方差需用样本方差 s 替代。
例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正 态分布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16 件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命 是否有显著提高（显著性水平：5%）？
第五节方差分析
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
1
2 F
3
4
F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自 由度决定。
2019/2/20
15
F值与F分布
2019/2/20
16
F 界值表
附表15-2(P228) F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
k-1
SS组间 组间
MS组间 MS组内
组内(误差) SS总-SS组间
N-k
SS组内 组内
2019/2/20
18
假设检验的步骤
1.建立假设、确定检验水准：
H0：1 = 2 = 3， H1：1、2、3不等或不全相等，
=0.05
2.选定检验方法和计算检验统计量：
F= MS组间/MS组内
变异来源
处理组
SS
df
i
n (X
i i
j
X)
2
k－ 1
区组 误差
nj ( X j X )
2
b－ 1 (k－1)×(b-1)
总
SS总 SS 处理 SS区组 2 ( X ) 2 X N
N－ 1
随机区组设计资料方差分析的基本步骤 1、建立检验假设，确定检验水准
对于处理间: H0：多个处理组的总体均数相等，即三种方案的 效果相同
随机区组设计的三种情况 1、区组设计资料 2、同一个对象的K个部位测定同一指标（如教 室的不同位置侧粉尘数） 3、同一样品用多种方法测定某一指标。
优点：每个区组内的k个受试对象有较好 的同质性，组间均衡性也较好。 比完全随机设计减少了误差，因而更 容易察觉处理组间的差别，提高了实验效 率。 缺点：要求区组内受试对象数与处理数相 等，实验结果中若有数据缺失，统计分析 较麻烦。
第五章方差分析
5.1.3方差分析的原理
方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响，那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动；反之， 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响，那么观测变量 值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上，方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异，分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析（单因 变量方差分析）和多元方差分析（多因变量方差分析）。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中，选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法，单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮，出现上图对话框，在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000，即 协变量对青年教师现工资的影响显著；“教师 级别”的相伴概率为0.997，大于0.05，即对青 年教师的工资影响不显著；“政策实施”的相 伴概率0.029，小于0.05，对青年教师工资影响 显著；两因素的交互作用的相伴概率为0.551， 大于0.05，即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设：协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ；在扣除协变量的影响条件下，控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平 ，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。
方差分析的基本假定
x或者x1
对数转换适用于各组数据的标准差或全 距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘 性而非相加性的资料。
lx g ,lx n 或 lg x 者 1 ( )l,n x 1 ) (
反正弦转换适用于二项分布的资料。
sin1 p
【例5-8 】 有3个玉米自交系48-2、S37 和ES40在相同条件下保存了两年。为了了解 其种子的生活力，每个自交系随机选取100粒 种子在培养箱内作发芽试验，重复7次， 3 个 玉米自交系种子发芽率资料列于表5-46 ，试 对资料进行方差分析。
这是一个服从二项分布的发芽率资料， 且有低于30%和高于70%的，应先对发芽率
资料作反正弦转换，例如， sin1 0.943 =76.19， sin1 0.641 =53.19，转换结果
见表5-47。
对转换后的数据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行方差分析，得方差 分析表。
多重比较
用SSR法进行多重比较，见表5-49。 Sx 87.775003.54,dfe18 SSR值LSR值，见表5-50。
对结论作解释时，应将各组平均数还原 为发芽率。
如表5-47 中平均数 53.27 根据 P=sin2x， 还原为64.2%；均数 32.58还原为29.0%；均 数28.56还原为22.8%。
从变换过的数据所算出的方差或标准差 不宜再换回原来的数据。
检验结果表明，48-2的种子发芽 率极显著高于 ES40 和 S37，S37与 ES40的发芽率差异不显著。
习 题 P149－P151
11、15、17
第五节 数据转换
方差分析的基本假定
效应的可加性 分布的正态性 方差的一致性
数据转换
如果试验资料不满足方差分析的三个 基本假定，不能直接进行方差分析，需先 进行数据转换再作方差分析。
对数转换适用于各组数据的标准差或全 距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘 性而非相加性的资料。
lx g ,lx n 或 lg x 者 1 ( )l,n x 1 ) (
反正弦转换适用于二项分布的资料。
sin1 p
【例5-8 】 有3个玉米自交系48-2、S37 和ES40在相同条件下保存了两年。为了了解 其种子的生活力，每个自交系随机选取100粒 种子在培养箱内作发芽试验，重复7次， 3 个 玉米自交系种子发芽率资料列于表5-46 ，试 对资料进行方差分析。
这是一个服从二项分布的发芽率资料， 且有低于30%和高于70%的，应先对发芽率
资料作反正弦转换，例如， sin1 0.943 =76.19， sin1 0.641 =53.19，转换结果
见表5-47。
对转换后的数据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行方差分析，得方差 分析表。
多重比较
用SSR法进行多重比较，见表5-49。 Sx 87.775003.54,dfe18 SSR值LSR值，见表5-50。
对结论作解释时，应将各组平均数还原 为发芽率。
如表5-47 中平均数 53.27 根据 P=sin2x， 还原为64.2%；均数 32.58还原为29.0%；均 数28.56还原为22.8%。
从变换过的数据所算出的方差或标准差 不宜再换回原来的数据。
检验结果表明，48-2的种子发芽 率极显著高于 ES40 和 S37，S37与 ES40的发芽率差异不显著。
习 题 P149－P151
11、15、17
第五节 数据转换
方差分析的基本假定
效应的可加性 分布的正态性 方差的一致性
数据转换
如果试验资料不满足方差分析的三个 基本假定，不能直接进行方差分析，需先 进行数据转换再作方差分析。
SPSS统计分析_第五章__方差分析
第五章 方差分析
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1
一、方差分析的概念
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处 理方法对实验结果的影响。通常是比较不同 实验条件下样本均值间差异。 方差分析是检验两个或多个样本均数间差异 是否具有统计意义的一种统计学方法。
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2
方差分析主要用于均数差别的显著性检验、 分离各有关因素并估计其对总变异的作用、 分析因素间的交互作用和方差齐性检验；
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12
① 比较第二组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。
② 比较第三组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。 前两项研究的是A、B两因素的主效应。
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13
③ 除了比较第四组的均值与第一组的均值是否 有显著性差异外还要研究A药对B药的疗效 是否有影响。若A药对B药疗效无影响，那 么除抽样误差外，第四组与第二组均值之差 应该等于第三组均值减去第一组均值。但是 实际上（2.1－1.2）=0.9；（1.0－0.8） =0.2。竞相差0.7，该差值几乎与第一组均 值相同。 0.7的差值包括抽样误差和A、B药 的相互作用。
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27
使用系统默认值进行单因素方差分析只能得 出是否有显著性差异的结论，本例数据量少， 哪两组之间差别最大，哪种饲料使猪体重增 加更快，几乎是可以看出来的。实际工作中 往往需要两两的组间均值比较。这就需要使 用 One-way ANOVA进行单因素方差分析时 使用选择项从而获得更丰富的信息，使分析 更深入。
6
二、方差分析中的术语
因素与处理（Factor and Treament） 水平（Level） 单元（Cell） 因素的主效应和因素间的交互效应 均值比较 协方差分析
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1
一、方差分析的概念
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处 理方法对实验结果的影响。通常是比较不同 实验条件下样本均值间差异。 方差分析是检验两个或多个样本均数间差异 是否具有统计意义的一种统计学方法。
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2
方差分析主要用于均数差别的显著性检验、 分离各有关因素并估计其对总变异的作用、 分析因素间的交互作用和方差齐性检验；
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12
① 比较第二组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。
② 比较第三组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。 前两项研究的是A、B两因素的主效应。
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13
③ 除了比较第四组的均值与第一组的均值是否 有显著性差异外还要研究A药对B药的疗效 是否有影响。若A药对B药疗效无影响，那 么除抽样误差外，第四组与第二组均值之差 应该等于第三组均值减去第一组均值。但是 实际上（2.1－1.2）=0.9；（1.0－0.8） =0.2。竞相差0.7，该差值几乎与第一组均 值相同。 0.7的差值包括抽样误差和A、B药 的相互作用。
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27
使用系统默认值进行单因素方差分析只能得 出是否有显著性差异的结论，本例数据量少， 哪两组之间差别最大，哪种饲料使猪体重增 加更快，几乎是可以看出来的。实际工作中 往往需要两两的组间均值比较。这就需要使 用 One-way ANOVA进行单因素方差分析时 使用选择项从而获得更丰富的信息，使分析 更深入。
6
二、方差分析中的术语
因素与处理（Factor and Treament） 水平（Level） 单元（Cell） 因素的主效应和因素间的交互效应 均值比较 协方差分析
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第五章 方差分析
2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1
k
n
k
n
k
• 总平方和 SS T • =组内(误差)平方和 SS e • +处理平方和 SS t • 组间变异由k个 y i 的变异引起，故其自由度 • k 1 ,组间平方和为 SS ： t • k k 2 2 SSt n ( y i y ) Ti n C
1 1
• 组内变异为各组内观察值与组平均数的变 异，故每组具有自由度 n 1 n • 和平方和 ( y y ) 2 ；
1 ij i
• 资料共有 k 组，故组内自由度 k (n 1) • 组内平方和 SSe 为： •
SSe [ ( y ij y i ) ] SST SSt
• 总变异是nk个观察值的变异，故其自由 度 nk 1 ，而其平方和 SST 则为：
SST ( yij y ) y C
2 1 1 2 ij nk nk
( y ) T C nk nk
2 2
•SST ( yij y) ( yij yi ) n ( yi y) 2
• [例5.10] 作一水稻施肥的盆栽试验，设5个 处理，A和B系分别施用两种不同工艺流程 的氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施 氮肥。每处理4盆(施肥处理的施肥量每盆皆 为折合纯氮1.2克)，共5×4=20盆，随机放 置于同一网室中，其稻谷产量(克/盆)列于 表6.11，试测验各处理平均数的差异显著性。
=0.01水平上否定H0，接受HA；若所得F
F分布曲线（随 1 和 2 的不同而不同）
f(F)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
k
n
k
n
k
• 总平方和 SS T • =组内(误差)平方和 SS e • +处理平方和 SS t • 组间变异由k个 y i 的变异引起，故其自由度 • k 1 ,组间平方和为 SS ： t • k k 2 2 SSt n ( y i y ) Ti n C
1 1
• 组内变异为各组内观察值与组平均数的变 异，故每组具有自由度 n 1 n • 和平方和 ( y y ) 2 ；
1 ij i
• 资料共有 k 组，故组内自由度 k (n 1) • 组内平方和 SSe 为： •
SSe [ ( y ij y i ) ] SST SSt
• 总变异是nk个观察值的变异，故其自由 度 nk 1 ，而其平方和 SST 则为：
SST ( yij y ) y C
2 1 1 2 ij nk nk
( y ) T C nk nk
2 2
•SST ( yij y) ( yij yi ) n ( yi y) 2
• [例5.10] 作一水稻施肥的盆栽试验，设5个 处理，A和B系分别施用两种不同工艺流程 的氨水，C施碳酸氢铵，D施尿素，E不施 氮肥。每处理4盆(施肥处理的施肥量每盆皆 为折合纯氮1.2克)，共5×4=20盆，随机放 置于同一网室中，其稻谷产量(克/盆)列于 表6.11，试测验各处理平均数的差异显著性。
=0.01水平上否定H0，接受HA；若所得F
F分布曲线（随 1 和 2 的不同而不同）
f(F)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
第五章方差分析[统计学经典理论]
![第五章方差分析[统计学经典理论]](https://img.taocdn.com/s3/m/8103707959fafab069dc5022aaea998fcc224065.png)
第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。
当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。
•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。
•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。
•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。
•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。
将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。
若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。
当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。
5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。
方差分析
X i ~ N (i , 2 ), i 1,2,3,4
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni
j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni
j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000
第五章方差分析
1方差分析的基本步骤：①建立假设和确定检验水准②计算检验统计量③查表确定P值和作出推断结论2两样本均数比较的t检验与完全随机化设计多个样本均数比较的方差分析之间的关系：①当比较的均数为两组时，F = t2 ，此时方差分析与t检验所得结果是等价的。
②两样本均数比较的t检验只能用于两个样本，而完全随机化设计多个样本均数比较的方差分析还可以用于多个样本。
配对设计的t检验与随机区组设计的方差分析之间的关系：①当比较的均数为两组时，F = t2 ，此时方差分析与t检验所得结果是等价的。
②配对设计的t检验只能用于同一对象或者匹配的两个对象接受两种处理的情况，而随机区组设计的方差分析可以用于两种以上的处理。
③配对设计的t检验只能分析处理因素的作用，随机区组设计的方差分析除了可以分析处理因素外，还可以分析区组因素。
3ν1= 3，ν2 = 21，查表得F0.05,(3,21) = 3.07 < F，得出p<0.05，可以认为这四组结果不等或者不全相等，但并非任两组之间都有差别。
若想进一步知道任两组之间的关系，还需要进行两两比较。
4①建立假设和确定检验水准H0：四组大鼠的血清SOD活性的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4。
H1：四组总体均数不等或不全相等。
α=0.05②计算检验统计量F值SS总=6134.890，SS组间=3166.012，SS组内=2968.869ν组间=k-1=4-1=3，ν组内=N-k=40-4=36MS组间=1055.340，MS组内=82.469，将上述结果列成方差分析表：③确定p值，作出推断结论查表得F0.05,(3,36)=2.87,F> F0.05,(3,36),p<0.05,故拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可以认为四组大鼠的血清SOD活性的总体均数不等或不全相等。
5①建立假设和确定检验水准H0：三种降糖药降糖效果的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3。
第五章方差分析
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5.2
单因素方差分析
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
5.2.2 用“分析家”作单因素方差分析
5.2.3 用过程进行单因素方差分析
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5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
1. 实例
【例5-1】消费者与产品生产者、销售者或服务的提供 者之间经常发生纠纷。当发生纠纷后，消费者常常会向 消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价， 消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 分别抽取了不同的企业作为样本。每个行业各抽取5家 企业，所抽取的这些企业在服务对象、服务内容、企业 规模等方面基本上是相同的。然后统计出最近一年中消 费者对总共20家企业投诉的次数，结果如表5-4。
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3. 方差分析表
通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。
表5-1 单因素方差分析表
来源Source 自由度DF 平方和Sun of Square 平均平方和 Mean Square F统计量 F value p值Pr > F
组间
组内 全部(C-tatol)
对于给定的显著性水平α 当值p = P{FA > FA0} < α时拒绝H0A； 当值p = P{FB > FB0} < α时拒绝H0B。 其中，FA0为FA统计量的观测值，FB0为FB统计量的观 测值。
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2. 有交互作用的多因素方差分析
对于有交互作用的观测{xijk}，采用以下的模型： xijk= + i + j + ij + ijk， 1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n 其中表示平均的效应，i和j分别表示因素A的第i个 水平和因素B的第j个水平的附加效应， ij 表示因素A的 第i个水平和因素B的第j个水平交互作用的附加效应。 ijk为随机误差，这里也假定它是独立的并且服从等方差 的正态分布。 注意，其中n必须大于1，即为了检验交互作用，必须 有重复观测。
(预防医学课件)05t检验与方差分析
. .
1.00
195 (d2)
28
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0: μd = 0 ，即两种结果相同 H1: μd ≠ 0 ，即两种结果不同
2. 计算检验统计量
α=0.05(双侧检验)
已知: Σd=39 Σd2 =195
dd393.25
n 12
Sd
d2( d)2/n19 (3 5)2 9 /1 22.4909
19
检验步骤
•首先假定H0是成立的， α＝0.05 •在此前提下计算统计量
•根据其分布函数，通过查该分布的界 值表，得到大于或等于此统计量值的 概率P
二、配对设计的差值均数与总体均数0的比较
配对的主要形式有： 同源配对
①同一受试对象处理前后的数据； ②同一受试对象两个部位的数据； ③同一样品用两种方法（仪器）检验的结果；
＜u0.05 ＞0.05
≥ u0.05
≤0.05
结论 接受H0，差别无统计学意义 拒绝H0，接受H1，差别有 统计学意义
13
本例 u=1.792，u0.05 =1.96，u=1.792＜ u0.05 =1.96。 因此P＞0.05，说明在 a=0.05 水准上，接受H0， 根据现有样本信息，尚不能认为该市 2 岁男孩的 平均体重与全国的同期水平不同。
结论：在 a = 0.05 水准上不拒绝 H0，可认为 服用该减肥药前后体重差异无统计学意义。
34
三、完全随机设计两个样本均数的比较
两种类型：
选择一定数量的观察单位，将它们随机分为两组或 多组，分别给予不同处理；
从两组或多组具有不同特征的人群中，分别随机抽 取一定 数量的样本，比较某一指标在不同特征人群 中是否相等。
统计学意义
1.00
195 (d2)
28
1. 建立检验假设，确定检验水准
H0: μd = 0 ，即两种结果相同 H1: μd ≠ 0 ，即两种结果不同
2. 计算检验统计量
α=0.05(双侧检验)
已知: Σd=39 Σd2 =195
dd393.25
n 12
Sd
d2( d)2/n19 (3 5)2 9 /1 22.4909
19
检验步骤
•首先假定H0是成立的， α＝0.05 •在此前提下计算统计量
•根据其分布函数，通过查该分布的界 值表，得到大于或等于此统计量值的 概率P
二、配对设计的差值均数与总体均数0的比较
配对的主要形式有： 同源配对
①同一受试对象处理前后的数据； ②同一受试对象两个部位的数据； ③同一样品用两种方法（仪器）检验的结果；
＜u0.05 ＞0.05
≥ u0.05
≤0.05
结论 接受H0，差别无统计学意义 拒绝H0，接受H1，差别有 统计学意义
13
本例 u=1.792，u0.05 =1.96，u=1.792＜ u0.05 =1.96。 因此P＞0.05，说明在 a=0.05 水准上，接受H0， 根据现有样本信息，尚不能认为该市 2 岁男孩的 平均体重与全国的同期水平不同。
结论：在 a = 0.05 水准上不拒绝 H0，可认为 服用该减肥药前后体重差异无统计学意义。
34
三、完全随机设计两个样本均数的比较
两种类型：
选择一定数量的观察单位，将它们随机分为两组或 多组，分别给予不同处理；
从两组或多组具有不同特征的人群中，分别随机抽 取一定 数量的样本，比较某一指标在不同特征人群 中是否相等。
统计学意义
第五章SPSS方差分析课件
TARGET DEVICE
1
1
2
1
3
1
4
1
1
2
2
2
3
2
4
2
1
3
2
3
3
3
4
3
…………
LIGHT SCORE 12 19 1 10 18 11 19 1 10 1 11 15 15 17 12
数据准备：一个分析变量SCORE ，三个因素 变量TARGET, DEVICE , LIGHT 。
数据文件：spssjiaoan\例题数据\多维交互效 应方差分析
误差Error），还有很多选项相应的结果。
结果解释：两种药物A和B均对治疗缺铁性贫 血有显著疗效，两种药物A和B的协同作用也 很显著。
输出文件：spssjiaoan\例题数据\ 2×2析因实验
方差分析
5.1.4拉丁方区组设计的方差分析 拉丁方实验设计的特点:有两个以上因素变量,
每个因素变量的水平数相等。
分析过程：
Analyze->General Linear Model-> Univariate
Dependent：Score Fixed Factors： Target、 Device、 Light Model：保留全模型选项（不对Model操作） 选择输出Option选项：选Target*Device* Light进
Dependent：redcell Fixed Factors：drugA、drugB 保留全模型选项（不对Model操作） 选择Plot选项： 作三个图drugA、drugB、
drugA*drugB 选择输出Option选项：选 drugA、drugB、
第五章方差分析144页PPT
较同需时估没计有一充个分利S用xi 资xj 料，所故提使供得的各信次息比而较使误误差差的估估计计的不精统确一，
性降低，从而降低检验的灵敏性。
上一张 下一张 主 页 退 出
例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
上一张 下一张 主 页 退 出
1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
上一张 下一张 主 页 退 出
表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j
xi.
)
0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
性降低，从而降低检验的灵敏性。
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例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
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1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
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表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j
xi.
)
0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
第5章 方差分析
x1
x2
xi
K xk
1 xi = ni
∑x
j =1
ni
ij
1 总均数 x = N
1 ∑∑ xij = N i j
∑n x
i =1
k
i i
总离差平方和： 总离差平方和：即所有样本值与其总均数偏差的平方和
SS = ∑∑ ( xij − x ) = ∑∑ ( xij − xi ) + ( xi − x )
有六种不同的中药杀虫剂,为了分析它们的杀虫效果, 例2 有六种不同的中药杀虫剂,为了分析它们的杀虫效果,对其 杀虫率做了如下试验, 杀虫率做了如下试验,推断这六种杀虫剂的效果差异是否有显 著意义. 著意义. 药物
杀 虫 率 一 87.4 85.0 80.2 二 90.5 88.5 87.3 94.7 361.0 三 56.2 62.4 四 55.0 48.2 五 92.0 99.2 95.3 91.5 378.0 六 75.2 72.3 81.3
∑n (x − x)
i =1 i i
2
它表示系统误差， 它表示系统误差，即各组均数对总均数的离差平方和 结论：总离差平方和=组内离差平方和+ 结论：总离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和
根据:自由度=统计量中独立变量的个数根据:自由度=统计量中独立变量的个数-约束条件个数
SSe中
∑( x
j =1
− xi ) + ∑ ni ( xi − x )
2 k i =1
2
从上式可看出，SS可分解成两项之和 从上式可看出，SS可分解成两项之和 组内离差平方和： 组内离差平方和： =1 j =1
k
ij
− xi
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资料作反正弦转换，例如， 1 0.943 sin
=76.19， sin 1 0.641 =53.19，转换结果
见表5-47。
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例5.8
有3个玉米自交系48-2、S37和ES40在相同条
件下保存了两年。为了了解其种子的生活力，每个 自交系随机选取100粒种子在培养箱内作发芽试验， 重复7次，3个玉米自交系种子发芽率资料列于表546，试对资料进行方差分析。
transformation)和反正弦转换(arcsine
transformation)。
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• 平方根转换适用于各组方差与其平均数之间有
某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈普阿
松分布的资料。 x或者 x 1
• 对数转换适用于各组数据的标准差或全距与其
平均数大体成比例，或者效应为相乘性而非相 加性的资料。 x, ln x或者 lg( x 1), ln( x 1) lg • 反正弦转换适用于二项分布的资料。sin 1 p
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数据转换(transformation of data)
如果试验资料不满足方差分析的三个基本假
定，不能直接进行方差分析，需先进行数据转换 再作方差分析。 数据转换的方法：平方根转换(square root transformation)、对数转换(logarithmic
作业：P138－P140
• 思考：1－10 • 书面作业：11－17
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第五节 数据转换*
• 方差分析的基本假定
• 数据转换
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ห้องสมุดไป่ตู้
方差分析的基本假定
• 效应的可加性(additivity) • 分布的正态性(normality) • 方差的同质性(homogeneity)
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方差分析
• 对转换后的数据进行方差分析，得方差分
析表。
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多重比较
• 用SSR法进行多重比较，得表5-49。
87.7500 • 因S x 3.54, dfe 18 ，SSR值LSR 7 值见表5-50。
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数据转换
这是一个服从二项分布的发芽率资料，
且有低于30%和高于70%的，应先对发芽率