一类捕食模型的持续生存条件

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具有反馈控制的捕食链模型的永久持续生存

ｔｉａｒＭｅｈｓＴｈｏａａｌｈｏｙａｄｐｒｉｔｎｅｆｎｃｉｎｃｎｔｕｔｎ．ｓｔＴｈｕｃｅｔｃｎ — ｈｓｐｐｅ．ｔｏｄｅｃｍｐｒｂｅｔｅｒｎｅｓｓｅｃｕｔｏｏｓｒｃｉＲｅｕｌｓｏｅｓｆｉｎｏｄｉｉ
ｃｕｄｂｅｓｓｎｎｅｅｔｉｏｄｔｎ．ｏｌｅｐｒｉｔｔｕｄｒｃｒａｎｃｎｉｏｓｅｉＫｅｒｓｅａｅｃ；ｆｅｂｃｏｔｌｏｄｃａｎｍｏｅｙｗｏｄ：ｐｒｎｎｅｏｄａｋｃｎｒ；ｆｏ－ｈｉｄｌｍｏ
对于具有反馈控制的生态系统的研究已有许多成果。是，但以往的文献大都局限于对常见的
１１）ｂ一∑ ａ（（一）＝（［（ｆ）ｌ￡。一ｊ）￡
：二
ｊｌ＝１＋ｃ（）（１￡，ｔ—Ｐ７１）
第１，ＩＩＩ类功能性反应函数和比率型模型的研究。Ｉ
一
文献［］４研究了一类具有类功能性反应函数的竞
争反馈控制生态系统。近年来，有时滞的种群动力学模型已引起了具
ｄ（）１ｔ］＋Ｄ（）Ｙｔ。ｔ］ｔＵ（）。ｔ［（）一（），
１＋ｃ（）。￡ｚ２；（一ＰＪｊ）
１
本文讨论一个食饵种群具有扩散率的三种群捕食链模型，讨论由反馈控制所引起的时滞对种群并动力学性态的影响。为此，讨论下列具有Ｏ类功能ｄ性反应函数的多时滞反馈控制生态模型

一类具有时滞的捕食-被捕食模型的持久性

由微分方程解的性质显然可得：定理１为系统（）１的正向不变集．定理２假设如下条件成立：（）ｇｌｄ＞，其中ｈＨ１ｈ — ０ｒ
第４９卷
第３期
吉林大学学报（理学版）
ＪｕａｆｉｎＵｉｅｉＳｉｃｄｔｎｏｒｌｌｎｖｒｔｃｅｅＥｉｏ）ｎｏＪｉｓｙ（ｎｉ
Ｖｏ．９Ｎｏ３１４．
Ｍａ２１ｖ０１
２１０１年５月
研究简报

ＰｅｓｓｅｃｎａＰｒｄｔｒＰｒｙＭｏｅｔｍｅＤｅａｒｉｔｎｅｉｅａｏ－ｅｄｌｗｉＴｉｌｙｈ
ＴＥＮＧｎＹｏｇ，ＬｈｉｔｏＩＳ —ａ
（ｅａｔｅｔｆＢｓｏｒ，ｈｎａｇＵｉｒｔｆＴｃｎｌｙＬｎｙｎ１００Ｌａｎｎｒｖｃ，ｈｎ）ＤｐｒｎａｉＣｕｓＳｅｙｎｎｅｉｍｏｃｅｖｓｙｏｅｏｇ，ｉａｇ１１０，ｉｉｈｏｏｏｇＰｏｉｅＣｉｎａ
１解的有界性
考虑如下微分不等式：（）≤ ｔ［ｔ（）ｎ—ｂ（ — ｒ］ｘｔ），初始条件：（）＝ｔ＞０， ∈［，］ｘｏ０ｔ（）１ｔ一０，（）＞．其中ｎ＞ｂ０为常数．０，＞引理１对于任意一个满足不等式（）２的函数（）存在一个Ｔ＞，使得当ｔ，（）ｔ，０ ≥Ｔ时ｔ ≤ （／）ａ立．ａｂｅ￣成考虑如下微分不等式：（）≥ （）口一６（），￡［ｔ— ］初始条件：（）＝ｔＩ０ ∈［，］ｘ００ｔ（），ｔ一ｒ０，（）＞．其中０＞，０为常数．＞０ｂ＞

一类捕食与被捕食系统的最优可持续收获策略

Ａｂｔａｔｎｔｉｐｐｒｓｒｃ：Ｉｓａｅ，ｗｅｈｖｔｄｅｅｇｏａｒｐｒｅｆａｃａｓｏｒｄｔｒｐｅｄｌｗｉｌｎｙｅ Ⅲ ｈａｅｓｉｄｔｌｂｌｐｏｅｔｓｏｌｓｆｐｅａｏ —ｒｙｍｏｅｔＨｏｌｇｔｐｕｈｉｈｉ
ｆ＋＋：一＋］．６９１・ｅ ’ｘａ］２
方程（）８是关于Ａ的二阶常微分方程，其解为）＝ｃｔ＋ｃｅ＋Ｂ＊ ‘ ： ‘ ｅｔ０＂Ｓ（）９
［］加］．克拉克．学生物经济学——更新资源的最优６［ｃＭ．数管理［．Ｍ］周勤学，丘兆福，北京：译徐建华．现代地理学中的数学方法［．京：Ｍ］北高等教育出
ｆ ‘ －） ‘ ＝（－１），
－ｘｑｌＥ
…
ｆ＝．ｅ ‘ ２－ｙ【ｙ（ｋｑ－）Ｅ，＋２
（１）
作进一步研究，探讨其最优可持续ｌ获策略。Ｉ殳（）ｒⅣ，。ｑ，ｅｋ，为正数：表示食１中，ｇ，：Ｅ，，，ｐ均ｒ饵种群在没有捕食者的自然增长率； Ⅳ表示食饵种群的生态位容量；Ｅ表示捕捞强度；。ｇ表示捕捞系数；ｇ，：
版社，０９２０．
这ｃ为常数ｍ＝・里ｃ：任意，丢
［２（１‘ Ｂ＋一・；Ｂ】ｉ１．）＿，＝，４２
ＴｅＯｔｌＳｓｉａｌｒｅｔＳｒｔｇｆａＣａｓｏｒｄｔｒＭｏｅｈｐｉｕｔｎｂｅＨａｖｓｔｅｙｏｌｓｆＰｅａｏ．ｄ１ｍａａａ

一类捕食与被捕食系统的正解与持久性

ＺＮＧＨｕ－ｏｇ，ＭＡｎｊｎ，Ｅａ－ｈｎＥａｄｎ，Ｍａ－ａＺＮＧＦｎｓｅｇ－
（．ｃｏｌｆｔｅｔｓｎｈｓｓＵｎｖｒｉｆｏｔｈｎ，ｅｇａｇ４１０，ｈｎ；１ＳｈｏＭａｈｍａｉｄｙｉ，ｉｅｓｙｏＳｕｈＣｉＨｎｙｎ２０１ＣｉａｏｃａＰｃｔａ
第２卷第２３期２１０１年６月
湖南文理学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｎｎＵｎｖｒｉｆｔａｄＳｉｃ０ａｕａｃｎｅｄｔｎｏｒａａｉｅｓｙｏＡｒｓｎｃｎｅＮｔｒｌｉｃｉｏ）ｏＨｕｔｅＳｅＥｉ
ｂ（）面ｙｓ而
，得可
，
ｅ
因为（），所以有（＞ｏ，０＞０ｆ）
及始件｛初条：
－０，㈣ｒ５￣０．
ｆ０ｏ） ∈（，。．
下证（＞０．反设在（，ｏ中有使得ｙｔ＝０ｆ）０ｏ）（）
的，＝ｎｔ（＝）由（＞知，）点且设ｉ｛ｔ０．００（ｆｌ）ｙ）ｆ０
．
这与ｙｆ，）（。０
矛盾．所以ｔ诺（，］ｏ０ｆ，即．ｆ＞０Ｅ（，】）），ｔ０ｆ．，（
收藕日期：０１０ — ３２１— ５１
作者简介：曾华￥（９７）１７－，男，硕士研究生，研究方向为微分方程与动力系统．－ｉｚｎｈａｏｇ９７６．ｒＥｍａ：ｅｇｕｄｎ１７＠１３ｏｌｃｎ

一类具有避难所和时滞的非自治阶段结构捕食系统的动力学分析

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型
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11
16]
2024 年 4 月
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α1 t y2 t + 1-q1 t x1 (
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t)[
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t)-b2 (
t)
x2 (
t)= x2 (
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一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

具有阶段结构与时滞的捕食系统模型的永久持续生存和稳定性

设：年种群的出生率与成年种群的密度成正比，ａ。ａＯ；年种群死亡率为幼为．（＞）幼Ｔｇ
＋
（，＞０；）叩，）幼
年种群到成年种群的转化率与幼年种群的密度成正比，为
ｒ０
（ｎ＞ｏ；年种群的死亡率为；＞Ｏ；）成（）成
ｒ０
年种群消极反馈的拥挤现象对目前死亡率的影响为。（一）＂＞０（３Ｅ常数）成年种群过去一１时期的经历；＼
Ａｕ０８ｇ２０
参ｉｊ ■ ◆０Ｉ￣。Ｌｌｉｊ：ｉ，ｉｊ … ¨
具有阶段结构与时滞的捕食系统模型的永久持续生存和稳定性
程惠东，秋霞。孙常正波
（东科技大学理学院，东青岛２６１）山山６５０
近年来时滞生态系统和阶段结构种群动力系统的研究已有许多成果。献［］得到单种群阶段结构系文１
统的持久性的条件；献［］文献［］研究了在斑块环境中具有连续时滞和扩散效应的捕食者与食饵的动文２、３
Ｋｅｒｓ３ｒｌｎｌｕｖｖｌｌｂｌｙａｙｔｔｔｂｌｙ；ｓａｅｓｒｃｕｅｉｅａｙｗｏｄ：ｆ／ａｅｌｓｒｉａ；ｇｏａｌｓｍｐｏｉｓａｉｔｅＴｔｃｉｔｇｔｕｔＦ；ｔｍｅｄｌｙ
摘要：究了具有时滞和阶段结构的捕食者一研食饵模型，得到了与时滞有关的系统永久持续生存的充分条件；同

一类捕食模型正解的存在性和惟一性

第３３卷第２期
２１００年６月
南京师大学报（自然科学版）
ＪＵＮＬＯＡＪＮＯＭＬＵＩＥＳＴＮｔｒｌｃｅｃｄｔｎＯＲＡＦＮＮＩＧＮＲＡＮＶＲＩＹ（ａｕａＳｉｅＥｉｏ）ｎｉ
Ｖ０．３Ｎｏ２１３．
应的反应扩散系统正解的渐近性，到了正解存在的一个必要条件，且应用锥上的拓扑度理论指出了该条件得并
也是正解存在的充分条件．此外，研究了一维情形下正解的惟一性．［关键词］捕食模型，惟一性，存在性，反应扩散方程［中图分类号］Ｏ７．５［１５２文献标识码］Ａ［文章编号］０１６６２１）２０２－５１０－１（０００－６０４０
论．关于捕食模型的研究还可以参看文献［—］３５．
１预备性结果
本节给出一些预备性结果，这些结果在后面的分析中将经常遇到．
收稿日期：０９０－０２０－９２．
基金项目：国家自然科学基金（０００１．１６１１）通讯联系人：文彦，士，教授，究方向：微分方程． — ａｌｃｙｅ＠１３ｃｒ陈博副研偏Ｅｍｉｗｓｕ６．ｏ：ｎ
Ｋｅｒｓｐｅａｏ — ｒｙｍｏｅ，ｕｉｕｎｓ，ｅｉｅｃ，ｒａｔｎｄｆｓｏｑａｉｎｙｗｏｄ：ｒｄｔｒｐｅｄｌｎｑｅｅｓｘｓｎｅｅｃｉ・ｉｕｉｎｅｕｔｓｔｏｆｏ

一类感染疾病的捕食-被捕食模型的研究

｛＝，ｒ一（１—ＡＳ—ａｌ一ａＮ］，［，０ｌ）ｌ，１２，２
（）２
ｔＮ
２
，
：，（２＋。】ｖ一ｒ２２５＋。，一ｎ２．２ｖ），
收稿日期：０１１－３修回Ｅ期：０２ —１２１．２２；ｌ２１￣２２基金项目：山东省自然科学基金（Ｒ０９Ｌ１；Ｚ２０Ａ００）山东省高等学校科技计划项目（０Ｌ５）Ｊ９Ａ１作者简介：陈珍珍（９９）女，Ｉ８一，山东潍坊人。硕士研究生，研究方向为动力系统与生物数学。Ｅｍａ：ｅｚｅｃｅ１２＠１３ｃｍ。－ｉｚｎｈｎｈｎ２１６．ｏｌｈ
通讯作者：赵建东（９７）男，１６一，山东邹城人。教授，士研究生导师，硕博士，研究方向为常微分方程与动力系统、生物数学。Ｅｍｉ－ａｌ
ｊｚａ＠ｕｔ．ｄ。ｄｈｏｓｅｕｅ
１２１
鲁东大学学报（自然科学版）
第２卷８
其中
０＜（ｌ＋Ａ），＜Ｉｒ０１ｒｌ，２＞００＜Ａ＜ｎ１０ｒ，Ｉ，＞０ｉ，，１２＝，．（）３
模型（）际上是一个三维ＬｔａＶｌｒ模型．２实ｏ —ｏｔｒｋｅａ若被捕食者没有感染疾病，ｆ＝０，Ｎ，则Ｓ＝ｒ：ｒ，此时模型（）就是模型（）若不存在捕食者 Ⅳ２满足不等式（）２１．，３的模型（）２简化为以下模型：
关键词：ｅａＬｔａＶｈｒ模型；ｒ平衡点；基本再生数

具有功能性反应的捕食模型的持久性和灭绝性

具有功能性反应的捕食模型的持久性和灭绝性王爱丽【摘要】讨论了一类具有第Ⅱ类功能性反应函数的捕食一被捕食模型.分别给出了捕食者和被捕食者种群均灭绝;捕食者种群灭绝,而被捕食者种群幸存;以及两种群长期共存的条件.最后通过实例说明所得结论的可实现性.%A class of predator-prey model with functional response is investigated. The conditions are obtained under which all the species become extinct, the predator species become extinct while the prey species keep permanent and the two species keep permanent, respectively. Moreover, the feasibility of the result is shown by example.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(011)007【总页数】3页(P1525-1526,1534)【关键词】功能性反应;稳定性;捕食-被捕食模型【作者】王爱丽【作者单位】宝鸡文理学院数学系,宝鸡,721013【正文语种】中文【中图分类】Q146在对生物学动力系统的研究中，人们所关注的问题是相互作用的各物种的长期行为。

从数学角度看，即关注的是一类微分方程组平衡点的存在性、稳定性等。

例如Lotka-Volterra模型中，方程组往往拥有多个平衡解，而研究者最感兴趣的是方程组的解是否会收敛于某一个平衡解;即在不同的平衡解中寻求一个稳定解的充分条件。

关于平衡解的稳定性方面的研究，已有很多成果［1—5］。

但是，对于理论结果的可实现性，以及所得结果的生态意义方面的研究，工作较少。

基于此，本文考虑一类具有第Ⅱ类功能性反应的捕食-被捕食种群模型式(1)中，x表示被捕食者种群的数量，y表示捕食者种群的数量，a表示被捕食种群的内禀增长率，b表示被捕食种群的内部竞争率群的捕食效率，d表示捕食种群的自然死亡率，c反映捕食种群的转化效率;a，b，c，d，α，ω 均为非负常数。

周期捕食-食饵模型的持续生存和正周期解

ｇｅｅｒ，ｈｅｉｄｃｐｅａｏ－ｒｙｍｏｅｗｉｅｌ－ｗｅｎｌｎ－ｐｒｅｈｏｙｔｅｒｉｒｄｔｒｅｄｌｔＬｓｉＧｏｒａｄＨｏｌｇＴｙｅⅡ ｓｈｍｅｓｎｅｔｔｐｏｐｈｅｉｃｅｓｗａｖｓｉｉ —
文章编号：１７ —１６２０）５Ｏ３一４６３５９（Ｏ７Ｏ一１２Ｏ
周期捕食一食饵模型的持续生存和正周期解
霍海峰，张良，苗黎明
（兰州理工大学应用数学研究所，甘肃兰州７０５）３００
摘要：利用比较定理和重合度理论的连续延拓引理研究带有ＬｓｅＣｗｅｅｌ－ｏｒ和ＨｏｌｇＴｐ Ⅱ方案的周期捕食一ｉｌｎ－ｙｅｉ食饵模型，得到该模型易于验证的持续生存和存在正周期解的充分条件．关键词：捕食一食饵模型；持续生存；正周期解
中图分类号：７．０１５１文献标识码：Ａ
Ｐｅｍａｎｅａｏｉｉｅｐｒｏｃｓｌｔｏｆａｐｅｉｉｅａｏ－ｅｏｅｒｎｅｃｎｄｐｓｔｖｅｉｄｉｏｕｉｎｏｒｏｃｐｒｄｔｒｐｒｙｍｄｌｄ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＢｙｅｌｙｎｈｏａｉｏｈｏｅａｄｃｎｉｕｔｎｐｏｏｇｔｎｌｍｍａｉｏｎｉｅｃｅｍｐｏｉｇｔｅｃｍｐｒｓｎｔｅｒｍｎｏｔｎａｉｒｌｎａｉｅｏｏｎｃｉｃｄｎＩ６￡ｄ（）ｔ
ＣＪＪ０ｔ

一类三种群功能性反应捕食-食饵模型的持久性和绝灭性研究

ＰｅａｅｅａｍｎｎｃｎｄｘｉｃｉｎＯｈｅｐｃｅｅｔｒ—ｐｅｙｓｅｅｔｎｔＯｆａｔｒｅｓｅｉｓｐｒｄａ０ｒｙｓｔｍＷＵｉ１ｎＨｕ－ｉｇ
（ｏｅｅｏＭａｅａｃａｄＣｍｕｅＳｉｃ，ｕｈｕＵｉｒｉ，ｕｈｕ３０ｏ，ｈｎ）ＣＵｇｆｔｍｔｓｎｏｐｔｃｎｅＦｚｏｎｅｓｙＦｚｏ５０２Ｃｉａｈｉｒｅｖｔ
类三种群功能性反应捕食一饵模型的食
持久性和绝性研灭究
伍慧玲
（福州大学数学与计算机科学学院，福建福州３Ｏｏ）５０２
摘
一
要：首先修正了文［］出的一类三种群功能性反应捕食一食饵模型，１提其后利用微分方程比较原理得到了
咖，＿卜ｆ篱一ｌ
㈤㈤＋
收稿日期：０８— ５—１２ｏ０３
，
（）ｏ．１
㈤］），
基金项目：国家自然科学基金（５１０）０００７资助项目；福建省高等学校新世纪优秀人才资助计划项目（３０— ０３３０３０３８）
１主要结果
作为文［］６引理１２的直接推论，பைடு நூலகம்．我们有
引理１１若。０６０．＞，＞且当ｆ０ｔ和（＞）０时有
Ａｓａｔｒｒｃａｒａｒｐｙｏｅｐｏｏｄｂｉ０ａｄ０ｇｉａｇ１，ｆｒｈｔｂ印一ｂｔｃ：ｆｓｃｒｔｅ０ — ｒｄｌｒｓｙｎ（ｊｎｎｎｇｎ［］ａｅｔ，ｙｒｗｅｉｔ０ｅｐｄｅｍｐｅＬｉａＨＹｕｔａ

具有相互干扰的捕食-食饵模型一致持续生存

１７年，ａｓｌ在研究圆柄姬蜂攻击它们的寄主粉斑螟（种面粉蛾）９１Ｈｓｅｌ一的行为特征时，现当两个搜发
寻的寄生物相遇时，中之一或这两个寄生物都具有离开其相遇地的趋势，其因此寄生物在搜寻寄主的相互间有干扰，从而降低它们的搜寻效率，显然这种干扰必随着这两种生物数量的增加而增加。为此Ｈｓｌａｅｓｌ提出考虑这种干扰与寄生物密度之间关系的数学模型，引入了干扰常数ｍ（０＜ｍ≤１的概念．）并提出了个既考虑密度制约、功能反应，又考虑相互干扰的捕食一食饵之间的竞争模型ｌ：】］
Ｉ＝Ｙ一ｒ（）一ｂ（）．ｙ（２ｔ２ｔｙ＋ｃ（）ｙ）２ｔｘ
的一致持续生存．其中ｉＹｆ分别表示食饵和捕食种群的数量；，，（，，ｒｂｃ＝ｌ２为［，，）０＋∞）上的有界连续函数，具体的生物含义可参见文献［］显然（）（）５．２是３的特殊情形．此处，仅研究当０＜ｍ＜１时模型（）３的一致持续生存的充分条件．
１／１一，Ｉ、，
证明由 ≤ ｚ（６一ａ卜）得ｚ，
Ｑｆ
≤（１一ｍ）６一一）根据引理１得：（．可
Ｉ＝Ｙ一／（）一ｂ（）．ｙ（＇ｔ２２ｔｙ＋ｋ１ｔｘｃ（）ｙ一）
探讨了其正平衡点的存在性与稳定性．对于模型（）其在什么情况下持续生存目前还没有相关的结论出现．２，鉴于此，讨论（）２的推广模型：ｆ＝（１ｔｒ（）一ｂ（） —ｃ（）１ｔ１ｔＹ），、
得了关于该模型一致持续生存及存在周期正解的充分条件，对具体的例子利用Ｍｐｅ件给并ａｌ软

具阶段结构的四类捕食系统的持久性研究

具阶段结构的四类捕食系统的持久性研究本文通过探讨四类捕食系统的动力学行为，得到了保证系统持久生存的充分条件或充分必要条件。

本文研究了四个方面的内容。

第一部分研究了具有阶段性结构的一捕食-两食饵模型的持久性，运用比较定理对模型进行分析，得到系统永久持续生存和捕食者灭绝的充分条件。

第二部分研究了具有Beddington-DeAngelis(简称B-D)和Holling Ⅳ的功能反应的捕食与食饵生态系统，该系统是两个具有竞争关系的食饵种群被一个具有阶段结构的捕食种群捕食。

运用比较定理，得到了系统永久持续生存和捕食者灭绝的充分条件。

第三部分主要研究了具有阶段结构的无穷时滞的捕食生态系统。

运用比较定理，得到了系统持久生存和捕食者灭绝的充分条件。

第四部分研究了具有Beddington-DeAngelis和Holling类功能反应，且具有周期系数的捕食系统，该系统是具有阶段结构食饵种群被两种不同捕食种群捕食。

运用比较定理和一些主要结果，得到了系统永久持续生存和捕食者灭绝的充分必要条件。

一类捕食模型正解的存在性分析

一
（）５
相特数，，主征应的征函为， … 其特值
）ｉ量）＝Ｑｎｆ
是重的单
，
而且有如下比较原理：
若口）ｑＸ则（２）４ｑ（，
收稿日期：２０ — ３００８０— ７
作者简介：袁静（９９）女，河南鹤壁人，助教，１７一，大学本科，研究方向：算子代数，－ａ：ｕ．ｎｓｕｏ。Ｅｍｉｙｊｃ＠ｏ．ｍｌｉ＿ｈｃ
维普资讯
第３期
维普资讯
第２卷第３４期
２０年５月０８
齐齐哈尔大学学报
ＪｕｎｌｆｑｈｒＵｎｖｓｔｏｒａｉａｉｅｒｉｏＱｉｙ
Ｖ０．４Ｎ．１．ｏ３２
Ｍａ，０８ｙ２０
一
类捕食模型正解的存在性分析
袁静，易景平
（河南安阳师范学院数学科学学院，河南安阳４５０５０２）
摘要：研究了一类捕食模型的平衡态方程，通过利用正的紧线性微分算子的谱性质和锥映像不动点指标，结合极
值原理，上下解方法，得到了正解存在的充分条件。
关键词：平衡解；谱；不动点指标；上下解中图分类号：Ｏ１５６７．２文献标识码：Ａ文章编号：１０－８Ｘ２０）３０５－５０７９４（０８０ — ０８０
食饵和捕食者的浓度；ａｂ和代表两个物种的生长率或者死亡率；和ｄＣ都是大于零的常数式（）即为经典的Ｖｌｒ — ｏａ捕食食饵模型，此类模型在过去的几十１ｏｅａＬｔｔｒｋ年里已被广泛研究（见文献【— ］；如果ｍ＝１则式（）即为Ｈｌｎａｎｒ１３），１ｏｉｌ — ｎｅ反应项的捕食食饵模型。文献［首次讨论了该模型，利用分歧理论给出了正平衡解的存在性。本文在１ｍ的情况下采用计算不动点４］

具有功能性反应的捕食模型的持久性和灭绝性

１平衡点的稳定性分析
以下采用按线性近似决定稳定性这一理论来分别讨论这三个平衡点的稳定性。
群的捕食效率，示捕食种群的自然死亡率，ｄ表ｃ反映捕食种群的转化效率；，，，，，均为非负ｎｂＣｄ
ｆ警
｛，【ｄｖ
一）
ｃ似、
Ｊ
则其存在唯一的正平衡点Ｅ（，）其中Ｙ，
ｄｄｔＹ＋
（）
ｄ＿Ｃ＝ｔ；一ａｏ
ａＯ一血（ｃ（ｄＤ一６０ｃ一（）
。
式（），表示被捕食者种群的数量，示捕食１中Ｙ表者种群的数量，ａ表示被捕食种群的内禀增长率，ｂ表示被捕食种群的内部竞争率，反映捕食种
群灭绝，被捕食者种群幸存；而以及两种群长期共存的条件。最后通过实例说明所得结论的可实现性。
关键词
功能性反应Ｑ４；１６
稳定性
捕食・被捕食模型Ａ
中图法分类号
文献标志码
在对生物学动力系统的研究中，们所关注的人问题是相互作用的各物种的长期行为。从数学角
因为仅当平衡点位于平面坐标系第一象限（，
ｙ） ≥０时才有实际意义，于是我们得到以下结论。
（１Ｃ（如＞０Ｈ）Ｏ一；（２ａＯ一ａｏ— ｄ＞。Ｈ）ｃ（＆ｂ０

一类食饵捕食系统的持久生存性

（）（）为相互独立的两种群。Ｙｔ为ｔ刻ｔ、ｔ（）时
（）（）分别满足Ｌｇｔ模型。ｔ、２ｔｏｉｉｓｃ
捕食者种群的密度，满足ＬｔａＶｈｒ且ｏｋ．ｏｅａ模型。ｒ
ｌ
［稿日期］２００收０９— ９—２５
Ａｂｓｒｃ：Ａｗｒｙｐｅａｏｙｔｍｓｐｏｏｅｔａｔｎｅｐｅ — ｒｄｔｒｓｓｅｉｒｐｓｄ，ｗｈｃｓｃｎｔｔｔｄｏｗｏｐｒｙａｄｏｅｐｅｔｒ，ａｄｔｅｉｈｉｏｓｉｕｅｆｔｅｎｎｒｄａｏｎｈｐｅ — ｒｄａｏｙｔｍｓｐｅｅｔｄｂｈｉｄｅＮｅｔｔｅｅｉｔｎｅｆｔｅｐｓｔｖｏｕｉｎｆｒｔｉｓｓｅｉｒｙｐｅｔｒｓｓｅｉｒｓｎｅｙｔｓｍｏｌ．ｘ，ｈｘｓｅｃｏｈｏｉｅｓｌｔｏｏｈｓｙｔｍｓｉｓｕｅｔｄｉｄ．Ｉｄｉｉｎ，ｔｅｓｓｅｃｆｔｉｄｓｇｖｎａｄｐｏｅｎａｄｔｏｈｅｐｒｉｔｎｅｏｈｓｍｏｅｉｉｅｎｒｖｄ．Ｔｘｍｐｅｉｉｅｏｉｌｓｒｔｈｅｒ — ｈｅｅａｌｓｇｖｎｔｌｕｔａｅｔｅ
［关键词］食饵捕食系统；久性；型持模
［中图分类号］Ｔ３Ｐ１［献标志码］Ａ文［文章编号］１０ —３０（００Ｏ－０５２０５０１２１）１６－００

在污染环境中捕食-食饵模型的生存分析

在污染环境中捕食一饵模型的生存分析食
赵垄
（东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳１０１）１８９
摘要：研究一类更广的捕食一食饵种群模型．利用极限方法和积分均值法，到在污染环境中各种群得
平均持续生存与绝灭的阈值，从而给出系统持续生存和绝灭的充分条件．本文推广了文献［］１中的结果．
１
种群之间的捕食与被捕食作用、相互竞争作用以及互惠作用．多生态数学的问题都可以归结为许
该模型．于该模型的实际生态意义，鉴引起了许多学者的关注．工农业的快速发展，当今社会给
带来了莫大的好处，同时也给生态系统造成直接或间接的破坏影响，因此，究污染环境中种群研生存与绝灭在理论上显得越来越重要．９４年１８ＨａａＴＧ等人利用数学模型定性研究毒素对ｌｍｌ
关键词：环境污染；捕食一食饵模型；持续生存；绝灭；阈值
ｄｉ１．９９ｊｉｎ２９２９．０２０．１ｏ：０３６／．ｓ．０５— １８２１．３０７ｓ
中图分类号：Ｏ１５１７．２
文献标识码：Ａ
自１２９６年Ｖｌｒａ出著名的ＬｔａＶｏｔｏｔｒ提ｅｏｋ－ｌ — ｅａ微分方程模型以来，模型已经引起了众多ｒｒ该生物学家、学家极大的兴趣，得到了许多较数并好的结论 ¨ Ｊ两种群相互作用的微分方程模型．

一类具有Allee效应的捕食-食饵模型正解的唯一性和渐近行为

一类具有Allee效应的捕食-食饵模型正解的唯一性和渐近行为作者：李海侠来源：《贵州大学学报（自然科学版）》2019年第04期和不动点指数理论给出正解存在的充要条件，接着运用扰动理论讨论参数c充分大时正解的唯一性和稳定性。

研究表明在一定条件下系统存在唯一的稳定解。

最后通过抛物系统的比较原理得到全局吸引子的存在条件。

关键词：加法Allee效应;不动点指数;扰动理论;唯一性;全局吸引子中图分类号：O175.26文献标识码： A本文讨论如下捕食-食饵扩散模型：N中带有光滑边界Ω的有界区域， u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，a和d分别是u 和v的最大增长率。

mu+n是加法Allee效应项，m和n是Allee效应常量，反映了Allee效应的强弱程度;若m>br，则表现为强Allee效应，若m<br，则表现为弱Allee效应。

pu（1+bu）（1+cv）是Crowley￣Martin（C-M）反应函数，是一类依赖捕食者的经典反应函数之一。

它与Beddington￣DeAngelis（B-D）反应函数很像，不同之处在于分母多了体现物种间相互干扰的一项bcuv。

而且， C-M反应函数认为无论某个捕食者目前是否寻找或处理食饵，都允许存在捕食者间的干扰，这是比B-D反应函数优越之处，也非常符合现实中的一些生物现象。

因此研究带有C-M 反应函数的模型具有很大的生物意义。

系统（1）中的参数a，m，n，b，c，d，p，q，k都是正常数。

u0（x），v0（x）是连续函数。

近年来，随着全球环境的不断变化，很多种群会受到Allee效应的影响。

Allee效应会影响种群系统的稳定性，甚至导致某些种群灭亡。

因此，具有Allee效应的模型受到了生物学家和数学家的广泛关注[1-8]，其中文献[4-6]在齐次Neumann边界条件下讨论了具有加法Allee效应的捕食-食饵模型，文献[7]讨论了具有加法Allee效应和B-D反应函数的捕食-食饵模型，利用稳定性理论得到了正解的唯一性和稳定性。

一类离散非自治捕食模型持久性与周期解的存在性

０引言
最近，文献［】１讨论了二种群具有 Ⅳ 类功能反应的非自治捕食系统：
影响的情况下，下面的模型：讨论
ｔ）（（ｎｌ（＋）（）ｘ（）（）（一） ‘ ｎｙ１ｌｎ１＝ｅｐ一口Ｈ＂ｆ＿ｏ）ｃ＋（
文章编号：１７－０５２１）１Ｏ２－５６４８８（００－０４０１
一
类离散非自治捕食模型持久性与周期解的存在性
蒲武军，张金战，张明会
（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃，成县７２０）４５０
摘要：主要讨论一类具有 Ⅳ 类功能反应的离散非自治捕食模型，利用比较原理和重合度理论，获得了其持久性和周期解的存在性的充分条件。
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Ｊ” １＝，＋）（
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（）３
其中（和ｙｆ分别代表食饵和捕食者的种群密ｆ）（）
且系统（）满足初值条件２
度，口ｆ６ｆｃｆＰ）（，（，（均是严格（，（，（，ｒ））））（，ｆｆ卢ｆ））
正的周期函数，用Ｂｏｗｅ利ｒｕｒ不动点定理和构造Ｌａｏｏ函数的方法，ｉｎｖｐ获得了该系统永久生存和存在唯一全局稳定的周期解的充分条件。但是，系统态本身是离散的，差分系统来描述捕食与被捕食系用