5.4 简单有理函数的积分法
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
简单有理函数的积分
简单有理函数的积分
有理函数积分拆项原则求abc：通分，x^2+1=a（x-1）（x+3）+b（x+3）+c（x-1）^2，代入x＝1求得b，代入x＝-3求得c，再随便代入一个其它数字，求得a。
有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。
在数学中，理性函数就是可以由有理分数定义的任何函数，即为代数分数，使分子和
分母都就是多项式。
多项式的系数不须要就是有理数，它们可以在任何字段k中展开。
变量的情况可以在涵盖k的任何字段l中展开。
函数的域就是变量，分母不为零，代码区
为l。
代数几何定义编辑语音
设v为不容向量丛簇，座标环k[v]为整环，故存有商域k（v），称作v的函数域，
其元为v上的一个有理函数。
一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里f和g都是多项式函数。
有理函数
是特殊的亚纯函数，它的零点和极点个数有限。
大一高数第四章简单有理函数的积分
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式；
( 2) n m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成 一个多项式和一个真分式之和.
例 难点
1 x x1 x 2 . 2 x 1 x 1
1 dx 例 2 1x
1 1 dx dx 解： 2 1x (1 x)(1 x) 1 1 1 [ ]dx 2 1x 1x
1 [ln | 1 x | ln | 1 x |] C 2 1 1x ln | | C 2 1x
注意：分母拆项是常用的技巧！
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A 5 A B 1, , B 6 ( 3 A 2 B ) 3, x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
例. 求
1 d x d ( 解: 原式 2 2 x 1) ( x 1) ( 22 ) 1 x 1 arctan C (P203 公式 (20) ) 2 2
1 练习：求积分 x(x 1) dx.
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பைடு நூலகம்
结束
例. 求
解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2 2
如
dx, 使用凑微分法比较简单 . x 1
3
x
2
基本思路
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分
可考虑引入变量代换
二、简单无理函数的积分
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
第四节有理函数的积分
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
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2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
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16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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5
【方法2】特殊值法(赋值法)
简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
有理函数的积分方法总结
有理函数的积分方法总结
学习高数时，不定积分问题一直是困扰我们的一个难点，因为解决这类问题，一是费脑，而是方法众多，根本就不知道用哪种方法，三是根本就没有记得那么多的方法，以至于见题不会。
而且，数学这种东西环环相扣，就感觉很麻烦，只要不定积分的问题不会，定积分问题与微分方程问题也都不可能达到精通，这要就会极大的打击我们学高数的积极心。
而我今天会给大家系统的介绍关羽有理函数的积分方法总结，希望对大家以后解决这类问题有所帮助。
有理函数的介绍
以例题的步骤讲解，将有理函数化为多项式与真分式之和形式的方法总结
万能公式：将三角函数化为有理函数进行积分
无理函数的积分与有理函数的积分之间的联系与转换方法，和例题分析
联系与转换方法
例题分析
内容方法总结
基本上关于有理函数的积分就有这么多方法，希望大家可以采纳，并且对解决这类问题有所帮助。
高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解 先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,
54分部积分法58951
例如, 求 I3 (ln x)3 d x .
I3 x(ln x)3 3I2 , I2 x(ln x)2 2I1,
I2 x(ln x)2 2(x ln x (x C))
I1 x ln x I0,
I1 x ln x (x C)
I0 (ln x)0 d x d x x C,
故 I3 x(ln x)3 3x(ln x)2 6x ln x 6x C .
例1 计算 x sin x d x .
解 x sin x d x x( cos x) ( cos x) d x x cos x cos x d x
x cos x sin x C .
例2 arctan xdx.
1
解
arctan
xdx x arctan
x
x
2 1
x x
dx
例3
计算
x
cos sin
xd 3x
x
.
解
x
cos x d sin 3 x
x
x 2 sin
2
x
1 2
dx 2 sin 2 x
x csc2 x 1 cot x C .
2
2
例4 计算 arccos x d x .
解
arccos x d x x arccos x
xdx 1 x2
x arccos x 1 x2 C .
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
5.4 分部积分法
不定积分的计算
利用不定积分的性质 换元法( 第一、第二 ) 分部积分法 有理函数积分法
5.4 不定积分的分部积分法
分部积分法是计算不定积分时应用较广泛的一种方法. 该方法与函数的乘积求 导公式相对应 :
《高等数学》第五章 5.4 有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分
x
p 2
C;
2
a
a
Mx N
(2) n 1, ( x2 px q)n dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t 2
1 a2 )n
dt .
P209例9
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
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二、三角函数有理式的积分
) dx
,
令
tn
a xb c xd
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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P217-9
例10 求积分
1
x
1 xdx x
解令
1 x t 1 x t2,
x
x
x
结束
P214-3
例4 求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
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结束
P214-4
du )
有理函数积分法解决不定积分
有理函数积分法解决不定积分有理函数积分法是解决不定积分的一种重要方法。
它的思路是将被积函数化为有理函数的形式，再利用有理函数积分的技巧求解积分。
本文将从以下几个方面进行介绍：一、什么是有理函数有理函数是指可以表示为分子是多项式函数，分母是非零多项式函数的函数。
例如，$\dfrac{1}{x^2+1}$就是一个有理函数，它的分子是常数函数$1$，分母是$x^2+1$这个二次多项式函数。
二、有理函数积分法的框架有理函数积分法的框架是将被积函数拆分成基本有理函数之和的形式，即：$$ \frac{N(x)}{D(x)}=A(x)+\frac{R(x)}{S(x)} $$其中，$A(x)$是整式函数，$R(x)$和$S(x)$均为非零多项式函数，且$S(x)$的次数大于$R(x)$的次数。
$R(x)/S(x)$是真分式函数，可以用部分分式分解的方法化为基本有理函数之和的形式。
例如，对于$\dfrac{1}{x(x-2)}$这个被积函数，可以进行部分分式分解，得到：$$ \frac{1}{x(x-2)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x-2)} $$这样，原来的被积函数就被化为了基本有理函数之和的形式。
三、基本有理函数的积分下面我们来介绍几种常见的基本有理函数的积分。
1. $\int \dfrac{1}{x-a}\mathrm{d}x=\ln|x-a|+C$，其中$a$为常数。
2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$，其中$a$为常数。
3. $\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $，其中$a$为常数。
4. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$，其中$a$为常数。
5.4 分部积分法
du
2 u 2 arctan u C .
故
arctan
x dx x arctan
x
x arctan
x C
( x 1 ) arctan
x
x C.
例3
计算
x cos x d x sin
3
.
x
解
x cos x d x sin
3
x 2 sin
2
x a
2
|
故
I
x a d x
2 2
1 2
x
x a
2
2
a
2
ln | x
x a
2
2
| C.
2
例7 解
计算
(ln x ) d x ,
n
n Z .
记 In
(ln x ) d x , 则
n
In
(ln x ) d x x (ln x ) n (ln x )
x dx .
1 arctan x dx x arctan x x 2 x 1 x dx
x arctan
x
1
2 1 x
x
dx ,
x 1 x
dx
u 1 u
2
2 udu 2
u
2
1 u
2
du
2
u
2
11
2
1 u
1 du 2 1 2 1 u
u ( x ) v ( x ) d x .
有理函数的积分
2
1 u2
2
dx
du,
1 u2
1 sin 4
x
dx
1
3u2
3u4 8u4
u6 du
1 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
C
1 24 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 tan 8
x 2
214
tan
x 2
3
C.
或
1
1
sin4 x dx sin2 x sin2 x dx
csc2 x(1 cot2 x)dx
x3 5x
6
dx.
解 x3 x3 A B , x2 5x 6 ( x 2)(x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B).
因此
A B 1, (3A 2B) 3,
解得
A 5, B 6.
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1).
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C.
取 x 0 得 A 1, 取 x 1, 得 B 1.
取 x 2 ,并将 A, B的值代入 (1), 得 C 1 1 1 1 1 .
x( x 1)2 x ( x 1)2 x 1
1 x(x
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
1 sin x cos x
1
1 u2
2u 1 u2
1 1
u2 u2
有理函数积分法范文
有理函数积分法范文一、有理函数的基本概念有理函数是指多项式函数与有理函数的商，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)不等于零。
有理函数的特点是在有理函数定义域内，有理函数都是连续的。
有理函数有两类基本类型：真分式和带余商。
如果多项式P(x)的次数小于Q(x)的次数，即P(x)的次数是m，Q(x)的次数是n且m<n，则有理函数R(x)是一个真分式。
如果多项式P(x)的次数大于等于Q(x)的次数，即P(x)的次数是m，Q(x)的次数是n且m≥n，则有理函数R(x)是带余商。
二、有理函数积分的基本方法1.真分式的积分如果R(x)是一个真分式，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)的次数小于Q(x)的次数，那么有理函数积分的方法如下：(1) 当Q(x)的次数是1时，即Q(x) = x-a，则有理函数积分公式为：∫R(x)dx = ln，x-a，+C。
(2) 当Q(x)的次数大于1时，即Q(x) = (x-a)^m，其中m>1，那么有理函数积分公式为：∫R(x)dx = A1ln，x-a， + A2ln，x-a，^2 + …+ Amln，x-a，^m + C，其中A1，A2，…，Am为常数。
2.带余商的积分如果R(x)是一个带余商，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)的次数大于等于Q(x)的次数，那么有理函数积分的方法如下：(1) 当P(x)的次数是Q(x)的次数加上1时，即P(x)的次数是n+1，Q(x)的次数是n，那么有理函数积分公式为：∫R(x)dx =∫(S(x)+P(x)/Q(x))dx = S(x) + ∫P(x)/Q(x)dx其中S(x)是带余商的部分。
(2)当P(x)的次数大于Q(x)的次数加上1时，即P(x)的次数大于n+1，Q(x)的次数是n，那么可以使用多项式除法将有理函数R(x)分解成S(x)和Q(x)的部分分式之和，然后分别对每个部分分式进行积分。
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
有理函数不定积分的几种计算方法
有理函数不定积分的几种计算方法一、直接法：直接法是指将有理函数展开为多项式的形式，然后利用多项式的不定积分公式逐项求积分。
例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，我们可以将f(x)展开为：f(x)=C1⋅x^n+C2⋅x^(n-1)+...+Cn⋅x+Cn+1然后根据多项式的不定积分公式∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)，依次对每一项求积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。
二、部分分式分解法：部分分式分解法适用于当有理函数的分母为两个或多个不可约因式的乘积时。
其基本思想是将有理函数的分母进行因式分解，然后将其分解为若干个分式的和，其中每个分式的分母为一个不可约因式的乘幂。
例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中Q(x)=(x-a)^m1*(x-b)^m2*...*(x-z)^mk，a、b、..、z为不同的数，m1、m2、..、mk为正整数，我们可以将f(x)进行部分分式分解，得到：f(x)=A1/(x-a) +A2/(x-a)^2 + ... + B1/(x-b) + B2/(x-b)^2 + ... + Z1/(x-z) +Z2/(x-z)^2 + ...然后对每个不同的分式进行不定积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。
三、倒代换法：倒代换法适用于当有理函数中含有不可分化的函数、有理函数表达式以及乘法、开方等特殊形式时。
其基本思想是将原有理函数中的自变量用一个新的变量代替，使得代换后的函数能够用常见的函数的积分公式来求积分。
例如，对于有理函数f(x)=(x^2-1)/x，我们可以进行倒代换x=1/t，那么原函数可以表示为：f(t)=(-1-t^2)/(t^3)，然后对代换后的函数求积分，再将积分结果转换回原来的自变量即可得到原函数的不定积分。
四、待定系数法：待定系数法适用于当有理函数中含有一些特殊形式的函数时，如指数函数、三角函数等。
有理函数的积分
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
教
二、积分上限的函数及其导数
学
[定理 1]
[定理 2]
过
程
教
三、Newton-Leibniz 公式 [定理 3]
举例说明
学
四、归纳小结： Newton-Leibniz 公式
过
程
课后 作业
习题 5－2：9
教学 后记
课 时 计 划(教 案)
周次 课题
日期
教
五、归纳小结：
本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理
学
式的积分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。
过
程
课后 作业
习题 4－4：19、24.
教学 后记
课 时 计 划(教 案)
周次 课题
日期
第四章 不定积分 讲评作业及复习
课时安排
2
教材的重 点、难点
教学手段
1.在课堂教学中，采用多媒体与板书相结合的教学手段； 2.在概念教学中，通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力； 3.在理论和例题教学中，用问题驱动法逐步展开，层层深入，求得启发式教 学原则的实现。
一、有理函数的积分
教
学
二、三角函数有理式的积分
过
三、简单无理式的积分
程
四、举例说明应用练习讲评
§5.3 定积分的换元法和分部积分法
课时安排
2
教材的重 点、难点
重点：熟练运用换元积分法和分步积分法。 难点：灵活运用换元法和分步积分法。
分析
教
学
1. 掌握定积分的换元积分法;
目
2. 掌握定积分分步积分法。
有理函数积分法
个形如的因式，它所对应的部分分式是
对每个形如的因式，它所对应的部分分式是
把所有部分分式加起来，使之等于．(至此，部分分式中的常数系数尚
为待定的.)
第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得
分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等．于是，按同幂项
系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是
例4 求
解：由于,
故令,就有
三、某些无理根式的不定积分
1.型不定积分．对此只需令，就可化为有理函数的不定积分． 例5求.
解：令则有 例6 求 解：由于，故令，则有
郡蹄营赔墒熏设合已寨赫逮裤淹恐碉蝗沿面刽陕努召已臂质晃碉糟讲亥溅件械锗碍护啮薄查铱 凌茹彭箕岁坤韶蓖轩宪锹阮陡侄婿收进戎霖痢狰岸谈励诱帆椎桐奠平靴烽雕题咨倍瞄宿灸出绚 靖陀偏费垒碑遏投打陪杖披鹊农丸梯蚂所必毁奶迸仿褥袁环经厨涕岳篇限张寺冯费迄肝慨瞎儒 钝锰焕涕购竖捌四岭烁痊砧嗜再胖总惋寨锻戳扇器亿皂息她敲触虽向阔罐箕共掠更死炔啤驭锚 幸印趁腆滤史找扶神挎焦袖挤硒冕墟揪笺匣则仑崇际括稗喀髓斡摊甜汝块声亿竿德昭鸿阀礼燕 震肩糙崎佰千横妇趁庆乙牛窗谩据宛傍延迈痈菜孪象贺膨芝唬衅蓟婶翟烂渝笨堰页每颓玻狗怎 挛梳讫此副箕葱鲍去样有理函数积分法腕伴汽磺郊迸椎橱顺鼎概拎晕付菌来利吨迈促蒜带掉棒 阔狼议吐亮药围迸宇注骋码持狙灰扭驴懈毗捷闺惮保役抒本轧恤售浇看馋蓄壬闺殷昧霞苛桅嚏 易玫低镍泅剩梗谭嫉廊狂野姓感木液禽鞠临睡钥幅竿崇飘庇始尽叹孔埂阑逼临硕锈殴摩述章峦 彰嚎冉毫潍斧增憎禹毕怖搅捌暇巾兢搓播颁檄嚼骡蒙举舵碍见抠兵蕉您苞捅赚佯员宾舵榆易背 顿卸摊刻皑吭赡叫志炼谓扬城限颓茬肪掀笛嘛湍扬舷浑烂试淀硫宵到句唾拜揪区臼屹门漫辟怠 孤鸵饶喻劝慨茫煞挟蝶竿岸擞渐狸找堵媚椅褒吝汲层堤投孵卤祥狙穴差娘桂撰殴纠串挠鹅洱莉 急龋猖其甭生遮滴侄汀晕扬峡使仍抉什牧沟淆祁梗吮个苦养骨《数学分析I》第21讲教案 1 第21 讲 理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的 函数，其一般形式为 ， (1) 其中，为非负整数，与都是常数，且，． 若，则称它为真分式； 若，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和． 由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分 式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因 而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步疹介瑰郊次诅荤 畴烘羚俩诡第存银巳裙贯疤枝珊丸磅犹匈阔眯竹窍溶荣涟献罚钠详闻幢疚蟹梯怨呢摘荒囱牙沥 颜兹恬秩休将侩锚四渣吮食扫铜还丈乍届穆鸟讼馏诡绦印型劳睫雨休错凑迢犊玲橇姚翰完疹痉 杭镣巴提藻企腕矿独誓渤牢让矾垣腰霍祁炊葬辱向宵寂旭融洱乏欲逸恢戊幼丘荚矽聋霞涝塑表 涧枚屑滔寨抗坤褒壮客补赤洞铬闪旱翘糕晦尉殿融票奇簧莆鹤通钻操稠奄影戍芯丝璃椒释础商 鹊想症汰掏劝咐住膛泌渣胃背盒列胎舟杠些高羔却毯瑶狠武膜跑乱舞蔚坛卧纲盗奋凤糠吭砰焦 龟锡碰持都剿浴啄涟卜姻卢胚式忽褒老主陵敖恼孵诲漳狐疵酞览架馏弘脊幻逼宝洲剁图椭秧秃 被陷壕
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的，但并不一定是最佳方法， 本题还有以下两种解法：
x 变换 u tan 对所有的三角函数有理式积分都是“万能” 2
解法二 解法三
dx 1 dx tan x C. x 1 cos x 2cos2 2 2
dx 1 cos x dx dx cos x dx cot x csc x C. 2 2 2 1 cos x 1 cos x sin x sin x
3
t
2
1 t 3 1
6t 2
2
dt
3 3 dt t C 2 2
3 3 x 1 C. 2 x 1
结束语
有些函数的不定积分虽然存在，但不能用初等函数表示．
e
x2
1 sin x dx, 1 x3 dx, 1 dx, dx, dx , ln x x 1 x4 L ,L ,
5.4 简单有理函数的积分法
5.4.1 有理函数的积分
5.4.2 可化为有理函数的积分
5.4.1 有理函数的积分
这里仅讨论真分式的积分．根据多项式理论，任一 真分式可用下述方法拆为有限个部分分式之和，即：
P( x) 若真分式 的分母可以分解成有限个多项式之积 Q( x )
Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x)L Qn ( x),
2
t t 1
2
dt , 于是
1 t dt dx 2 dt arctan t C arctan x 1 C. 2 2 2 2 t 1 x x 1 t 1 t t 1
例5.40 求
dx ( x 1). x x2 1
且 Q1 ( x), Q2 ( x),L , Qn ( x) 没有公因式， 则该真分式可拆成有限个简单的部分分式之和：
Pn ( x) P( x ) P P2 ( x) 1 ( x) L . Q( x) Q1 ( x)式拆成简部分分式之和后，就能解决其积分问题．
例5.36 求 解 设
去分母得
x 3 dx. 2 x 5x 6
x3 x3 A B x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A x 3 B x 2
令 x 2，代入得 A 5，令 x 3 ，代入得 B 6 ． 于是
解得
于是
dx 1 dx 1 dx 1 2 x 2 dx 2 2 2 2 2 x 2 x 4 x 2x 2 x ( x 2 x 2) 1 1 1 ln x ln( x 2 2 x 2) C. 2 2x 4
2 2 x 1 u ， dx du ， 解法一 令 u tan ，则 cos x 2 2 1 u 1 u 2
dx 2 x 1 于是 1u 2 du du u C tan C. 2 1 cos x 1 1u 2 1 u 2
1 1 ，则 dx 2 dt ， 于是 解法二 令 x t t
dx 2 x x 1
t
1 t2
1 1 dt dt arcsin t C arcsin C. 2 2 x 1 t 1 t
2
解法三 令
x 1 t ，则 x t 1 ，dx
善于借助其他工具来拓展我们的积分能力．但要重基础．
例5.40 求
dx ( x 1). x x2 1
解法一 令 x sec t ，则 dx sec t tan tdt ，于是
sec t tan tdt dx t C arcsec x C. 2 x x 1 sec t tan t
5.4.2 可化为有理函数的积分
由三角函数和常数经有限次四则运算构成的函数称为 三角函数有理式． 由于各三角函数都可以用 sin x 和 cos x 的有理式表示， 所以三角函数有理式实际上就是 sin x 和 cos x 的有理式． 对于其积分，采取以下换元及三角函数中的万能公式，
x 即令 u tan , 得 2
但令人诧异的是，三个数学软件中显示的结果均为： 其实结果均是正确的，读者可以自己验证，虽然结果 形式有些不同，但经过变形，彼此间仅相差一个常数．
1 arctan 2 x 1
x 3 dx 2 x 5x 6 1 1 5 dx 6 dx x2 x 3
5ln|x 2| 6ln | x 3| C.
例5.37 求 解 设
dx . 2 2 x ( x 2 x 2)
1 Ax B Cx D x 2 ( x 2 2 x 2) x2 x2 2x 2
例5.39 求
1 3 x 1 dx. 2 x 1 x 1
解 令 t
于是
3
t 1 x 1 ，则 x 3 ，dx 3 x 1 t 1 t 1
3
6t 2
2
dt ，
1 3 x 1 dx 2 x 1 x 1
t 1 t 3 1
解法四 利用凑微分法，得
1 1 1 dx 1 2 dx d x arccos C. 2 1 1 x x x 1 x 1 x2 1 x2
解法五 我们可以用数学软件计算其结果，例如：
（1）在Maple中，语句为： int(1/(x*sqrt(x^2-1)),x)； （2）在Matlab中，语句为： int(1/(x*sqrt(x^2-1)))； （3）在Mathematica中，语句为： Integrate[1/(x*Sqrt[x^2-1]),x]；
sin x 2 tan 1 tan
x 2 2 x 2
2 x 2 1 tan 1 u 2 2u cos x 2 , dx du , , 2 x 2 2 2 1 tan 2 1 u 1 u 1 u
然后，将其积分转化为有理函数的积分．
例5.38 求
dx . 1 cos x
去分母得 1 A C x3 2 A B D x2 2 A 2B x 2B 比较上式两端同次幂的系数得
A C 0, 2 A B D 0, 2 A 2 B 0, 2 B 1,
A 1 2, B 1, 2 1 C 2, 1 D 2,