甘肃省天水市一中2016届高三下学期第四次模拟考试数学(文)答案

天水一中2015-2016学年第二学期高三第四次检测考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2）2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2i a i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ） AC4.向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥ ，则,a b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5.各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16.已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ． 4D ．37.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A．3 B．3 C．．38.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,2)(2,4)--C ．(,4)(2,0)-∞--D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--10.已知点12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A B 、两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．4 C D 11.函数()3sin ln(1)f x x x =+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．12.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数22(0)1x y x x=>+的图像上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A ．πB ．3πC ．4πD ．2π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）13．记集合，构成的平面区域分别为M ，N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为．_____.14.已知cos()sin 6παα-+=，则7sin()6απ+的值是________． 15. 已知点(0,2)A ，抛物线21:(0)C y ax a =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:1:5FM MN =，则a 的值等于________．16.数列{}n a 的通项22(cos sin )33n n n a n ππ=- ，其前n 项和为n S ，则30S =________． 三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.）17.（本小题满分12分）已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =--+．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且sin(2)22cos()sin b A C A C a A +==++，求()f B 的值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分别为,,,,A B C D E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ，以在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求点D 到平面PAM 的距离20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ．（1）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值；21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y =-，求()f x 的单调区间；（2）若0x >时，()()2f x f x x '<恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.22. （本小题满分 10分）已知C 点在O 直径BE 的延长线上，CA 切O 于A 点，CD 是ACB ∠的平分线且交AE 于点F ，交AB 于点D ．（1）求ADF ∠的度数； （2）若AB AC =，求AC BC的值．23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AOB ∆的面积．24. （本小题满分12分）设函数()22f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|64x x -≤≤，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围．数学文科参考答案一、选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题13. ． 14．45- 1516 ．15 17．解：（1）222()cos 3sin cos 222sin 12cos 22sin(2)6f x x x x x x x x x x π=--+=-+=+=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴712,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴[]()1,2f x ∈-．．．6分 （2）∵由题意可得[]sin ()2sin 2sin cos()A A C A A A C ++=++有，sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++，化简可得：sin 2sin C A = ∴由正弦定理可得：2c a =，∵b =，∴余弦定理可得：222222431cos 2222a cb a a a B ac a a +-+-=== ，∵0B π<< ∴3B π=， 所以 ()1f B = 18．解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10分，所以该考场有100.2540÷=人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=．．．．．4分 （2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075) 2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两个的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ．设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为1个，则1()6P B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）：取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥，又,O C O P OO C =⊂ 平面,POC OP ⊂平面POC ，所以AD⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC AD ⊥． ．．．．．．．．．．．5分（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，由（1）可知PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ABC -的体高．在Rt POC ∆中，PO OC PC =PAC ∆中2,PA AC PC ===边PC上的高2AM ==，所以PAC ∆的面积112222PAC S PC AM ∆=== ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由D PAC P ACD V V --=得，1133PAC ACD S h S PO ∆∆=，又22ACD S ∆==，解得h =，所以点D 到平面PAM20．解：（1）由圆R 的方程知圆R的半径r =,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即220016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩R的方程为22((8x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R==，化简得20122088y k k x -=- ，因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=， 即22001122y x =-，所以201220141282x k k x -==--． 21．（1） 由已知得1()(1)f x ax a x'=+-+，则(1)0f '=， 而(1)ln1(1)122a a f a =+-+=--，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为12a y =--． 则122a --=-，解得2a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分那么21()ln 3,()23f x x x x f x x x '=+-=+-，由21231()230x x f x x x x -+'=+-=>，得102x <<或1x >，因则()f x 的单调递增区间为1(0,)2与(1,)+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由1()230f x x x '=+-<，得112x <<，因而()f x 的单调递减区间为1(,1)2．．．．．．．．．．6分 （2）若()()2f x f x x '<，得ln 11(1)2222x a ax a x a x x ++-+<+-， 即ln 1122x a x x +-<在区间(0,)+∞上恒成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设ln 1()2x h x x x =-，则2221ln 132ln ()22x x h x x x x--'=+=，由()0h x '>，得320x e <<，因而()h x 在32(0,)e 上单调递增，由()0h x '<，得32x e >，因而()h x 在32(,)e +∞上单调递减 ． ．．．．．．．10分 所以()h x 的最大值为32()h e ，因而3212a e -+>， 从而实数a 的取值范围为32|21a a e -⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）∵AC 为O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又DC 是ACE ∠的平分线，∴ACD DCB ∠=∠．由B DCB EAC ACD ∠+∠=∠+∠，得ADF AFD ∠=∠，又090BAE ∠=，∴01452ADF BAE ∠=∠=．（2）∵，∴ACE BCA ∆∆ ∴AC AE BC AB=，又0180ACE ABC CAE BAE ∠+∠+∠+∠=，∴030B ACB ∠=∠=．在Rt ABE ∆中，∴0tan 30AC AE BC AB ===． 23．解：（1）由曲线C 的极坐标方程是：22cos sin θρθ=，得22sin 2cos ρθρθ=． ∴由曲线C 的直角坐标方程是：22y x =．由直线l 的参数方程13x t y t =+⎧⎨=-⎩，得3t y =+代入1x t =+中消去t 得：40x y --=，所以直线l 的普通方程为：40x y --=．．5分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程22y x =，得2870t t -+=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t，所12AB t =-=== 因为原点到直线40x y --=的距离d ==AOB ∆的面积是111222AB d =⨯= ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）∵226x a a -+≤，∴262x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴33322a a x -≤≤-.()6f x ≤的解集为64x x -≤≤，3362342a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =- （2）由（1）得()224f x x =+-．∴2224(1)5x k x +-≤--，化简2221(1)x k x ++≤- 令23,1()22121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()y g x =的图象如要使不等2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，需212k ->，或211k -≤-，∴k的取值范是{}|0k k k k ><=．。