余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理
余弦定理的八种证明方法
余弦定理的八种证明方法研究背景：2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。
目的意义：用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。
内容摘要：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。
成果展示：一余弦定理的内容对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质a²= b²+ c²- 2·b·c·cosAb²= a²+ c²- 2·a·c·cosBc²= a²+ b²- 2·a·b·cosC二证明方法方法一：平面几何法∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b ∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ再拆开，得c^2=a²+b²-2*a*b*cosC方法二：勾股法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC²=AD²+DC²b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=(sinB*c)²+a²-2ac*cosB+(cosB)²*c²b²=(sinB²+cosB²)*c²-2ac*cosB+a²b²=c²+a²-2ac*cosB方法三：解析法在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，设三角形三边abc则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）∵BC=abc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c², 同理，ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²,ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b².联立三个方程，bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c²（1）ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a²（2）ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b²（3）易得余弦定理方法八：物理法设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框，其电流长度为I。
余弦定理简介
余弦定理简介全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：余弦定理是解决三角形中角和边的关系的重要定理，它是三角学中的基本知识之一。
余弦定理可以帮助我们求解不规则三角形中的各种边长和角度。
在学习三角学和解决实际问题中，余弦定理起着至关重要的作用。
余弦定理的表述为：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则有以下公式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosCc是角C的对边，a和b分别是角A和角B的对边，cosC是角C 的余弦值。
余弦定理的推导过程可以通过几何运算和三角函数的知识来得到。
假设在三角形ABC中，将角C分成两个小角α和β，利用三角形内角和为180°的性质，我们可以得到：α + β = C根据三角函数的性质，我们知道：cos(α+β) = cosCcos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ再根据余弦定理的定义，我们有：c = a cosβ + b cosα联立以上两个方程，我们可以得到余弦定理的表达式，即：这就是余弦定理的推导过程，通过操纵和变换三角函数的关系，我们可以得到这个关键性质的定理。
余弦定理在解决三角形中的各种问题时能够提供很大的帮助。
通过利用余弦定理，我们可以求解未知边长和角度，进而解决实际问题。
在测量不规则三角形的边长时，我们可以利用余弦定理来计算，而不必通过复杂的几何推导。
在航海、建筑等领域，余弦定理也都有着广泛的应用。
在高中数学教学中，余弦定理是一个必须掌握的基础知识。
它不仅可以帮助学生理解三角形内角和为180°的性质，还可以锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过练习余弦定理的应用，学生可以提高自己的数学能力和思维能力。
余弦定理是三角学中一个重要的定理，它在解决不规则三角形中的各种问题时起着至关重要的作用。
通过学习和掌握余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质，提高自己的数学水平，并应用到实际生活中去。
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
正余弦定理 海伦公式
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
二.正弦定理的变形公式
(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;
（条件同上）
在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
像中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。
由于任何n边的多边形都可以分割成n−2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
， ，则
＝ .
以上我们探讨了各面积公式之间的相互联系，灵活运用三角形的面积公式，能帮助我们解决许多解三角形的问题.
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．
对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质
cosθ三角形公式
cosθ三角形公式
三角形cos公式有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(b²+a²-c²)/2ab。
三角cos余弦公式主要运用到余弦定理，即任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦余弦定理
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。
a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。
)a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc正弦是sin是xx的锐角的对边比斜边的值xxcos是xx的锐角的邻边比斜边的值正切是tan是xx的锐角的对边比邻边的值反正切的cot是xx的锐角的邻边比对边的值在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与对边的比，叫做∠切，记作cotA 在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边的比，叫做∠弦，记作cos A．在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠切，记作tanA在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比，叫做∠弦，记作sinAA的余A的正。
余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理
余弦定理余弦定理是揭⽰三⾓形边⾓关系的重要定理余弦定理余弦定理是揭⽰三⾓形边⾓关系的重要定理，直接运⽤它可解决⼀类已知三⾓形两边及夹⾓求第三边或者是已知三个边求⾓的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使⽤起来更为⽅便、灵活。
该图中，a与b 应互换位置对于任意三⾓形三边为a,b,c 三⾓为A,B,C 满⾜性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵如图，有a→+b→=c→∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这⾥⽤到了三⾓函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他，⽽下⾯的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表⽰⼀下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平⾯⼏何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果⼀个三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么第三边所对的⾓⼀定是直⾓，如果⼩于第三边的平⽅，那么第三边所对的⾓是钝⾓，如果⼤于第三边，那么第三边所对的⾓是锐⾓。
正弦定理和余弦定理
教学过程一、课堂导入问题：正弦定理和余弦定理的实际应用的范围有哪些？二、复习预习正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
三、知识讲解考点1 仰角与俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．考点2 方位角与方向角方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)：①北偏东α°：指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．四、例题精析考点一长度与高度问题例1 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【规范解答】在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝20 2.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝BD sin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BE tan30°＝103(3－3)(m)．故所求的塔高为103(3－3)m.【总结与反思】求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义。
考点二方向与角度问题例2 在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后．又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．【规范解答】在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°＋θ， 解得cos θ＝3－1. 因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.【总结与反思】根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．考点三方案设计问题例3 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)．【规范解答】(1)在△ABC中，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD中，由余弦定理得cos D＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C＝∠D得cos C＝cos D.解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝12AD·BD sin D，S△ABC ＝12AC·BC sin C，因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．【总结与反思】根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，解题中注意各个角的含义。
正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理
正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：(1)已知三角形的两角与一边，解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。
灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a正弦、余弦典型例题1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA 的值为2.已知为锐角，且，则的度数是( )3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是()4.若A为锐角，且，则A=()5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD= ，E 是AC中点， EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。
余弦定理
余弦定理余弦定理（第二余弦定理）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其他知识，则使用起来更为方便、灵活.直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫做这个锐角的余弦值.余弦定理性质三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，若三角形三边分别为a ，b ，c ，三角分别为A ，B ，C ，则满足性质：a 2=b 2+c 2-2bccosA ，b 2=c 2+ a 2-2cacosB ，c 2= a 2+b 2-2abcosC ，推论：2222cos b c a bc A +-= 2222cos c a b ca B +-= 2222cos a b c ab C +-=（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）.第一余弦定理（任意三角形射影定理）.设△ABC 的三边是a ，b ，c ，它们所对的角分别是A ，B ，C ，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A .余弦定理证明平面向量证法∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）.∴|c2|=(a+b)·(a+b)，∴|c2|=a·a+2a·b+b·b.∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ).（以上粗体字符表示向量）又∵cos(π-θ)=-cosθ，∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ，（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2·a·b·cosC，即222 cos2+-=a b cCab同理可证其他.平面几何证法在任意△ABC中，∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a，作AD⊥BC.则有BD=cosB·c，AD=sinB·c，DC=BC-BD=a-cosB·c，根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB·c)2+(a-cosB·c)2，b2=(sinB·c)2+a2-2ac·cosB+(cosB)2·c2，b2=(sin2B+cos2B)·c2-2ac·cosB+a2，b2=c2+a2-2ac·cosB，222Bcos+-=c a b作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角.(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其他的角和第三条边.(见解三角形公式，推导过程略)判定定理一(两根判别法)：若记m(c1,c2)为c的值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值，①若m(c1,c2)=2,则有两解；②若m(c1,c2)=1,则有一解；③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解).注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算第二种情况，即有一解.判定定理二(角边判别法):（1）当a>bsinA时，①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解；②当b>a且cosA≤0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解；④当b=a且cosA≤0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；⑤当b<a时，则有一解.（2）当a=bsinA时，①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；②当cosA≤0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解).（3）当a<bsinA时,则有零解(即无解)，其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形的形状.同时，还可以用余弦定理求三角形边长的取值范围.解三角形时，除了用到余弦定理外还常用到正弦定理.。
正弦余弦定理
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。
)a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc正弦是sin是直角三角形的锐角的对边比斜边的值余弦cos是直角三角形的锐角的邻边比斜边的值正切是tan是直角三角形的锐角的对边比邻边的值反正切的cot是直角三角形的锐角的邻边比对边的值在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与对边的比，叫做∠A的余切，记作cotA在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边的比，叫做∠A的余弦，记作cosA．在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦，记作sinA函数按向量平移相当于函数上的点按向量平移,(x,y)按(a,b)平移,则x'=x+a;y'=y+b.解析：∵函数y=sin(x+π/3)+2的图像按照向量a平移后得到函数y=sinx的图像函数y=sin(x+π/3)+2的图像下移二个单位，得函数y=sin(x+π/3)的图像；函数y=sin(x+π/3)的图像右移π/3个单位，得函数y=sin(x)的图像；∴向量a=(π/3,-2)三角函数按向量平移y=sin2x关于向量（1,1)平移后的函数令,点P(X,Y)在y=sin2x上,按向量(1,1)平移后,P'点的坐标为(X',Y'),则有X'=X+1,Y'=Y+1,即,X=X'-1,Y=Y'-1.而,y=sin2x则有Y'-1=sin2(x'-1)=sin(2x'-2),即,Y'=sin(2x'-2)+1.则,y=sin2x关于向量（1,1)平移后的函数是:Y=sin(2X-2)+1.。
已知三边求角度公式
已知三边求⾓度公式
已知三边求⾓度公式是余弦定理：cosA=（b平⽅+c平⽅-a平⽅）/2cb；cosB=(a平⽅+c平⽅-b平⽅)/2ac；cosC=(a平⽅+b平
⽅-c平⽅)/2ab。
定理概念
余弦定理，欧⽒平⾯⼏何学基本定理。
余弦定理是描述三⾓形中三边长度与⼀个⾓的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在⼀般三⾓形情形下的推⼴，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭⽰三⾓形边⾓关系的重要定理，直接运⽤它可解决⼀类已知三⾓形两边及夹⾓求第三边或者是已知三个边求三⾓的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使⽤起来更为⽅便、灵活
定理应⽤
余弦定理是解三⾓形中的⼀个重要定理，可应⽤于以下三种需求：
当已知三⾓形的两边及其夹⾓，可由余弦定理得出已知⾓的对边。
当已知三⾓形的三边，可以由余弦定理得到三⾓形的三个内⾓。
当已知三⾓形的三边，可以由余弦定理得到三⾓形的⾯积。
求边
余弦定理公式可变换为以下形式：
因此，如果知道了三⾓形的两边及其夹⾓，可由余弦定理得出已知⾓的对边。
求⾓
因为余弦函数在[0，π]上的单调性，可以得到：
因此，如果已知三⾓形的三条边，可以由余弦定理得到三⾓形的三个内⾓。
求⾯积
由⾯积公式
知如果已知三⾓形的三条边，可以由余弦定理求出⼀个内⾓，从⽽得到三⾓形的⾯积。
余弦定理及推导之欧阳音创编
1.1.2 余弦定理
余弦定理定义及公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
欧阳音创编2021.03.11
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理
是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
欧阳音创编2021.03.11。
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a2=b2+c2-bc·cosAb2=a2+c2-ac·cosBc2=a2+b2-ab·cosC也可表示为：cosC=(a2+b2-c2)/abcosB=(a2+c2-b2)/accosA=(c2+b2-a2)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cos θ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2b2=(sinB__c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2b2=c2+a2-2accosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)提高数学成绩高效方法课后一分钟回忆及时复习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。
正弦余弦定理
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
这一定理对于任意三角形ABC，都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
R为三角形外接圆半径
余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。
)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc。
叙述并证明余弦定理(精选多篇)
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为a，b，c，则满足性质——
a_=b_+c_-2·b·c·cosa
b_=a_+c_-2·a·c·cosb
c_=a_+b_-2·a·b·cosc
cosc=(a_+b_-c_)/(2·a·b)
b_=(sin_b+cos_b)*c_-2ac*cosb+a_
b_=c_+a_-2ac*cosb
cosb=(c_+a_-b_)/2ac
3
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b
则c_=a_+b_-2ab*cosc
a_=b_+c_-2bc*cosa
b_=a_+c_-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
a/sina=bc/sind=b(感谢访问好)d=2r
类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明：
再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc
即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosc移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
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余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
该图中，a与b 应互换位置对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵如图，有a→+b→=c→∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。
即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
特殊角0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°的正切值、正弦值、余弦值各为多少?0度正弦值0，余弦值1，正切值0。
30度正弦值1/2，余弦值根3/2，正切值根3/3。
45度正弦值根2/2，余弦值根2/2，正切值1。
60度正弦值根3/2，余弦值1/2，正切值根3。
90度正弦值1，余弦值0，正切值不存在。
120度正弦值根3/2，余弦值-1/2，正切值-根3。
135度正弦值根2/2，余弦值-根2/2，正切值-1。
150度正弦值1/2，余弦值-根3/2，正切值-根3/3。
180度正弦值0，余弦值-1，正切值0。
270度正弦值-1，余弦值0，正切值不存在。
360度正弦值余弦值正切值同0度【本讲教育信息】一. 教学内容：正余弦定理解三角形二. 重点、难点：已知三角形三边长及三个角，求其余相关的量。
（1）高线（面积）（2）中线（余弦定理）（3）角分线（余弦定理或正弦定理） （4）面积（公式） （5）周长（6）外接圆半径（正弦定理） （7）内切圆半径（面积）【典型例题】[例1] 已知△ABC 中，7=a ，5=b ，3=c 求（1）角A ；（2）高AH ；（3）中线AD ；（4）角平分线AE ；（5）外接圆半径；（6）内切圆半径。
解：（1）212cos 222-=-+=bc a c b A （2）4315sin 21=⋅=∆A bc S143152==∆a S AH（3）αcos 2222⋅⋅-+=CD AD CD AD AC)cos(2222απ-⋅⋅-+=BD AD BD AD AB 222222BD AD AC AB +=+219=AD（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=8218357BE CE BE CE BE CE AB AC 1413cos =C2228225141383552)835(25=⋅⋅⋅-+=AE∴815=AE（5）337sin 2==A a R （6）23)(21=++=c b a S r[例2] △ ABC 中，C A B +=2，7=b ，8=a ，求内切圆半径。
解：⎩⎨⎧=+++=1802C B A C A B 60=⇒B B ac c a b cos 2222-+= 01582=+-c c 31=c 52=c（1）3=c3329sin 21)(21=⋅=++=∆Bac c b a S r（2）5=c 310sin 21)(21=⋅=++=∆B ac c b a S r[例3] △ABC 中，4=a ，5=+c b ，60tan tan tan 60tan tan tan ⋅⋅=++B A B A ，求∆S 。
解：B A B A B A B A B A tan tan 1)1tan (tan 60tan tan tan 1tan tan )tan(--=-+=+ 360tan -=-= ∴120=+B A ∴ 60=C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-+==+2327416522b c b b c c b 233sin 21==∆C ab S[例4] △ABC 中，c b a a 222+=-，322-=+c b a ，求△ABC 的最大角。
解：0322>+=-a b c ∴ b c > c b a a 222+=-c a c 232+--=∴ 342-=c a ∴ 3222+++=-b a b a a∴ b a a 4322=-- ∴ 0)3)(1(4>-+=a a b ∴3>a0)3)(1(41)3(412>--=-+=-a a a a a c∴ a c >)3)(1(412))((2cos 2222-+⋅-++=-+=a a a c b c b a abc b a C 21)3)(1(2)3)(1()3)(1(21)3(21)(2122-=-+-+-=-+--⋅-+=a a a a a a a a a a a a a ∴ 120=C[例5] 在△ABC中，求证：2222112cos 2cos b a b B a A -=-证明：222222sin 21sin 212cos 2cos b Ba Ab B a A ---=- )sin sin (211222222b Ba Ab a ---= 由正弦定理得2222sin sin b Ba A =∴2222112cos 2cos b a b B a A -=-[例6] 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，若5,4==b a ，35=∆S ，求c 的长度。
解：∵ C ab S sin 21=∆∴ 23sin =C于是 60=C 或 120=C 又∵ C ab b a c cos 2222-+=当 60=C 时，ab b a c -+=222，21=c ； 当 120=C 时，ab b a c ++=222，61=c∴ c 的长度为21或61[例7] （06年辽宁卷）△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为c b a ,,，设向量),(b c a p += ，),(a c a b q --= ，若q p//，则角C 的大小为（ ）A. 6πB. 3πC. 2πD. 32π解：∵ q p// ∴ 0)())((=---+a b b a c c a 即ab c b a =-+222根据余弦定理，得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ∵π<<C 0 ∴3π=C 所以选B[例8] 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,（1）若三角形的面积)(41222c b a S -+=，求∠C的度数；（2）若ac b =2，且bc ac c a -=-22，求∠A的大小及c Bb sin 的值。
解：（1）由)(41222c b a S -+=，得C ab C ab cos 241sin 21⋅= ∴ 1tan =C ，得4π=C （2）∵ ac b =2 又bc ac c a -=-22 ∴bc a c b =-+222在△ABC中，由余弦定理得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴ ∠A=60° 在△ABC 中，由面积公式得Bac A bc sin 21sin 21=∴ B b A bc sin sin 2=，则23sin sin ==A c B b[例9] △ABC 的三边为c b a ,,，设)(21c b a p ++=，求证：))()((c p b p a p p S ---=∆。
证明：C ab C ab S 2cos 121sin 21-==∆)cos 1)(cos 1(21C C ab -+=)21)(21(21222222ab c b a ab c b a ab -+--++= =)2)(2(412122222222c b a ab c b a ab b a ab +---++])(][)[(412222b a c c b a ---+=))()()((41b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2222b a c b a c c b a c b a +-⨯-+⨯-+⨯++= ))()((c p b p a p p ---=【模拟试题】（答题时间：60分钟） 1. 在△ABC 中，22,32==b a ，B=45°，则A 等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°2. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形3. △ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos （ ） A. 41 B. 32 C. 32-D.41-4. 在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）A. 20=b ，A=45°，C=80°B. 30=a ，28=c ，B=60°C. 14=a ，16=b ，A=45°D. 12=a ，15=c ，A=120°5. 在△ABC 中，已知2=a ，3=b ，C=120°，则A sin 的值为（ ）A. 383B. 721C. 1957 D. 3176. 在△ABC 中，B=135°，C=15°，5=a ，则此三角形的最大边长为 。