2019-2020年高考数学一轮总复习第四章三角函数题组训练23二倍角公式理

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最新高考第一轮复习数学：4.4两角和与差、二倍角的公式(三)教案(含习题及答案)

关系： 2α+β =（ α+β ） +α ，（ α +β ）－ α =β可证得结论 .
证明： sin（ 2α +β ）－ 2cos（ α +β） sinα
=sin［（ α +β） +α ］－ 2cos（ α +β） sinα
=sin（ α +β ）cosα +cos（ α +β ） sinα － 2cos（α +β ） sinα =sin（ α +β ）cosα － cos（ α+β ） sinα =sin［（ α +β ）－ α ］=sin β. 两边同除以 sinα 得
为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”
.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去 .常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等 .
4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）
●知识梳理
1.化简要求（ 1）能求出值的应求出值 . （2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数 .
2.化简常用方法（ 1）活用公式（包括正用、逆用、变形用） . （ 2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等 .
3.常用技巧
2 sin 20
sin 10
sin 10
cos（30 =
3 cos 20 20 ） 2 sin 20 = 2 sin 10
1 sin 20 2 sin 10
2 sin 20
3
3
cos 20 =2

高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两角和与差及二倍角的三角函数第1课时学案

§4.5三角恒等变形最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α.知识拓展1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ )(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )题组二教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 题组三易错自纠5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ .答案2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2. 6．(2018·昆明模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.7．(2018·烟台模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ .答案－247解析方法一 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1．(2018·青岛调研)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan α＝－34，又tan β＝－12，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－211.2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.26＋16B.3－28 C.3＋28D.23－16答案 A解析由于角α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为．答案 12解析sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°co s 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二和差公式的灵活应用命题点1 角的变换典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . 答案2525解析依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为．答案 79解析 cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，∴cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－29＝79.命题点2 三角函数式的变换典例 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－s in 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ(0<θ<π)．解 ∵0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22sinθ2＝－cos θ.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答)答案 2解析cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2.(2)(2017·南充模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 答案32解析由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.用联系的观点进行三角变形典例 (1)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12 的值为．(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为． (3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .思想方法指导三角变形的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变形中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．解析 (1)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴s in⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.(2)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. (3)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.答案 (1)17250 (2)2 (3)－751．(2017·山西五校联考)若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( )A.2＋106 B.22＋106 C.2－106D.22－106答案 B解析由cos θ＝23，θ为第四象限角，得sin θ＝－53，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B. 2．(2018·成都模拟)若sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α等于( )A.225B ．－225C.425D ．－425答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 3．(2017·西安检测)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于( )A ．－31010B.31010 C ．－35D.35答案 C解析因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C.4．(2017·河南洛阳一模)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D 解析 a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°， ∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a >c >b .5．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117 D ．－1731答案 D解析由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725. ∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1 ＝－1731. 6．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23 答案 A解析因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 7．(2018·新疆乌鲁木齐一诊)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D. 2答案 C解析原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 8．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.9．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 答案 75解析方法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75. 方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 10．(2018·河南八市质检)化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 答案 12解析原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12. 11．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ . 答案 1718解析由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2 ＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. 12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ . 答案 7210解析依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35. 又β是第三象限角，所以cos β＝－45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718答案 C解析由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C. 14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为．答案 58解析因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22 ＝116＋916＝58.15．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为．答案 [－1,1]解析由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围为[－1,1]．16．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3 的值．解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. ∵α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4， ∴α－π4＝π2，故α＝3π4. 因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。

2019高考数学一轮复习第4章三角函数第4课时二倍角公式练习理

第4课时二倍角公式1．已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A2.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12答案 D3．计算tan15°＋1tan15°的值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin2α2＝1－23＝13.故选C. 5．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725C ．－725D ．－1625答案 C解析因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725.6．(2018·遵义第一次联考)2002年在北京召开国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如2好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为( ) A.13 B.32 C.2324 D.2425答案 D解析设锐角θ所对的直角边长为x ，由题意得x 2＋(x ＋1)2＝25，解得x ＝3，所以sin θ＝35，cos θ＝45，sin2θ＝2425.故选D.7．(2018·河北保定中学期末)已知sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos(π4－α)的值为( )A ．－15B.15 C ．－75D.75答案 D解析 ∵sin2α＝2425，0<α<π2，∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，∴sin α＋cos α＝75.∴2cos(π4－α)＝2(22cos α＋22sin α)＝cos α＋sin α＝75.8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4答案 D解析原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12，所以α＝π3，故tan α＝ 3.故选D.10．(2017·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )3A.16B.13C.12D.23答案 A解析方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos(2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.11．已知tan(α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4）的值等于( )A.255B ．－3510C ．－255D ．－31010答案 C解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α，由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010.所以原式＝22cos α＝22×(－1010)＝－255.故选C.12．(2018·江西抚州七校联考)若sin(x ＋π6)＝13，则tan(2x ＋π3)＝( )A.79 B ．±79C.427D ．±427答案 D解析由sin(x ＋π6)＝13，得cos(x ＋π6)＝±1－sin 2（x ＋π6）＝±223，tan(x ＋π6)＝±24，tan(2x ＋π3)＝tan2(x ＋π6)＝2tan （x ＋π6）1－tan 2（x ＋π6）＝±427.13．(2018·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )4好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析A ．－25 B.25 C ．－210D.210答案 D解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos2αsin2α＝－34.∵π4<α<π2，∴π2<2α<π，∴cos2α＝－35，sin2α＝45，∴sin(2α＋π4)＝sin2α×22＋cos2α×22＝210.14．(2018·广西百色一模)已知x∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 A解析 ∵cos(2x －π2)＝sin 2x ，∴sin2x ＝sin 2x ，∴2sinxcosx ＝sin 2x.∵x ∈(0，π)，∴sinx>0，∴2cosx ＝sinx ，∴tanx ＝2.∴tan(x －π4)＝tanx －tanπ41＋tanxtanπ4＝2－11＋2×1＝13.故选A.15．(1)(2018·山东烟台期中)若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79.(2)(2017·保定模拟)计算：3－sin70°2－cos 210°＝________．答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2. 16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)，5∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案－34解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，cos2α＋1＋cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.18．(2018·湖北百校联考)设α∈(0，π3)，满足6sin α＋2cos α＝ 3.(1)求cos(α＋π6)的值；(2)求cos(2α＋π12)的值．答案 (1)104 (2)30＋28解析 (1)∵6sin α＋2cos α＝3，∴sin(α＋π6)＝64.∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝104. (2)由(1)可得cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(104)2－1＝14.∵α∈(0，π3)，∴2α＋π3∈(π3，π)，∴sin(2α＋π3)＝154.∴cos(2α＋π12)＝cos[(2α＋π3)－π4]＝cos(2α＋π3)cos π4＋sin(2α＋π3)sin π4＝30＋28.6好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2B.1－m2C ．± 1＋m2D.1＋m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ， ∴cos 27°＝1＋m 2，∴cos7°＝1＋m2.。

高考数学总复习第四章三角函数第22讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式课件理

sin α±cos α＝ 2sinα±π4 .
第九页，共四十四页。
考点 1 三角函数公式的基本应用例1(1)若 α∈π2 ，π，tanα＋π4 ＝17，则 sin α 等于( ) A.35 B.45 C. －35 D. －45
第十页，共四十四页。
【解析】(1)∵tanα＋π4 ＝t1a－n taαn＋α1＝17，
∴tan
α＝－34＝csions
α α，
∴cos α＝－43sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝295. 又∵α∈π2 ，π，∴sin α＝35.
【答案】A
第十一页，共四十四页。
(2)
计
算
sin
47°－sin 17°cos 30° cos 17°
的
值
等
于
__________.
cos 2α＝2cos2α－1＝35，
∴f(α)＝12sin
2α＋
3 2 cos
2α＝3
3－4 10 .
第十九页，共四十四页。
1. 对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.
2. 公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.
第二十五页，共四十四页。
2. 已知 α∈π2 ，π，cos α＝－45，则 tanα＋π4
＝( )
1 A.7
B. 7
C. －17
D. －7
【解析】∵α∈π2 ，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，
∴tan α＝－34，∴tanα＋π4 ＝t1a－n taαn＋α1＝－1＋ 34＋341＝17.

2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第4练二倍角公式及应用(原卷版)

c ，且 3 a2 c2 b2 2bc sin A .
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(1)求角 B 的大小；
(2)若 cos A 1 ，求 sin 2A B 的值.
3 20．（2023 春·江西·高一赣州市第四中学校考期末）在 VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为
a,b, c ， 6cos B cosC 1 3cos B C .
B． cos A cos B
C． sin 2 A sin 2B
D． cos 2 A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
A．
f
x
与
g
x
均在
0,
π 4
单调递增
B． f x 的图象可由 g x 的图象平移得到
C． f x 图象的对称轴均为 g x 图象的对称轴
D．函数 y f x g x 的最大值为 1 2
2 11．（2023·全国·高三专题练习）在 VABC 中，若 A B ，则（）
A． sin A sin B
．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知
π 2
,
0
，
cos2
7 9
，则
sin
的值为
.
18．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，角的终边经过点 1, 2 ，则
cos2 sin 2
．
四、解答题 19．（2023 春·天津北辰·高一校考期中） VABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，

2020年高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题(含解析)(最新整理)

考点20 二倍角公式与简单的三角恒等变换1．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试)在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1,sinB＝，则（tan 2A ﹣2）sin2C 的最小值为_______．【答案】5 【解析】在∆ABC 中，由sinB所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12，当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以,cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-)＜12，化简得：21sin 2cos 02A A +<,因为04A π<<，所以sin2A ＞0,即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- （tan 2A ﹣2）sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯- ＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+ ＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++ ＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 21A =时取等号故答案为:5．2．（江苏省常熟市高三下学期期中考试)在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，则cos 2α的值是__．【答案】79- 【解析】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-．3．(江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知倾斜角为的直线l 的斜率等于双曲线的离心率,则＝_______．【答案】【解析】双曲线的离心率，,因为为直线的倾斜角，所以∴＝sin =2sin=故答案为：。

高考数学一轮复习讲义二倍角三角函数

[2 分] [6 分] [8 分]
[10 分]
由已知得 2sin4x1－π3＝2sin4x2－π3＝a， ∴4x1－π3＋4x2－π3＝π， ∴x1＋x2＝51π2，
∴tan(x1＋x2)＝tan 51π2＝tanπ4＋π6
＝1t－antaπ4n＋π4ttaann
三角函数式的化简求值
例 1 已知34π<α<π，tan α＋tan1 α＝－130，求 5sin2α2＋8sin2α2sicnosα－α2＋π211cos2α2－8的值．
(1)由已知条件求出 tan α 的值； (2)化简求值或用 tan α 表示．
解 ∵34π<α<π，∴－1<tan α<0，由 tan α＋tan1 α＝－130，
合理拆角，求出 cos 2α，再根据二倍角公式求出所求结果，注意计算过程中角的范围．解 ∵π2<α<π，∴π<2α<2π. 又－π2<β<0，∴0<－β<π2. ∴π<2α－β<52π.而 sin(2α－β)＝35>0， ∴2π<2α－β<52π，cos(2α－β)＝45.
又－π2<β<0 且 sin β＝－1123，∴cos β＝153，
＝sin2x－23π＋ 3cos2x－23π ＝2sin2x－π3， ∴f(x)的最大值为 2，此时由 2x－π3＝π2＋2kπ，k∈Z 得 x＝kπ＋51π2，k∈Z.
(2)f(2x)＝2sin4x－π3. ∵x∈0，π4，∴4x－π3∈－π3，23π.
变式训练 2
已知 cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，sin(α＋β)＋sin(α－β)＝35，
(解1)求(1ta)∵n αc；os((α2＋)2cβo)＋s22α2cs－oins(3ααs＋－in πβ4α)－＝145.，

2019年高考数学一轮复习专题4.5两角和与差及二倍角的三角函数(测)

π (1) 求 f 6 的值；
3
π
απ
(2) 若 sin α ＝ 5，且 α ∈ 2 ，π ，求 f 2 ＋ 24 .
4
π
π
12．已知函数 f ( x) ＝ 4tan xsin 2 － x ·cos x－ 3 － 3.
(1) 求 f ( x) 的定义域与最小正周期；
ππ (2) 讨论 f ( x) 在区间－ 4 ， 4 上的单调性．
25
25
7 所以 (cos α － sin α ) ·(cos α ＋ sin α ) ＝ 25， ②
1 由①②可得 cos α＋ sin α ＝－ 5， ③
3 由①③可得 sin α＝ 5.
5．在斜三角形 ABC中， sin A＝－ 2cos B·cos C，且 tan B·tan C＝ 1－ 2，则角 A 的值为
解： (1) f ( x) 的定义域为
x
x≠π 2
＋ kπ ， k∈ Z .
π f ( x) ＝ 4tan xcos xcos x－ 3 － 3
π
＝4sin
xcos
x－ 3
－
3
＝4sin
x
1 2cos
3 x＋ 2 sin
x－
3
＝2sin xcos x＋ 2 3sin 2x－ 3
5
＝sin 2 x＋ 3(1 －cos 2 x) － 3 π
2
1 6．已知锐角 α ， β 满足 sin α － cos α＝ 6， tan α ＋ tan β ＋ 3·tan α tan β ＝ 3，
则 α ， β 的大小关系是 1
【解析】 ∵ α 为锐角， sin α － cos α ＝， 6

推荐-2020版高考数学新设计大一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式习题理含

第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos __αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin __αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a2＋b2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a2＋b2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .[微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修4P127T2改编)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210解析 ∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.答案 C3.(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3. 答案34.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89B.79C.－79D.－89解析因为sin α＝13，cos 2α＝1－2sin 2α，所以cos 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－29＝79.答案 B5.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P (sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32解析由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° ＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝12. 答案 A6.(2018·全国Ⅱ卷)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________. 解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案 32考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝（2cos2α2＋2sin α2cos α2）·（cos α2－sin α2）4cos2α2＝cos α2（cos2α2－sin2α2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α.答案 (1)sin(α＋γ) (2)cos α规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α(2)化简：2cos4α－2cos2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.(2)原式＝12（4cos4α－4cos2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos22α2cos 2α＝12cos 2α.答案 (1)D (2)12cos 2α考点二三角函数式的求值多维探究角度1 给角(值)求值【例2－1】 (1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.解析cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin （10°＋30°）2·sin 40°＝2.答案2(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值. 解 ①因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.角度2 给值求角【例2－2】 (1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.解析 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 答案 (1)π3(2)－3π4规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.【训练2】 (1)(2019·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2(2)已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________.(3)若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3·sin 2θ，则sin 2θ＝( )A.13B.23C.－23D.－13解析 (1)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°·2sin（20°－30°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.(2)∵α为锐角，且cos α＝17，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.∴β＝π3.(3)由题意知2（cos2θ－sin2θ）cos θ－sin θ＝3sin 2θ，∴2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，则4(1＋sin 2θ)＝3sin 22θ，因此sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍). 答案 (1)C (2)π3(3)C考点三三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值.解 (1)f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.因为图象关于直线x ＝π对称，所以2πω－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令k ＝1时，ω＝56符合要求，所以函数f (x )的最小正周期为2π2×56＝6π5. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＋λ＝0，则λ＝－2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2. 由0≤x ≤35π，知－π6≤53x －π6≤56π，∴当53x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值－1－2.当53x －π6＝π2，即x ＝25π时，f (x )取最大值2－2. 规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a2＋b2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12成立.[思维升华]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. [易错防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的. 3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－15C.15D.45解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.答案 D2.(2019·广东省际名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝( ) A.2325B.－2325C.725D.－725解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－725.答案 D 3.sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14B.12C.32D.1 解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.答案 A4.(2019·信阳一模)函数f (x )＝3sin x2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于( ) A.5 B.92C.52D.2解析由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x2＝32sin x ＋2cos x ＋2＝52sin(x ＋φ)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43，又因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为92. 答案 B5.(2019·济南模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35B.45C.35或45D.34解析 ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－1－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝45. 答案 B二、填空题 6.(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 答案 75 7.化简：2sin （π－α）＋sin 2α2cos2α2＝________. 解析 2sin （π－α）＋sin 2α2cos2α2＝2sin α＋2sin αcos α1＋cos α ＝2sin α（1＋cos α）1＋cos α＝2sin α. 答案 2sin α8.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析由tan α＝2得sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010.答案 31010三、解答题9.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. 10.已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值. 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π(k ∈Z )，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16(k ∈Z ). ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16(k ∈Z ).(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4. 因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－3. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·江西八所重点中学联考)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110B.－1110C.1D.－1解析 ∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos2θ－sin2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ ＝1－tan2θ＋tan θtan2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1. 答案 D12.(一题多解)(2019·河北百校联盟联考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A.43B.－43C.－34D.34解析法一 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35， ∴sin θ＋cos θ＝325，① ∴2sin θcos θ＝－725. ∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，② 由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210，∴tan θ＝－17，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43. 法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2<θ<2k π(k ∈Z )，∴2k π－π4<θ＋π4<2k π＋π4(k ∈Z )， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43. 答案 B13.(一题多解)设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________. 解析法一由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4. 法二由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2，得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.答案 5π414.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π).(1)求a ，θ的值；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＝0，求cos α－sin α的值. 解 (1)因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos2x 2cos(x ＋θ)是奇函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos2x 2cos(x ＋θ)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos2x 2cos ()－x ＋θ，化简、整理得，cos x cos θ＝0，则有cos θ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos2 x 2. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－12sin 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＋25cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，因为cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝85cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0或cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0⇒α＝3π4，所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2；由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58，3π4<α＋π4<5π4，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522⇒cos α－sin α＝－52.5 2.综上，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－。

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析：∵cosπ6－x＝cos
π 6cos
x12sin x＝12(sin x＋ 3cos x)＝12×65＝35.
答案：35
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1．已知 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，则 cosπ6－α＝(
2
·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×322×＋31＋ 2×312－＋312＋ 22＝0.
答案：0
考点三角的变换
[典例引领]
已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
)
A．－2 3 2
B．2
2 3
C．－13
D．13
解析：由 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，
展开化简可得 sinα＋π3＝－13，
所以 cosπ6－α＝cos π2－α＋π3 ＝sinα＋π3＝－13.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝12 f(x)，则 tan 2x 的
3
C. 3
D．2 2－1
解析：
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csions
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°－40°－sin 40°＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°