第八节空间

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第8节几何空间向量的混合积

证明由命题8.3和二重向量积计算得 (a b ) (c d ) [(c d ) a ] b
命题8.3 二重外积计算
[(c a )d (d a )c ] b (c a )(d b ) (d a )(c b ) 内积对线性运 a c a d b c b d 算分配
则
a1 a2 a3 a1 b1 c1 (a b ) c b1 b2 b3 a2 b2 c2 . c1 c2 c3 a3 b3 c3
证明因为
即 a b 的坐标是
a2 a3 a1 a3 a1 a2 a b i j k, b2 b3 b1 b3 b1 b2
混合积的每个因子都具有线性性质，即
[( ka1 la2 ) b ] c k (a1 b ) c l (a1 b ) c .
[a ( kb1 lb2 )] c k (a b1 ) c l (a b2 ) c . (a b ) ( kc1 lc2 ) k (a b ) c1 l (a b ) c2 .
下面假设三个向量不共面。在空间中取一点O, 作
OA a , OB b , OC c ,
作以OA, OB, OC为棱的平行六面体（如图）。记底面OAB的面积为S，则
S ab .
ab C
H
记底面的高为 OH h, 则
a2 a3 a1 a3 a1 a2 ( , , ), b2 b3 b1 b3 b1 b2
于是

高等代数第八章空间问题.ppt

( gz
q),
(f)
yz zx xy 0
由（d） w (1 )(1 2 ) g (z q )2 B
(g)
2E(1 )
g
为了确定常数B，必须利用位移边界条件。假定半空间体
在距边界为h处没有位移，则由位移边界条件
(w)zh 0 代入
B (1 )(1 2 ) g (h q )2
2E(1 )
g
(h)
w (1 )(1 2 ) [q(h z) g (h2 z2 )]
E(1 )
2
例题半空间体受重力及均布压力
应力分量和位移分量都已经完全确定，并且所有一切条件都满足。从而得到的结果是正确解答。
分力
dF 1 d dy
ba
例题
代入半空间体的沉陷公式，对ξ 和y进行积分。
= 2 y2 1/ 2
设k点在矩形之外，则沉陷为：
1 2 xa/ 2 b/ 2
ki
E xa/2 b/2
1 d dy 2 y2
ki

1 2 Ea
考虑其平衡条件

Fz 0, z zz 2 rdr+F=0。
(c)
0
由于轴对称，其余平衡条件自动满足。
例题
半空间体在边界上受法向集中力
布希内斯克解答如下：
ur

1 F
2 ER

rz R2

1
R
2 r
z

uz

1 F
2 ER
2 1
z 轴对称问题
y
z
球对称问题
§8-1 概述

泛函分析知识点

泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s 、t 、 ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。

第三节连续映射1、定义设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。

幼儿认识空间方位的教育 PPT课件

谢谢
（2）涂色游戏“大手印”，引导幼儿进一步感知自身的左右关系。
请幼儿任选左手或右手分别在月亮街或星星街上印手印（左手用红色、右手用绿色）。
3、在“装扮参加化装舞会”的游戏中，引导幼儿判定物体与自身的左右关系。
（1）幼儿在左右两边的月亮街和星星街里寻找打扮的物品，自由装扮自己的左边或右边。要求：只能打扮一边。（2）幼儿愉快地参加化装舞会，寻找朋友问一问、说一说：你是那边人？你叫什么名字？（幼儿根据自己的装扮起名，如左边人红红），你在身体的哪一边打扮了什么？你左边的朋友是谁？右边的朋友又是谁？
b 行动时尽量不发出声音，才不会吓跑老鼠。
c听从命令，把老鼠一网打尽。
2．幼儿游戏。（1）教师利用电话与幼儿联系，让幼儿用方位词说出自己躲藏的具体位置。（2）老鼠出现，幼儿听命令，抓住老鼠。（3）将老鼠抓回警察局。 3．请几位幼儿说说刚刚躲藏的地方，巩固对方位词的正确运用。（五）以游戏的口吻：“下班了，明天再继续抓老鼠”，结束游戏。
(四)游戏或一日活动中认识上下、前后、左右
用讲故事的形式，对幼儿说："小狗累了，想坐到椅子上去休息，你能帮助他吗？ "小狗休息好了，想从椅子上跳下来，请你帮助，谢谢！" "前面来了一只大灰狼，小狗想躲在椅子的后面，好的，你真帮了大忙！" "大灰狼走了，小狗要到椅子旁边去翻跟斗，好，连翻了三个，真有趣！" "小狗玩累了，来到椅子下面打瞌睡，呼噜噜、呼噜噜……" "哦，他睡醒了，让爬到卡车里，带他去兜风吧！" “我们先把车子开到椅子的前面，再开到椅子的后面，不错，再围着椅子转一圈，真棒！”“小狗的肚子饿了，他想看看纸箱子的角落里是不是有吃的东西，带上他找了一个角落，再找另一个角落，你能告诉老师，纸箱子有几处角吗？一、二、三、四，四个角，对吗？对的！噢，在最后一个角落里有一块巧克力，快让小狗吃个饱。" "啊，小狗又别出心裁，想躺在椅子面的反面晒太阳，这可难办，你能帮他想个办法吗？对，只要把椅子翻过来，上下颠倒一下就行了！"

数学立体几何第八节用空间向量证明平行和垂直

x
y
若存在，求出 AR 的长；若不存在，
请说明理由.
例 1．已知四边形 ABEF 是矩（1）证法3：如图所示，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，则
形，△ABC 是等腰三角形，平面
ABEF 平面 ABC，∠BAC＝120°，
AB＝ 1 AF＝4，CN＝3NA，M，P， 2
B(4,0,0) ， P(2,0,8) ， Q(1, 3, 0) ， M (0,0,4) ， N ( 1 , 3 ,0) . 22
形，△ABC 是等腰三角形，平面
ABEF 平面 ABC，∠BAC＝120°，
AB＝ 1 AF＝4，CN＝3NA，M，P， 2
Q 分别是 AF，EF，BC 的中点．（1）求证：直线 PQ∥平面
BMN；
设 R( ,0,0)(0 4) ，平面 PQR 的法向量为 m (x1, y1,z1) ，
设平面 BMN 的法向量 n (x, y , z) ，
BN
9
,
2
3 2
,
0
，
BM
4,0, 4 ，
z
则 n BN
9x 2
3 y 0, 2
n BM 4x 4z 0.
令 x 1，得 n (1, 3 3 , 1) ，
x
y
又 PQ (1, 3 , 8) ，
而 n PQ 1 9 8 0 ，所以 n PQ .
用空间向量证明平行和垂直
考点透视
1.考纲要求：
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.
（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平
（1）考查频率：
向量方法是自主选择的方法，在高考中极少明确要求使用向量法进行证明或计算，但大多数立体几何问题（特别是解答题）都可用向量方法解决.

高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案

习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==，进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7．一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==，因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==，所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求：（1）a b ⋅；（2）(2)(3)a b ⋅-；（3）()(2)a b a b +⋅-；（4）a b ⨯；（5）(2)(3)a b ⨯-；（6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=；（5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量．解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积．答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦，因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <．证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =，又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-，上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距，代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ；（2）012=-x ；（3）1=+y x ；（4）02=-z x ；（5）0=++z y x ；（6）1432=+-z y x ．答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3．求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===，所以两平面夹角π3θ=． 4．一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =，所以所求平面为12x y z ++=．5．一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6．求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-，所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---，由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1．分别求满足下列各条件的直线方程：（1）过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行；（2）过原点垂直于平面03=-++z y x ；（3）过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4）过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5）过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==；（3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-；（5）121311x y z +--==-． 2．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2）过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-；（3）过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4）过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ．答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3．用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4．求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角．解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5．求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=；（4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7．求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点．解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ．在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标．解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离．解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=，即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6．求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1．分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程；（2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=；（2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ；（3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）222230x y z z ++--=；（2）2222420x y z x y z ++-++=．答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周；（2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周；（4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+；（2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=；（4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =；（2）221x y -=；（3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=；（2）22194y x -= （3）22194x y +=；（4）22x z +=．答案：略．习题8-5（B ）1．一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2．画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）；（2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1．说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，；（2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，；（4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩，（2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4．求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影．解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5．画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1．分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程．答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2．求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ；答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为；答案：)6,2,2--．解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭．解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是；答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为；答案：2302y z x -+==．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是；答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=，所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程．解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=，即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=，依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---，所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --=；（4）222099x y z +-=；（5）224x y z -=；（6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程：（1）2x =；（2）5y =；（3）2z =；（4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，；（3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。

第八节线性空间的同构

其中 α , β 是 V 中任意向量， k 是 P 中任意的数，则称 σ 为 V 到 V ′ 的同构映射，这时也称线性空间 V 与 V ′ 同构
注意：1）定义 12 中条件 1）2）于下面条件 3）等价：注意 3） σ ( kα + lβ ) = kσ (α ) + lσ ( β ) ， ∀α , β ∈ V ， ∀k , l ∈ P 。
线性空间的同构一线性空间同构的概念定义12的11对应且满足的同构映射这时也称线性空间v同构注意
§8 线性空间的同构
一、线性空间同构的概念
定义 12 设 V 与 V ′ 是数域 P 上线性空间， σ 是 V 到 V ′ 的 1-1 对应，且满足 1） σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) ； 2） σ ( kα ) = kσ (α ) 。
2）任意线性空间都与自己同构。
3）数域 P 上任一 n 维线性空间都与 P n 同构。
例 1:设 V = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , A′ = A} ，
W = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , a ij = 0, i > j ,1 ≤ i, j ≤ 3} ，规定：
二、同构映射的性质
1） σ (0) = 0 ， σ ( −α ) = −σ (α ) ；
2） σ ( k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r ) = k1σ (α 1 ) + L + k r σ (α r ) ；
3）V 中向量组 α 1 , α 2 ,Lα r 线性相关（无关）等价于 σ (α 1 ), σ (α 2 ),Lσ (α r ) 线性相关（无关）。

第八节空间正多面体

第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。

此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。

何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。

对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。

那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。

【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。

因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。

因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。

①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；②正三角形，xx顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。

【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第八章第八节空间向量的应用(一) 理

第八节空间向量的应用(一)知识梳理一、异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，a ′，b ′所成的角的大小与点O 的选择无关，把a ′，b ′所成的锐角(或直角)叫异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O 通常取在异面直线的一条上．2．异面直线所成的角的取值范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法．二、直线和平面所成的角1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为0°角．2．直线和平面所成角的取值范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.三、二面角1．定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为αl β.2．二面角的平面角．理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值.(1)过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA ，OB ，则∠AOB 叫做二面角αl β的平面角．(2)一个平面垂直于二面角αl β的棱l ，且与两半平面交线分别为OA ，OB ，O 为垂足，则∠AOB 就是αl β的平面角．说明：①二面角的平面角范围是[0，π]；②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． 3．二面角大小的求法：①几何法；②向量法．4．求二面角的射影公式：cos θ＝S ′S，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S ′是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的平面角大小．四、三种空间角的向量法计算公式1．异面直线a ，b 所成的角θ：cos θ＝||a ，b (其中a ，b 分别是异面直线a ，b 的方向向量)．2．直线a 与平面α(其法向量为n )所成的角θ：sin θ＝||a ，n . 3．锐二面角θ：(法一)cos θ＝||m ，n ，其中m ，n 为两个面的法向量． (法二)cos θ＝||cos a ，b ，其中a ，b 是分别在两个面内且与棱都垂直的向量．基础自测1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．60°或30°解析：根据线面角的定义知，选项C 正确．答案：C2．(2013²山东卷)已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如题图所示：S ABC ＝12³3³3³sin 60°＝334.所以VABCA 1B 1C 1＝S ABC ³OP ＝334³OP ＝94， ∴OP ＝ 3.又OA ＝32³3³23＝1，所以tan∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，所以∠OAP ＝π3.答案：B3．如图，在直三棱柱中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，侧棱AA 1＝2，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为________．答案：134．如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E ，F 分别是线段AB ，BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.则：(1)二面角CDEC 1的余弦值为________； (2)直线EC1与FD1所成角的余弦值________.解析：(1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系Axyz ，则有D (0,3,0)，D 1(0，3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)，C 1(4,3,2)．于是，DE →＝(3，－3,0)，EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)．设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE →n ⊥EC 1→⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z2，－z2，z ＝z2(－1，－1,2)，其中z ＞0.取n 0＝(－1，－1,2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量．∵向量AA 1→＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 0与AA 1→所成的角θ为二面角CDEC 1的平面角．∴cos θ＝n 0²AA 1→|n 0|³|AA 1→|＝－1³0－1³0＋2³21＋1＋4³0＋0＋4＝63.(2)设EC 1与FD 1所成角为β，则cos β＝EC 1→²FD 1→|EC 1→|³|FD 1→|＝－＋3³2＋2³212＋32＋22³－2＋22＋22＝ 2114. 答案：(1)63 (2)21141. (2012²陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55 B.53 C.255 D.35解析：设CB ＝a ，则CA ＝CC 1＝2a ，A (2a,0,0)，B (0,0，a )，C 1(0,2a ，0)，B 1(0,2a ，a )， ∴AB 1→＝(－2a,2a ，a )，BC 1→＝(0,2a ，－a )．∴cos〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→²BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝55.故选A.答案：A2．(2013²广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC 、AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CDB 的平面角的余弦值．(1)证明：在题图1中，易得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝22，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理可得 OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ²CD cos 45°＝5，由翻折不变性可知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ，同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)解析：(法一)(几何法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCED ，所以A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角．结合题图可知，H 为AC 中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302，所以cos∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′CDB 的平面角的余弦值为155. (法二)(向量法)以点O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD →的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ²CA ′→＝0，n ²DA ′→＝0.即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x .令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量，所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ²OA ′→|n ||OA ′→|＝33²5＝155，即二面角的平面角A ′CDB 的余弦值为155.1．如图所示，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角ABEP 的大小．(法一)(1)证明：连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB . 又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ，而PA ∩AB ＝A ，因此 BE ⊥平面PAB . 又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解析：由(1)知，BE ⊥平面PAB, PB ⊂平面PAB, 所以PB ⊥BE . 又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角ABEP 的平面角．在Rt△PAB 中， tan∠PBA ＝PAAB＝3，∠PBA ＝60°. 故二面角ABEP 的大小为60°.(法二)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0.(1)证明：因为BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，平面PAB 的一个法向量是n 0＝(0,1,0)，所以BE →和n 0共线．从而BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解析：易知PB →＝(1,0，－3)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBE 的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1²PB →＝0，n 1²BE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋0³y 1－3z 1＝0，0³x 1＋32y 1＋0³z 1＝0，所以y 1＝0，x 1＝3z 1.故可取n 1＝(3，0,1)．而平面ABE 的一个法向量是n 2＝(0,0,1)．于是，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝12.故二面角ABEP 的大小为60°. 2．(2013²深圳一模)如图1，⊙O 的直径AB ＝4，点C 、D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，∠DAB ＝60°，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)．(1)求证：OF ∥平面ACD ； (2)求二面角CADB 的余弦值；(3)在BD 上是否存在点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，因为∠CAB ＝45°，连接OC ，则OC ⊥A B.以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，－2,0)，C (0,0,2)．AC →＝(0,0,2)－(0，－2,0)＝(0,2,2)，因为点F 为BC 的中点，所以点F 的坐标为(0，2，2)， OF →＝(0，2，2)．所以OF →＝22AC →，即OF ∥AC . 因为OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，所以OF ∥平面ACD .(2)解析：因为∠DAB ＝60°，所以点D 的坐标D (3，－1,0)，AD →＝(3，1,0)．设二面角CADB 的大小为θ，n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1²AC →＝0，n 1²AD →＝0，有⎩⎨⎧x ，y ，z，2，＝0，x ，y ，z3，1，＝0，即⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，3x ＋y ＝0.取x ＝1，解得y ＝－3，z ＝ 3.所以n 1＝(1，－ 3，3)．取平面ADB 的一个法向量n 2＝(0,0,1)，所以cos θ＝|n 1²n 2||n 1|²|n 2|＝|1³0＋－3＋3³1|7³1＝217.(3)解析：设在BD 上存在点G ，使得FG ∥平面ACD ，∵OF ∥平面ACD ，∴平面OFG ∥平面ACD ，则有OG ∥A D.设OG →＝λAD →(λ＞0)，因为AD →＝(3，1,0)，所以OG →＝(3λ，λ，0)．又因为|OG →|＝2，所以3λ2＋λ2＋02＝2，解得λ＝±1(舍去－1)．所以，OG →＝(3，1,0)则G 为BD 的中点．因此，在BD 上存在点G ，使得FG ∥平面ACD ，且点G 为BD 的中点．设直线AG 与平面ACD 所成角为α，因为， AG →＝(3，1,0)－(0，－2,0)＝(3，3,0)，根据(2)的计算n 1＝(1，－3，3)为平面ACD 的一个法向量，所以sin α＝cos (90°－α)＝|AG →²n 1||AG →|²|n 1|＝|3³1＋－3＋0³3|23³7＝77. 因此，直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值为77.。

第八间欧氏空间

第八间欧氏空间
1.设A,B 是两个实对称矩阵.证明:存在正交矩阵Q,使
B AQ Q =-1
的充分与必要条件是,A 与B 的特征多项式的根完全相同.
2.证明:上三角正交矩阵A 必为对角矩阵,且对角线上元素为+1或-1.如果A 的元素都是正数,则I A =.
3.设τσ及为欧氏空间V 的两个对称变换.证明:
τσστ+
也是V 的对称变换.
4.设m ααα,,,21 与m βββ,,,21 为欧氏空间V 的两组向量.证明:如果
),(),(j i j i ββαα=,m j i ,,2,1, =,
则子空间
),,,(),,,(212211m m L V L V βββααα ==与
同构.
5．证明:奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值.
6．设σ是欧氏空间V 的一个变换.证明:如果σ保持内积不变,即对于),())(),((,,βαβσασβα=∈V ,那么它一定是线性的,因而它是正交变换.
7．设A 是n 阶实对称矩阵,且I A =2,证明:存在正交矩阵T 使得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--r n r I I AT T 001 8．设B A ,是两个n n ⨯实对称矩阵,且B 是正定矩阵.证明存在一n n ⨯实可逆矩阵T 使
BT T AT T ''与
同时为对角形.。

线性空间第八节

积还是同构映射.
因为任一线性空间 V 到自身的恒等映射显然是一同构映射，所以性质 5 表明，同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 既然数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与 Pn 同构，由同构的对称性与传递性即得: 数域 P 上任意两个 n 维线性空间都同构. 综上所述，我们有：
把 V 的基 1 , i 映射成 R2 的基 e1 , e2 , 即
( 1 ) = e1 = ( 1 , 0 ) , ( i ) = e2 = ( 0 , 1 ) .
例 3 数域 P 上的空间 P22 与 P 4 同构. 其同
构映射为
a c b (a, b, c, d ) . d
这是定义 19 数域 P 上两个线性空间 V 与 V 称中的 1) 与 2) 结合的结果.
为同构的，如果由 V 到 V 有一个双射 , 具有以下性质：
3. V 中向量组 1, 2 , … , r 线性相关的充分必要条件是，它们的像 (1) , (2) , … , (r) 线性相关.
因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数,
所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间
有相同的维数.
4. 如果 V1 是 V 的一个线性子空间，那么，V1
在下的像集合
(V1) = { ( ) | V1 }
是 (V) 的子空间，并且V1 与 (V1) 维数相同.
5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘
即
( 1 ) = e1 = ( 1 , 0 , 0 ) ,
( x ) = e2 = ( 0 , 1 , 0 ) ,
( x2 ) = e3 = ( 0 , 0 , 1 ) .

第八节 K空间的基本概念

第八节K空间的基本概念K空间实际上是个数学概念，比较复杂。

对于放射科医师来说，只需要了解一些K空间的基本概念和重要特征。

K空间的概念对于理解MR成像技术，特别是快速成像技术至关重要。

一、K空间的基本概念K空间也称傅里叶空间，是带有空间定位编码信息的MR信号原始数据的填充空间。

每一幅MR图像都有其相应的K空间数据。

对K空间的数据进行傅里叶转换，就能对原始数据中的空间定位编码信息进行解码，得到MR的图像数据，即把不同信号强度的MR信息分配到相应的空间位置上（即分配到各自的像素中），即可重建出MR图像了。

二、K空间的基本特性下面就以矩阵为256×256的二维MR图像为例来介绍一下K空间的基本特性，二维K 空间又称为K平面。

如图18a所示，二维K空间的两个坐标Kx和Ky分别代表MR信号的频率编码和相位编码方向。

在二维图像的MR信号采集过程中，每个MR信号的频率编码梯度场的大小和方向保持不变，而相位编码梯度场的方向和场强则以一定的步级发生变化（图18b），每个MR信号的相位编码变化一次，采集到的MR信号填充K空间Ky方向的一条线（图18a），因此把带有空间信息的MR信号称为相位编码线，也称K空间线或傅里叶线。

图18a中并未把所有256条K空间线全部画出，仅画出几条作为示意。

ab图18 K空间结构及相位编码梯度场变化示意图图a为K空间填充示意图，图b为相应的相位编码梯度场变化示意图。

一般的K空间是循序对称填充的。

填充Ky＝－128的MR信号的相位编码梯度场为左高右低，梯度场强最大。

填充Ky＝－127的MR信号的相位编码梯度场仍为左高右低，但梯度场强有所降低。

保持梯度场方向不变，但梯度场强逐渐降低。

到填充Ky＝0的MR信号时，相位编码梯度场等于零。

此后相位编码梯度场方向变为右高左低，梯度场强逐渐升高，到采集填充Ky＝＋128的MR信号时，相位编码梯度场强达到最高。

K空间相位编码方向上Ky＝0的两侧的各MR信号是镜像对称的，即Ky＝－128与Ky＝＋128的相位编码梯度场强一样，但方向相反，Ky＝－127与Ky＝＋127的关系也是如此，以此类推。

第九章第八节空间向量及其运算(B)

第九章第八节空间向量及其运算（B ）1.AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12(AB＋BC ＋CD )化简的结果为 ( )A ．BFB ．EHC ．HGD ．FG解析：12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC＋CD )＝12AD ＝12·2HG ＝HG .答案：C2．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，11A A＝c ，则下列向量中与1B M相等的向量是 ( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，1B M ＝1B B ＋BM ＝c ＋12BD＝c ＋12(AD －AB )＝－12a ＋12b ＋c .答案：A3.12312312312e 3， d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝xa ＋yb ＋zc ，则x ，y ，z 分别是________．解析：由d ＝xa ＋yb ＋zc 可得e 1＋2e 2＋3e 3＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x ＋y －z )e 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x ＋y －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.答案：52，－12，－14．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 1交平面ACB 1于点E .求证： (1)BD 1⊥平面ACB 1； (2)BE ＝12ED 1.解：(1)∵1BD ＝BC ＋CD ＋1DD ，AC ＝AB ＋BC，∴1BD ·AC ＝(BC ＋CD ＋1DD )·(AB＋BC )＝BC ·BC ＋CD ·AB ＝ BC ·BC －AB ·AB ＝|BC |2－|AB |2＝1－1＝0， ∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥AB 1，又AC ∩AB 1＝A ，于是BD 1⊥平面ACB 1.(2)如图，设底面正方形的对角线AC 、BD 交于点M ，设向量AB ＝a ，AD＝b ， 1AA＝c ，则BM ＝12(AD －AB )＝12(b －a )，则1B M ＝BM －1BB＝12(b －a )－c ， 1BD＝b ＋c －a .设BE＝λ1BD ＝λ(b ＋c －a )，则EM ＝BM －BE ＝12(b －a )－λ(b ＋c －a )＝(－12＋λ)a ＋(12－λ)b －λc ，由B 1，E ，M 共线可知，存在实数t ，使得EM ＝t 1B M即(－12＋λ)a ＋(12－λ)b －λc ＝12t (b －a )－tc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝－12t ，12－λ＝12t ，λ＝t ，解之得λ＝t ＝13.故BE ＝13BD 1，所以BE ＝12ED 1.5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点 E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )A ．2BA ·BCB ．2AD ·BDC ．2FG ·CAD ．2EF ·CB解析：〈AD ，BD 〉＝π3，∴2AD ·BD ＝2a 2×cos π3＝a 2. 答案：B6．二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点， AC 、BD 分别在半平面α、β内， AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝α，BD ＝2a ，则CD 的长为 ( ) A ．2a B.5a C ．a D.3a 解析：∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴〈AC ,BD 〉＝60°，且AC ·BA ＝0，AB ·BD＝0， ∴CD ＝CA ＋AB ＋BD ，∴|CD|＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a cos120°＝2a . 答案：A7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×4×cos120°＝－8，∴b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2×(－8)＋42＝0. 答案：08．如图，平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°. (1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解：设AB ＝a ，AD＝b ，1AA ＝c ，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)1AC ＝AC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA＝a ＋b ＋c . ∴|1AC |2＝(a ＋b ＋ c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝3＋6×1×1×12＝6，∴|1AC|＝6，即AC 1的长为 6. (2)1BD ＝BD ＋1DD ＝AD －AB ＋1AA＝b －a ＋c .∴1BD ·AC＝(b －a ＋c )·(a ＋b ) ＝a ·b －a 2＋a ·c ＋b 2－a ·b ＋b ·c ＝1.|1BD|＝(b －a ＋c )2＝2，|AC ―→|＝(a ＋b )2＝3，∴cos 〈1BD ，AC 〉＝11BD AC BD AC＝12×3＝66. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为66.9.如图，在正方体1111M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点， A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3， ∴MB ＝231A B ，CN＝23CA ，∴MN ＝MB ＋BC＋CN ＝231A B ＋BC ＋23CA＝23(11A B ＋1B B)＋BC ＋23(CD ＋DA ) ＝231B B＋1311B C . 又∵CD是平面B 1BCC 1的法向量，且MN ·CD＝(231B B ＋1311BC )·CD ＝0， ∴MN ⊥CD，∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案：B10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 3AD ＝DC ＝3，AB ＝2，E 是DC 上的点，且满足 DE ＝1，连结AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝60°，设AC 与BE 的交点为O .(1)试用基向量AB ，AE ，1AD 表示向量1OD ；(2)求异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值；(3)判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直？并说明理由．解：(1)∵AB ∥CE ，AB ＝CE ＝2，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为BE 的中点．∴1OD ＝1AD －AO ＝1AD －12(AB＋AE )＝1AD －12AB －12AE .(2)设异面直线OD 1与AE 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈1OD ，AE 〉|＝|11OD AEOD AE|，∵1OD ·AE ＝(1AD －12AB－12AE )·AE ＝1AD ·AE－12AB ·AE －12|AE |2 ＝1×2×cos45°－12×2×2×cos45°－12×(2)2＝－1，|1OD |＝＝62，∴cos θ＝|11OD AE OD AE |＝|－162×2|＝33. 故异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值为33. (3)平面D 1AE ⊥平面ABCE .证明如下：取AE 的中点M ，则1D M ＝AM －1AD ＝12AE －1AD，∴1D M ·AE ＝(12AE －1AD )·AE＝12|AE|2－1AD ·AE ＝12×(2)2－1×2×cos45°＝0. ∴1D M ⊥AE.∴D 1M ⊥AE .∵1D M ·AB ＝(12AE －1AD )·AB ＝12AE ·AB －1AD ·AB ＝12×2×2×cos45°－1×2×cos60°＝0， ∴1D M ⊥AB，∴D 1M ⊥AB .又AE ∩AB ＝A ，AE 、AB ⊂平面ABCE ， ∴D 1M ⊥平面ABCE . ∵D 1M ⊂平面D 1AE ， ∴平面D 1AE ⊥平面ABCE .。

2015届高考数学总复习第八章第八节空间向量的应用(一)课件理

三角形得出角的大小；一种是建立空间直角坐标系，用向量法求解．自主解答：
解析：(法一) (1)因为AA1∥BB1，
所以∠A1AD为AD与BB1所成的角．
又因为∠A1AD＝90°，
所以异面直线AD与BB1所成的角为90°.
(2)连接 A1B、BG. 因为 A1B∥EF，所以∠BA1G 为 EF 与 A1G 所成的角．设 AB＝2，则 A1B＝2 2，BG＝ 5，A1G＝3. 在△A1BG 中，由余弦定理，得 A1B2＋A1G2－BG2 8＋9－5 2 cos ∠BA1G＝＝＝2. 2· A1B· A1G 2×2 2×3 因为 0° <∠BA1G≤90° ，所以∠BA1G＝45° ，所以异面直线 EF 与 A1G 所成的角为 45° .
(3)表示向量；(4)计算．

变式探究
1 ．如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， H 是正方形 AA1B1B的中心，AA1＝2 2 ，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5 .
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角AA1C1B1的正弦值； (3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥ 平面A1B1C1，求线段BM的长．
(法二)分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，如图．
则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)， 1 1 1 G0，1，2，E1，0，2，F1，2，0.
2 3 2 5 (3)由 N 为棱 B1C1 的中点，得 N 2 ， 2 ， 2 . 设 M(a，b,0)， 2 3 2 5 → 则MN＝－a，－ b ， . 2 2 2 →· MN A→ 1B1＝0，由 MN⊥平面 A1B1C1，得 →· A→ MN 1C1＝0.

第八节空间

第8节 几何空间向量的混合积

高等代数 第八章 空间问题.ppt