上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编4：平面向量
2013年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)含详解
2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k的值为．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为．13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣616．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差数列或等比数列．③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22．（16分）已知函数．（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】29：规律型．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，∴===．再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．【考点】55：二分法的定义与应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．【解答】解：根据运算得下表：运算1…456…次数解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．故答案为：5.3．【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k 的值为．【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．∵向量，且，∴，解得k=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】27：图表型．【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，∴样本容量==80，∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．故答案为：44．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．故答案为：8π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于17．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得到，可得n+d=n+=，利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，a1=1，a n=65，∴d＞0，n＞1，1+（n﹣1）d=65，∴，∴n+d=n+==17，当且仅当，n＞1，即n=9，d=8时取等号．因此n+d的最小值等于17．故答案为17．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式、基本不等式的性质是解题的关键．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．【解答】解：设点P（x0，y0），则．由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．∴，．∴k1•k2===1．故答案为1．【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，∴4﹣4cos A=sin A，∴==4，故答案为4．【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得该等差数列为1，3，5，7，9，11，13，总的方法种数为=21，而符合条件的共有=3种，代入概率公式可得答案．【解答】解：由题意设等差数列为{a n}，可得其和S7===7a4=49，故a4=7，又该数列为整数，故可得该数列为1，3，5，7，9，11，13，故任取两个球的方法种数为=21，两个小球上的号码均小于7，只需从1，3，5三个号码中任取两个即可，故共有=3种，故所求概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及计算公式，由题意得出该数列是解决问题的关键，属基础题．12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为14．【考点】3T：函数的值；7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】通过已知条件求出a、b满足的不等式，求出f（2）的表达式，利用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：因为f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，所以1≤a﹣b≤2，…①，2≤a+b≤4，…②，由②×3+①可得：5≤4a+2b≤14又f（2）=4a+2b，所以f（2）的最大值为：14．故答案为：14．【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，也可以利用线性规划解答本题，由于a、b是互相影响与制约的，不可以求出a、b的范围来解答，会使范围扩大，是易错点．13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用重心的性质和向量的运算法则可得可得，再利用数量积的运算性质即可得出．【解答】解：设D为边BC的中点，如图所示，则．根据重心的性质可得==．∴====．故答案为．【点评】熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先由题目中的两个不等式推导出f（x+4）﹣f（x+2）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）≤3x，∴f（x+4）﹣f（x+2）≤3x+2=9•3x，又f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，∴f（x+4）﹣f（x+2）=9×3x，=3x+2，∴f（2）﹣f（0）=30，f（4）﹣f（2）=32，f（6）﹣f（4）=34，f（8）﹣f（6）=36，以上各式相加得，f（8）﹣f（0）=，∴f（8）=f（0）+=+=，故答案为：．【点评】本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数列求前n项和公式，注重知识点的交汇和灵活运用．属难题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可得r=1此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】由”可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”推不出角A为钝角，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由题意可知若“”则必有角A为钝角，可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”不一定角A为钝角，可能角B或C为钝角，故推不出角A为钝角，故可得“”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题．17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．【解答】解：由，当时，0≤sin x≤1，f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．此时当sin x=1时f（x）有最小值为；当时，﹣1≤sin x＜0，f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．综上，函数f（x）的最小值是0．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差数列或等比数列．③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】21：阅读型．【分析】①依据|Z+i|+|Z﹣i|=2的几何意义得到对应点的轨迹是线段；②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则由两因式分别为0，可求出数列{a n}的递推公式，继而可得到数列是等差数列或等比数列；③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=﹣f（﹣x），则可判断函数的奇偶性；④若设P（x，y）（x＞0，y≥0），则可将曲线化简为（x＞0，y≥0）再画出图形，找到特殊点，当y=0时，即可求出||PE|﹣|PF||的值，继而判断正误．【解答】解：①|Z+i|表示复平面上，点Z与点﹣i的距离，|Z﹣i|表示复平面上，点Z与点i的距离，∴|Z+i|+|Z﹣i|=2，表示复平面上，点Z与点i、﹣i的距离之和等于2．则对应点的轨迹是线段，故①错；②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则（a n+1﹣a n﹣1）=0或（a n+1﹣2a n）=0，所以a n+1﹣a n=1或a n+1=2a n，则数列{a n}是等差数列或等比数列，故②正确；③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=﹣f（﹣x），则f（x）是R上的偶函数或奇函数，故③正确；④设P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的动点曲线，则（x＞0，y≥0）又由于两定点E（﹣5，0）、F（5，0），则P、E、F三点位置如图示．当y=0时，P点与Q点重合，即||PE|﹣|PF||=||QE|﹣|QF||=6，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，属于基础题．我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的性质，及三棱锥A1﹣B1C1F的体积==即可得出．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，可得四边形A1ECF是平行四边形，利用其性质可得A1C∥EC，可得∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1﹣B1C1F的高．而直角三角形的===2．∴三棱锥A1﹣B1C1F的体积===．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，∴四边形A1ECF是平行四边形，∴A1C∥EC，∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．∴△BCE是等边三角形．∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．【点评】熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x＜20），∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，即x=10 时，S取最大值400；所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把点M、N 的坐标代入解出即可；（2）利用斜截式写出直线l的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，表示出直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，即可证明：k1+k2=0．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）将代入椭圆E的方程，得解得，所以椭圆E的方程为．（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，∴直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．又，，故=．又，所以上式分子==故k1+k2=0．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．22．（16分）已知函数．（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；51：函数的零点；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，利用分段函数的图象得出函数的单调递减区间和函数f （x）既不是奇函数也不是偶函数；（2）当a=1时，，欲求函数y=f（2x）的零点，即求对应方程的根．由f（2x）=0解得x的值即可；（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为，即．再构造函数，研究其最值即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为…（2分）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）（2）当a=1时，，由f（2x）=0得…（2分）即或…（2分）解得所以或x=﹣1．…（2分）（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为即…（2分）故又函数在（0，1]上单调递增，∴…（2分）函数在上单调递减，在上单调递增，∴；所以，即实数a的取值范围是．…（2分）【点评】本题以分段函数为载体，考查函数的奇偶性单调性、恒成立等问题，解题的关键是等价转化，构造新函数．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．【考点】8E：数列的求和；8O：数列与解析几何的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n﹣1|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得，从而得到{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项与求和公式可得a n、S n的表达式；（3）由（2）得{b n}是公比、首项的正项等比数列．因此根据等比数列的求和公式，将T p•T s与T q•T r作差，结合正整数p，q，r，s成等差数列且p＜q＜r＜s，化简整理可得T p•T s﹣T q•T r=，讨论所得结果的可得T p•T s﹣T q•T r＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，又∵P1在抛物线y2=x上，∴，得…（2分）同理根据P2在抛物线y2=x上，可得…（4分）的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点（2）如图，因为点Q n﹣1Q0与原点重合，S0=0），所以直线Q nP n的方程为或，﹣1因此，点P n的坐标满足消去x得，所以…（7分）又，故从而…①由①有…②②﹣①得即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是所以{a n}是以为首项、为公差的等差数列，由此可得：…（10分）（3）∵，∴数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d则，，，…（12分）T p•T s﹣T q•T r==…（14分）而==…（16分）由于a＞0且a≠1，可得，又∵d为正整数，∴与同号，因此，，可得T p•T s＜T q•T r．综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有T p•T s ＜T q•T r．…（18分）Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n﹣1的边长a n的表达式，并设，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．、。
上海市16区高三数学 二模试题分类汇编5 数列 理
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编5：数列姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）数列{}n a 前n 项和为n S ,已知115a =,且对任意正整数,m n ,都有m n m n a a a +=⋅,若n S a <恒成立,则实数a 的最小值为 （ ）A ．14B ．34C ．43D ．42 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）设等比数列{}n a 的前n项和为n S ,则“10a >”是“32S S >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））给出30行30列的数表A :⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,其特点是每行每列都构成等差数列,记数表主对角线上的数10743421101，，，，，Λ按顺序构成数列{}n b ,存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列,试写出一组),(t s 的值_____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知数列{}n a 满足134n n a a ++= (n∈N*)且1a =9,其前n 项和为S n ,则满足不等式|S n ―n―6|<1251的最小整数n 是 ( )A.5B.6C.7D.85 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）对于自然数*∈N i ,设)1(3,--=k i a k i (1,2,3,)k =⋅⋅⋅,如6)14(334,3-=--=a ,对于自然数m n ,,当2,2≥≥m n 时,设n i i i i a a a a n i b ,3,2,1,),(+⋅⋅⋅+++=,(,)(1,)S m n b n =+(2,)b n +),(),3(n m b n b +⋅⋅⋅+,则=)6,10(S ____________.6 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若5,10105-==S S ,则公差为____.7 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）等差数列{}n a 的前10项和为30,则14710a a a a +++=___________.8 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ,称k a a a a Λ321为整数的k 为“希望数”,则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为___________.9 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=,前n 项和为n S ,则=13S ____________.10．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等, 则=+d a 1________11．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设n S 为数列{}n a 的前n项和,若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立,则实数m的最大值为._______12．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）设等差数列{}n a 满足:公差*d N ∈,*n a N ∈,且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =,则d的所有可能取值之和为_______.13．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,若36a =,312S =,则公差d =_____.14．（2013年上海市高三七校联考（理））设等差数列}{n a 的公差为正,若212313a a a a ==-，,则456a a a ++=____.15．（2013届浦东二模卷理科题）数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a (*∈N n ).①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列; ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件; ③若{}n a 为单调递增数列,则1a 的取值范围是)2,1()1,(Y --∞;④只要k k k k a 232311--≠+,其中*∈N k ,则n n a ∞→lim 一定存在; 其中正确命题的序号为____________.16．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a 中,若11,73n a a ==,则n d +的最小值等于_________________. 三、解答题17．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0,公差为12的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()*42()15n an b n N =⋅-∈,对任意的正整数k ,将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为k d ,求证:数列{}k d 为等比数列; (3)对(2)题中的k d ,求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.18．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足a a =1 (3≠a ),nn n S a 31+=+,设n n n S b 3-=,*∈N n .(1)求证:数列{}n b 是等比数列;(2)若1+n a ≥n a ,*∈N n ,求实数a 的最小值;(3)当4=a 时,给出一个新数列{}n e ,其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn ,设这个新数列的前n项和为n C ,若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式,则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.19．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分设数列{}n a 与}{n b 满足:对任意*∈N n ,都有()21nn n ba b S -=-,12-⋅-=n n n n a b .其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.(1)当2b =时,求数列{}n a 与}{n b 的通项公式; (2)当2≠b 时,求数列{}n a 的前n 项和n S .20．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如果存在常数a 使得数列{}n a 满足:若x 是数列{}n a 中的一项,则a x -也是数列{}n a 中的一项,称数列{}n a 是关于常数a 的“兑换数列”.(1) 若数列:1,2,4,(4)m m >是关于a 的“兑换数列”,求m 和a 的值;(2) 已知项数为0n (03n ≥)有限．．等差数列{}n b ,其所有项的和是B ,求证:数列{}n b 是关于常数2Bn 的“兑换数列”. (3) 对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增等比数列{}n c ,是否是“兑换数列”?若是,请求出常数a 的值;否则请说明理由. 21．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈,若数列}{n a 同时满足下列两个条件,则称数列}{n a 具有“性质m ”:①122++<+n n n a a a ; ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. (1)数列}{n a 、}{n b 中,n a n =、6sin 2πn b n =(5,4,3,2,1=n ),判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”;(2)若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ,且413=c ,473=S ,证明:数列}{n S 具有“性质m ”,并指出M 的取值范围;(3)若数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=(*N n ∈).对于任意的3≥n (*N n ∈),数列}{n d 具有“性质m ”,且对满足条件的M 的最小值90=M ,求整数t 的值 22．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质:①1a 为整数;②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a +-=. (1)若1a 为偶数,且123,,a a a 成等差数列,求1a 的值;(2)设123m a =+(3m >且m ∈N),数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:123m n S +≤+;(3)若1a 为正整数,求证:当211log n a >+(n ∈N)时,都有0n a =.23．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知复数i b a z n n n ⋅+=,其中R a n ∈,R b n ∈,*∈N n ,i 是虚数单位,且i z z z n n n 221++=+,i z +=11.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)求和:①13221++++n n a a a a a a Λ;②1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b Λ.24．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且1()2n n n a a S -=. (1)求a 1,a 3;(2)求证:数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设1lg 3n n na b +=,试问是否存在正整数p ,q (其中1<p <q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,说明理由.25．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)(理)已知三个互不相等的正数a ,b ,c 成等比数列,公比为q .在a ,b 之间和b ,c 之间共插入n 个数,使这3+n 个数构成等差数列. (1)若1=a ,在b ,c 之间插入一个数,求q 的值;(2)设c b a <<,4=n ,问在a ,b 之间和b ,c 之间各插入几个数,请说明理由; (3)若插入的n 个数中,有s 个位于a ,b 之间,个位于b ,c 之间,试比较s 与的大小.26．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分18分;第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ,定义“T 变换”:T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ,其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=,且331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”,得到数列123:,,C c c c ,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.(1)试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由;(2)设123:,,A a a a ,()B T A =.若:,2,()B b a a b ≥,且B 的各项之和为2012.求a ,b ;(3)在(2)的条件下,若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小,求k 的最小值,并说明理由. 27．（2013年上海市高三七校联考（理））本题共有3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.一青蛙从点000( )A x y ，开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是( )()i i i A x y i N *∈，,(如图所示,000( )A x y ，坐标以已知条件为准),n S 表示青蛙从点0A 到点n A 所经过的路程.(1)若点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >准线上一点,点1A 、2A 均在该抛物线上,并且直线1A 2A 经过该抛物线的焦点,证明23S p =.(2)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上,要么落在2y x =所表示的曲线上,并且011( )22A ，,试写出lim n n S →+∞(请简要说明理由); (3)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上,要么落在2y x =所表示的曲线上,并且01( 1)2A ，,求n S 的表达式.28．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.OA 3 yx…A 0 A 1 A 2 A 4已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ,满足a b c ≤<(1)在,a b 之间插入2011个数,使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ,且它们的和为2013,求c 的最小值;(2)已知,,a b c 均为正整数,且,,a b c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列n S S S S ,,,,321Λ,且n nn S S S S T )1(321-++-+-=Λ,求满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值;(3)已知,,a b c 成等比数列,若数列{}n X 满足5()nnn c a X n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:数列{}n X 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且n X 是正整数.29．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.如图,过坐标原点O 作倾斜角为60o的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点,过1P 点作倾斜角为120o 的直线交x 轴于1Q 点,交Γ于2P 点;过2P 点作倾斜角为60o的直线交x 轴于2Q 点,交Γ于3P 点;过3P 点作倾斜角为120o 的直线,交x 轴于3Q 点,交Γ于4P 点;如此下去.又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L的长分别为123,,,,,n a a a a L L ,11122OPQ Q P Q ∆∆，，2331n n n Q PQ Q P Q -∆∆，，，L L 的面积分别为123,,,,,,n G G G G L L 数列{}n a 的前n 项的和为n S .(1)求12,a a ; (2)求n a ,limnn nG S →∞;(3)设(01)n an b a a a =>≠且,数列{}n b 的前n 项和为n T ,对于正整数,,,p q r s ,若p q r s <<<,且p s q r +=+,试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编5：数列参考答案一、选择题 1. A 2. C 二、填空题 3. )25,17(.4. C5. 120-6. 1-7. 12 8. 9; 9. 7; 10.4311.5112. 364 13. 214. 21 15. ①④ 16. 18; 三、解答题17.本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分6分.解:(1)由条件得10(1)2n S n n =+-,即(1)2n nS n =-, 所以,*1()n a n n N =-∈(2) 由(1)可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈ 所以,22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅,2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅,222144(2)21515k k k b +=-=⋅,由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列,所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=, 满足14k kd d +=为常数,所以数列{}k d 为等比数列(3)①当k 为奇数时,112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k k k k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--L L ,同样,可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k kk k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+L , 所以,集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++133(41)55k k k d d ++=-+=;②当k 为偶数时,同理可得集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为3(41)5k ⋅-18.本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.解:(1)⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+,n n n S b 3-=,*∈N n ,当3≠a 时,1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2,所以{}n b 为等比数列. 3311-=-=a S b ,12)3(-⨯-=n n a b .(2) 由(1)可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ; n n a a ≥+1,2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ,9-≥a所以9-≥a ,且3≠a .所以a 的最小值为(3)由(1)当4=a 时,12-=n n b当2≥n 时,n n C 2423++++=Λ12+=n,31=C , 所以对正整数n 都有12+=nn C .由12+=n pt,n p t 21=-,(*∈N p t ,且1,1>>p t ),t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时,n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-,因为12+p t和12-p t 都是大于1的正整数,所以存在正整数h g ,,使得gp t 212=+,h p t 212=-,222=-h g ,2)12(2=--h g h ,所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ,相应的3=n ,即有233=C ,3C 为“指数型和”;②当p 为奇数时,)1)(1(112-++++-=-p ptt t t t Λ,由于121-++++p t t t Λ是p个奇数之和,仍为奇数,又1-t 为正偶数,所以n p tt t t 2)1)(1(12=++++--Λ 不成立,此时没有“指数型和”.19.解:由题意知12a =,且()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ① (1)当2b =时,由①知122nn n a a +=+于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠,所以{}12n n a n --⋅是首项为1,公比为2的等比数列.故知,12-=n n b , 再由12-⋅-=n n n n a b ,得()112n n a n -=+.另解:111222n n n n a a ++=+ 2n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =,公差为12的等差数列,111222n n a n n -+∴=+=()112n n a n -∴=+⋅ ()1111222n n n n b n n ---=+⋅-⋅=(2)当2b ≠时,由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭若0=b ,nn S 2= 若1=b ,nn a 2=,221-=+n n S若10、≠b ,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--n n b a 221是以b b --2)1(2为首项,以b 为公比的等比数列,故 12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a , ()[]122221--+-=n n n b b b a()()1213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b b b b b b S2(2)2n n n b S b-=-1b =时,122n n S +=-符合上式所以,当0≠b 时,2(2)2n n n b S b-=-当0=b 时,nn S 2=另解:当1n =时,112S a == 当2n ≥时,()21nn n ba b S -=-Q()()121n n n n b S S b S -∴--=-12n n n S bS -∴=+若0=b ,nn S 2=若0≠b ,两边同除以2n得111222n n n n S S b --=⋅+ 令111222n n n n S S b m m --+=⋅++,即1122()222n n n n S S b mm b--++=⋅+ 由22m m b +=得22m b =- 2{}22n nS b ∴+-是以2b b -为首项,2b 为公比的等比数列 12()2222n n n S b b b b -∴+=⋅--, 所以,当0≠b 时,2(2)2n n n b S b-=-20.21.解:(1)在数列}{n a 中,取1=n ,则23122a a a ==+,不满足条件①,所以数列}{n a 不具有“m 性质”;在数列}{n b 中,11=b ,32=b ,23=b ,34=b ,15=b ,则2312323b b b =<=+,3422432b b b =<=+,4532323b b b =<=+,所以满足条件①;26sin2≤=πn b n (5,4,3,2,1=n )满足条件②,所以数列}{n b 具有“性质m ”(2)因为数列}{n c 是各项为正数的等比数列,则公比0>q , 将413=c 代入=3S 473323=++c q c q c 得,0162=--q q ,解得21=q 或31-=q (舍去), 所以11=c ,121-=n n c ,1212--=n n S对于任意的*N n ∈,122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ,且2<n S 所以数列数列}{n S 具有“m 性质”2≥M(3)由于n d n tn t 213--=,则1121)1(3++-+-=n n n t t d ,2221)2(3++-+-=n n n t t d 由于任意],3[∞+∈n 且*N n ∈,数列}{n d 具有“性质m ”,所以122++<+n n n d d d即+-n tn 21221)2(+-+n n t 121)1(2+-+⨯>n n t ,化简得,1)2(>-n t 即21->n t 对于任意),3[∞+∈n 且*N n ∈恒成立,所以1>t ①1121)1(21++-+--=-n n n n n t tn d d =121)1(+--n n t 由于3≥n 及①,所以n n d d >+1 即3≥n 时,数列}{n d 是单调递增数列,且t tn t d n n n n 3)213(lim lim =--=→∞→∞只需93≤t ,解得3≤t ②由① ②得31≤<t ,所以满足条件的整数t 的值为2和3. 经检验2=t 不合题意,舍去,满足条件的整数只有3=t22. 【解析】⑴设12a k =,2a k =,则:322k a k +=,30a =分两种情况: k 是奇数,则2311022a k a --===,1k =,1232,1,0a a a === 若k 是偶数,则23022a ka ===,0k =,1230,0,0a a a === ⑵当3m >时,123123423,21,2,2,m m m m a a a a ---=+=+==45122,,2,1,0m m m m n a a a a a ++-======L L∴1124223n m m mS S +≤=++++=+L⑶∵211log n a >+,∴211log n a ->,∴112n a ->由定义可知:1,212,2nnn n n na a a a a a +⎧⎪⎪=≤⎨-⎪⎪⎩是偶数是奇数 ∴112n n a a +≤∴1211112112n n n n n n a a a a a a a a a ----=⋅⋅⋅≤⋅L ∴111212n n n a --<⋅= ∵n a N ∈,∴0n a =,综上可知:当211log n a >+()n N ∈时,都有0n a =23. (14分)解:(1)Θi i b a z +=⋅+=1111,∴11=a ,11=b .由iz z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211,∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列,数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列,∴13-=n n a ,12-=n b n(2)①由(1)知13-=n n a ,Θ2113=-+kk k k a a a a ,∴数列{}1+n n a a 是以3为首项,公比为23的等比数列.Θ838391)31(312213221-=--=+++++n n n n a a a a a a Λ②当k n 2=,*∈N k 时,)()()()1(122212544332211154433221+-++-++-+-=-++-+-k k k k n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ΛΛn n k k b b k b b b b b b k k k 22482)(4)(44442222242242--=--=+⋅-=+++-=----=ΛΛ当12+=k n ,*∈N k 时,1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b Λ122)34)(14(48)()()(22221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k Λ又1=n 也满足上式∴⎪⎩⎪⎨⎧---+=-++-+-++为偶数时当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)1(221154433221Λ24.解:(1)令n =1,则a 1=S 1=111()2a a -=0 ; a 3=2; (2)由1()2n n n a a S -=,即2n n na S =, ① 得 11(1)2n n n a S +++=. ② ②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③ 于是,21(1)n n na n a ++=+. ④ ③+④,得212n n n na na na +++=,即212n n n a a a +++= 又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,所以,数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,a n =n -1法二②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③于是,121,1211an a n a n a n a n n n n ==-=-∴-=-+Λ 11=-∴n a n所以,a n =n -1. (3)假设存在正整数数组(p ,q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列, 则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列, 于是,21333p qp q =+ 所以,213()33q p p q =-(☆).易知(p ,q )=(2,3)为方程(☆)的一组解 当p ≥3,且p ∈N*时,112(1)224333p p p p p p+++--=<0, 故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列 于是2133p p -≤323133⨯-<0,所以此时方程(☆)无正整数解 综上,存在唯一正整数数对(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列25. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)解:(1)因为a ,b ,c 是互不相等的正数,所以0>q 且1≠q . 由已知,a ,b ,c 是首项为,公比为q 的等比数列,则q b =,2q c =,当插入的一个数位于b ,c 之间, 设由4个数构成的等差数列的公差为d ,则⎩⎨⎧+=+=dq d q 3112,消去d 得02322=+-q q , 因为1≠q ,所以2=q(2)设所构成的等差数列的公差为d ,由题意,0>d ,共插入4个数.若在a ,b 之间插入个数,在b ,c 之间插入3个数,则⎩⎨⎧+=+=db c da b 42,于是42b c a b -=-,b c a b -=-22,0232=+-q q ,解得2=q 若在a ,b 之间插入3个数,在b ,c 之间插入个数,则⎩⎨⎧+=+=db c da b 24,于是24b c a b -=-,a b b c -=-22解得21=q (不合题意,舍去) 若a ,b 之间和b ,c 之间各插入2个数,则⎩⎨⎧+=+=d b c d a b 33,b c a b -=-,解得1=q (不合题意,舍去)综上,a ,b 之间插入个数,在b ,c 之间插入3个数(3)设所构成的等差数列的公差为d ,由题意,d s a b )1(++=,1+-=s a b d ,又d t b c )1(++=,1+-=t cb d , 所以11+-=+-t bc s a b ,即1)1(11+-=+-t q q s q ,因为1≠q ,所以q s t =++11所以,当1>q ,即c b a <<时,t s <;当10<<q ,即c b a >>时,t s >. 26.27.解:(1)设00( )2p A y -，,由于青蛙依次向右向上跳动, 所以10( )2p A y ，,20( )2pA y -，,由抛物线定义知:23S p =(2) 依题意,*2122122121 ()n n n n n n x x x y y x n N +-+-====∈，011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→∞=+++++++L L1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+L L 1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+L L随着n 的增大,点n A 无限接近点(1 1)， 横向路程之和无限接近11122-=,纵向路程之和无限接近11122-= 所以 lim n n S →+∞=11122+= (注:只要能说明横纵坐标的变化趋势,用文字表达也行)(3)设点222212121( ) ( )k k k k k k A x y A x y +++，，，,由题意,n A 的坐标满足如下递推关系: 00112x y ==，,且2122122(0 1 2 3 ) (0 1 2 3 )k k k k y y k x x k +++====L L ，，，，，，，，， 其中212122 2k k k k y x y x ++==，,∴212222k k k x x x ++==, (方法一)∴2{}k x 是以012x =为首项,2为公比的等比数列,∴2122k k x =⨯,22kk y = 即当n 为偶数时,2122nn x =⨯,22nn y =又21222k k k x x ++==,21212kk k y x ++==,∴当n 为奇数时,11222 2n n n n x y --==，于是,当n 为偶数时,011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++L10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-L10203142532123222()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-L 220033()()222k k k x y x y =+-+=⨯-当n 为奇数时,011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++L1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+-L10203142532122121()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x ++-=-+-+-+-+-++-+-L 2121003()()222k k k x y x y ++=+-+=⨯-∴12232 23(21) 2n nn n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 (方法二)∴2{}k x 是以012x =为首项,2为公比的等差数列,∴2122k k x =⨯,22kk y =又21222k k k x x ++==,21212kk k y x ++==∴2121122222kk kk k x x +-=-⨯=⨯,12221222k k k k k y y +++-=-= 于是,当n 为偶数时,011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++L10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-L1111(122)(122)22k k --=++++⨯++++L L 33222k =⨯- 当n 为奇数时,011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++L1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+-L111(122)(122)22k k -=++++⨯++++L L 3222k =⨯- ∴12232 23(21) 2n nn n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数 . (注:本小题若没有写出递推关系,直接归纳得到正确结论而没有证明,扣4分)28.解:(1){}n a 是等差数列,∴20132)(2013=+⋅b a ,即2=+b a所以2222≥=+=Λb a c ,c 的最小值为2;(2)设,,a b c 的公差为()d d Z ∈,则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴= 设三角形的三边长为3,4,5d d d ,面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈,26n S n =,])2(4321[62222223212n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=ΛΛn n n 612)24321(62+=++++++=Λ由1226+⋅>n n T 得n n n 2212>+, 当5≥n 时,n n n n n n n n n21)(222)1(1222+>-++≥+-++=Λ,经检验当4,3,2=n 时,n n n 2212>+,当1=n 时,nn n 2212<+综上所述,满足不等式1226+⋅>n n T 的所有n 的值为2、3、4(3)证明:因为,,a b c 成等比数列,ac b =2.由于,,a b c 为直角三角形的三边长,知22c ac a =+,251+=a c ,()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得nnn X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515, 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n nnn n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X12+n n n X X X ++∴=,则有)222+∴=.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形因为111=1X ⎫⎪=-⎬⎪⎭,222=1X ⎫⎪-⎬⎪⎭*∈=+=⇒N X X X 2213,由21++=+n n n X X X ,同理可得*+*+*∈⇒∈∈N X N X N X n n n 21,,故对于任意的n N *∈都有n X 是正整数29. [解] (1)如图,由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形,得点1P的坐标为11(,)22a ,又1P 11(,)22a 在抛物线2y x =上,所以211342a a =,得123a =同理2P 222(,)322a +-在抛物线2y x =上,得243a = (2)如图,法1:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-,因此,点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 消去x210n y --= ,所以y =又sin 60n n y a =⋅=o,故31n a =从而21324n n n a a S --= ① 由①有211324n n n a a S ++-= ②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=,又0n a >,于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数,12(1)3n a a n d n =+-= 1()1(1)23n n a a n S n n +==+2249n n G a n ==,lim n n n nG S →∞→∞==理2分 法2:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-因此,点(,)n P x y的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=,又12n n a x S -=+,所以213()22n n n a a S -=+,从而21324n n n a a S --= ①以下各步同法1法3:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以1(2n n n a P S -+,又1(2n n n a P S -+在抛物线2y x =上,得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --=以下各步同法1(3)(理)因为2(1)231323n n n nb aa b a++==,所以数列{}n b 是正项等比数列,且公比2301q a =≠,首项2310b a q ==,则100(1)1p p b q T q -=-,100(1)1q q b q T q -=-,100(1)1r r b q T q -=-,100(1)1ss b q T q -=-p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q rb q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-(注意00p s q r q q ++=) 21000020()()(1)q r p sb q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- 而00000000()()()()q r p s q p s rq q q q q q q q +-+=---0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p rq q q q q q q ---=---=--(注意q p s r -=-) 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=---因为01a a >≠且,所以230001q a q =>≠且 又,q p r p --均为正整数,所以0(1)q pq --与0(1)r pq --同号,故000(1)(1)0p q p r pq q q -----<,所以,p s T T ⋅q r T T <⋅(第(3)问只写出正确结论的,给1分)。
上海2013届高三闵行二模数学-文--含答案
第6题图 闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共5页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 ．2．已知集合{}2|4,=<∈R M x x x ，{}2|log 0N x x =>，则集合M N =I ． 3. 若12122,23i Z a i Z =+=，且21z z 为实数，则实数a 的值为 ． 4. 用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ．5．已知12e e r r 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+r r r r r r 若//a b r r ，则实数k 的值为 ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[]96,106，样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24，则样本中净重在区间[)100,104的产品个数是 ． 7.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 学校 班 准考证 姓…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ．9. 设双曲线226x y -=的左右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅的值为 ．10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为 ．12. 设，且，则)2(f 的最大值为 ．13. 已知ABC ∆的重心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R，满足(2)()3,(4)x xf x f x f x f x +-≤+-+≥⨯，则(8)f =____________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式61()x x-展开式中4x 的系数为 ( ) （A ）15． （B ）15-． （C ）6． （D ）6-．16．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<uu u r uuu r”是“ABC ∆是钝角三角形”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件17．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( ) （A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 18．给出下列四个命题：①如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．bx ax x f +=2)(4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f fABCEC 1 A 1 B 1F②若对任意的n *∈N ，11(1)(2)0n n n n a a a a ++---=恒成立，则数列{}n a 是等差数列或等比数列． ③设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()f x 是R 上的奇函数或偶函数．④已知曲线1C =和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点， 则6PE PF -<．上述命题中错误的个数是 （ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求三棱锥111A B C F -的体积；（2）求异面直线BE 与1A F 所成的角的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围．②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围． （2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解：21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,1),M N 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)b b <，直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、，直线MA 与MB 的斜率分别为12k k 、，求证：120k k +=．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数1()||,4=--∈R f x x x a x ．（1）当1a =时，指出()f x 的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)； （2）当1a =时，求函数(2)xy f =的零点；（3）若对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ； （2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T 若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．E闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第14题）1．125318-⎛⎫⎪⎝⎭； 2．()1,2； 3．32-； 4．5.3； 5．12-； 6．44； 7．8π； 8．理8，文17； 9． 1； 10． 4； 11．理34，文17； 12．理18，文14； 13．理14-，文283-； 14．理832014，文86561388或． 二、（第15题至第18题）15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ． 三、（第19题至第23题）19. (理) 20 . (文) [解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭理2分，文3分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅==即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………文理4分②连接OC ，则OB (020)x << ……………………理2分，文3分所以()2S f x AB BC ==⋅=(020)x <<即()2f x =(020)x <<． ……………………文理4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分此时20sin4BC π==，当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分②22()2(400)400f x x x ==≤+-=，当且仅当22400x x =-，即x =S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分 当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分 19. (文) [解]（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．2分 在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………2分 所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………2分 20.（理） [解]（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =- ……………………………2分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 21. [解]（1）设椭圆E 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠将(2,1),M N 代入椭圆E 的方程，得4181m n m +=⎧⎨=⎩ ………理2分，文3分解得11,82m n ==，所以椭圆的方程为22182x y += …………理2分，文3分 设点P 的坐标为00,)x y （，则22200OP x y =+． E又00(,)P x y 是E 上的动点，所以2200182x y +=，得220084x y =-，代入上式得222200083OP x y y =+=-，0y ⎡∈⎣ 故00y =时，max OP=OP的最大值为 ………………理2分 （2）因为直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又12OM k =，所以直线l 的方程为12y x b =+．由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= ………………文理2分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212122,24x x b x x b +=-=-．又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--．………文理2分 又112211,22y x b y x b =+=+， 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++-- …………文理2分21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----=故120k k +=．………………………………………………………………文2分 所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．…………………………………理2分 22. [解]（理）（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4x f =得52|21|14x x -+= ……………………………2分即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分解得111222222xx x +===（舍），或所以221log log (112x +==-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||bx a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分 ②当10b -≤<，在(]0,1上，()bh x x x=-≥当x =min ()bx x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<，此时a的取值范围是(1,b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a的取值范围是(1,b +；当30b ≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分 [解]（文）（1）当1a =时，函数的单调递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………2分 函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数． ………………2分（2）当1a =时，1()|1|4f x x x =--， 由(2)0xf =得12|21|04x x --= ………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………2分解得111222222xx x +===（舍），或所以221log log (112x +==-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为1||4x a x-< 即1144x a x x x -<<+…………………………2分 故(]max min 11()(),0,144x a x x x x-<<+∈又函数1()4g x x x =-在(]0,1上单调递增，∴max 13()(1)44x g x -==………2分函数1()4h x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴min 11()()142x h x +==；所以314a <<，即实数a 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭．……2分 23. [解] （1）如图，由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形，得点1P的坐标为1(2a ，又1P 1(2a 在抛物线2y x =上，所以211342a a =，得123a = ………………2分 同理2P 22(,32a +在抛物线2y x =上，得243a = ………………2分 （2）如图，法1：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-，因此，点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x210n y --= ，所以y =又3sin 602n n ya a =⋅=，故31n a =+从而21324n n n a a S --= ……① ……………………………………………2分 由①有211324n n n a a S ++-= ……②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数，12(1)3n a a n d n =+-= …………2分 （文）1()1(1)23n n a a n S n n +==+ (2)（理）1()1(1)23n n a a n Sn n +==+22n n G ==，2lim lim 3(1)3n n n nG S n n →∞→∞==+ ……………………理2分 法2：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-因此，点(,)n P x y 的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=，又12n n a x S -=+，所以213()22n n n a a S -=+，从而21324n n n a a S --= …① ……2分以下各步同法1法3：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)nS Q S -点与原点重合，，所以1(,)22n nn n aP S -+， 又1(,)22n n n n a P S -+在抛物线2y x =上，得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --= …………………………………………………………2分以下各步同法1（3）（文）因为2(1)231323n n nn b a a b a ++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==，因正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，设其公差为d ，则 d 为正整数，所以q p d =+，2r p d =+，3s p d =+ 则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1p d q b q T q +-=-，2100(1)1p d r b q T q +-=-，3100(1)1p d s b q T q +-=-… 2分 p s T T ⋅q r T T -⋅=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p d b q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p d b q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而23200000000()()(1)(1)p d p d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---2000(1)()d p p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d q q q q q q =--=--- …………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且，又d 为正整数，所以0(1)d q -与20(1)d q -同号，故2000(1)(1)0---<p d d q q q ，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅． ………………… 2分 （理）因为2(1)231323n n nn b a a b a ++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==， 则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1q q b q T q -=-，100(1)1r r b q T q -=-，100(1)1s s b q T q -=- …… 2分 p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q r b q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-（注意00p s q r q q ++=） 21000020()()(1)q r p s b q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分而00000000()()()()q r p s q p s r q q q q q q q q +-+=--- 0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p r q q q q q q q ---=---=--（注意q p s r -=-） 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=--- ……………………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且 又,q p r p --均为正整数，所以0(1)q p q --与0(1)r p q --同号，故000(1)(1)0p q p r p q q q -----<，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅．………………… 2分 （第（3）问只写出正确结论的，给1分）。
2013高三文科二模数学试卷(杨浦等地有答案)
2013高三文科二模数学试卷（杨浦等地有答案）2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是. 5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是. 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）.（B）.（C）.（D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2) 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．B；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二:数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。
上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编3：不等式
上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编不等式1、（2013届长宁、嘉定区二模）若关于的不等式的解集为，则实数_________．答案：2、（2013届虹口区二模）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是．答案：3、（2013届虹口区二模）如果，则的最小值为．答案：14、（2013届静安、杨浦、青浦、宝山区二模）若直线经过点，则…………………………（）（A）．（B）．（C）．（D）．答案：B5、（2013届普陀区二模）若函数是偶函数，则函数的最小值为 .答案：26、（2013届徐汇、松江、金山区二模）已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B7、（2013届闸北区二模）设函数，若取正值的充要条件是，则，满足【】A． B． C． D．答案：B8、（2013届黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点.达峰时间yx药量峰值（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值时对应的值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）【解析】将代入函数可得：，∴⑴当时，∵，∴当时，∵∴，∴∴当时，有最大值为⑵∵在上单调增，在上单调减，最大值为∴在和各有一解当时，，解得：当时，，解得：∴当时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：小时9、（2013届徐汇、松江、金山区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行．（1）求的值；（2）求该轮船航行海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值.解：（1）由题意得燃料费，………………………………2分把=10，代入得.………………………………………………6分（2），……………………………………9分=，………………………11分其中等号当且仅当时成立，解得，…………13分所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为2400（元）.…………………14分。
上海市普陀区2013年高考二模数学试题(文科)及参考答案
上海市普陀区2013届高三4月质量调研（二模）文科数学考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax 02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111中第行、第j 列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B = ………………（ ） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =………………………………………………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………………（ ）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PAa PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（ ）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. ABCP第18题第19题1C1D21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围.、22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线的方程； （2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC和BC 的斜率之和为0.第22题Oxy F23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数的取值范围.上海市普陀区2013年高考二模数学试题（文科）参考答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21二.选择题题 号 15 16 1718答 案A CB C三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= (5)分函数)321cos(2)(π-=x x f ...... (6)分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分 20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分 由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 CD1A1B1C1DEF1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 （2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分 在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分 所以54arccos1=∠E GA 即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx a a …（*） ……3分 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分 （2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分 函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线：113--=-y x ，即直线的方程为03=-+y x …………………………4分 （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分 消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx k x k k k k解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。
上海市16区高三数学 二模试题分类汇编8 直线与圆 理
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题 二、1 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ,则（ ）A ．422≤+b a .B ．422≥+b a .C ．41122≤+b a . D ．41122≥+b a .2 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是 （ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-UD ．[1,0](1,)-+∞U3 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）若点)1,(b a M 和)1,(cb N 都在直线l :1=+y x 上,则点)1,(ac P ,),1(b cQ 和l 的关系是 （ ）A ．P 和Q 都在l 上B ．P 和Q 都不在l 上C ．P 在l 上,Q 不在l 上D ．P 不在l 上,Q 在l 上二、填空题4 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）若直线l 过点(1,3)A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为___________.5 ．（2013届浦东二模卷理科题）若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点,则实数m 的取值范围是____________. 三、解答题 四、6 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知点)0,1(A ,1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点,且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列,公差为d ,0≠d .(1)若1P 坐标为()1,1-,2d =,点3P 在直线3180x y --=上时,求点3P 的坐标;(2)已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ,过点A 的直线交圆于31P P 、两点,2P 是圆C 上另外一点,求实数d 的取值范围;(3)若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上,点2P 的横坐标为3,求证:线段13P P 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆参考答案一、选择题 1. B 2. A 3. A二、填空题4. 21y x =-+5. ]10,0[三、解答题6. 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.解(1)11AP =,所以35AP =,设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩,消去y ,得211300x x -+=, 解得15x =,26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0(2)由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t(ⅰ)当130<<r 时,点()1,0A 在圆上或圆外,31132P P AP AP d =-=, 又已知0≠d ,r P P 2031≤≤,所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 (ⅱ)当13≥r 时,点()1,0A 在圆内,所以13213132max=--+=r r d,又已知0≠d ,13220≤<d ,即013<≤-d 或130≤<d结论:当130<<r 时,0<≤-d r 或 r d ≤<0;当13≥r 时,013<≤-d 或130≤<d(3)因为抛物线方程为x y 42=,所以()1,0A 是它的焦点坐标,点2P 的横坐标为3,即82=AP设()111,P x y ,()333,P x y ,则111+=x AP ,133+=x AP ,1322AP AP AP +=, 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+,则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=-则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,0。
上海市2013年高考模拟考试试卷(二模)文科数学试题
x , x ∈ [ 0, 24 ] ，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； x +1
2
（2）若用每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作 M (a ) ，求 M (a ) ； （3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性 污染 指数是否超标？
开始 输入 x 是
f ( x) > g ( x) 否 h( x) = g ( x)
．
3、直线 ax + 2 y + 3a = 0 与直线 3x + ( a − 1) y = a − 7 平行，则实数 a = 4、已知函数 y = f −1 ( x ) 是函数 f ( x) = 2 x −1 ( x ≥1) 的反函数，则
由余弦定理，得 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos π ，即 a 2 + b2 − ab = 3 ， ②
3
由①②解得 a = 1, b = 2 ．
21、解： （1） 2a + 2c = 4 + 2 3 ，
3 a = c， 2
求得 a = 2, c = 3, b = 1
所以椭圆方程为
x2 + y 2 = 1。 4
11、 15、A
16、C
17、B
18、C
三、解答题 1 1 1 4 × 2 × 2 = 2 ， V = S底 • h = × 2 × 2 = 2 3 3 3 （2）∵ PB / / EF ， ∠BPD 即为异面直线 EF 与 PD 所成角，
（1） h = PA = 2 ， S底 = 19、
PB = 2 2 ， BD = 2 2 ， PD = 2 2 π π ，即异同直线 EF 与 PD 所成角的大小为 。 3 3 3 sin 2 x − 1 + cos 2 x − 1 = sin(2 x − π ) − 1 ， 20、 解： （1） f ( x ) = 2 2 2 6 则 f ( x ) 的最小值是－2， 最小正周期是 T = 2π = π ； 2
上海市闵行区2013年高考二模文科数学试卷题目及其答案题目和答案和评分要点
第6题图闵行区第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 ．2．已知集合{}2|4,=<∈R M x x x ，{}2|log 0N x x =>，则集合M N =I ．3. 若12122,23i Z a i Z =+=，且21z z为实数，则实数a 的值为 ． 4. 用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =，借助计算器经过若干次运算得下表：若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ．5．已知12e e r r 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+r r r r r r 若//a b r r ，则实数k 的值为 ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[]96,106，样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24，则样本中净重在区间[)100,104的产品个数是 ． 7.一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ． 8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ．9. 设双曲线226x y -=的左右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅的值为 ． 10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为 ．12. 设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，则)2(f 的最大值为 ．13. 已知ABC ∆的重心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=uuu r uu u r．14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R ，满足(2)()3,(4)(2x xf x f x f x f x +-≤+-+≥⨯，则(8)f =____________．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式61()x x-展开式中4x 的系数为 ( )（A ）15． （B ）15-． （C ）6． （D ）6-．16．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<uu u r uu u r”是“ABC ∆是钝角三角形”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件17．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( ) （A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 18．给出下列四个命题：①如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆． ②若对任意的n *∈N ，11(1)(2)0n n n n a a a a ++---=恒成立，则数列{}n a 是等差数列或等比数列．A BCE C 1 A 1 B 1F ③设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()fx 是R 上的奇函数或偶函数．④已知曲线1C =和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点， 则6PE PF -<．上述命题中错误的个数是 （ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求三棱锥111A B C F -的体积；（2）求异面直线BE 与1A F 所成的角的大小．解：20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上． （1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围．②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解：21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,1),M N 两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)b b <，直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、，直线MA 与MB 的斜率分别为12k k 、，求证：120k k +=．解：22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数1()||,4=--∈R f x x x a x ．（1）当1a =时，指出()f x 的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)； （2）当1a =时，求函数(2)x y f =的零点；（3）若对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．解：23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120 的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ QQ Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ；（2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．解：闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第14题） 1．125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 2．()1,2； 3．32-； 4．5.3； 5．12-； 6．44； 7．8π； 8．理8，文17； 9． 1； 10． 4；11．理34，文17； 12．理18，文14； 13．理14-，文283-； 14．理832014，文86561388或． 二、（第15题至第18题） 15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19. (理) 20 . (文) [解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭理2分，文3分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅==即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………文理4分②连接OC ，则OB (020)x << ……………………理2分，文3分所以()2S f x AB BC ==⋅=(020)x <<即()2f x =(020)x <<． ……………………文理4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分此时20sin4BC π==，当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分②22()2(400)400f x x x ==≤+-=，当且仅当22400x x =-，即x =时，S 取最大值2400cm ．……理4分，文5分当BC 取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．…文理2分 19. (文) [解]（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．2分在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………2分所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………2分 20.（理） [解]（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF = ,(0,2,2)EB =-……………………2分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得， 所以(1,1,1)n =-……………………………2分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos n n n n θ⋅===⋅所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…3分 21. [解]（1）设椭圆E 的方程为221(0,0,)mx nym n m n +=>>≠将(2,1),M N 代入椭圆E 的方程，得4181m n m +=⎧⎨=⎩………理2分，文3分解得11,82m n ==，所以椭圆E 的方程为22182x y += …………理2分，文3分 设点P 的坐标为00,)x y （，则2220OP x y =+． 又00(,)P x y 是E 上的动点，所以2200182x y +=，得220084x y =-，代入上式得 222200083OP x y y=+=-，0y ⎡∈⎣故00y =时，max OP=OP 的最大值为 (2)（2）因为直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又12OM k =，所以直线l 的方程为12y x b =+．由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= ………………文理2分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212122,24x x b x x b +=-=-． 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--．………文理2分 又112211,22y x b y x b =+=+， 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++-- …………文理2分21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----=故120k k +=．………………………………………………………………文2分 所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．…………………………………理2分 22. [解]（理）（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= ……………………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分解得12222xx x ===所以221log log (112x +==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||bx a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分②当10b -≤<，在(]0,1上，()bh x x x=-≥当x =min ()bx x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<，此时a 的取值范围是(1b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a 的取值范围是(1b +；当30b ≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分 [解]（文）（1）当1a =时，函数的单调递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………2分 函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数． ………………2分（2）当1a =时，1()|1|4f x x x =--， 由(2)0x f =得12|21|04xx--= ………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………2分解得111222222xx x ===（舍），或所以221log log (112x +==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为1||4x a x-< 即1144x a x x x -<<+ …………………………2分 故(]max min 11()(),0,144x a x x x x-<<+∈ 又函数1()4g x x x =-在(]0,1上单调递增，∴max 13()(1)44x g x -==………2分 函数1()4h x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴min 11()()142x h x +==；所以314a <<，即实数a 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭．……2分 23. [解] （1）如图，由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形，得点1P的坐标为1(2a ，又1P 11(,)22a 在抛物线2y x =上，所以211342a a =，得123a = ………………2分 同理2P 22(,32a +在抛物线2y x =上，得243a = ………………2分（2）如图，法1：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-，因此，点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 消去x得210n y --= ，所以y =又sin 602n n y a a =⋅=，故31n a =+从而21324n n n a a S --= ……① ……………………………………………2分 由①有211324n n n a a S ++-= ……② ②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数，12(1)3n a a n d n =+-= …………2分 （文）1()1(1)23n n a a n S n n +==+ ………………………………文2分 （理）1()1(1)23n n a a n S n n +==+22n n G ==，2lim lim 3(1)3n n n n G S n n →∞→∞==+ ……………………理2分 法2：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S -=-或1)n y x S -=-因此，点(,)n P x y的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=， 又12n n a x S -=+，所以213()22n n n a a S -=+，从而21324n n n a a S --= …① ……2分以下各步同法1法3：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以1(2n n n a P S -+，又1(2n n n a P S -+在抛物线2y x =上，得21342n nn a a S -=+ 即21324n n n a a S --= …………………………………………………………2分以下各步同法1（3）（文）因为2(1)231323n n n nb a a b a++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==， 因正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，设其公差为d ，则d 为正整数，所以q p d =+，2r p d =+，3s p d =+则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1p d q b q T q +-=-，2100(1)1p d r b q T q +-=-，3100(1)1p d s b q T q +-=-… 2分p s T T ⋅q r T T -⋅=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p db q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p d b q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而23200000000()()(1)(1)p d p d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---2000(1)()dp p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d q q q q q q =--=--- …………… 2分 因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且，又d 为正整数，所以0(1)d q -与20(1)dq -同号，故2000(1)(1)0---<p d d q q q ，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅． ………………… 2分（理）因为2(1)231323n n n nb aa b a++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==，则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1q q b q T q -=-，100(1)1r r b q T q -=-，100(1)1ss b q T q -=- …… 2分p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q r b q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-（注意00p s q rq q ++=） 21000020()()(1)q r p sb q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而00000000()()()()q r p s q p s r q q q q q q q q +-+=---0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p r q q q q q q q ---=---=--（注意q p s r -=-） 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=--- ……………………… 2分因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且又,q p r p --均为正整数，所以0(1)q p q --与0(1)r pq --同号，故000(1)(1)0p q p r p q q q -----<，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅．………………… 2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）。
上海市16区高三二模数学文试题分类汇编4平面向量Word版含答案
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）如图,△ABC是边长为1的正三角形,点P 在△ABC 所在的平面内,且++22||||PB PA a PC =2||(a 为常数).下列结论中,正确的是A .当10<<a 时,满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时,满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时,满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时,满足条件的点P 是有限个.2 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）已知,4,33)3()(=+⋅+则a 与b 的夹角为)(A 6π3)(πB )(C 32π )(D 65π 二、填空题3 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）在平面直角坐标系xOy 中,以向量()21,a a a =与向量()21,b b b =为邻边的平行四边形的面积为____.4 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,有以下命题成立:设点,P Q 是线段AB 的三等分点,则有OP OQ OA OB +=+.将此命题推广,设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点,则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+ .C第18题5 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若圆C 的半径为3,单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ,点B 是圆上的动点,则e AB ⋅ 的最大值为___________6 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知ABC ∆的重心为O ,6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=____________.7 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知12e e 、是夹角为2π的两个单位向量,向量12122,,a e e b ke e =-=+若//a b ,则实数k 的值为_____________. 8 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）在正△ABC 中,若2AB =,则AB AC ⋅=_____.9．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）在ABC∆中,1=AB ,2=AC ,2)(=⋅+,则ABC ∆面积等于__________.10．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5,则k 的取值范围是____________.三、解答题11．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分14分 已知)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=,)2,(ππθ∈,且528||=+,求θsin 的值.12．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分.已知向量()1,1,m =向量n 与向量m 的夹角为34π,且1m n ⋅=-. (1)求向量n ;(2)若向量n 与(1,0)q =共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +的取值范围.QPO BA第13题图上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量参考答案一、选择题1. C2. C ;二、填空题 3.1221b a b a -; 4. 52; 5. 3 6. 283-; 7. 12-; 8. 2; 9. 23; 10. ]6,2[-三、解答题 11. )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+=+||b a 22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-)sin (cos 224θθ-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4cos 12πθ. 由528||=+,得.2574cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ .25244cos 14sin 2±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθπθ 502314sin 4cos 4cos 4sin 44sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴ππθππθππθθ或50217 πθπ2<< ,.50231sin -=∴θ另解:(2sin cos ,sin cos )a b θθθθ+=-++ 222128(2sin cos )(sin cos )4cos )25a b θθθθθθ∴+=-+++=--=sin cos θθ∴-= ① 由298(sin cos )12sin cos 625θθθθ-=-=,得5272sin cos 0625θθ=>, 3(,)2θππ∴∈sin cos 25θθ∴+==- ② 由①、②得50231sin -=θ 12.解:(1)设(,)n x y =.由1m n ⋅=-,得1x y +=- ①又向量n 与向量m 的夹角为34π,得221x y += ② 由①、②解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,(1,0)n ∴=-或(0,1)n =-(2)向量n 与(1,0)q =共线知(1,0)n =-;由2B A C =+知22,,0333B A C A πππ=+=<< ()212cos ,cos cos ,cos 2C n p A C A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭, 2221cos 21cos 2cos cos 22A C n p C A --∴+=+=+ 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2510,2,1cos 2333332A A A πππππ⎛⎫<<<+<∴-≤+< ⎪⎝⎭, 得151cos 2234A π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭,即215,24n p ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭,2n p ⎡∴+∈⎢。
上海市三区(徐汇、松江、金山)2013届高三(二模)数学(文科)--含答案
第8题图QPOBA2012学年第二学期徐汇、松江、金山区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，则a = . 2．若直线1:210l x my ++=与直线2:31l y x =-平行，则m = . 3．若正整数n 使得行列式1623n nn=-，则7n P = .4．已知函数13(),(1,27)f x x x =∈的值域为A ，集合{}220,B xx x x R=-<∈，则B A = .5．已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则sin 2α=___________.6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________（结果保留π）.7．已知32i x =--（i 为虚数单位）是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________. 8．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入i = .9．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员 参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均 不上场比赛的概率是 （结果用最简分数表示）.10．满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤-00212y x y x y x 的目标函数22y x P +=的最大值是 .11. 在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-，则23lim()n n a a a a →∞++++= .12．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 .α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCB A α1α3第14题图13．如图，有以下命题成立：设点,P Q 是线段AB 的三等分点，则有OP OQ OA OB +=+.将此命题推广，设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点，则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+ .14.如图，对正方形纸片ABCD 进行如下操作：第一步，过点D 任作一条直线与BC 边相交于点1E , 记11CDE α∠=；第二步，作1ADE ∠的平分线交AB 边于点2E ,记22ADE α∠=；第三步，作2CDE ∠的平分线交BC 边于点3E ,记33CDE α∠=；按此作法从第二步起重复以上步骤……，得到12,,,,n ααα，则用n α和1n α+表示的递推关系式是1n α+= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是 （ ）A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减17．如图,已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 ( )A ．B ．C ．D ．18．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,若b = ABC ∆的面积ABC S ∆=，求a c +的值.344A 1C 1B 1ACB第21题图20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线1A C 与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求三棱锥1C ABC -的体积1C ABC V -.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d=是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求DA DB ⋅的值；(3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(,M N 都不同于点E )，且EM EN ⊥，求证：直线MN 与x 轴的交点是一个定点.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*42()15n an b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成 一个递增的等差数列，其公差为k d ，求k d ；（3）对（2）题中的k d ，设1(1,5)A d ，2(2,5)B d ，动点,M N 满足MN AB =，点N 的轨迹是函数()y g x =的图像,其中()g x 是以3为周期的周期函数,且当(]0,3x ∈时, ()lg g x x =,动点M 的轨迹是函数()f x 的图像，求()f x .A 1C 1B 1ACB（文）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．12 2.23- 3. 42 4.(1,2) 5. 2425- 6. 12π 7. 19 8. 2i + 9. 514 10. 4 11. 14- 12.15 ； 13.52；14.24n πα-二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15．B 16. B 17. B 18. C 三．解答题 19．（本题12分）解：由条件可知sin()A C +=，……………2分即sin B =，……………4分1sin 2ABC S ac B ∆== 3.ac ∴=………………………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分 于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………………………12分 20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得k =0.96.………………………………………………6分 （2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，……………………………………9分=15000962400v v+≥=，………………………11分 其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，……………13分 所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. ……………………14分21．（本题12分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. （1）11//C B CB ，……………………………………… 1分连接1A B ，则1A CB ∠为异面直线111A C B C 与所成角. ………3分由题意得11AC A B ==……………………………………4分………5分所以，异面直线1A C 与11B C 所成角的大小为……………………………………6分（2）由题意得,11C ABC C ABC V V --=…………………………………………………………9分ABC ∆的面积21224ABC S h CC ∆====，……………………………………12分1123C ABC V -∴== ，三棱锥1C ABC -………………………………………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分.解：(1)设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则1a =，…….2分又b a=，得b =C 的方程为2212y x -=. ………….4分 (2) 当直线AB 垂直于x 轴时，其方程为3x =-，,A B 的坐标为(3-,4)、(3-,4-)，(4,4),(4,4)DA DB =-=--，所以DA DB ⋅=0. ………………..6分当直线AB 不与x 轴垂直时，设此直线方程为(3)y k x =+，由22(3)22y k x x y =+⎧⎨-=⎩得2222(2)6920k x k x k ----=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则212262k x x k +=-, 2122922k x x k --⋅=-，……………..8分故212121212(1)(1)(1)(1)(3)(3)DA DB x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++22222211112cos 24AC BC A B ACB AC BC +-+-∠===⋅2221212(1)(31)()91k x x k x x k =++-+++.……....9分22292(1)2k k k --=+-＋2226(31)2k k k--＋291k +=0 .综上，DA DB ⋅=0. ………………10分 (3) 设直线MN 的方程为：x my t =+，由222222x my t b x a y a b=+⎧⎨-=⎩，得22222222()2()0b m a y b mty b t a -++-=, 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122222b mt y y b m a -+=-, 22212222()b t a y y b m a -=-，…………12分由EM EN ⊥，得1212()()0x a x a y y --+=，1212()()0my t a my t a y y +-+-+=即221212(1)()()()0m y y m t a y y t a ++-++-=,………………14分222222222222()2(1)()()0b t a b mtm m t a t a b m a b m a-+--+-=--， 化简得， 2222()a ab t a b+=-或t a = (舍), ……………………………………….15分 所以，直线MN 过定点(2222()a ab a b +-,0). ………………………………..16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分8分. 解： (1)由条件得10(1)2n S n n =+-，即(1)2n nS n =-…………………………..2分 所以*1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈, 所以22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅ 222144(2)21515k k k b +=-=⋅. …………………………..7分由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列, …………………………..9分所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=. …………………………..10分 (3)由（2）得(1,4),(2,16)A B ,即(1,12)MN AB ==…………………..12分 当33(1)()m x m m Z <≤+∈时，033x m <-≤,由()g x 是以3为周期的周期函数得，()(3)lg(3)g x g x m x m =-=-,即()lg(3)g x x m =-(333())m x m m Z <≤+∈. ………………..14分 设(,)M x y 是函数()y f x =图象上的任意点，并设点N 的坐标为(,)N N x y ,则112N Nx x y y -=⎧⎨-=⎩. ………………..16分而lg(3)N N y x m =-(333())N m x m m Z <≤+∈,于是，12lg(13)y x m +=+-(3133())m x m m Z <+≤+∈,所以，()lg(13)12f x x m =+--(3132())m x m m Z -<≤+∈. ……………..18分。
上海市16区高三数学 二模试题分类汇编1 集合 理
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若集合},4|{2R y x y x A ∈==,1{|0}2x B x x-=≥+,则A B =I A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.2 ．（2013届浦东二模卷理科题）从集合{}2013,,4,3,2,1Λ中任取3个元素组成一个集合A ,记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ,则210,,P P P 的大小关系为210)(P P P A == 210)(P P P B =>210)(P P P C =< 210)(P P P D >>二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ,则=A C U _____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B U ð=_______5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ,若A B ≠∅I ,则实数a 的取值范围是____.6 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知集合A ={}2,1,2-,B ={}1,a a ,且B A ⊆,则实数a 的值是_______.7 ．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ,{}2|log 0N x x =>,则集合M N =I ________.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合参考答案一、选择题1. A2. B二、填空题[-;3. ]3,14. {3,5}5. )1,0(6. 11,2;7. ()。
上海2013届高三静安、杨浦、宝山、青浦四区二模数学-文--含答案
2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ． 11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+.（D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a .（C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+b a .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式；（2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． （文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 22223πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2. （理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，， 由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴k = （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. （文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=，所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ； 又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． （3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ． （2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ， 所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n pt，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得g p t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p ptt t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ） （A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a . （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+ba . 18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． （文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2.（理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，，由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴3k =± （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.（文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ； 又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． （3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列．3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--hg 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。
2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷(文科)含详解
2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．2．（4分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=．3．（4分）若正整数n使得行列式，则=．4．（4分）已知函数的值域为A，集合B={x|x2﹣2x＜0，x ∈R}，则A∩B=．5．（4分）已知，且，则sin2α=．6．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．7．（4分）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=．8．（4分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=．9．（4分）某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用最简分数表示）．10．（4分）满足条件的目标函数P=x2+y2的最大值是．11．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．12．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|P A|+|PB|的最大值为．13．（4分）如图，有以下命题成立：设点P，Q是线段AB的三等分点，则有．将此命题推广，设点A1，A2，A3，A4，A5是线段AB的六等分点，则++++=．14．（4分）如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：第一步，过点D任作一条直线与BC边相交于点E1，记∠CDE1=α1；第二步，作∠ADE1的平分线交AB边于点E2，记∠ADE2=α2；第三步，作∠CDE2的平分线交BC边于点E3，记∠CDE3=α3；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则用αn和αn+1表示的递推关系式是αn+1=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减17．（5分）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A．B．C．D．18．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．20．（14分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．21．（14分）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线A1C与B1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥C﹣ABC1的体积．22．（16分）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求的值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN 与x轴的交点是一个定点．23．（18分）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，b2k，b2k+1}（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求d k；（3）对（2）题中的d k，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f （x）．2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．【解答】解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=．【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题．【分析】当斜率相等但截距不相等建立等式关系，解之即可求出m使两直线平行．【解答】解：直线l2：y=3x﹣1的斜率为3∴直线l1：2x+my+1=0的斜率=3即m=故答案为：【点评】本题主要考查了两条直线平行的判定，解题的关键是根据两直线的斜率相等建立关系式，属于基础题．3．（4分）若正整数n使得行列式，则=42．【考点】D4：排列及排列数公式；O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】先根据根据二阶行列式的公式求出n的值，然后根据排列数公式求出的值即可．【解答】解：∵，即3n﹣n（2﹣n）=6，∴正整数n=2，则==7×6=42．故答案为：42．【点评】本题主要考查了排列数以及二阶行列式的求解，属于基础题．4．（4分）已知函数的值域为A，集合B={x|x2﹣2x＜0，x ∈R}，则A∩B=（1，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过函数的值域求出集合A，二次不等式求解得到集合B，然后求解交集即可．【解答】解：函数的值域为A=（1，3），集合B={x|x2﹣2x＜0，x∈R}={x|0＜x＜2}=（0，2），所以A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的值域与二次不等式的解法，交集的运算，考查计算能力．5．（4分）已知，且，则sin2α=．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα，再由二倍角公式求得sin2α=2sinαcosα的值．【解答】解：∵已知，且，∴sinα=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．6．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．7．（4分）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．【解答】解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．【点评】熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．8．（4分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型．【分析】由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9．（4分）某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用组合的方法求出有3人上场比赛的所有方法和甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的方法，利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：有3人上场比赛的所有方法有C83=56有C63=20由古典概型的概率公式得甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是=．故答案为：．【点评】求一个事件的概率，关键是先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．10．（4分）满足条件的目标函数P=x2+y2的最大值是4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划，我们可以先画出足约束条件的平面区域，再由目标函数P=x2+y2的几何意义：表示区域内一点到原点距离的平方，不难根据图形分析出目标函数P=x2+y2的最大值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图：∵目标函数P=x2+y2表示区域内一点到原点距离的平方，故当x=0，y=2时，P有最大值4故答案为：4【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．11．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限【解答】解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．12．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|P A|+|PB|的最大值为15．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|P A|+|PB|=|P A|+（2a﹣|PB'|）=10+（|P A|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|P A|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，|P A|+|PB|=|P A|+（10﹣|PB'|）=10+（|P A|﹣|PB'|）∵|P A|﹣|PB'|≤|AB'|∴|P A|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|P A|+|PB|的最大值为15故答案为：15【点评】本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B 和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．13．（4分）如图，有以下命题成立：设点P，Q是线段AB的三等分点，则有．将此命题推广，设点A1，A2，A3，A4，A5是线段AB的六等分点，则++++=．【考点】F3：类比推理．【分析】由给出的关系式得到，如果线段AB上的两点P，Q分别到A，B的距离相等，则有，点A1，A2，A3，A4，A5是线段AB的六等分点，可以看作是两对到A，B距离相等的点，其中还有一点是AB的中点，由此可类比得到结论．【解答】解：如图，类比点P，Q是线段AB的三等分点，则有，得：所以故答案为．【点评】本题考查了类比推理，类比推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比然后提出猜想的推理，是基础题．14．（4分）如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：第一步，过点D任作一条直线与BC边相交于点E1，记∠CDE1=α1；第二步，作∠ADE1的平分线交AB边于点E2，记∠ADE2=α2；第三步，作∠CDE2的平分线交BC边于点E3，记∠CDE3=α3；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则用αn和αn+1表示的递推关系式是αn+1=．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，2，2，，结合此规律进行归纳推理即可求解【解答】解：由题意可得，2即2即即…由以上规律可得，即故答案为：【点评】本题主要考查了归纳推理在实际问题中的应用，解题的关键是由前几项发现规律二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．【解答】解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同乘以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】11：计算题；27：图表型．【分析】本题的直观图是一个三棱锥，且存在同一点出发的三条棱两两垂直，由三视图的定义判断出其正视图形状即可【解答】解：由已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，由直观图可以看出，其正视图是一个直角三角形，水平的直角边长为3，与其垂直的直角边长为4由此特征知对四个选项逐一判断即可对于选项A，是从左往右看的投影，是侧视图，故不是其正视图对于选项B，符合三棱锥正视图的特征对于选项C，是从上往下看的投影，是俯视图，故不是其正视图对于选项D，不是三棱锥的三视图，故选：B．【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视，本题特征是据直观图选出正确的三视图．18．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故选：C．【点评】本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由条件可知，根据△ABC的面积，求得ac=3，分B为锐角和钝角两种情况，由余弦定理求得a+c的值，综合可得结论．【解答】解：在△ABC中，由条件可知，，即，∵，∴ac=3．根据，若B为锐角，则cos B=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，于是，，∴a+c=4．若B为钝角，则cos B=﹣，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，于是，，解得a+c=．此时，∵（a﹣c）2=（a+c）2﹣4ac=10﹣12=﹣2，矛盾，故a+c=是不可能的，即B不能为钝角，综上可得，a+c=4．【点评】本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（14分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．【解答】解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．【点评】本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线A1C与B1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥C﹣ABC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连接A1B，由三棱柱的性质得C1B1∥CB，从而得到∠A1CB（或其补角）是异面直线A1C与B1C1所成角．然后在△A1CB中计算出各边的长，再根据余弦定理算出cos∠A1CB=，即可得到异面直线A1C与B1C1所成角的大小；（2）由棱柱体积公式，算出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为2，而三棱锥C1﹣ABC与正三棱柱ABC﹣A1B1C1同底等高，得到，由此不难得到三棱锥C﹣ABC1的体积的值．【解答】解：（1）连接A1B，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1B1∥CB，∴∠A1CB（或其补角）是异面直线A1C与B1C1所成角．∵四边形AA1C1C与AA1B1B都是边长为2的正方形∴，△A1CB中根据余弦定理，得cos∠A1CB==因此，∠A1CB=，即异面直线A1C与B1C1所成角的大小为．（2）由题意得∵△ABC的面积S=，高CC1=2△ABC∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V=S△ABC×CC1=2而三棱锥C1﹣ABC与正三棱柱ABC﹣A1B1C1同底等高∴三棱锥C1﹣ABC的体积为，∵，∴三棱锥C﹣ABC1的体积为．【点评】本题给出所有棱长均相等的正三棱柱，求异面直线所成角并求三棱锥的体积，着重考查了异面直线所成角的求法和锥体、柱体体积公式等知识，属于中档题．22．（16分）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求的值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN 与x轴的交点是一个定点．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）设出双曲线方程，利用D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量，可得几何量，即可求双曲线C的方程；（2）分类讨论，直线方程与双曲线方程联立，利用向量知识，即可得出结论；（3）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，由EM⊥EN，可得结论．【解答】（1）解：设双曲线C的方程为，则a=1，又，得，所以，双曲线C的方程为．（2）解：当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），，所以=0．当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故==++9 k2+1=0．综上，=0．（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，由，得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2（t2﹣a2）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，分由EM⊥EN，得（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=0，（my1+t﹣a）（my2+t﹣a）+y1y2=0即，，化简得，或t=a（舍），所以，直线MN过定点（，0）．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，b2k，b2k+1}（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求d k；（3）对（2）题中的d k，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．【考点】84：等差数列的通项公式；8I：数列与函数的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由条件得，再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知，从而，．最后由2b2k﹣=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b_2k﹣1g（x），b2k+1依次成递增的等差1数列，即可求出公差为d k；（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）设当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x﹣3m≤3，由是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x﹣3m）=lg（x﹣3m），再设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（x N，y N），利用向量相等得到，从而建立坐标之间的关系，即可求出求f（x）．【解答】解：（1）由条件得，即所以．（2）由（1）可知，所以，．=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b2k﹣1g（x），b2k+1依次成递增的等由2b2k﹣1差数列，所以．（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）时，g（x）=lg（x﹣3m），（0＜x﹣3m≤3），由y=g（x）是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x﹣3m）=lg（x﹣3m），设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（x N，y N），则．而y N=lg（x N﹣3m），（3m＜x N≤3m+3（m∈Z）），于是，y+12=lg（x+1﹣3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），所以，f（x）=lg（x+1﹣3m）﹣12，（3m﹣1＜x≤3m+2（m∈Z））．【点评】本题考查等差数列、数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．。
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上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题
1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）如图,△
是
边长为的正三角形,点
在△所在的平面内,且(为常数).下列结论中,正确的是
.当时,满足条件的点有且只有一个. .当时,满足条件的点有三个.
.当时,满足条件的点有无数个.
.当为任意正实数时,满足条件的点是有限个.
2 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）已知
则
与的夹角为
二、填空题
3 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）在平面直角坐标系中,
以向量与向量为邻边的平行四边形的面积为____.
4 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,有以下
命题成立:设点是线段的三等分点,则有.将此命题推
广
,
设
点
是线段
的六等分点,则
.
ABC 1P ABC ++22||||PB PA a
PC =2||a A 10<<a P B 1=a P C 1>a P D a
P xOy ()21,a a a =
()21,b b b =,P Q AB OP OQ OA OB +=+
12345,,,,A A A A A AB (
)
12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=
+ C
第18题
[来源:学科网]
5 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若圆的半径为
3,单位向量所在的直线与圆相切于定点,点是圆上的动点,则 的最大值
为___________
6 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知的重心为,
则____________.
7 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知是夹角为
的两个单位向量,向量若,则实数的值为
_____________.
8 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）在正△中,若,
则_____.
9 ．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）在
中,,,
,则面积等于__________.
10．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）已知向量
不超过5,则k 的取值范围是____________.
三、解答题
11．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分14分
已知
和,,且,求的值.
12．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有2个小题,第(1)小题满分5
分,第(2)小题满分9分. 已知向量向量
与向量
的夹角为
,且
.
(1)求向量 ; (2)若向量与共线,向量,其中
、
为
的
内角,且、
、
依次成等差数列,求
的取值范围.
C e A B e AB ⋅
ABC ∆O 6,7,8,AC BC AB ===AO BC ⋅=u u u r u u u r
12e e r r
、2
π
12122,,a e e b ke e =-=+r r r r r r //a b r
r k ABC 2AB =AB AC ⋅=
ABC ∆1=AB 2=AC 2)(=⋅+AB AC AB ABC ∆)sin ,(cos θθ=a )cos ,sin 2(θθ-=b )2,(ππθ∈5
2
8||=
+θsin Q
P
O
B
A
第13题图
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量参考答案
一、选择题 1. C 2.
; [来源:学+科+网Z+X+X+K]
二、填空题 3. ;
4.
; 5.
6.
; 7.
; 8. 2; 9.
; 10.
三、解答题 11.
.
由,得 [来源:
学科网ZXXK]
或 , 1
221b a b a -5
2328
3
-
1
2
-2
3
)sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+b a =+||b a 22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-)sin (cos 224θθ-+=⎪⎭⎫
⎝
⎛++=4cos 12πθ528||=
+.
2574cos =⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πθ.25244cos 14sin 2±=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθπθ502314
sin 4cos 4cos 4sin 44sin -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴ππθππθππθθ50217πθπ2<< .50
2
31sin -
=∴θ
另解:
[来
源:]
① 由,得,
② 由①、②得 12.解:(1)设.由
,得 ① 又向量
与向量
的夹角为
,得
② 由①、②解得或,
或
(2)向量与共线知
;
[来源:]
由知
[来源:Z+xx+]
, [来源:Z§xx§]
,
sin cos ,sin cos )a b θθθθ+=++
222128sin cos )(sin cos )4cos )25
a b θθθθθθ∴+=+++=--=
sin cos 25
θθ∴-=-
2
98(sin cos )
12sin cos 625θθθθ-=-=
527
2sin cos 0625
θθ=
>3
(,)2
θππ∴
∈sin cos 25
θθ∴+==-
50
2
31sin -
=
θ
得,即, [来源:学科网ZXXK]。