适用于高中的一元三次方程的快速-简单的两种解题方法(普通和特殊方法)

考试中一元三次方程的解法

考试中⼀元三次⽅程的解法

第⼀种：⼀般类型⽤配⽅法提取出⼀个因式可以求出⼀个根，其余的就变成⼀元⼆次⽅程求出另两个根。

第⼆种：没有⼀次项：⽤⼗字相乘法把三次项拆分成⼆次项和⼀次项凑齐原⽅程⼆次项的系数，此时拆分成的⼆次项不⼀定符合原⽅程，可在⼗字相乘法中调换⼆次项和⼀次项的位置再次进⾏尝试，先在⼗字相乘法中的每⼀⾏解出可能值（可能值的正负号并不确定，应当分别代⼊原⽅程之后才能确定正负号，）代⼊⽅程，若符合，则继续求解。

第三种：没有⼆次项：与第⼆种类似。

⾄于盛⾦公式等⼀元三次⽅程的解法等，在考试中不太实⽤，⼀般考试不会去考特别复杂的解⽅程，毕竟⼤多时候考的是基本概念是否清晰。

一元三次方程简单解法

一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型

其解法如下

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型.

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式.归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和.归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得

（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知

（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化简得

（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

一元三次方程快速解法有哪些

一元三次方程快速解法有、因式分解法、一种换元法、卡尔丹公式法等多种方法，本篇我们将详细介绍其内容。

因式分解法

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

一种换元法

对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：

w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。

卡尔丹公式法

特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式

X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；

X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；

X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

通用求根公式

一元三次方程的解法

一元三次方程的公式解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。

卡尔丹公式法:特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0(p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；

X2=(Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；

X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

卡尔丹判别法:当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程快速解法

一元三次方程的解法

可以使用卡尔丹公式或者盛金公式进行求解。

1．卡尔丹公式：对于形如 x^3+sx+t=0 的三次方程，其解为：

x1,2=1/3[-s±(Δ)^(1/3) - s^2/Δ^(1/3)], 其中Δ=s^3-27t^2。

2．盛金公式：对于形如 ax^3+bx^2+cx+d=0 的三次方程，其解为：

x1,2=v1±(Δ)^(1/3)/v6, x3=ω/v6，其中Δ=(q/2)^2+(p/3)^3，v1=α/ω，v6=(Δ-j/p)/2，j=4p^3-g^2，α=b^2-3ac，β=c^2-3ab，γ=a^2-3bc，

ω=a^3-b^3+c^2d-d^3。

需要注意的是，这些公式比较复杂，需要一定的数学基础才能理解和使用。对于一般的三次方程，可以使用因式分解或者二次公式进行求解。

一元三次方程快速解法

标准型的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者范盛金于发表的盛金公式法。

一元三次方程通用求根公式

一元三次方程的因式分解法

例题：x3-3x2+4

答案：x1=-1，x2=x3=2

解题思路：解一元三次方程，首先要得到一个解，这个解可以凭借经验或者凑数得到，然后根据短除法得到剩下的项。

具体过程：我们观察式子，很容易找到x=-1是方程的一个解，所以我们就得到一个

项x+1。

剩下的项我们用短除法。也就是用x3-3x2+4除以x+1。

因为被除的式子最高次数是3次，所以一定有x2

现在被除的式子变成了x3-3x2+4-（x+1）*x2=-4x2+4，因为最高次数项是-4x2，所以一定有-4x

现在被除的式子变成了-4x2+4-（-4x2-4x）=4x+4，剩下的一项自然就是4了

所以，原式可以分解成（x+1）*（x2-4x+4），也就是（x+1）*（x-2）2

（x+1）*（x-2）2=0

解得x1=-1，x2=x3=2

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

解一元三次方程专题

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一元三次方程是指次数最高为三次的方程，通常的形式为：

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$

解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。

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方法一：分离变量法

分离变量法是一种常用的解一元三次方程的方法。它的基本思想是将方程中的$x$和常数项用不同的符号表示，然后将方程化为两个关于不同变量的方程，进而求得解。具体步骤如下：

1. 将方程变形，使得方程右边为0。

2. 令$x=y-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$y$为变量的形式。

3. 将变量分离，得到两个方程。

4. 解两个方程，得到$y$的值。

5. 将$y$的值代入$x=y-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。

注意：分离变量法只能得到方程的实数根。

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方法二：高斯消元法

高斯消元法是解一元三次方程的另一种常用方法。它的基本思

想是通过变量替换和高斯消元的操作，将方程化为一个二次方程和

一个一次方程，从而求得解。具体步骤如下：

1. 将方程变形，使得方程右边为0。

2. 令$u=x-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$u$为变量的形式。

3. 减去方程两边的$d$，得到$u^3+pu+q=0$的形式。

4. 利用高斯消元法求解$u^3+pu+q=0$，得到$u$的值。

5. 将$u$的值代入$x=u-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。

注意：高斯消元法可以得到方程的实数根和复数根。

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方法三：牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种数值解法，可以用来解一元三次方程。它的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进初始值，从而求得解。具体步骤如下：

一元三次方程的一般解法

一元三次方程是一种数学形式，描述数据变化以及解答相应问题的方程，常被用于解答实际存在的问题。了解一元三次方程解法，对于准

确解决实际中涉及数学的问题具有重要意义。那么，具体一元三次方

程的一般解法有哪些呢？

一、特征方程法

特征方程法是一种天然的、直观的解决一元三次方程的方法，即对一

元三次方程的三次项求特征多项式，并求解相应的根，从而求出方程

的根。

1. 先求特征多项式的根：

(1) 将方程的各项分别排列，把系数加以收敛，使其构成方程的一个齐

次多项式；

(2) 将齐次多项式化为零，并求解得出特征多项式；

(3) 根据特征多项式的分母，根据普通的多项式求根法求出一元三次方

程的特征多项式的根，即一元三次方程的解。

2. 根据特征多项式的根求一元三次方程的解：

(1) 如果特征多项式只有一个根，则可以将此根作为一元三次方程的解；

(2) 如果特征多项式有多个不相等的根，则可以将此多个根作为一元三

次方程的解；

(3) 如果特征多项式有多个相等的根，则每个相等的根可以作为一元三

次方程的两个解，即一元三次方程的解即为特征多项式的根组成的有

理方程组。

二、分段组合解法

把一元三次方程分解成若干内容较为简单的一元二次方程的求解过程，将已知的实数范围分成若干段，由此确定出每一段内适当的近似解，

然后结合方程的初始条件，最终得到方程的解。

三、借助代数解法

借助代数解法，将一元三次方程变为积分方程，先求积分方程的积分，再利用积分的特性和方程的恰当初值条件，求得方程的解。

四、精确积分法

将一元三次方程转化为形式适当的积分分段函数部分，然后对积分分

解一元三次方程

一元三次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为3

的方程。解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍其中两种常用的

方法：牛顿法和因式分解法。

一、牛顿法

牛顿法是一种利用切线逼近函数零点的方法，适用于非线性方程求解。对于一元三次方程，我们可以利用牛顿法进行求解。

设给定的一元三次方程为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

牛顿法的迭代公式为：

x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解，

f(x_n)为方程在x_n处的函数值，f'(x_n)为方程在x_n处的导数值。

具体步骤如下：

1. 初始化近似解x_0，通常选择一个离根比较近的值。

2. 计算方程在x_n处的函数值f(x_n)和导数值f'(x_n)。

3. 根据迭代公式计算新的近似解x_(n+1)。

4. 判断|x_(n+1) - x_n|是否小于给定的精度要求，若满足则停止迭代，否则继续迭代。

5. 重复步骤2-4，直到满足精度要求。

二、因式分解法

因式分解法是一种将三次方程分解为一次和二次方程的乘积的方法，然后求解得到方程的根。

对于给定的一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们可以根据

不同的情况来进行因式分解。

1. 若方程有一个实数根x_1，则可以通过除以(x − x_1)得到一个二

次方程：(ax^2 + (b − ax_1)x + c − bx_1) = 0。

接下来，我们可以使用求解二次方程的方法来求解这个二次方程

一元三次方程的求解

一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。求解一元三次方程是数学中的一项重要内容，在实际问题中有广泛的应用。本文将介绍一元三次方程的求解方法及其应用。

我们来了解一元三次方程的一般解法。对于一元三次方程，通常可以通过因式分解、配方法、综合除法、根的代换等方法来求解。其中最常用的方法是综合除法和根的代换。

综合除法是指通过将一元三次方程除以已知根的因式，将方程化简为二次方程的形式，从而求解方程。例如，对于方程x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0，我们可以通过综合除法将其化简为(x - 2)(x^2 - x - 6) = 0，进而解得x = 2及x^2 - x - 6 = 0。再通过求解二次方程x^2 - x - 6 = 0，我们可以得到方程的其他根。

根的代换是指通过设定一个新的未知数，将一元三次方程转化为一个二次方程的形式，从而求解方程。例如，对于方程x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0，我们可以设定新的未知数y = x - 1，将方程转化为y^3 - 7y + 6 = 0。然后，我们可以通过求解二次方程y^2 + y - 6 = 0，得到y的值。再通过代换回原未知数x，我们可以求得方程的解。

除了以上两种常用的解法，还可以利用数值计算方法，如牛顿法和二分法等，来近似求解一元三次方程的根。这些数值方法可以通过计算机程序来实现，提高求解效率。

一元三次方程的求解不仅在数学中有重要意义，也在实际问题中有广泛应用。例如，在物理学中，一元三次方程可以用于描述物体的运动轨迹；在经济学中，一元三次方程可以用于分析市场供求关系；在工程学中，一元三次方程可以用于建模和优化问题等。

怎么解一元三次方程一元三次方程的解法有哪些

一元三次方出一直是同学们比较难过的一个坎，很多同学不知道该如何解开它，以下是由编辑为大家整理的“怎么解一元三次方程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

怎么解一元三次方程

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以(2)可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q，化简得

(6)A+B=-q，AB=-(p/3)^3

(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

如何求解一元三次方程

求解一元三次方程是一个具有挑战性的数学问题，需要掌握一定的数学方法和技巧。下面我将详细介绍求解一元三次方程的方法和步骤。

一、展开方程

首先，我们需要将一元三次方程展开，得到一个关于未知数的多项式。这个多项式的一般形式为：

f(x) = a1x^3 + a2x^2 + a3*x + a4 = 0

其中a1、a2、a3和a4是常数，x是未知数。

二、因式分解

如果多项式可以因式分解，那么求解方程就会变得相对简单。对于一元三次方程，我们可以通过因式分解的方法将其转化为多个一元二次方程的乘积。这样就可以逐个求解每个一元二次方程，从而得到原方程的解。

例如，如果一元三次方程可以表示为：

f(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3) = 0

那么我们就可以通过求解每个一元二次方程来找到原方程的解。

三、求根公式

如果多项式不能因式分解，那么我们可以通过求根公式来求解一元三次方程。对于三次多项式，存在一个通用的求根公式，可以用来求解任意三次多项式的根。这个公式包括三个参数，需要通过求解一个关于这三个参数的方程组来得到。

四、数值方法

如果多项式不能因式分解，且没有通用的求根公式可用，那么我们可以使用数值方法来求解一元三次方程。数值方法是一种通过迭代逼近解的方法来找到方程的根。常用的数值方法包括牛顿法、二分法等。这些方法通过选择合适的初始点，然后不断迭代来逼近方程的根。

五、符号计算

符号计算是一种通过符号运算来求解代数方程的方法。对于一元三次方程，我们可以使用符号计算软件（如Mathematica或SymPy）来求解方程的根。符号计算可以处理任意大小的系数和任意精度的解，因此对于一些特殊情况或需要高精度解的情况非常有用。

适用于高中的一元三次方程的快速,简单的两种解题方法(普通和特殊方法)

适用于高中的一元三次方程的快速，简单的两种解题方法
第一种普通方法第二种为为方法
A
1
普遍方法：
1、提取三次项系数，变形为 m (x³+ax²+bx+c)
2、设乘积式为 m(x+i)(x²+jx+k)=m[x³+(i+j)x²+(k+ij)x+ik]
3、解方程组：i+j=a k+ij=b ik=c
A
2
特殊Fra Baidu bibliotek法
A
3

一元三次方程组的解法

一元三次方程的解法

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。因为用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

解一元三次方程的方法

一元三次方程是高中数学中常见的问题，解决这类问题需要运用一些特定的方

法和技巧。下面，我们将介绍一些解一元三次方程的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，解一元三次方程的方法之一是利用因式分解。对于一元三次方程

ax^3+bx^2+cx+d=0，我们可以先尝试因式分解，将其化简为(ax^2+ex+f)(gx+h)=0

的形式，然后再解出方程的根。这种方法需要我们对因式分解有一定的掌握和运用能力，但一旦掌握，可以大大简化解题过程。

其次，解一元三次方程的方法还包括利用换元的技巧。通过适当的变量替换，

我们可以将一元三次方程化简为二次方程或者其他更容易求解的形式。比如，我们可以尝试令x=y-α，将原方程化为关于y的方程，然后再进行求解。这种方法需

要我们对变量替换有一定的灵活运用能力，但可以帮助我们更快地找到方程的解。

此外，解一元三次方程的方法还包括利用Vieta定理和根与系数的关系。根据Vieta定理，一元三次方程的根与系数之间存在一定的关系，我们可以利用这一关

系来求解方程。通过对系数的分析和变形，我们可以得到一些关于根的条件，从而更快地求得方程的解。

最后，解一元三次方程的方法还包括利用数学软件进行辅助求解。在实际问题中，一元三次方程可能会非常复杂，手工计算可能会很困难。这时，我们可以利用数学软件进行辅助求解，比如利用MATLAB、Mathematica等软件进行符号计算，或者利用Excel等软件进行数值计算。这种方法可以帮助我们更快地得到方程的解，尤其是对于一些复杂的方程来说，更是一种有效的求解方法。

一元三次方程快速解法有哪些

⼀元三次⽅程快速解法有哪些

⼀元三次⽅程快速解法有、因式分解法、⼀种换元法、卡尔丹公式法等多种⽅法，本篇我们将详细介绍其内容。

因式分解法

因式分解法不是对所有的三次⽅程都适⽤，只对⼀些简单的三次⽅程适⽤．对于⼤多数的三次⽅程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对⼀些简单的三次⽅程能⽤因式分解求解的，当然⽤因式分解法求解很⽅便，直接把三次⽅程降次。

例如：解⽅程x^3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得⽅程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

⼀种换元法

对于⼀般形式的三次⽅程，先将⽅程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z-p/3z，代⼊并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代⼊，得：w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的⼆次⽅程。解出w，再顺次解出z，x。

卡尔丹公式法

特殊型⼀元三次⽅程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式

X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；

X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；

X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

标准型⼀元三次⽅程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代⼊上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型⼀元三次⽅程Y^3+pY+q=0。