9.2正项级数
高等数学-无穷级数简要讲解-2
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
正项级数
1.引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分，而正项级数又是级数中最简单，同时也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质，解决级数的问题多半要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位，所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容，也是十分重要的内容，所以正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要作用. 2.正项级数概念 2.1.正项级数定义设有数列{}n u ，即1u ，2u ，⋅⋅⋅，n u ，⋅⋅⋅，将此数列依次相加起来，即1n n u ∞=∑，称为数值级数，其中n u 称为级数的第n 项或通项.若级数的每一项n u 的符号都是正，则称级数1n n u ∞=∑是正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件部分和数列{n S }有上界,即存在某正数M,对0n ∀>,有n S <M ⇔正项级数1n n u ∞=∑收敛.2.3.正项级数敛散性判别法 2.3.1.比较原则设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N 都有n n u v ≤,那么 （1）若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛； （2）若级数1nn u∞=∑发散,则级数1nn v∞=∑也发散；即1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散.比较原则的极限形式 ：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数.若limnn nu l v →∞=,则（1）当0l <<+∞时, 级数1nn u∞=∑与级数1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；（2）当l =0且级数1nn v∞=∑收敛时, 级数1n n u∞=∑也收敛； （3）当l =+∞且级数1nn v∞=∑发散时，级数1nn u∞=∑也发散.2.3.2.达朗贝尔判别法（或比式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q （0<q<1）(1)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≤q,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.达朗贝尔判别法的极限形式：若1n n u ∞=∑为正项级数,且1limn n nu u +→∞=q(1)当q<1时,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当q>1或q=+∞时,则级数1n n u ∞=∑发散.2.3.3.柯西判别法（或根式判别法）设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在某正数0N 及正常数L(1)若对一切0n N >,≤L<1,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切0n N >,≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.柯西判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数,且n l ,则(1)当l <1时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当l >1时,级数1n n u ∞=∑发散.2.3.4.积分判别法设f(x)为[1,+∞)上非负递减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散. 2.3.5拉贝判别法设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在自然数0N 及常数r,（1） 若对一切n>0N ,成立不等式n 111n n u r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛；（2） 若对一切n>0N ,成立不等式n 11n n u u +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1,则级数1n n u ∞=∑发散.拉贝判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数，且极限1lim 1n n n u u +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 存在，则（1）当r>1时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当r<1时,级数1n n u ∞=∑发散.3.判别方法的比较1.当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时,可以选用正项级数的充要条件进行判断.如：P 级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便. 2.当级数表达式型如1nu ,n u 为任意函数、级数一般项如含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以进行适当的放缩,并与几何级数、P 级数、调和级数进行比较,1lim n n nu u +→+∞、n 易算出或1limn n nu u +→+∞=1、n 等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数证明问题时,应选用比较原则.例：1.1111nn na a ∞=⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭∑(a>1) 级数收敛 2.ln 11(ln )nn n ∞=∑= ln ln ln 1n n e 2ln 211n e n ≤= 级数收敛 比较原则使用的范围比较广泛,适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数.3.当级数含有阶层、n 次幂,型如a!或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时,选用达朗贝尔判别法.当通项含(1)n -与n u 的函数可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断,例：1. 113(21)!n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-∑1limn n nu u +→∞=21lim 1n n n →∞++=2 级数发散x级数收敛.4.当级数含有n 次幂,型如n a 或()n n u 或通项1ln n p u n n=即分母含有含lnx 的函数,分子为1,或级数含有多个聚点时,可选用柯西判别法.例如：1. 121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑lim21n n n n →∞=+=12,级数收敛一般来说,当选用柯西判别法无法判断时,我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断,但有时候我们用柯西判别法而不使用达朗贝尔判别法,因为柯西判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优.例如：2.1+b+bc+n n b c ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(0)b c <<比由例题可知,两种判别法都可以用来判断上题,但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小,约束条件更为详细.因此,上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好.在使用判别法时,我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件.同时也存在只能使用柯西判别法,使用达朗贝尔判别法无法判断的情况.例如：3. (1)2nn ---∑n n 12 级数收敛 不可使用达朗贝尔判别法1limn n nu u +→∞=12(1)lim 2n n -+-→∞ 无法判断敛散性 因此,当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时,我们可以选用达朗贝尔判别法或柯西判别法.5.当级数表达式型如1n u ,n u 为含有ln n 的表达式或1nu 可以找到原函数,或级数n u 为[1,)+∞上非负单调递减函数,n u 含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以找到原函数,可以选用积分判别法.例：1.6.当级数同时含有阶层与n 次幂,型如a!与n a 时,或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候,选用拉贝判别法.例：不能用达朗贝尔判别法不能用柯西判别法因此,当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断敛散性时,我们可以选用拉贝判别法. 4.应用举例例1 1!2!...!(2)!n n u n +++=分析：本题无法使用柯西判别法与达朗贝尔判别法,因此选择比较原则进行判断. 解!10!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n ⋅<≤=<+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-,()n →∞且级数11(21)(2)i n n ∞=-∑收敛所以级数收敛. 例2 112(1)(1)...(1)nn na a a a ∞=+++∑分析：本题无法使用柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较原则以及其他的判别法进行判断,因此选用充要条件进行判断.解u所以级数收敛. 例3 1ln n p u n n=分析：本题分母含有ln n的表达式,优先选择积分判别法. +∞例4113135224246p p p⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：本题中通项(21)!!(2)!!nnun-=含有阶层,但不能使用柯西判别法或达朗贝尔判别法进行判断,因此选用拉贝判别法.解12221pnnu nu n++⎛⎫= ⎪+⎝⎭122111112121lim1lim lim112pnn n nnnou pn n nnun n→∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭-===⎪⎝⎭当2p>1,即p>2时,级数收敛.例52(1)2nn+-∑分析：本题中分子含有(1)n-,无法用达朗贝尔判别法或其他方法判别,这种类型也是柯西判别法的典型类型,取上极限进行判断,因此,选用柯西判别法.解112n→∞==<,∴级数收敛.5.总结数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时,则根据其特点选择适用的方法,如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法.当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较原则,若比较雨泽还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断,因此正项级数的判别法有无穷多种.正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性,也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别,在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.参考文献[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 [J] . 武汉工业学院学报,2002,4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈 [J] . 石家庄职业技术学院报,2005,9.[3]夏学启. 贝努利数的简明表达法 [J] . 芜湖职业技术学院学报,2006,2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社,2002,2.[5]费定晖,周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M] . 济南：山东科学技术出版社,2005,1.[6]周应编著.数学分析习题及解答 [M] . 武汉：武汉大学出版社,2001,8.[7]王晓敏,李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导[M] . 长春：东北大学出版社,2005,12.[8] B.A zhuo, etc. (JiangFeng, Ritchie. Mathematical analysis [M]. Beijing: higher education press, 2006,12.[9]胡适耕,张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社,2008,5.[10]陈纪修,于崇华,金路编著. 数学分析下册 [M] . 北京：高等教育出版社,2000,4.致谢我的本科论文是在仝雅娜老师的指导下圆满完成的,仝老师在兢兢业业工作的同时,还要抽出很多时间帮我答疑解惑,细心指导,让我学会了很多东西.在此,特向仝老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意.此外,还要感谢我的许多同学,他们在我的论文写作中给予了大量的帮助,在此,我也深深的感谢他们.同时,我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的老师、同学和朋友,感谢你们！。
9.2 函数项级数
函数项级数一致收敛的必要条件) 推论 (函数项级数一致收敛的必要条件 函数项级 函数项级数一致收敛的必要条件 数 ∑ un ( x ) 在数集 D 上一致收敛的必 要条件是函数 上一致收敛于零. 列 { un ( x )} 在 D 上一致收敛于零
设函数项级数 ∑ un ( x ) 在 D 上的和函数为 S ( x ), 称
Rn ( x ) = S ( x ) − S n ( x )
为函数项级数 ∑ un ( x ) 的余项.
前页 后页 返回
x n (1 − x )2 在 [0,1] 上一致 例2 讨论函数项级数 ∑
n= 0
∞
收敛性. 收敛性
前页 后页 返回
解 当 x = 0 时, S n (1) = 0; 当 0 ≤ x < 1 时
系式(13)时, 则称级数 ∑ M n 在区间 [a , b] 上优于级 系式 时
前页 后页 返回
数 ∑ un ( x ), 或称
∑M
n
为 ∑ un ( x ) 的优级数 优级 优级数.
数判别法也称为M 判别法. 数判别法也称为 判别法
前页 后页 返回
定理3(阿贝尔判别法) 定理 (阿贝尔判别法)设
Sn ( x ) = ∑ x k (1 − x )2 = (1 − x n+1 )(1 − x )
k =0 n
所以 S ( x ) = lim S n ( x ) = (1 − x )，x ∈ [0, 1]. n→∞ 于是
| S ( x ) − Sn ( x ) |= x (1 − x ), x ∈ [0, 1],
≤ 2 M (| vn+1 ( x ) | +2 | vn+ p ( x ) |).
正项级数定义
正项级数定义正项级数定义是在数学中用来表示一系列数值的抽象术语。
它可以帮助我们快速找出并计算这些数值之和，而不必将每个数值都考虑在内。
正项级数定义是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
首先，让我们来看一下正项级数定义的标准形式：Sn=a1+a2+a3+…+anS代表的是正项级数的总和，n代表的是正项级数中的数量。
a1、a2、a3等等，代表的是每个正项级数的值。
要确定正项级数的总和，需要先确定每个正项级数的值，然后将所有正项级数的值相加，即可得出总和。
比如，让我们来看一个例子：Sn=3+6+9+12+15+…+99在这个例子中，n=97（即有97个正项级数），a1=3，a2=6，a3=9，a4=12，a5=15，……，a97=99（即每个正项级数的值）。
因此，我们可以将所有正项级数的值相加，得出总和：Sn=3+6+9+12+15+…+99=3+6(1+2+3+4+5)+6(6+7+8+9)=3+6*45+6*30=3+270+180=45 3正项级数的定义也可以写成更具体的形式，比如：Sn=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+…+(a+(n-1)d)其中，a代表的是正项级数的初始值，d代表的是正项级数之间的差值，n代表的是正项级数的数量。
比如，让我们来看一个例子：Sn=2+(2+3)+(2+6)+(2+9)+…+(2+(97-1)*3)=2+5(1+2+3+…+32)=2+5*496=2482正项级数定义的另一个重要特点是可以利用等差数列的公式来计算总和，大大简化了计算的过程。
比如，让我们来看一个例子：Sn=3+6+9+12+…+99由于这是一个等差数列，所以我们可以使用等差数列的公式来计算总和：Sn=n/2[2a+(n-1)d] =97/2[2*3+(97-1)*3]=97/2*294=14076由此可见，正项级数定义在计算正项级数总和时非常有用，可以大大简化计算的过程。
正项级数
的敛散性.
故原级数收敛.
例2 判定级数
的敛散性.
解
收敛, 则级数
收敛.
例3 判定级数
的敛散性.
解 因为
发散, 则级数
发散.
定理9.2.3 (比较判别法的极限形式)
若两个正项级数
满足:
(1)当0 < l < +∞时, 级数
同敛散;
(2)当l= 0且级数 收敛时, 级数 也收敛;
(3)当l= +∞且级数
发散时, 级数 也发散.
§9.2 正项级数及其敛散性判别
一. 正项级数的概念 二. 正项级数敛散性的判别法
一、正项级数的概念
定义9.2.1 若数项级数 中的各项 则称此级数为正项级数.
于是正项级数的部分和数列
是一个单増数列, 即
定理9.2.1 正项级数 有上界.
收敛的充要条件是部分和数列
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 其等价命题是: “若 无上界, 则 从而正项级数发散.”
故原级数发散.
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数
满足
则 (1) 当0 ≤ l < 1时, 级数
收敛;
(2) 当 l > 1时, 级数 发散;
(3) 当 l = 1 时, 级数
可能收敛, 也可能发散.
例6 判定级数
的敛散性.
解
故原级数收敛. 练习：
3,(1) 判定级数 解
无上界.
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法 定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数
的对
应项满足:
则 (1)当级数 收敛时, 级数 （大收小收）
正项级数基本定理
正项级数基本定理正项级数基本定理是数学中的一个重要定理，它描述了一类数列的求和问题。
在数学中，级数是一种特殊的数列求和形式，它由无穷多个数项按照一定规律相加而成。
而正项级数基本定理则是关于正项级数求和性质的一个重要定理。
下面将详细介绍这个定理的内容和应用。
正项级数基本定理是指对于一个正项级数，如果它的部分和有界，那么它一定是收敛的。
这个定理可以用一个简单的例子来说明。
考虑一个正项级数1/2+1/4+1/8+1/16+...，即每一项都是前一项的一半。
我们可以通过不断求和来计算这个级数的部分和，即将前n 项相加得到Sn，其中n表示项数。
当n逐渐增大时，Sn逐渐接近于2。
也就是说，这个级数的部分和是有界的，并且极限值为2。
根据正项级数基本定理，我们可以得出这个级数的和为2。
正项级数基本定理的证明可以通过数学分析的方法进行。
首先，我们可以证明正项级数的部分和是递增的。
也就是说，对于任意的n，Sn ≤ Sn+1。
这是因为我们在计算部分和时，每一项都是非负数，所以加上一项后的和一定大于或等于原来的和。
其次，我们可以证明正项级数的部分和是有界的。
也就是说，存在一个数M，使得对于任意的n，Sn ≤ M。
这是因为我们可以通过数学归纳法证明部分和Sn ≤ 2M，其中M是级数的第一项。
最后，我们可以证明正项级数的部分和是单调递增且有界的，所以它一定是收敛的。
根据级数的定义，我们可以得到级数的和为其部分和的极限值。
正项级数基本定理在数学中有着广泛的应用。
首先，它可以用来计算一些特殊级数的和。
比如，在金融领域中，我们经常遇到复利计算问题，而复利的计算可以转化为正项级数求和的问题。
其次，正项级数基本定理可以用来证明一些重要的数学结论。
比如，在实分析中，我们需要研究函数的收敛性和连续性，而正项级数基本定理可以为我们提供一种重要的工具。
此外，在概率论和统计学中，正项级数基本定理也有着重要的应用。
在概率论中，我们可以利用正项级数基本定理来证明一些重要的概率性质。
正项级数定义
正项级数定义
正项级数是一种数学结构，它包含一系列正整数增加的序列。
它一般形式如下：
a1+a2+a3+a4+…+an=∑an
其中，a1,a2,a3,a4,…,an为等差或者等比的数列，可以分别写出：
a1=a
a2=a+d
a3=a+2d
a4=a+3d
…
an=a+(n-1)d
其中，a为该等差数列的首项，d为该等差数列的公差，n为该数列的项数。
此外，我们还可以把它想象成是由一系列有规律的量组成，将每一项的和作为最终结果，也就是称之为正项级数。
这也就是我们中文里常说的“等积公差数列”。
正项级数也常常用来计算有限的等比级数的和，这可以是求解多个连续项的和问题，也可以是求解一个等比
数列的总和问题。
我们可以看到，正项级数的定义是有限的，也就是说只要给定前n项的和，我们就能够求出后面任意一项的值。
它也有着一些特殊的性质，比如说我们可以根据正项级数的性质来研究它的和，以及关于它的变换，移动等情况。
正项级数在实际应用中也有着重要的作用，比如说在数学上，我们经常会遇到一些已知前n项和，求第n+1项的问题，我们可以用正项级数的性质来求解；泰勒级数展开，也依赖于正项级数的概念来计算；常见的折现计算问题，也可以用正项级数的公式来求解；在真分数的概念里，我们也可以使用正项级数的性质来简化计算；在定积分计算中，很多问题也可以考虑利用正项级数的性质进行计算。
因此，我们可以看到，正项级数在数学实际运用中是十分重要的，它在多个应用场景中都有着十分突出的表现，非常值得我们去深入的学习和研究它的概念。
9.2 正项级数及其敛散性判别
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
n1 1 1 又因为 , 而级数 发散, n( n 2) n 2 n 1 n 2
故级数
n1 发散. n 1 n( n 2)
23
3. 根值判别法 定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数 un 满足 lim n un l , n
当p 1时, 收敛 结论: P 级数 当p 1时, 发散
如何判别正项级数的敛散性是讨论正项级数的基本问题,
直接利用上述定理来判别, 即讨论部分和数列是否有上界是 非常困难的. 因此, 需要建立其它敛散性的判别法.
6
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法
定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数 un 及 vn 的对
1 所以级数 sin p 是收敛的 n n 1
15
1 ) 的敛散性 例 6 判定级数 ln(1 2 n n1
1 ) ~ 1 (n 1 1 1~ ~ 1n (n ) 解 由 ln(1x)~x(x0)可知 ln(1 解 由 ln(1x)~x(x0)可知 ln(1 22)2 ) 22 (2 ) 解 ln(1x)~x(x0)可知 n n nn n n
n 1
由收敛数列的有界性定理 知, S n 有上界.
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 { sn } 无上界.
其等价命题是: “若 S n 无上界, 则 lim Sn , n
从而正项级数发散.”
3
1 1 1 例1判定 p 级数 p 1 p p ( p 0) 2 n n 1 n
n 1 n 1
应项满足:
正项级数 课程思政
正项级数课程思政正项级数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
正项级数是指由一系列正数所构成的数列的和，也可以理解为无穷级数的一种特殊情况。
正项级数的概念可以追溯到古希腊数学家欧多克斯（Euclid）的《几何原本》中，但正式的定义则是由数学家卡尔·威尔逊（Carl Friedrich Gauss）在19世纪提出的。
在数学中，正项级数可以用符号∑（从n=1到∞）an来表示，其中an表示数列中的第n项。
正项级数的和可以表示为S=∑（从n=1到∞）an。
正项级数有一些重要的性质。
首先，正项级数的部分和数列是递增的，也就是说，Sn=S1+S2+...+Sn，其中S1，S2，...，Sn分别表示数列的前n项的和。
其次，如果正项级数的部分和数列有上界，那么该级数是收敛的。
如果正项级数的部分和数列无上界，那么该级数是发散的。
最后，正项级数的和是有限的，当且仅当该级数是收敛的。
正项级数的应用非常广泛。
在数学分析中，正项级数被用来证明数列和函数的收敛性，以及求解极限等问题。
在实际生活中，正项级数的应用也非常多样。
比如，正项级数可以用来描述财务投资中的复利问题，以及物理学中的粒子运动轨迹等。
对于学生来说，学习正项级数有助于培养数学思维能力和逻辑推理能力。
正项级数的学习需要学生具备一定的数学基础，包括数列与级数的基本概念和运算方法。
此外，学生还需要掌握数学分析中的相关定理和推理方法，以便能够正确地理解和应用正项级数的概念。
在课程思政中，正项级数的学习也有着重要的意义。
首先，正项级数的学习可以帮助学生培养数学思维能力和逻辑推理能力，提高他们的数学素养。
其次，正项级数的学习可以增强学生的数学兴趣，激发他们对数学的学习动力。
最后，正项级数的学习可以帮助学生理解数学与现实生活的联系，提高他们的实际问题解决能力。
在课程思政中，教师可以通过多种教学方法和手段来教授正项级数的概念和性质。
比如，教师可以通过具体的例子和实际问题来引入正项级数的概念，帮助学生理解正项级数的意义和应用。
正项级数的审敛准则
极限审敛法
极限审敛法
如果存在一个常数$L$，使得$lim_{n to infty} a_{n} = L$，那么正项级数$sum a_{n}$是收敛的。
极限审敛法的应用
极限审敛法可以用于判断正项级数的敛散性。例如，如果存在一个常数$L$，使得对所有$n$都有$a_{n} leq L$，那么正项级数$sum a_{n}$是收敛的。
正项级数的应用
05
在数学分析中的应用
求和计算
正项级数在数学分析中常用于求和计算，特别是当数 列的项是正数时。通过审敛准则，我们可以确定级数 的收敛性，进而求得其和。
函数逼近
正项级数可以用来逼近某些函数，特别是在处理复杂 函数或难以解析的函数时。通过将函数展开为正项级 数，可以更好地理解和近似该函数。
正项级数的审敛准则
目 录
• 正项级数的基本概念 • 正项级数的审敛准则 • 常见的正项级数及其敛散性 • 特殊类型的正项级数及其审敛准则 • 正项级数的应用
正项级数的基本概念
01
正项级数的定义
定义
正项级数是一种数学序列，其中每一 项都是非负的。它的一般形式为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n geq 0$。
VS
详细描述
调和级数的通项公式为$frac{1}{n}$，其中 $n$为正整数。调和级数是发散的，因为 $frac{1}{n}$随着$n$的增大而减小，但永 远不会收敛于一个固定的值。
特殊类型的正项级数
04
及其审敛准则
幂级数
总结词
幂级数的审敛准则主要依赖于其首项和公比的取值范围 。
详细描述
对于幂级数，其一般形式为$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$，其中$a_n$是首项系数，$x$是变量。审敛准则主 要依赖于首项系数$a_0$和公比$x$的取值。当$a_0 = 0$ 且$|x| < 1$时，幂级数收敛；当$a_0 neq 0$且$|x| < frac{1}{a_0}$时，幂级数收敛。
§9.2正项级数判敛法
lim 212(1)n
n
不存在，可见比值判别法失效。
注:比值判别法和根值判别法都是充分条件而不是必要条件。
定理 7（积分判别法）
设（1） f C[1,) ， f 0 且单调递减；
（2） un f (n)(n 1,2, ) ，
则反常积分 f (x)dx 收敛或发散时， 1
正项级数 un 也随之收敛或发散。
(4) n1 1 5 9L (4n 3)
例6．讨论级数 n !( x )n ( x 0)的收敛性。
n1
n
定理 4（根值判别法，柯西判别法）
设 n1
an为正项级数，若
lim
n
n
an
,则
(1) 当 1 时, an收敛； n1
(2) 当 1 时, an发散； n1
(3) 当 1 时, an可能收敛也可能发散。 n1
（1）若 bn 收敛，则 an 也收敛；
n1
n1
（2）若 an 发散，则 bn 也发散。
n1
n1
例2. 讨论
p 级数
n1
1 np
的敛散性，其中p
0。
p 级数
n1
1 当p 1时, np 当p 1时,
收敛, 发散.
例3．判别下列级数的敛散性：
(1)
1
n1 n n 1
(2)
1
n1 n(n 1)
n1
为正项级数，若 lim n
an1 an
，则
(1) 当 1 时, an收敛； n1
(2) 当 1 时, an发散； n1
(3) 当 1 时, an可能收敛也可能发散。 n1
例 5．判定下列正项级数的敛散性。
(1)
高等数学-正项级数
n1 n1
(1) 若 vn 收敛,则 un 也收敛.
n1
n1
(2) 若 un 发散,则 vn 也发散.
n1
n1
比较判别法的极限形式 :
设 lim un l,则 v n
n
(1) 若 0 l , 则两个级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时, 若 vn 收敛,则 un 也收敛;
un 与
1
f (x)dx 有相同的敛散性.
n1
【例9-5】证明p-级数
1
np
n1
1
1 2p
1 np
当 0 p 1 时发散，当 p >1 时收敛.
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
2. 比较判别法
设有两个正项级数 un, vn,且 un vn(n 1, 2,L ),则
n 1
n 1
若 un 发散, 则 vn 也发散.
n 1
n 1
(3)当l 时, 若 vn 发散,则 un 也发散;
n 1
n 1
若 un 收敛,则 vn 也收敛.
n 1
n 1
【例9-7】判断下列正项级数的敛散性：
(1)
2n
n1
sin
3n
;
(2)
n1
1; n(n2 1)
(3)
1
.
calculus 9.2正项级数
(1)当0<k<+∞时, 级数
n 1
u 和 v
n 1 n n 1
n
同敛散;
(2)当k= 0且级数 v n 收敛时, 级数
(3)当k= +∞且级数
u
n 1
n
也收敛;
v
n 1
n
发散时, 级数 un 也发散.
n 1
k un k , 则对于 , N , 使得 n N 证 (1) 由 lim n v 2 n
但当 p >1时, p 级数收敛; 当 p ≤1 时, p 级数发散. 例11 判定下列级数的敛散性.
1000n (1) n! n0
2n n! xn (2) (3) n (4) n1 2n 1 n1 2 1 n1 n
un1 1000n1 n! 1000 解 (1)因 lim lim lim 01 n n u n n （n 1 ） ! 1000 n1 n
12
例10 设级数 求证 证 因
2 u n 收敛,且常数c>0, n 1
n 1
un n c
2
收敛.
un n
1 2 1 ( un 2 ), 2 n
un n2 c
2
u 1 而 un 与 2 收敛, 从而 n 收敛, n 1 n 1 n n 1 n
故
注2 因为对任意 n N 均有各项 un 0 则有
Sn1 Sn un1
于是正项级数的部分和是一个单増数列 Sn .
1
定理6 正项级数 un 收敛的充要条件是部分和序列
正项级数.ppt
un
un
于是 n N , 有un1 run
14
uN 1 ruN , uN 2 r 2uN , , uN n r nuN ,
而 r nuN (0 r 1) 收敛, 则 un ( r nN uN ) 收敛.
n1
n N 1
n1
从而在它前面增加N项的级数 un 也收敛.
n
un
lim n（ n ）2n1 n 3n 1
lim（
n
2n1
）n
n 3n 1
e 1 e （2 1）ln n
lim e n 3n1
1 2 ln
3
2 ln 3
n
故原级数收敛.
n
定理11 若正项级数 un 则级数 un2 也收敛.
n1
i 1
n1
(2)当 l > 1时, 则对任意给定的ε>0且满足 l q 1,
存在N , 使n N , 有 un1 l un1 l q 1,
un
un
则当n>N时,
后项un1 始终大于前项
un
lim
n
un
0.
于是 un 发散.
n1
题.请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。
注2 因为对任意 n N 均有各项 un 0 则有
Sn1 Sn un1
于是正项级数的部分和是一个单増数列Sn.
1
定理6 正项级数 un 收敛的充要条件是部分和序列 n1
Sn 有上界。
证 “⇒”有单调有界准则知极限
lim
n
正项级数的定义
正项级数的定义正项级数的定义正项级数是指一个由非负实数构成的无穷级数，即所有项都大于等于零。
一、基本概念1. 无穷级数无穷级数是指由无限多个项组成的和，每个项都是一个实数。
2. 正项级数正项级数是指所有的项都大于等于零的无穷级数。
换句话说，如果一个无穷级数中所有的项都是非负实数，则该级数为正项级数。
二、符号表示正项级数通常用以下符号表示：∑n=1∞an=a1+a2+a3+...+an+...其中，a1, a2, a3,..., an,...均为非负实数。
三、收敛与发散1. 收敛如果一个正项级数的部分和有上界，则该正项级数收敛。
即：S = a1 + a2 + a3 + ... + an ≤ M其中，M为某个实常量。
2. 发散如果一个正项级数的部分和没有上界，则该正项级数发散。
即：S = a1 + a2 + a3 + ... + an → ∞四、判别法则在判断一个正项级是否收敛或发散时，可以使用以下几种判别法则：1. 比较法则对于两个正项级数∑an和∑bn，如果存在一个正整数N，使得对于n > N，有an ≤ bn，则有：- 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；- 如果∑an发散，则∑bn也发散。
2. 极限比较法则对于两个正项级数∑an和∑bn，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则∑an和∑bn同时收敛或同时发散；- 如果L > 1，则当且仅当∑bn收敛时，∑an也收敛；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
3. 比值法则对于一个正项级数∑an，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则该级数收敛；- 如果L > 1，则该级数发散；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
4. 根值法则对于一个正项级数∑an，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则该级数收敛；- 如果L > 1，则该级数发散；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故级数 注2 当级数 当级数 发散时, 不一定有级数 收敛时, 不一定有级数
发散.
发散.
收敛.
例1 判定 p 级数
的敛散性.
解 (1) 当 p≤1 时, 因为
发散, 则 p 级数 发散.
(2) 当 p>1 时,
公比
所以，
收敛.
注2 应用比较判别法时, 须找合适的已知敛散性的级数
. 作为参考级数. 重要参考级数: 几何级数, p - 级数, 调和级数. 例2 判定级数 解 收敛, 则级数 例3 判定级数 解 因为 发散, 则级数 收敛. 的敛散性. 的敛散性.
收敛;
发散; 可能收敛, 也可能发散.
练习：
3,(1) 判定级数
的敛散性.
解
故原级数收敛.
的敛散性.
故原级数收敛.
例5 判定级数 解
的敛散性.
故原级数发散.
练习：
解
故原级数发散.
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数 满足
则 (1) 当0 ≤ l < 1时, 级数
(2) 当 l > 1时, 级数 (3) 当 l = 1 时, 级数 例6 判定级数 解 故原级数收敛. 的敛散性.
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法 定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数 应项满足:
的对
则 (1)当级数
收敛时, 级数 （大收小收）
也收敛;
(2)当级数
发散时, 级数
也发散.
（小发大发）
证 设Biblioteka 部分和分别是则 (1)当级数 故级数 (2)当级数
收敛时, 收敛.
un 发散时,
§9.2
正项级数及其敛散性判别
一. 正项级数的概念 二. 正项级数敛散性的判别法
一、正项级数的概念
定义9.2.1 若数项级数 则称此级数为正项级数.
中的各项
于是正项级数的部分和数列
是一个单増数列, 即
定理9.2.1 正项级数 有上界.
收敛的充要条件是部分和数列
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 其等价命题是: “若 从而正项级数发散.” 无上界, 则 无上界.
发散.
定理9.2.3 (比较判别法的极限形式) 若两个正项级数 满足:
(1)当0 < l < +∞时, 级数
(2)当l= 0且级数 收敛时, 级数
同敛散;
也收敛; 也发散.
(3)当l= +∞且级数
发散时, 级数
2. 比值判别法 定理9.2.4 (达朗贝尔比值判别法)若正项级数 则(1) 当0 ≤ l < 1时, 级数 (2) 当 l > 1时, 级数 (3) 当l = 1时, 级数 例4 判定级数 解 收敛; 发散; 可能收敛, 也可能发散. 满足