课时11 分式方程及其应用

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人教版八年级上数学第15章分式第11课时分式方程的应用(2)

第十五章分式第11课时分式方程的应用(2)学习目标1.列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．2．掌握用分式方程解决实际问题的方法和步骤.知识点一：列分式方程常用的等量关系(1)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；工作总量＝各工作量之和．以工程为背景的这类问题，通常设工程总量为1的也比较多见(2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润进价×100%；总利润＝单件的利润×销售的数量．(3)行程问题：路程＝速度×时间．(4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息．对点练习1.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程，甲工程队30天完成的工程与甲、乙两工程队10天完成的工程相等．甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？知识点二：列分式方程解实际问题的一般步骤(1)审：审清题意，弄清已知量和未知量，找到相等关系；(2)设：设未知数(可以直接设，也可以间接设)；(3)列：列出分式方程；(4)解：把分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程；(5)验：看整式方程的解是否满足分式方程(验根)(注意：千万不要忘记检验这个步骤)；(6)答：写出实际问题的答案.对点练习2.A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4千米/时．该轮船在静水中的速度多少？精典范例【例1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为( )A.1080x ＝1080x －15＋6B.1080x ＝1080x －15－6 C.1080x ＋15＝1080x－6D.1080x ＋15＝1080x＋6【例2】新冠疫情防护期间，为了保障居民有良好的生活环境，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车一起运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车一起单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．(1)甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？变式练习1.某地大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x 米，所列方程正确的是( )A.120x ＋4＝1202xB.1202x ＝120x－4 C.120x ＝120x ＋1－4 D.120x －4＝120x ＋12.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价之和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．(1)每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，商场共有几种进货方案？。

分式方程的解法与应用

分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。

解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。

本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。

一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。

通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。

2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。

然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。

3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。

将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。

二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。

在计算比例时，常常需要解决分式方程。

例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。

2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。

例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。

3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。

例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。

总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。

掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。

通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。

11讲：分式方程及其应用

分式方程及其应用【课前热身】1．（2010年山西）方程02112=--+x x 的解为 2.如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．33．（06临沂）如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（）A ．35=+y y xB ．31=-y x yC ．312=y xD ．4311=++y x 4．若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2【考纲解读】1.正确理解分式方程的有关概念2.掌握分式方程的基本解法及应用3.了解分式方程产生增根的原因【考点剖析】1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，把方程化为整式方程：方程的两边都乘以各分母的最简公分母（2）解这个整式方程，求出未知数的值；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.※分式方程的增根具有两个特征：（1）增根使最简公分母等于0；（2）增根是去分母所得整式方程的根.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）找出题目中的等量关系，列出方程；（4）解方程；（5）若是分式方程，先检验是否有增根，再看是否符合题意；（6）写答案【复习小结】1.主要考查方程思想、转化思想，题型以选择填空为主，有时也会涉及一些大题2.解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，注意验根3.在探究增根要注意思维的开放性【典例精析】＆＆【针对性练习】例1 解分式方程：2111x x x x ++=+练1解下列分式方程：（1）（2010 义乌） 22122x x x +=+ （2）（2010江西）224124x x x -+=+-（3）（2010济南）13-x -)1(2-+x x x 0= （4）（2010孝感）013132=--+--x x x例2（2009杭州）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，求m 的取值范围.练2.1 已知关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是练2.2 若关于x 方程2332+-=--x mx x 无解，求m 的值.练2.3 若分式方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是例4 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？练4 跃壮五金店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同.求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别是多少？【达标练习】分式方程中考真题集锦1.（2010 东营）分式方程x x 321=-的解是（） A ．－3 B. 2 C.3D.－2 2.（2010曲靖）分式方程xx x -=+--23123的解是（） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2 3．（2010南宁）将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母整理后得：（） A.018=+x B.038=-x C.0272=+-x x D.0272=--x x4.（2010益阳）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（）Ａ．203525-=x x Ｂ．x x 352025=- Ｃ．203525+=x x Ｄ．xx 352025=+ 5.（2010 滨州）方程4131x +=-的解为 6．（2010鄂尔多斯）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为 7．（2010乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2、15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为8.（2010绥化）已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是非正数，则a 的取值范围是 .9.（2010青岛）某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程10.解分式方程（1）（2010荷泽）x x x -=+--21221 （2）（2010南昌）解方程：144222=-++-x x x11.（2010四川达州）对于代数式12x -和321x +，你能找到一个合适的x 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程.12.(2010丹东）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:13.(2010日照)2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心.“一方有难,八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前了3天完成任务，求原计划每天生产多少吨纯净水？14.（2010直盐）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.【近三年临沂中考】1（2010临沂）16.方程121x x=-的解是2（2008临沂）22．（本小题满分7分）在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务。

分式方程及应用

分式方程及应用1．分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

验根的方法是将所求的根代入或。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有和。

1.把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（）A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-22. 方程的根是（）A.－2 B. C.－2， D.－2，13.当=_____时，方程的根为4.如果，则 A=____ B＝________.5.若方程有增根，则增根为_____，a=________.6.解下列分式方程：7. 若关于x的分式方程有增根，求m的值。

1.方程去分母后，可得方程（）2.解方程，设，将原方程化为（）3. 已知方程的解相同，则a等于（）A．3 B．－3 C、2 D．－24. 分式方程有增根x=1，则 k的值为________5.满足分式方程的x值是（）A．2 B．－2 C．1 D．06.解方程：（本题写出主要思想和步骤）7.某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为 .8.小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，现在乘车，若乘车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为。

分式方程的应用

分式方程的应用
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的概述 • 分式方程在数学中的应用 • 分式方程在实际生活中的应用 • 分式方程的局限性和发展 • 总结
01
分式方程的概述
分式方程的定义
分式方程是一种数学方程，其中包含分式，即分子和分母都是多项式的形式。
分式方程在实数范围内有解，并且可以应用某些算法来求解。
长度计算
在一些长度计算中，分式方程可以用于表示两个点之间的距离，进而解决问题。
03
分式方程在实际生活中的应用
分式方程在物理中的应用
速度公式
在物理学中，我们常常需要求解物体的速度或加速度等物理量。这些量通常可以通过分式方程来表示，例如速度公式v=s/t，其中v是速度，s是位移，t 是时间。
引力公式
05
总结
分式方程的重要性和应用价值
分式方程是数学中一种重要的工具，对于解决实际问题具有广泛的应用价值。
分式方程能够描述和解决许多实际问题，例如速度、时间、距离等之间的关系。
分式方程可以用于解决比例问题、分式计算、工程问题、经济问题等众多领域的问题。
分式方程在科学、工程和技术等领域中有着广泛的应用，是解决实际问题的重要手段之一。
THANKS
谢谢您的观看
VS
酸碱滴定
酸碱滴定中，我们需要计算滴定终点时加入的滴定剂体积。这可以通过一个分式方程来表示，例如对于滴定反应终点公式：终点时酸碱体积比=Kb*C/Ka，其中Kb和 Ka分别是弱酸与弱碱的电离常数。
分式方程在生物学中的应用
种群增长模型
在生物学中，我们常常需要研究种群的增长情况。种群增长可以用一个分式方程来表示，例如指数增长模型N(t)=N0ert，其中N(t)是时间t时的种群数量，N0是初始种群数量，r是种群的自然增长率。

分式方程及其应用课件

04
分式方程的练习题及解答
分式方程的练习题
总结词：巩固提高
练习题2：某种植物生长速度很快，已知它1天前的高度，求现在的高度。
练习题1：小明打篮球，每场得分相同，已知他1场比赛得分，求他打了多少场。
练习题3：已知一个矩形的面积和长，求宽。
分式方程的解答
总结词：解题技巧
解答1：通过观察，发现分母可以约掉，化简得分式方程即可。
03
分式方程的注意事项
解分式方程的步骤
整理方程
将方程化为最简形式，以便后续步骤。
确定根
通过交叉相乘等方法，确定方程的根。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母中带有未知数的形式的问题，但有些问题可能无法使用分式
方程求解。
解法有限
分式方程的解法有限，常用的只有几种，如部分分式、对数
超越分式方程：分母是超越式的分式方程，如 $\frac{x}{e^x}$
分式方程的解法
约分法：将方程中的因子约掉，化简方程
图象法：画出方程中变量的图象，通过交点求解方程
分式方程的求解方法包括以下几种
换元法：引入新的变量，将方程转化为容易求解的形式
逐步迭代法：通过逐步迭代，逼近方程的解
02
2023
分式方程及其应用课件
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学模型
2
它的一般形式为 $f(x) = \frac{B}{A}$，其中A 和B是两个整式

分式方程的应用

详细描述
分式方程可以用来解决各种实际问题，如速度、时间和距离问题、溶液混合问题、经济问题等。通过建立数学模型，将实际问题转化为分式方程，可以方便地求解并得到实际问题的答案。
02
分式方程在物理中的应用
速度、距离和时间的关系
总结词
分式方程在物理中的速度、距离和时间关系问题中有着广泛的应用，通过建立分式方程，可以求解出物体的运动速度、距离和时间的关系。
市场营销策略。
05
分式方程在日常生活中的应用
交通流量问题
总结词
分式方程在交通流量问题中有着广泛的应用，可以用来描述和分析道路、铁路、航空等交通方式的流量和运输情况。
详细描述
在交通流量问题中，分式方程可以用来描述不同交通工具之间的速度、时间和距离关系，以及交通流量的变化规律。例如，在高速公路上，可以使用分式方程来描述汽车的速度、加速度和刹车距离之间的关系，从而词
分式方程在资源分配问题中也有着重要的应用，可以用来描述和分析如何合理地分配有限的资源。
详细描述
在资源分配问题中，分式方程可以用来描述资源的分配比例和优先级，以及如何平衡不同利益相关方的需求和利益。例如，在医疗资源分配中，可以使用分式方程来描述如何根据患者的病情和医生的建议来合理地分配医疗资源和医疗费用。
详细描述
重力加速度是物体在地球表面附近自由下落的加速度，其大小约为9.8m/s²。通过建立分式方程，我们可以表示出物体下落过程中的加速度与时间的关系，进而求解出物体下落的高度和时间。
电学中的欧姆定律
总结词
欧姆定律是电学中的一个基本定律，通过建立分式方程，可以求解出电路中的电流、电压和电阻之间的关系。
VS
详细描述
欧姆定律指出，在同一电路中，电流与电压成正比，与电阻成反比。通过建立分式方程，我们可以表示出电路中的电流、电压和电阻之间的关系，进而求解出电路中的电流和电压。这对于分析电路的工作原理和解决实际问题具有重要的意义。

人教版-数学-八年级上册- 15.3.3分式方程的应用(第11课时) 教学案

抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，
求这两种车的速度.
【课堂小结】
这两节有关分式方程的应用的课程，你有何收获？
课后作业1511－－分式（课时11）
1．解方程：
1 ⑵
2．一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，
一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，
则的最大值是多少？
4．两个小组同时开始攀登座450米高山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组
早15分钟到达顶峰，两个小组的攀登速度各是多少？如果山高为h米，第一组的攀登速度是
第二组的a倍，并比第二组早t分到达顶峰，则两组的攀登速度各是多少？
5．一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，该改一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分.求两根水管各自的注水速度.（提示：要考虑大水管的进水速度是小水管进水速度的多少倍）
求前一小时的行驶速度．
3．供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A地进行电力抢修，甲骑摩托车先行，
小时后，乙开抢修车载着所需材料出发．
（1）若（小时），抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；
（2）若摩托车的速度是45千米/时，抢修车的速度是60千米∕时，且乙不能比甲晚到，
路程（km）
速度（km∕h）
所需时间（h）
甲车
3
乙车
题目中的等量关系为：
（2）求甲、乙两人的速度．
例2A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。

分式方程及其应用讲义

分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。

2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容：营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。

分式方程的实际应用

分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有很多应用。

下面我将举例说明几种常见的实际应用。

1.比例问题比例问题是分式方程的一个典型应用。

例如，在购物时，我们常常会遇到“打折”或“降价”的情况。

假设一家商店原价出售一件商品，现在将商品以折扣价出售，打折比例为x。

那么，我们可以得到以下分式方程：折扣价=原价*(1-x)通过解这个分式方程，我们可以计算出打折后的价格。

这个方程可以帮助我们在购物时做出更明智的决策。

2.涉及速度的问题分式方程也可用于涉及速度的问题。

例如，在旅行中，当我们知道辆车每小时行驶v英里时，我们可以计算出x小时后车辆所行驶的总英里数，这可以表示为以下分式方程：总英里数=v*x这个方程可以帮助我们计算出车辆在任意时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅行路线或者估算到达目的地所需时间。

3.混合液体问题分式方程还可用于混合液体问题。

例如，假设我们有两种浓度不同的溶液，其中一种浓度为x，另一种浓度为y，我们想要得到一定浓度的混合液体，我们可以通过以下分式方程求解：所需浓度*所需体积=x*体积1+y*体积2通过解这个方程，我们可以计算出需要的溶液体积，以及每种溶液的体积比例，从而准确地配制出我们所需要的混合液体。

4.长方形的长和宽问题分式方程还可以用于解决长方形的长和宽问题。

例如，假设我们知道一个长方形的面积为A，我们希望找到一个长方形，使得其一边长为x，另一边长为y，那么我们可以用以下分式方程来表示这个问题：A=x*y通过解这个方程，我们可以计算出长方形的长和宽，从而绘制出所需要的长方形。

综上所述，分式方程在实际生活中有许多应用。

从求解比例问题、涉及速度的问题到混合液体问题和长方形的长和宽问题，分式方程都能够提供一种有效的工具来解决这些实际问题。

了解分式方程的实际应用可以帮助我们更好地理解和应用这个数学概念，并将其运用到日常生活中的各种情境中。

分式方程的应用

分式方程的应用1. 什么是分式方程？分式方程是数学中一种特殊的方程，其中包含了至少一个或多个分式。

分式方程通常使用分数形式表示，在等号两侧分别包含有分母的表达式。

例如，下面是一个分式方程的示例：1/(x+1) + 1/(x-1) = 1/2上述方程中，分式方程包含两个分式，并且方程左边的两个分式的和等于右边的一个分式。

2. 分式方程的应用分式方程在数学中有许多应用，以下是其中一些常见的应用场景。

2.1 电路中的分式方程在电路分析中，分式方程经常被用来描述电路中的电压和电流之间的关系。

通过建立分式方程，可以对电路进行精确地分析和计算。

例如，考虑一个简单的电路，其中有一个电阻为R的电阻器和一个电源，电源的电压为V。

假设我们要计算电路中的电流I。

根据欧姆定律，电流和电阻之间的关系可以用以下分式方程表示：I = V / R在这个例子中，我们使用了分式方程来描述电流和电阻之间的关系。

2.2 液体混合问题中的分式方程液体混合问题是应用分式方程的另一个常见场景。

例如，假设有两个容器A和B，容器A中有一种液体，容器B中有另一种液体。

我们要将两种液体混合在一起，得到一种混合液体。

假设容器A中液体的体积为V1，容器B中液体的体积为V2。

假设我们将容器A中的液体全部倒入容器B中，然后搅拌均匀。

我们要计算混合液体中液体A的体积比例。

可以通过以下分式方程来描述这个问题：V1 / (V1 + V2) = x在这个方程中，x表示混合液体中液体A的体积比例。

2.3 财务问题中的分式方程分式方程在财务问题中也有广泛的应用。

例如，假设我们要计算一个投资账户中的年利率。

假设账户的年利率为r，投资的本金为P，投资时间为t年。

根据复利公式，投资账户的最终价值可以通过以下分式方程计算：P(1 + r)^t = V在这个方程中，V表示投资账户的最终价值。

3. 总结分式方程是数学中一种常见的方程形式，广泛应用于许多不同的领域。

无论是在电路分析中还是在液体混合问题中，分式方程都能提供准确的数学描述和解决方案。

分式方程及其应用教案

分式方程及其应用教案一、教学内容本节课的教学内容选自教材第十二章第一节《分式方程及其应用》。

具体内容包括分式方程的定义、分式方程的求解方法以及分式方程在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解分式方程的概念，掌握分式方程的求解方法。

2. 能够运用分式方程解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

三、教学难点与重点教学难点：分式方程的求解方法，特别是涉及复杂分式的方程求解。

教学重点：分式方程的定义，以及如何将实际问题转化为分式方程。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学PPT。

学具：学生用书、练习本、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个关于速度、时间和路程的问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题。

例：小明的速度是每小时5公里，他走了3小时，求小明走了多少路程？2. 分式方程概念讲解（10分钟）根据上述问题，引出分式方程的概念，讲解分式方程的定义及特点。

3. 分式方程求解方法（15分钟）以例题的形式，讲解如何求解分式方程，包括交叉相乘法、代入法等。

例题：求解方程 3/x = 4/54. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成几道分式方程的练习题，巩固所学知识。

5. 分式方程在实际问题中的应用（10分钟）讲解如何将实际问题转化为分式方程，并通过例题进行演示。

例题：某班有40名学生，一次数学考试的平均分为75分。

如果去掉一个最高分和一个最低分，平均分提高到77分。

求这个班的最高分和最低分。

6. 小组讨论与展示（15分钟）将学生分成小组，讨论并解决一个关于分式方程的实际问题，然后进行展示。

对学生的解答进行点评，强调解题方法和注意事项。

六、板书设计1. 分式方程的定义2. 分式方程求解方法3. 实际问题转化为分式方程的方法4. 典型例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）求解分式方程：2/(x+3) = 3/(x2)（2）某商店举行打折活动，原价为200元，打8折后价格为160元。

11.分式方程及其应用

5. A.
若分式
x2 −9 x−3
的值为0，则x的值等于（
0
）
B. ±3
C. 3
D. −3
考点：分式有意义的条件、分式值为零的条件
知识点：分式、分式方程有意义的条件
答案：D
解析：∵分式
x2 −9 x−3
的值为0，
且， ∴ x2 − 9 = 0 x − 3≠0
解得：x = −3．
故选：D．
中等已测：942次正确率：55.4%
答案：a>5且a≠20
解析：去分母得：3x − a = x − 5 − x，
解解∵∴关a得得−于：：x5xa的>>=方05，且a程−3aa35−≠x3x−，5−25≠a0．5=，1
+
x 5−x
的解为正数，
故答案为：a>5且a≠20 ．
一般已测：2986次正确率：79.7%
9考.点若：已2x 知=式y子3 的=值，5z 求≠代0数，式则的值x 2、+x分y−式+的z z求值=
∴m = 3．
故选：D ．
一般已测：2728次正确率：79.8%
2. A.
解分式方程解为x = 7
x−8 x−7
−
1 7−x
=
8，可知方程(
)
B. 解为x = 8
C. 解为x = 15
D. 无解
考点：解分式方程
知识点：分式方程的解法
答案：D
解析：最简公分母为(x − 7)，去分母，得， x − 8 + 1 = 8(x − 7) 解得x = 7，代入x − 7 = 0． ∴此方程无解．故选D ．
装箱比A型包装箱多装15件文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个,设B型包装

分式方程的应用

分式方程的应用分式方程是数学中重要的概念，它在各个领域中都发挥着重要的作用。

本文将探讨分式方程的应用，并重点介绍分式方程在代数和实际问题中的具体应用。

一、分式方程的定义与性质分式方程是具有一个或多个未知数的等式，其中包含有分式表达式。

例如，$\frac{x+1}{2} = 3$ 就是一个分式方程。

分式方程的解是使得方程成立的未知数的值。

分式方程的性质包括唯一性、可交换性、可消去性等。

二、代数中的应用1. 求解方程分式方程在求解方程问题中起着重要的作用。

举个例子，假设需要求解下列方程：$\frac{x}{5} + \frac{2}{x} = 3$。

我们可以通过将分式转化为通分式，再将方程化简为二次方程来求解。

2. 求解不等式分式方程在求解不等式问题中也有广泛的应用。

例如，可以通过分式方程求解$\frac{x}{3} > \frac{x-1}{2}$这样的不等式。

我们可以通过整理不等式，转化为分式方程，再求解不等式的解集。

三、实际问题中的应用分式方程在实际问题中的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：1. 比例问题在比例问题中，常常需要利用分式方程来求解。

例如，假设一辆汽车以每小时50公里的速度行驶，那么在$t$小时后，行驶的距离可以表示为$d=50t$。

如果要求在2小时内行驶的距离，则可以通过解分式方程$\frac{d}{t} = 50$来求解。

2. 液体混合问题在液体混合问题中，也需要应用分式方程。

例如，假设有两种浓度为$c_1$和$c_2$的液体A和B，分别含有$v_1$和$v_2$的体积。

将这两种液体混合后，得到一种含有$c$浓度的液体。

我们可以通过分式方程$\frac{c_1v_1 + c_2v_2}{v_1+v_2} = c$来求解$c$的值。

3. 工作效率问题在工作效率问题中，也需要运用分式方程来求解。

例如，假设工人A和工人B合作完成一项工作需要4小时，而工人A独立完成同样的工作需要6小时。

分式方程及其应用

分式方程及其应用分式方程是带分母的方程，如x/(x+1)=2。

它是数字、字母及参加运算的符号所组成的算式之间的等式。

在分式方程中，有未知量的分子和分母一般都是多项式，其中分母不能为0。

下面我们来看一些关于分式方程的基本定义和应用。

一、分式方程的定义在一个方程中，如果方程中至少有一个未知数的系数、常数、系数常数的乘积以及未知数的幂等组成分数形式，那这个方程就是分式方程。

分式方程是一种比较特殊的方程，通常都含有分数，并且要求求解该方程中的未知数不能使分母为零。

二、分式方程的解法解分式方程的方法一般有以下几种：1. 通分消去法：将方程的分式部分转化为分母相同的形式，从而进行运算。

2. 消去法：把方程中的分式去掉，使方程变为整式方程，然后直接求解。

3. 代数法：通过代数计算，逐步化简等式，推导出未知数的值。

三、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决过程中，我们经常会遇到各种涉及分式方程的情况。

以下是几个常见的应用示例：1. 比例问题：如两支笔的长度比是3：5，其中一支比另一支长12cm，则求这两支笔的长度。

设较短的笔的长度为x，则较长的笔的长度为5x，根据题意得到等式3/5=12/x，解此分式方程得x=20，因此较长的笔的长度为100cm。

2. 水泥拌合问题：如果两名工人A、B一起拌水泥，A每小时拌水泥的能力是B的1.5倍，第一小时两个人共拌水泥30kg，求每个人每小时拌水泥的能力。

设工人B每小时拌水泥x kg，则工人A每小时拌水泥为1.5x kg，根据题意得到等式1.5x+x=30，解此分式方程得x=10，因此工人B每小时拌水泥10kg，工人A每小时拌水泥15kg。

3. 赛跑问题：A、B两人进行百米赛跑，A比B领先10米跑完全程，若A的速度是B的1.5倍，求A和B的速度。

设B每小时的速度为x km/h，则A每小时的速度为1.5x km/h，根据题意得到等式100/(1.5x)-10/x=0，解此分式方程得x=20，A的速度为30 km/h，B的速度为20 km/h。

分式方程的应用

分式方程的应用分式方程是一个包含有分式表达式的方程，其中未知数出现在分式的分子或分母中。

分式方程的应用非常广泛，涉及到各个学科领域，如数学、物理、经济等。

本文将探讨分式方程在实际问题中的应用，并分析其解决方法。

1. 财务管理中的分式方程在财务管理中，分式方程可以帮助我们解决很多实际问题，比如利润分配、股权分配等。

以利润分配为例，假设某公司的年利润为P，按照股东所占股权比例来分配利润，其中甲股东占据总股权的1/4，乙股东占据总股权的1/3，那么甲股东和乙股东分别能够分到的利润分别是多少？设甲股东分到的利润为x，乙股东分到的利润为y，则有以下分式方程：x/P = 1/4y/P = 1/3通过求解以上分式方程，我们可以得到甲股东和乙股东分别能够分到的利润。

2. 物理学中的分式方程物理学是一个运用数学方法研究物质运动和相互作用的学科。

在物理学中，分式方程的应用非常常见，比如牛顿第二定律公式F = ma（F为物体所受的力，m为物体的质量，a为物体的加速度）。

如果我们已知一个物体的质量和所受力的大小，我们可以通过分式方程来求解物体的加速度。

设物体质量为m，所受力的大小为F，加速度为a，则有以下分式方程：F/m = a通过求解以上分式方程，我们可以得到物体的加速度。

3. 经济学中的分式方程经济学是研究人类在资源稀缺情况下如何分配资源的学科。

在经济学中，分式方程的应用也非常广泛。

以价格弹性为例，价格弹性衡量的是市场上消费者对价格变化的敏感程度。

设价格弹性为E，价格变化的百分比为ΔP，需求量变化的百分比为ΔQ，则有以下分式方程：E = ΔQ/ΔP通过求解以上分式方程，我们可以得到价格弹性的数值，从而了解市场上消费者对价格变化的反应程度。

综上所述，分式方程在实际问题中的应用非常广泛，涉及到财务管理、物理学、经济学等各个学科领域。

通过适当的转化和求解，我们可以利用分式方程解决各种实际问题。

分式方程在提高问题解决能力、培养逻辑思维和数学建模能力方面具有重要意义，希望读者能够善于运用分式方程解决实际问题，并深入理解其背后的数学原理。

课时11.分式方程及其应用

课时11．分式方程及其应用【课前热身】1．方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 2. 已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，则=a ，=b . 3．解方程12112-=-x x 会出现的增根是（） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x4．若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（） A. 1B. -1C. ±1D.2【考点链接】 1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 .5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.【典例精析】例1 解分式方程：1233x x x=+--．例2 甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．【中考演练】1．解方程.24321121--=-x x 2．若关于x 方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是． 3. 分式方程3111122=---x x 的解是． 4. 以下是方程1211=--x x x 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（） A ．112=--x B.112=+-x C.x x 212=+- D.x x 212=--5.遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为（）A ．205.193636=+-x x B ．205.13636=-x x C ．20365.1936=-+x x D ．205.193636=++xx 6．（2015•枣庄）关于x 的分式方程112=+-x a x 的解为正数，则字母a 的取值范围为（） A ． a ≥﹣1 B ． a ＞﹣1 C ． a ≤﹣1 D ． a ＜﹣17.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的65后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．。

分式方程的应用与实际解题

分式方程的应用与实际解题分式方程是数学中一种常见的方程形式，它在实际问题的解决中起着重要的作用。

本文将探讨分式方程的应用，并介绍如何在实际解题中运用这一方法。

一、什么是分式方程分式方程是含有分式的方程，其中通常包含零个或多个未知数。

其一般形式为：$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$，其中$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$、$D(x)$表示多项式。

二、分式方程的应用领域分式方程广泛应用于不同领域，包括数学、物理、化学、经济等。

以下列举几个常见的应用场景。

1.比例问题在比例问题中，分式方程可以用来表示两组数据的比例关系。

例如，在一个食谱中，需要用2杯面粉和3杯牛奶制作蛋糕。

如果要制作6杯蛋糕，需要多少杯面粉和牛奶？设面粉的量为$x$杯，牛奶的量为$y$杯，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3}$通过解这个分式方程，可以得到$x=4$和$y=6$，即制作6杯蛋糕需要4杯面粉和6杯牛奶。

2.速度问题在速度问题中，分式方程可以用来表示物体的速度和时间的关系。

例如，一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，需要2个小时才能到达目的地。

如果要在3个小时内到达目的地，汽车的速度应该如何调整？设新的速度为$x$公里/小时，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{60} = \frac{3}{2}$通过解这个分式方程，可以得到$x=90$，即汽车需要以90公里/小时的速度行驶才能在3个小时内到达目的地。

3.混合物问题在混合物问题中，分式方程可以用来表示不同成分的比例关系。

例如，需要制作一种含有30%酒精的溶液，已知有20毫升含有50%酒精的溶液和30毫升的纯水，还需要加入多少毫升的纯酒精？设纯酒精的体积为$x$毫升，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{20+30+x} = \frac{0.3}{1}$通过解这个分式方程，可以得到$x=15$，即需要加入15毫升的纯酒精。

分式方程及其应用课件

密度与质量的关系
总结词
通过已知密度和质量，求体积
详细描述
密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。已知密度和质量，就可以求出体积。例如，已知水的密度是1克/立方厘米，质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
效率与成本的关系
总结词
通过已知效率和成本，求产量或收益
示例
例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3 是分母。
分式方程的分类
简单分式方程
只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程
包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的解法
1 2
转化法
将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到未知数的值。
图像法
画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切线求解未知数。
运动学问题
在物理学中，分式方程也经常用来解决运动学问题，例如计算物体的速度和加速度。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，分式方程可以用来描述化学反应的速率，以及反应物和生成物之间的比例关系。
溶液浓度问题
在化学中，分式方程也经常用来解决溶液的浓度问题，例如计算溶液的渗透压等。
在工程中的应用
例子
解分式方程 $x+1\div x-1=3$，通过建立方程 $(x+1)(x1)=3$，解决了问题。
分类讨论思想
分类讨论思想
对于一些未知数的取值范围不明确的问题，需要分类讨论。
例子
解分式方程 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x}=1$，需要考虑 x 的取值范围，当 x<0 时，方程无解；当 0<x<1 时，方程的解为 x=3-2\sqrt{2}；当 x>1 时，方程的解为 x=3+2\sqrt{2}。

课时11 分式方程及其应用

人教版八年级上数学第15章分式第11课时 分式方程的应用(2)

分式方程的解法与应用

11讲：分式方程及其应用

分式方程及应用

分式方程的应用

分式方程及其应用课件

分式方程的应用

人教版-数学-八年级上册- 15.3.3分式方程的应用(第11课时) 教学案

分式方程及其应用讲义

分式方程的实际应用

分式方程的应用

分式方程及其应用教案

11.分式方程及其应用

分式方程的应用

分式方程及其应用

分式方程的应用

课时11.分式方程及其应用

分式方程的应用与实际解题

分式方程及其应用课件

人教版八年级上数学第15章分式第11课时分式方程的应用(2)