九年级数学22.2一元二次方程的解法导学案华东师大版

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华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的的解法拓展导学案

2121222=-+-x x x x 0624=--x x 06)1(5)1(2=+---x x x x 华东师大版九年级上册导学案§22.2一元二次方程的解法拓展【课前预习学案】★(一)温故知新：1、若一元二次方程通过适当变形为(x -m )2=n (n ≥0)，可用法求解较为简便；方程通过适当变形为(x +a )(x +b )=0，可用法求解；对任意一个一元二次方程如果有解，都可以用法和法。

2、掌握好了上述方法的同学，请按要求解下列方程：(有一定的难度哦，相信你能行的!)（用因式分解法）（用公式法）（用配方法）（用开平方法）；；； .0154)53(2)4( 2312)3( 03161)2( )0(0)1(2222=++--==-+≠=-x x p p y y m n mx★(二)自我探究：1、上述几种方法是解一元二次方程的基本方法，但对于一些特殊的一元二次方程或更高次数的一元方程，这些方法就有一定的局限了。

我们一起来看看一种新的解方程的方法：解一元二次方程：(3x +5)2- 9(3x +5)+20=0分析：若用常规思路，即整理成一般形式，再选用适当方法求解；还可以将(3x +5)看作一个整体，进行“换元”，从而达到降次的目的，将原方程转化为一元一次方程求解。

解：设3x +5= y ，则原方程化为y 2- 9y +20=0，解得y 1=4，y 2=5.当y =4时，即3x +5=4，解得x =31-；当y =5时，即3x +5=5，解得x =0. ∴原方程的解为x 1=31-，x 2=0. 模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：(1) (x +2)2-13(x +2)+36=0 (2) (x 2-x )2-7(x 2-x )-8=02、换元法不只是在解这种特殊的一元二次方程时可用，它真正的威力在解某些高次方程或分式方程时才会显现出来，以下面三个题为例：解方程：(1) (2) (3) 解：(1),65,12+-=-y y y x x 则原方程化为设.3,221==y y 解得；解得时，即当2,212==-=x x x y 5.1,313==-=x x x y 解得时，即当 .5.1221是原方程的解，经检验，==x x6151=+++x x x x 0241124=+-y y 0324)12(22=----xx x x 06,)2(22=--=m m m x 则原方程化为设,.2,321-==m m 解得；，解得时，即当3332±===x x m .,222此时方程无解时，即当-=-=x m.3321-==∴x x ，原方程的解为 (3),21,122=+=-y y y x x 则原方程化为令,112,1,01222=-==+-x x y y y 即解得去分母得 .10122==+-x x x ，解得去分母整理得.1是原方程的解经检验，=x模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：(1) (2) (3)【课后练习题案】一、填空：1、若一元二次方程x 2-4x -5=0的一根是直角三角形斜边上中线的长，则该直角三角形两直角边长平方的和是 .2、. )252(63301322的值为，则一元二次方程--+÷--=-+x x x x x x x 3、. ,0212的值为则若分式a a a a =--- 二、用换元法解下列方程：(1)(3x -1)2+1-3x=6 (2)04)1(3122=++-+x x x x (3)22322=+-+x x x x (4)0)5)(2(22=--x x三、.,4)1(22222的值求已知y x y x +=++四、已知m 是方程x 2-2020x +1=0的一个根，求m 2-2019m +120202+m 的值。

华东师大版九年级数学上册22.2.2配方法解一元二次方程教案

华东师大版九年级上配方法解一元二次方程教案教学目标1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法求代数式的最值，进一步解决有关实际问题．教学重难点【教学重点】配方的概念，运用配方法解一元二次方程.【教学难点】用配方法求代数式的最值，进一步解决有关实际问题．课前准备无教学过程一、课堂复习选择合理的方法解下列方程(试题略)二、情境导入老师让学生解一元二次方程x2－6x+9＝0，同学们都很快完成，老师又要求学生解x2－6x—4＝0，学生们都束手无策，学习委员考虑了一下，在方程两边同时加上13，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法根据完全平方公式填空（略）总结：配方就是配完全平方，配一次项系数绝对值一半的平方【类型一】配方例1、用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)二次项系数为1，将常数项移到等号的右边，注意移项一定要变号(2)等式两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方(3)再用直接开平方法求解学生练习用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.老师解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需的形式．【类型二】用配方法解方程例2、解方程 3X+2X-1=0总结配方法解一元二次方程的步骤：1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)2、把常数项移到方程右边3、在方程的两边各加上一次项系数的绝对值一半的平方，使左边成为完全平方4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根【类型三】用配方法解决求值问题已知：x＋4x＋y－6y＋13＝0，求 X2+3Y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝（-2）2+3×32=4+27=31【类型四】用配方解决证明问题用配方法证明2x－4x＋7的值恒大于零；证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．总结：1、非负数+正数恒大于零2、非正数+负数恒小于零三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方．因此需熟练掌握完全平方式的形式.强调二次项系数为“1”配一次项系数绝对值一半的平方。

华师大版-数学-九年级上册-22.2 一元二次方程的解法导学案

22.2 一元二次方程的解法学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。

导学流程：修改批注复习导入：如果 x2=a(a≥0) ，则 x就叫做a的，x=如果 x2=64,则x=把下列各式分解因式：（1）x2-3x(2)x2+4/3x+4/9 (3)2χ2－χ－3自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ____________＝0，必有x－1＝0，或______＝0,得x1＝___，x2＝_____.精讲点拨对于方程(1),可以这样想:∵χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ).即: χ=±2∴χ=4这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。

∴方程χ2=4的两个根为χ1=2，χ2=－2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

巩固练习：利用直接开平方法解下列方程:)()13(2=+x4-x0-25x0)1(2=)2(2=9004） 12（2－χ）2－9=0精讲点拨：对于方程（2）χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。

巩固练习：利用因式分解法解下列方程:χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25；（2χ+3）2－25=0.小结：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法根的判别式》公开课教案_3

一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。

教学过程：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。

那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？二、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成）三、运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。

3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。

22.2一元二次方程的解法--配方法教案-华东师大版九年级数学上册

班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型运算课课时 1 主备主讲课题一元二次方程的解法——配方法教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心二、教学过程知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132=+x（2.问题导入：学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？自主探究（一）探究配方所需的常数1.回顾: 完全平方公式：2)ba±（= ，说出公式的特点2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式试一试：2x＋6x＋（）= x（）22x- 5x＋（） = x（）22x＋8x＋（） = x（）23、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？常数项为一次项系数一半的平方（二）用配方法解一元二次方程1、尝试解一元二次方程375102=+xx2.解下列方程。

(1)016-62=+xx（2）024-2=+xx课堂小结配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成()2mx n p+=的形式，用直接开平法求解。

【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第3课时教案+导学案

22.2一元二次方程的解法第三课时配方法教学目标：知识技能目标1.正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0(p2-4q≥0)的方程变形为(x＋m)2＝n(n≥0)类型；2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的数字系数的一元二次方程；3.培养学生准确、快速的计算能力以及观察、比较、分析问题的能力；过程性目标1.让学生经历配方法的推导形成过程，并能够熟练地运用配方法求解一元二次方程；2.让学生探索用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)数字系数的一元二次方程，并与形如x2＋px＋q＝0的方程进行比较，感悟配方法的本质．情感态度目标通过本节课，继续渗透由未知向已知转化的思想方法，配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．重点和难点重点：掌握用配方法解一元二次方程；难点：把一元二次方程化为(x＋m)2＝n的形式．教学过程一、创设情境问题：怎样解下列方程：(1)x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0．二、探究归纳思考能否经过适当变形，将它们转化为(x－m)2＝n(n≥0)的形式，应用直接开平方法求解？分析对照公式：a2±2ab+b2＝(a+b)2，对于x2＋ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方，即可得到22222⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++axaaxx完成转化工作．解(1)原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1．即(x＋1)2＝6．两边开平方，得x＋1＝±6．所以x1＝6－1，x2＝－6－1．(2)原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4 即(x－2)2＝1．两边开平方，得x－2＝±1．所以x 1＝3， x 2＝1．归纳上面，我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．这样，就能应用直接开平方的方法求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．运用配方法解一元二次方程的步骤：第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；第二步是配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，进行这一步的依据是等式的基本性质和完全平方公式a 2±2ab +b 2＝(a +b )2；第三步是用直接开平方法求解．三、实践应用例1 用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －7＝0；(2)x 2＋3x ＋1＝0．解 (1)移项，得x 2－6x ＝7 ……第一步方程左边配方，得x 2－2∙x ∙3＋32＝7＋32……第二步即 (x －3)2＝16．所以x －3＝±4．原方程的解是x 1＝7， x 2＝-1．(2)移项，得x 2＋3x ＝－1．方程左边配方，得x 2＋2∙x ∙23＋(23)2＝－1＋(23)2，即(x ＋23)2＝45．所以x ＋23＝±25．原方程的解是x 1＝－23＋25，x 2＝－23－25．试一试用配方法解方程：x 2＋px ＋q ＝0(p 2-4q ≥0)解移项，得x 2＋px ＝－q ，方程左边配方，得2222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+p q p p x x 即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 当p 2-4q ≥0时，得2422q p p x -±=+ 原方程的解是24242221q p p ，x q p p x ---=-+-=例2 如何用配方法解方程：2x 2＋3＝5x ．分析这个方程化成一般形式后，二次项的系数不是1，而上面的几个方程二次项的系数都是1，只要将这个方程的二次项系数化为1，就变为上面的问题．因此只要在方程的两边都有除以二次项的系数2就可以了．解移项，得：2x 2－5x ＋3＝0，把方程的各项都除以2，得023252=+-x x ，配方，得22245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，即161452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，所以4145±=-x ，原方程的解是12321==x x ，．说明例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对形如一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法求解的步骤是：第一步：化二次项系数为1；第二步：移项；第三步：配方；第四步：用直接开平方法求解．思考怎样解方程9x 2－6x ＋1＝0比较简单？解法(1) 化二次项的系数为1，得091962=+-x x ，移项，得91962-=-x x ，配方，得22231913196⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，所以，0312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．原方程的解是3121==x x ．解法(2) 原方程可整理为(3x －1)2＝0．原方程的解是3121==x x ．比较上面两种方法，让学生体会配方法是通用方法，但有时用起来麻烦；解法(2)是据方程的特点所采用的特殊的方法，较解法(1)简捷，明快．所以学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，可根据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养灵活运用能力．四、交流反思．1.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，其步骤如下：(1)把二次项系数化为1；(2)移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项；(3)配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的又一种方法．2.对于二次项的系数不是1的一元二次方程，通常在方程的两边都除以二次项的系数，转化为二次项系数为1的方程，从而用配方法求解；3.通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想是学习数学常用策略；配方法是一种重要的方法，在后面的学习中经常会用到．五、检测反馈1.填空：(1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2；(2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2；(3)x 2＋23x ＋( )＝(x ＋ )2； (4) 4x 2－6x ＋( )＝4(x － )2＝(2x － )2．2.用配方法解方程：(1)x 2＋8x －2＝0； (2)x 2－5x －6＝0；(3)4x 2－12x －1＝0； (4)3x 2＋2x －3＝0．六、布置作业习题22．2的4(1)\(2)\(3)\(4). 22.２一元二次方程的解法第三课时配方法【学习目标】1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法教案华东师大版(2021-2022学年)

22.2 一元二次方程的解法22．2。

1 直接开平方法和因式分解法第１课时直接开平方法【知识与技能】1．理解一元二次方程降次的转化思想．2.会用直接开平方法解形如（x＋b)2=n(n≥0）的一元二次方程．【过程与方法】１.会用直接开平方法解简单的一元二次方程．2.会根据平方根的意义解缺一次项的一元二次方程aｘ2＋c＝0，然后迁移到解a(x＋f）２+c＝0型的一元二次方程.【情感态度】1．通过探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯.2.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．【教学重点】运用开平方法解形如(x＋ｍ)2＝ｎ（n≥0）的方程;领会解一元二次方程的基本思想——通过降次转化为一元一次方程求解．【教学难点】通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(ｘ+m）２=n(n≥0）的方程.一、创设情境,导入新知１．叙述平方根的定义.2.求适合ｘ2＝4的ｘ的值．说明：学生不难得出本题的解x=2或x＝－2。

教师可引导学生观察这个方程的特点,探索解这个方程与已学知识（第11章“数的开方”中的平方根）的联系.在求出方程x２＝4的解以后，教师总结：解这样的方程就是“要求一个数，使它的平方等于4”，即求4的平方根，可用直接开平方的方法．从而引出新课——直接开平方法解一元二次方程．二、合作探究，理解新知问题１：怎样解形如ｘ２=b的方程?教师用上面的例子说明这类一元二次方程的解法,当b≥0时,方程解为x=±错误!未定义书签。

.问题２:怎样解方程ａx2+c=０(ａ≠0）?（1）教师可用①ｘ２－2=0；②2x２－8＝0；③２x２+8=0等方程为例,由学生把它们变形为ｘ２＝-错误!的形式，再用平方根的定义来求解，并指出方程③的解不存在.在此基础上给出直接开平方法的定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法．(2)引导学生归纳方程ax2+ｃ=0(a≠０)的解法:当a、c异号时，方程ax2+c=0的根为ｘ＝±错误!未定义书签。

2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第5课时教案(表格式)+导学案

22.2一元二次方程的解法第五课时一元二次方程的根与系数的关系教学任务分析教学过程学们展示自己的证明。

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．6、总结归纳：如果方程)0(02≠=++acbxax的根是x1和x2，那么21xx+= ；21xx=三、例题学习：1、例(教材P34例8)2、已知方程022=--cxx的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。

3、已知方程0652=--xx的根是x1和x2，求下列式子的值：（1）2221xx+ +21xx（2）1221xxxx+交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。

牢牢把握一元二次方程根与系数的关系四、课堂练习：1教材P35练习学生板演，教师点评。

通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。

五、布置作业1、教材P36习题22.2第10，11题六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。

22.2一元二次方程的解法第五课时一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：a b x x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 重点、难点重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；【课前预习】阅读教材P40 — 42 ，完成课前预习 1、知识准备( 1 ) 一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格①用语言叙述你发现的规律；②x 2+px +q =0的两根1x ，2x 用式子表示你发现的规律。

探究2：完成下列表格请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax 2+bx +c =0的两根1x ，2x 用式子表示你发现的规律。

九年级数学华东师大版上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计

1.提问方式导入：首先，我会向学生提出以下问题：“我们已经学习过一元二次方程的几种解法，那么当这些方法无法直接应用时，我们应该如何求解呢？今天我们将学习一种新的解法——公式法。”
2.实例导入：通过展示一个实际例题，如“一个长方体的长、宽、高分别为x、x+2、x-2，且其体积为54，求长方体的长、宽、高。”引导学生用之前学过的方法求解，进而引出一元二次方程的公式解法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学问题的积极态度，使学生认识到数学在现实生活中的广泛应用和实际意义。
2.通过一元二次方程的解法学习，让学生感受到数学的内在美，激发学生对数学学科的兴趣和爱好。
3.引导学生在解决一元二次方程过程中，学会面对困难，保持耐心和毅力，培养学生克服困难、勇于探索的精神。
1.针对学生对公式法的不熟悉，教师应耐心引导学生通过具体例题，逐步掌握公式法的解题步骤，提高学生的实际应用能力。
2.注重培养学生的运算能力，特别是涉及根号、分数等运算的熟练程度，以提高解题速度和准确率。
3.针对不同学生的学习特点，设计有针对性的教学活动，充分调动，鼓励他们面对困难时保持积极的心态，培养克服困难的勇气和毅力。
九年级数学华东师大版上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握一元二次方程的标准形式，即ax^2+bx+c=0（a≠0），理解其中a、b、c分别代表什么含义。
2.引导学生通过配方法推导出一元二次方程的求根公式：x1,2=（-b±√(b^2-4ac)）/2a，并能够熟练运用公式解一元二次方程。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，给予积极评价，指出其中的优点和不足，并进行总结。
（四）课堂练习

华东师大版九年级数学上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计

3.学会判断一元二次方程的解的性质，包括：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根；
4.能够运用公式法求解实际问题中涉及的一元二次方程，并解决相关问题。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过自主探究、合作交流、问题解决等方式，培养以下能力：
1.自主探究：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现一元二次方程的解法——公式法的规律；
1.基础练习题：完成课本P118页第1、2、3题，巩固求根公式的应用。
2.提高练习题：完成课本P119页第4、5题，进一步掌握一元二次方程解的性质及求解方法。
3.实际应用题：根据以下情境，列出一元二次方程并求解。
（1）某学生参加篮球比赛，比赛开始时，他距离篮筐3米。在比赛过程中，他向前跳起，跳跃高度为0.5米。求他距离篮筐的最短距离。
（3）在实际应用中，如何判断一元二次方程的解是否符合题意？
5.课后反思：请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中遇到的困难和收获，并对学习方法进行反思，以提高学习效率。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
3.遇到问题时，积极思考，可向同学或老师请教。
4.课后反思要真实、具体，以便找到适合自己的学习方法。
（2）某商品的成本为1000元，售价为x元。根据市场调查，每提高10元售价，销量增加5件。已知该商品销售总收入与成本相等时，求售价x。
4.探究性问题：小组合作，探讨以下问题，并在下节课上分享讨论成果。
（1）为什么一元二次方程的求根公式中要加上“±”？
（2）当判别式Δ=b²-4ac=0时，方程的解具有什么特点？
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考过程和合作交流情况，了解学生对知识的掌握程度；

最新华东师大版初中数学九年级上册精品教案22.2 一元二次方程的解法

22.2一元二次方程的解法1. 直接开平方法和因式分解法知识与技能：1.会用直接开平方法解形如a（x-k）2=b（a≠0，ab≥0）的方程.2. 灵活运用因式分解法解一元二次方程.3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.过程与方法：创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.情感态度：鼓励学生积极主动地参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.教学重难点：重点：利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程（x+1）2=256？解：（方法1）直接开平方，得x+1=±16.所以原方程的解为x1=15，x2=-17.（方法2）原方程可变形为（x+1）2-256=0.方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0，即（x+17）（x-15）=0.所以x+17=0或x-15=0.所以原方程的解为x1=15，x2=-17.【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程：（1）（3x+1）2=7；（2）y2+2y+1=24；（3）9n2-24n+16=11.解：（1）直接开平方，得3x+1=±7.所以原方程的解为x=317-±. （2）原方程可变形为（y+1）2=24. 直接开平方，得y+1=±62.所以原方程的解为x=-1±62.（3）原方程可变形为（n -34）2=911. 直接开平方，得n -34=±311.所以原方程的解为x =3114 . 【教学说明】运用开平方法解形如（x +m ）2=n （n ≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2-4x =0；（2）3x （2x +1）=4x +2；（3）（x +5）2=3x +15. 解：（1）方程左边分解因式，得x （5x -4）=0. 所以x =0或5x -4=0. 所以原方程的解为x 1=0，x 2=54. （2）原方程可变形为6x 2-x -2=0. 方程左边分解因式，得6（x -32）（x +21）=0.所以x -32=0或x +21=0.所以原方程的解为x 1=32，x 2=-21.（3）原方程可变形为x 2+7x +10=0. 方程左边分解因式，得（x +2）（x +5）=0. 所以x +2=0或x +5=0.所以原方程的解为x 1=-5，x 2=-2.【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体化归的思想. 三、运用新知，深化理解 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）3（x -1）2-6=0；（2）x 2-4x +4=5；（3）（x +5）2=25；（4）x 2+2x +1=4. 解：（1）x 1=1+2，x 2=1-2. （2）x 1=2+5，x 2=2-5.（3）x 1=0，x 2=-10. （4）x 1=1，x 2=-3.2. 用因式分解法解下列方程：（1）x 2+x =0；（2）x 2-23x =0；（3）3x 2-6x =-3；（4）4x 2-121=0；（5）（x -4）2=（5-2x ）2.解：（1）x 1=0，x 2=-1. （2）x 1=0，x 2=23.（3）x 1=x 2=1. （4）x 1=211，x 2=-211. （5）x 1=1，x 2=3.3. 把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程为2πx 2=π（x +5）2. 解得x 1=5+52，x 2=5-52（舍去）. 答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评. 四、师生互动，课堂小结1. 引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2. 对于形如a （x -k ）2=b （a ≠0，b ≥0）的方程，只要把（x -k ）看作一个整体，就可将其转化为x 2=n （n ≥0）的形式用直接开平方法解.3. 当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解. 五、教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体化归的思想.2. 配方法知识与技能：1. 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2. 在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能. 过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法. 情感态度：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣. 教学重难点：重点：使学生掌握用配方法解一元二次方程.难点：发现并理解配方的方法. 一、情境导入，初步认识问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m ，则长为（x +6）m. 根据矩形的面积为16 m 2，得到方程为x （x + 6）=16. 整理，得x 2+6x -16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究：如何解方程x 2+6x -16=0？问题1：通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明. 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x +m ）2=n （n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x +3）2=25；（2）x 2+6x +9=25；（3）x 2+6x =16；（4）x 2+6x -16=0.【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x -16=0转化为（x +3）2=25的形式，从而求得方程的解. 解：（1）移项，得x 2+6x =16. 两边都加上9，即（26）2，使左边配成x 2+bx +b 2的形式，得x 2+6x +9=16+9，左边写成完全平方形式，得（x +3）2=25. 开平方，得x +3=±5，（降次）即x +3=5或x +3=-5.解一次方程，得x 1=2，x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 例1 填空：（1）x 2+8x + 16 =（x + 4）2；（2）x 2-x +41=（x -21）2；（3）4x 2+4x +1=（2x +1）2.例2 解方程：（1）x 2+6x +5=0；（2）2x 2+6x +2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 解：（1）x 1=-1，x 2=-5. （2）x 1=-2325-，x 2=2325-. （3）x 1=5-2，x 2=-5-2.【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，利用直接开平方法来解. 三、运用新知，深化理解 1. 用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x -8=0；（2）x 2-4x +2=0；（3）x 2-21x -1=0. 2. 如果x 2-4x +y 2+6y +2 z +13=0，求（xy ）z的值. 【答案】1. 解：（1）x 1=1+5，x 2=1-5. （2）x 1=-2+2，x 2=2+2. （3）x 1=41+417，x 2=41-417. 2. 解：由题意知，x =2，y =-3，z =-2. 所以（xy ）z=（-6）-2=361. 【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路. 四、师生互动，课堂小结1. 用配方法解一元二次方程的步骤.2. 用配方法解一元二次方程的注意事项. 五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.3. 公式法知识与技能：1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2. 会熟练运用公式法解一元二次方程. 过程与方法：通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.情感态度：经历探索求根公式的过程，培养学生的抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点. 教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的运用. 难点：一元二次方程求根公式的推导. 一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x 2+3x +2=0；（2）2x 2-3x +5=0. 解：（1）x 1=-1，x 2=-2.（2）无解. 二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2+bx +c =0（a ≠0），试推导它的两个根：x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---.【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成具体的数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此，（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x =aac b b 242-±-就得到方程的根，当b 2-4ac <0时，方程没有实数根.（2）x =aac b b 242-±-叫作一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示. 例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x -1=0； ②5x +2=3x 2； ③（x -2）（3x -5）=0； ④4x 2-3x +1=0. 解：①x 1=1+26，x 2=1-26.②x 1=2，x 2=-31.③x 1=2，x 2=35.④无解.【教学说明】（1）②，③要先化成一般形式；（2）强调确定a ，b ，c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式. 三、运用新知，深化理解用公式法解下列方程：（1）x 2+x -12=0；（2）x 2-2x -41=0；（3）x 2+4x +8=2x +11；（4）x （x -4）=2-8x ；（5）x 2+2x =0；（6）x 2+25x +10=0. 解：（1）x 1=3，x 2=-4. （2）x 1=232+，x 2=232-. （3）x 1=1，x 2=-3.（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6. （5）x 1=0，x 2=-2. （6）无解.【教学说明】用公式法解方程的关键是要先将方程化为一般形式再求解. 四、师生互动，课堂小结 1. 求根公式的概念及其推导过程. 2. 公式法的概念.3. 运用公式法解一元二次方程. 五、教学反思在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式知识与技能：1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证.2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 过程与方法：1. 经历一元二次方程根的判别式的产生过程.2. 向学生渗透分类讨论的数学思想.3. 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 情感态度：1. 体验数学的简洁美.2. 培养学生的探索、创新精神和协作精神. 教学重难点：重点：根的判别式的正确理解与运用.难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用. 一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程：（1）x 2+5x +6=0；（2）9x 2-6x +1=0；（3）x 2-2x +3=0. 解：（1）x 1=-2，x 2=-3. （2）x 1=x 2=31.（3）无解.【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识. 二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a ，b ，c 的值，再求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫作一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac .我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：（x +a b 2）2=a acb 2244-.【归纳结论】（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x 1=aacb b 242-+-，x 2=aacb b 242---；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x 1=x 2=-ab2；（3）当Δ<0时，方程没有实数根.例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况：（1））2x 2-3x -23=0；（2）16x 2-24x +9=0；（3）x 2-42x +9=0；（4）3x 2+10x =2x 2+8x . 解：（1）有两个不相等的实数根. （2）有两个相等的实数根. （3）无实数根.（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m +1）x 2-（2m -3）x +m +1=0. （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根. 解：（1）m <41且m ≠-1.（2）m =41. （3）m >41. 【教学说明】注意（1）中的m +1≠0这一条件. 三、运用新知，深化理解1. 方程x 2-4x +4=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根2. 已知x 2+2x =m -1没有实数根，求证：x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【答案】 1. B2. 证明：∵x 2+2x =m -1没有实数根， ∴4-4（1-m ）<0，解得m <0.将方程x 2+mx =1-2m 化为x 2+mx +2m -1=0，∴Δ=m 2-8m +4. ∵m <0，∴Δ>0，∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动，课堂小结1. 用判别式判定一元二次方程根的情况：（1）当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根. （3）当Δ<0时，一元二次方程无实数根.2. 运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件. 【教学说明】可让学生先分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述. 五、教学反思本节课创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时的点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.5. 一元二次方程的根与系数的关系知识与技能：1. 引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2. 通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程. 过程与方法：通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神. 情感态度：在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯. 教学重难点：重点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 难点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 一、情境导入，初步认识 1. 完成下列表格：问题：你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项） ②设方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ） 2. 完成下列表格：问题：上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：①用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac）二、思考探究，获取新知通过以上的活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1=a acb b 242-+-，x 2=a ac b b 242---，则x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac.【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-6x -15=0；（2）3x 2+7x -9=0；（3）5x -1=4x 2.解：（1）x 1+x 2=6，x 1x 2=-15.（2）x 1+x 2=-37，x 1x 2=-3. （3）x 1+x 2=45，x 1x 2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，再找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k =3. 【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将x =-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α，β是方程x 2-3x -5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.（1）βα11+；（2）βα22+；（3）βα-. 解：（1）βα11+=-53. （2）βα22+=19.（3）βα-=29或βα-=-29.三、运用新知，深化理解1. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-3x =15；（2）5x 2-1=4x 2；（3）x 2-3x +2=10；（4）4x 2-144=0；（5）3x （x -1）=2（x -1）；（6）（2x -1）2=（3-x ）2.2. 两根均为负数的一元二次方程是（）A. 7x 2-12x +5=0B. 6x 2-13x -5=0C. 4x 2+21x +5=0D. x 2+15x -8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1. 解：（1）x 1+x 2=3，x 1x 2=-15.（2）x 1+x 2=0，x 1x 2=-1.（3）x 1+x 2=3，x 1x 2=-8.（4）x 1+x 2=0，x 1x 2=-36.（5）x 1+x 2=35，x 1x 2=32. （6）x 1+x 2=-32，x 1x 2=-38. 2. C 【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1. 一元二次方程的根与系数的关系.2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.。

2019版九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法导学案(新版)华东师大版

2019版九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法导学
案（新版）华东师大版
学习内容
一元二次方程的解法（4）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
学习重点
选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
学习难点
理解四种解法的区别与联系。
导学过程
复备栏
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）
（3）x2＋(＋1)x＝0；（4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝；（6）x（x＋8）＝16；
3、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
【拓展延伸】
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2的值是（）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
（1）12y2－25＝0；（你用_____________法）
（2）x2－2x＝0；（你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0；（你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1；（你用_____________法）
【温故互查】
1.我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
2.请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
【设问导读】
【自学检测】
1.分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法：用配方法：
用公式法：用因式分解法：

华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法3.公式法导学案

§22.2.2 一元二次方程的解法(三)【课前预习学案/参考课本P28-30】★(一)温故知新：1、用配方法解下列一元二次方程：(1)x2+10=15x (2)3y2-12y+1=0(1)解：移项，得= (2)解：移项，得=配方，得= 二次项系数化为1，得=即( )2 = 配方，得=直接开平方，得= ±即( )2 =∴x1= ，x2= . 直接开平方，得= ±∴y1= ，y2= .2、通过对直接开平方法、因式分解法、配方法这三种方法的探讨，我们可发现：形如(x+a)2=b 的用法；能变形成a·b=0的用法；上述两种方法都不行的，用法变形成可用直接开平方法的形式再求解。

前面两种方法更简便，但很多方程用这两种方法都无法迅速求解，目前只能求助于配方法，而配方法的缺点是计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？★(二)自我探究：1、先试试能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解：移项，得=二次项系数化为1，得=两边都加上，得=即( )2 =直接开平方，得= ±∴x1= ，x2= .注意：在用配方法求解过程中，有一个条件很关键，即≥0.只有满足了该条件才能继续用直接开平方法求解。

2、从上面这个题的求解过程，可得出结论：当b2-4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为a acbbx24 2-±-=，即x1= ，x2= .这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

2、试试用公式法解方程：(1)2x2- x-2=0(2)3y2 +3y+1=31-6y(1)解：∵a=，b=，c=，(2)解：移项整理，得= 0b2- 4ac== ∵a=，b=，c=，∴x== b2- 4ac==即x1= ，x2= . ∴x==即x1= ，x2= .3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为形式；(2)确定、、的值；(3)计算代数式的值；(4)当≥0时，把a、b、c的值代入求根公式求解。

【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第2课时教案+导学案

22.2一元二次方程的解法第二课时直接开平方法和因式分解法（2）教学目标：知识技能目标1.通过对形如(ax +b )2＝c （其中a 、b 、c 是常数且c ≥0）的一元二次方程解法的探讨，让学生进一步熟悉直接开平方法；2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程；过程性目标1.体会运用直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程；2.进一步了解，解一元二次方程的方法虽然有所不同，但结果是一样的；3.经历各种类型的一元二次方程，灵活选取适当的方法解一元二次方程．情感态度目标1.通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神；2.让学生在实际解题中进一步体会转化的思想．重点和难点：合理选择直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程.教学过程：一、创设情境问题如何解下列方程：(1) (x +1)2-4＝0；(2)12(2-x )2-9＝0．对于这两个方程，你想到了哪些求解方法？你能从上一课学习的内容中得到一些启发吗？二、探究归纳分析对于(1)，如果退一步解x 2－4＝0，同学们都能想到运用直接开平方法求解；那么将这里的x 换成x ＋1，不是同样的思考方法吗？实际上，这两个方程都可以化成( )2=a 的形式．解 (1)原方程可以变形为(x +1)2＝4，直接开平方，得 x ＋1＝±2，即x ＋1＝2或 x ＋1＝－2．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝-3．(2)原方程可以变形为()4322=-x ，直接开平方，得232±=-x ，即232=-x 或232-=-x ．所以原方程的解是232,23221+=-=x x ．思考你对上面两个方程还有其他解法吗？三、实践应用例1 用因式分解法解方程：(1)(x +1)2-4＝0；(2)12(2-x ) 2-9＝0．分析对(1)左边容易分解为(x ＋1＋2)(x ＋1－2)；而对(2)左边应分解为()()3243243--+-x x .（为什么？）解 (1)原方程左边分解因式，得(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝0.所以x ＋3＝0，或x －1＝0．原方程的解是x 1＝1，x 2＝－3．(2)方程左边分解因式，得3(4－2x ＋3)(4－2x －3)＝0．所以4－2x ＋3＝0，4－2x －3＝0．原方程的解是2321-=x ，2322+=x ．例2 用适当的方法解方程(1)5(3x ＋1)2＝20；(2) 4(x -1)2-(x +2)2＝0．分析 (1)变形为(3x ＋1)2＝4时，用直接开平方法来解简单；(2)把左边分解因式成[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]，再进一步化成两个一元一次方程求解．解 (1)原方程可以变形为(3x ＋1)2＝4．直接开平方，得3x ＋1＝±2，即3x ＋1＝2或 3x ＋1＝－2．所以原方程的解是1,3121-==x x ． (2)原方程左边分解因式，得[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]＝0．整理为3x (x －4)＝0．所以3x ＝0，或x －4＝0．原方程的解是x 1＝0，x 2＝4．例3 小张和小林一起解方程x (3x +2)-6(3x +2)＝0．小张将方程左边分解因式，得(3x +2)(x -6)＝0所以3x ＋2＝0，或x －6＝0，方程的两个解为6,3221=-=x x ．小林的解法是这样的：移项得x (3x +2)＝6(3x +2)，方程两边都除以3x ＋2，得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个解32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？为什么？分析小林的解法中有一步“方程两边都除以3x ＋2”是错误的，根据等式的性质，在方程两边只能乘以或除以同一个不等于零的数，等式才成立，现在小林在方程两边都除以3x ＋2，就会丢失一个解．因此，在解一元二次方程时，不可以在方程两边都除以一个含有未知数的代数式．四、交流反思1.若方程是( )2＝a 的形式，用直接开平方法求解简单；有时方程经过变形后可以得到形如( )2＝a 的形式，也适合用直接开平方法；2.所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x 2＋5x ＋6＝0，因式分解后(x ＋2)(x ＋3)＝0，得x ＋2＝0或x ＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单；3.因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1)化方程为一般形式；(2)将方程左边因式分解；(3)至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．4.运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．两种方法的选择，要具体情况具体分析．五、检测反馈1.解下列方程：(1)(x ＋2)2－16＝0； (2)(x －1)2－18＝0；(3)(1－3x )2＝1； (4)(2x ＋3)2－25＝0．2.用适当的方法解下列方程：(1) 3(x -5)2＝2(5-x )； (2) x 2-x -6＝0；(3) (x -1)2＝(2x +3) 2； (4)2(3x -1)2＝16．3.当x 为何值时，代数式3x 2-2x +1的值与2x +1的值相等．六、布置作业习题22．2的2，3. 22.２一元二次方程的解法第二课时直接开平方法和因式分解法（2）【学习目标】1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。

华东师大版九年级数学上册导学案：22.2.1一元二次方程的解法—直接开方法因式分解法

九年级数学导学稿课题：一元二次方程的直接开方法和因式分解法共 4课时，第 1 课时。

主备人：一、学习目标：1、会用直接开平方法解形如（a ≠0,ab ≥0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元方法。

二、教学过程：（一）1、自己认真看课本第20页到第22页例题、结合课本提示，独立思考直接开平方法和因式分解法解方程的方法。

2、自主练习解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0；（3）( x-2)2 — x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2（二）自学检测（8分钟）（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）49122=+-x x 。

4、教师点拨（1分钟）1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：b x =2（b ≥0）；b ax =2（a ≠0,a b ≥0）。

解法的根据是平方根的定义。

要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。

2、把一元二次方程化为一般形式后，如方程左边可因式分解，则此一元二次方程可用因式分解法解。

当堂检测一、选择1．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±82．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确3．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b4．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 二、解答题 (用适当方法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)1．2y 2=8．2．.25)1(412=+x3．3x (x －2)=2(x －2)．4．.32x x =*5．x 2－3x －28=0．6．(2x ＋1)2=(x －1)2．。