2015-2016学年高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A版选修2-2

2015-2016学年高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a >b >0，那么a 2>b 2”时，假设的内容应是( )A ．a 2＝b 2B ．a 2<b 2C ．a 2≤b 2D ．a 2<b 2，且a 2＝b 2[答案] C2．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( ) A ．0 B ．13 C ．12 D ．1[答案] B[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾．3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数 [答案] B[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”． 4．实数a 、b 、c 不全为0等价于( ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至多有一个为0 C ．a 、b 、c 中至少有一个为0 D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0 [答案] D[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”． [点评] 要与“a 、b 、c 全不为0”加以区别，“a 、b 、c 全不为0”是指a 、b 、c 中没有一个为0，其否定应为“a 、b 、c 中至少有一个为0”．5．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 [答案] C[解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a)＋(b ＋1b)＋(c ＋1c)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n＋bm ＋n>a n b m ＋a m b n”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D [解析] am ＋n＋bm ＋n－a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a m>b ma n >b n 或⎩⎪⎨⎪⎧a m <bma n <b n，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m ，am ＋n＋bm ＋n>a m b n＋b m a n⇒/ a >b .二、填空题7．“x ＝0且y ＝0”的否定形式为________________． [答案] x ≠0或y ≠0[解析] “p 且q ”的否定形式为“¬p 或¬q ”．8．和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________________． [答案] 异面[解析] 假设AC 与BD 共面于平面 α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是______________．[答案] ①[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2013·泰州二中高二期中)已知n≥0，试用分析法证明：n＋2－n＋1<n＋1－n.[证明] 要证上式成立，需证n＋2＋n<2n＋1，需证(n＋2＋n)2<(2 n＋1 )2，需证n2＋2n<n＋1，需证(n＋1)2>n2＋2n，需证n2＋2n＋1>n2＋2n，只需证1>0，因为1>0显然成立，所以原命题成立．一、选择题11．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R 同时大于零的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] C[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.12．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.13．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中，( )A ．不能同时大于14B ．都大于14C ．至少一个大于14D ．至多有一个大于14[答案] A[解析] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数. 1－a ＋b2≥ 1－a b ＞14＝12， 同理 1－b ＋c 2＞12， 1－c ＋a 2＞12.三式相加，得1－a ＋b 2＋ 1－b ＋c 2＋ 1－c ＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝ ⎛⎭⎪⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A. 二、填空题14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________________． [答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.三、解答题15．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项．[证明] 假设1、3、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d ， 则1＝3－md,2＝3＋nd ，其中m ，n 为两个正整数， 由上面两式消去d ，得n ＋2m ＝3(n ＋m )． 因为n ＋2m 为有理数，而3(n ＋m )为无理数， 所以n ＋2m ≠3(n ＋m )，矛盾，因此假设不成立， 即1，3，2不能为同一等差数列的三项．16.如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上．[证明] 假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，所以AB <AC .这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上．17．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3 1＋a n ＋1 1－a n ＝2 1＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34· 23 n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r 3t －s.由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。