高中数学苏教版必修四练习(四) 同角三角函数关系-含答案

合集下载

高中数学苏教版必修四学案：1.2.2同角三角函数关系题型

同角三角函数关系导学案章节与课题同角三角函数关系课时安排课时主备人审核人使用人使用日期或周次第周本课时学习目标或学习任务1. 掌握同角三角函数的三个基本关系式；2. 掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值. 本课时重点难点或学习建议公式的灵活运用学习过程一、学习过程1、最基本的关系式： 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2、公式的变形：1） αα22cos 1sin -= 2） αα22sin 1cos -=3）ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ 4）ααααcos sin 21)cos (sin 2-=- 5）αααtan cos sin ⋅=二、典型例题类型一: 已知三角函数值，求三角函数值:例1﹑已知53sin -=α，α为第三象限的角，求αcos ，αtan 的值. 问题1﹑尝试判断αcos ，αtan 的正负问题2﹑利用什么公式，可由αsin 求出αcos ？问题3﹑你能由αsin ﹑αcos ，求出αtan 的值吗？问题4﹑若去掉条件α为第三象限的角，α可能为第几象限的角？分别求出αcos ，αtan 的值.问题5﹑尝试总结同类题的一般步骤.练习1、已知α是第四象限角，1312cos =α， αsin = ，αtan = . 2﹑已知tan 3α=，求sin ,cos αα．3、已知12sin 5cos 0αα+=，求sin ,cos αα的值.类型二：齐次式的求值问题:例2﹑已知2tan =α，求下列各式的值.① ααααcos 9sin 4cos 2sin 2-- ②ααα2cos 5cos sin 3-•的值提示：同角三角函数求值一般有切化弦或弦化切两种方法.问题1﹑尝试用切化弦的方法来做本题. 问题2﹑如何把①式化弦为切？问题3﹑怎样由αtan 表示②式？提示：ααα2cos 5cos sin 3-•=1cos 5cos sin 32ααα-•（注意“1”的应用）练习3、已知21tan -=α，求1sin 2cos sin 22-•ααα类型三：利用基本关系证明三角恒等式:例3、求证cos 1sin 1sin cos x x x x +=-.练习4、求证：（1）1sin 2cos sin 244-=-ααα （2）1cos cos sin sin 2224=++αααα类型四：利用基本关系化简:例4：化简)(cos 1cos 1cos 1cos 1为第四象限的角ααααα+-+-+练习5、1tan cos sin --θθθ.6、 440sin 12-7、10sin 110sin 10cos 10sin 212---变式：1、的值。

必修四三角函数练习题(简单,限时训练,含答案)

必修四三角函数练习题(简单,限时训练,含答案)3.1任意角、弧度制和任意角的三角函数值时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知角α终边上一点的坐标是(3，－4)，则sin α＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－452．圆内一条弦长等于半径，这条弦所对的圆心角为( )A.π6弧度B.π3弧度C.12弧度 D ．以上都不对 3．若sin θ>0且sin θcos θ<0，则角θ的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在5．在下列各组角中，终边不相同的是( )A ．60°与－300°B ．230°与950°C ．1050°与－300°D ．－1000°与800°6．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2二、填空题(每小题5分，共15分)7．写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合________________．8．已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＞0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题(共15分)10．设90°＜a ＜180°.角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值．3.2同角三角函数及诱导公式时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．cos300°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.322．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值为( ) A ．±45 B ．－45 C.45 D ．－353．α是第四象限角，tan α＝－34，则sin α＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．25．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.356．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.34 D ．－43二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan α＝3，则sin α＋cos αsin α－2cos α＝______.8.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值是______． 9．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 三、解答题(共15分)10．求证：cos (θ＋π)·sin 2(θ＋3π)tan (π＋θ)·cos 3(－π－θ)＝tan θ.3.3三角函数的图象与性质时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．使cos x ＝1－m 有意义的m 值为( )A ．m ≥0B ．m ≤0C ．0≤m ≤2D ．－2≤m ≤03．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π125．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max π(k ∈Z ) 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11°二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．8．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝________. 9．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________．三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．3.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．(3,0) 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 3．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0 B.π4 C.π2D ．π 4．下列函数中，图象的一部分如图所示J341的是( )图J341A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象的两条相邻对称轴之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3二、填空题(每小题5分，共15分)7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．9．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，有下列四个结论： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称； ②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象； ④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数．其中正确命题的序号是________．三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？3.5两角和与差及二倍角的三角函数公式时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.132．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°3．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.7 210 B.210 C ．－7 210 D ．－2104．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( ) A.35 B.15 C ．－35 D ．－155．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( )A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247二、填空题(每小题5分，共15分)7．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________8．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________. 9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．三、解答题(共15分)10．已知tan(π＋α)＝－13，求sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α的值．3.6简单的三角恒等变换时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α的值为( ) A ．±1225 B ．－725 C.725 D.12252．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210 C.7 210 D ．－7 2103．sin α＋cos α＝35，则sin2α＝( ) A.1625 B ．－1625 C ．－825 D ．±8254.1－3tan75°3＋tan75°的值等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－3 C ．1 D ．－15.2－sin 22＋cos4＝( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D 6．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos αA ．－72 B ．－12 C.12 D.72二、填空题(每小题5分，共15分)7．若cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________. 8．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 9．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________. 三、解答题(共15分) 10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．3.7正弦定理和余弦定理时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A ＝( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于( )A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150°5．有下列判断：①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解；②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解；③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解；④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题(每小题5分，共15分)7．若在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，△ABC 的面积为2 3，则a ＝________.8．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝7 6，B ＝60°，则C ＝________.三、解答题(共15分)10．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，求△ABC 的面积．3.8解三角形应用举例时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( ) A.2a km B.3a km C ．a km D ．2a km3．如图所示J381，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m 4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，40 33m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2) m,20 3 m D.15 32 m ，20 33m 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为( )A ．20 kmB ．30 kmC ．20 2 kmD ．30 2 km二、填空题(每小题5分，共15分)7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．参考答案 3.11．D 2.B 3.B 4.A 5.C 6．B 解析：72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80 π(cm 2)． 7．{－708°，－348°，12°，372°}8.25 解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45.所以2sin α＋cos α＝25. 9．二解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.∴角α在第二象限． 10．解：∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5.从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3.∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.故r ＝2 2，sin α＝52 2＝104，tan α＝5－3＝－153.3.21．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.A 7.4 8.2－2 9.－3510．证明：左边＝－cos θ·sin 2θtan θ·(－cos 3θ)＝1tan θ·tan 2θ＝tan θ＝右边． 3.31．B 2.C 3.B 4.D5．C 解析：∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．6．C 解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.7.⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈ [－1,1]，画出函数图象如图所示D4，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1.图D48．－2 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴M ＝13×1－1＝－23，m ＝13×(－1)－1＝－43.∴M ＋m ＝－23－43＝－2.9.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析：由2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，故交点坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．10．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z .∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)，得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 3.41．C 2.B 3.C 4.D 5.A6．D 解析：由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又|φ|＜π2，∴φ＝π3.7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向右平移π6个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再向上平移2个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2. 8．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2.∴T ＝π.∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 9．③10．解：(1)列表：图D5描点，连线如图所示D5.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1在⎣⎡⎦⎤－π8，7π8上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． (2)y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 3.51．D 2.B 3.B 4.C 5.B6．D 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 7.128．－4 29 解析：∵由题意知，sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－2 23.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－2 23＝－4 29.9．1－2 解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2.10．解：∵tan(π＋α)＝－13.∴tan α＝－13.∴sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝sin (π－2α)＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516.3.61．C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.－1114 8.3229．－43 解析：由sin θ2－2cos θ2＝0，得tan θ2＝2.则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.10．解：原式＝22(sin α＋cos α)2sin αcos α＋2cos 2α＝2(sin α＋cos α)4(cos αsin α＋cos 2α).∵α为第二象限角，且sin α＝154，∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－14. ∴原式＝24cos α＝－ 2.3.71．C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.2 38．1 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3.∴a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍)．9．75° 解析：由正弦定理知，a sin A ＝b sin B .又a ＝14，b ＝76，B ＝60°，∴sin A ＝a sin B b ＝14sin60°7 6＝22.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝45°.∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.10．解：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝a 2＋25－2×5×a cos120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin120°＝15 34.3.81．B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.D7．7 解析：如图所示D6，由题意可知AB ＝3 3，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×3 3×2×cos150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.图D68.40039．10 3 解析：如图所示D7，OM ＝AO tan45°＝30(m)，ON ＝AO tan30°＝33×30＝10 3(m)，由余弦定理，得MN ＝900＋300－2×30×10 3×32＝300＝10 3(m)．图D710．解：如图所示D8，在△ACD 中．∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，图D8∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)，在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22(千米)．在△ABC 中，由余弦定理，可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ，即AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2 3·6＋22cos75°＝5. ∴AB ＝ 5 (千米)．所以，两目标A，B间的距离为5千米．。

2019-2020学年度高中数学苏教版必修四课下能力提升：(四) 同角三角函数关系-含答案

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版必修四课下能力提升：（四）同角三角函数关系-含答案______年______月______日____________________部门一、填空题1．已知sin θ＝，cos θ＝，则m＝________.2．若＝2，则tan α＝________. 3．化简：cos4α＋sin2α·cos2α＋sin2α＝________.4．已知tan α＝m(π＜α＜)，则sin α＝________.5．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________.二、解答题6．已知tan x＝2，求：(1)的值；(2)sin2x＋cos2x的值．7．求证：＝. 8．已知－<x<0，sin x＋cos x＝.求sin x－cos x的值．答案1．解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴2＋2＝1.即(m－3)2＋(4－2m)2＝(m＋5)2，∴4m2－32m＝0.∴m＝0或m＝8答案：0或82．解析：∵＝2，∴＝2.∴tan α＋1＝4tan α－2即3tan α＝3，∴tan α＝1.答案：13．解析：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：1 4．解析：∵tan α＝m，π＜α＜.∴m＞0且sin α＜0.又tan2α＝＝＝m2.∴sin2α＝.∵sin α＜0，∴sin α＝－ .答案：－m1＋m25．解析：∵＋＝＋.又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝＋＝0，当α在第四象限时，原式＝＋＝0.答案：06．解：(1)＝＝＝－3.(2)sin2x＋cos2x＝23sin2x＋14cos2x sin2x＋cos2x＝＝＝.7．证明：法一：左边＝＝，右边＝＝，而sin2α＝1－cos2α，∴＝，故左边＝右边，∴原式成立．法二：－tan α＋sin αtan α·sin α＝＝tan2αα－＋sin2αα－sin ααsin α＝＝＝0，∴＝.8．解：法一：由sin x ＋cos x ＝，平方得sin2x ＋2sin xcos x ＋cos2x ＝，即2sin xcos x ＝－，∴(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝.又∵－<x<0，∴sin x<0，cos x>0，∴sin x －cos x<0，∴sin x －cos x ＝－.法二：联立方程⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin2x ＋cos2x ＝1 ②，由①得sin x ＝－cos x ，将其代入②，整理得25cos2x －5cos x －12＝0，解得cos x ＝－，或cos x ＝.∵－<x<0，∴∴sin x －cos x ＝－.。

苏教版数学高一必修四作业同角三角函数关系

一、填空题1．若cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解析：∵cos α＝45，α∈(0，π)， ∴sin α＝1－cos 2 α＝1－1625＝35. ∴tan α＝sin αcos α＝34. 答案：342．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________. 解析：∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2. ∴tan α＋1＝4tan α－2即3tan α＝3，∴tan α＝1.答案：13．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________.解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：14．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于________．解析：法一：将条件平方得，cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，即4sin αcos α＋3sin 2α＝4.所以4sin αcos α＋3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝4. 所以4tan α＋3tan 2αtan 2α＋1＝4. 解得tan α＝2.法二：将条件平方知sin 2α－4sin αcos α＋4cos 2α＝0，∴(sin α－2cos α)2＝0，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2.答案：25．已知sin x cos x ＝16，且π4<x <π2，则cos x －sin x 的值等于________．解析：(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝23，又π4<x <π2， ∴cos x <sin x ，∴cos x －sin x ＝－63. 答案：－63 二、解答题6．已知tan x ＝2，求：(1) cos x ＋sin x cos x －sin x的值； (2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值．解：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3. (2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 7．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x. 证明：左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x ) ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x －sin 2xcos 2x cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边． 8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425， ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 又∵－π2<x <0， ∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0，∴sin x －cos x ＝－75. 法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin 2x ＋cos 2x ＝1 ②，由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0，解得cos x ＝－35，或cos x ＝45. ∵－π2<x <0，∴⎩⎨⎧ cos x ＝45，sin x ＝－35，∴sin x －cos x ＝－75.。

数学苏教版高一必修4_第1章1.2.2同角三角函数关系_作业

[学业水平训练] 1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________．解析：∵5，12，13为勾股数组，且α为第四象限角，∴sin α＝－513. 答案：－5132．化简sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ得________．解析：原式＝sin θ（1－sin θ）－sin θ（1＋sin θ）（1＋sin θ）（1－sin θ）＝sin θ－sin 2θ－sin θ－sin 2θ1－sin 2θ＝－2sin 2θcos 2θ＝－2tan 2θ. 答案：－2tan 2θ3．若sin x ＋cos x ＝2，那么sin 4x ＋cos 4x 的值为________．解析：由sin x ＋cos x ＝2，得2sin x cos x ＝1，由sin 2x ＋cos 2x ＝1，得sin 4x ＋cos 4x ＋2sin 2x cos 2x ＝1.所以sin 4x ＋cos 4x ＝1－12(2sin x cos x )2＝1－12×1＝12. 答案：124．已知sin(α－π4)＝13，则cos(α－π4)等于________．解析：cos(α－π4)＝± 1－sin 2（α－π4）＝± 1－（13）2＝±223. 答案：±2235．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1. 又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0. 因而sin α＝－m m 2＋1. 答案：－m 1＋m2 6．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，那么tan θ的值是________．解析：法一：设P (x ，y )是角θ终边上任一点，P 到坐标原点的距离为r ，则r ＝x 2＋y 2>0，且sin θ＝y r，cos θ＝x r .由已知有y ＋x r ＝15 ①，即25(x ＋y )2＝x 2＋y 2，整理并解得y x ＝－34或y x ＝－43②.因为0＜θ＜π，所以y ＞0，又由②知x ＜0，再由①知x ＋y ＞0，则|x |＜|y |.所以－1＜x y ＜0，y x ＜－1.所以tan θ＝y x ＝－43. 法二：由sin θ＋cos θ＝15，① 得sin θcos θ＝－1225<0，又0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，则sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝ 1－2×（－1225）＝75.② 由①②解得sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43. 答案：－437．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2x cos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 8．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1. 解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0. 所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [高考水平训练]1．已知cos α＝tan α，则sin α＝________．解析：因为cos α＝tan α，所以cos α＝sin αcos α，即sin α＝cos 2α≥0，可得sin α＝1－sin 2α，即sin 2α＋sin α－1＝0，解得sin α＝－1±52，舍去负值，得sin α＝5－12. 答案：5－122．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：∵tan θ＝2，∴cos θ≠0则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝{－3，15}．因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2(－3，15)，P 3(15，15)，P 4(15，－3)．经分析知，这四个点构成一个正方形．4．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θ·cos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12； (2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又∵θ∈(0，2π)，∴θ＝π3或π6.。

苏教数必修四课时分层作业4 同角三角函数关系

课时分层作业(四) 同角三角函数关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝( )A .34B .45C ．－45D .45或－45B [∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0.∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin 2θ＝45.]2．(1＋tan 2α)·cos 2α＝( )A ．1B ．1＋sin 2αC ．cos 2α＋sin 2αD ．1＋cos 2αA [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1.]3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( )A .45B ．－45C .35D ．－35 D [∵sin α＝55，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35.]4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝()A．－45B．－35C．－255D．－355C[∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α.又sin2α＋cos2α＝1，∴54cos2α＝1，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－25 5.]5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin2α－sin αcos α＝()A.25B．－35C.45D．－25A[由题意知cos α≠0，则由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan2α＋1＝25.]二、填空题6．化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin250°＝________.1[原式＝(cos 40°－sin 40°)2cos 40°－cos250°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.]7．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．2[tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝1 2，∴tan α＋1tan α＝2.]8．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．1713[∵sin αcos α<0,0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.]三、解答题9．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． [解] (1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝516. 10．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.[证明] 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.[等级过关练]1．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝( )A ．－12B ．0C .32D .1＋22B [∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.] 2．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________． A .56 B .518 C ．－56D ．－518 C [由Δ≥0知，a ≤13.又⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝23， ①sin α·cos α＝a 3， ② 由①式两边平方得：sin αcos α＝－518，所以a 3＝－518，所以a ＝－56.] 3．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________.π3 [由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，A ＝π3.]4．化简：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α＝________.1 [cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.]5．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ； (3)方程的两根及此时θ的值．[解] (1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

【苏教版】数学必修四：1.2.2《同角三角函数关系》练习(含解析)

1．2.2 同角三角函数关系已知sin α－cos α＝－55，180°＜α＜270°，你能求出tan α的值吗？你能化简sin θ－cos θtan θ－1吗？……为此，我们有必要研究同角三角函数的关系．1．同角三角函数的平方关系是________________，使此式成立的角α的范围是________________．2．同角三角函数的商数关系是________________，使此式成立的角α的范围是________________．3．同角三角函数关系式是根据________________推导的． 4．sin 2α＋cos 2α＝1的变形有__________、__________． 5．tan α＝sin αcos α的变形有__________、__________．6．“1”的代换式有：1＝___________________________＝ ________________________________．7．知道角α的某一三角函数值求另外两三角函数值时，如果角α所在象限指定则结果只有________组解，如果角α所在象限没有指定，一般应有________组解．8．1＋tan 2θ＝____________________，θ的取值范围是______________________．答案：1．sin 2α＋cos 2α＝1 (－∞，＋∞)2．tan α＝sin αcos α ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z3．三角函数定义4．sin 2α＝1－cos 2α cos 2α＝1－sin 2α 5．tan αcos α＝sin α cos α＝sin αtan α6．sin 2α＋cos 2α tan 45° 7．一二 8.1cos 2θ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪θ≠k π＋π2，k ∈Z同角三角函数关系平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)．商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个三角函数(在使得函数有意义的前提下)关系都成立．同角三角函数关系的应用1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角关系可以进行三角函数式的化简．化简要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．证明三角恒等式．基本原则：由繁到简．常用方法：左→右；右→左；左↔右．基础巩固1．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4α可化为( C ) A ．sin α－sin 2α B ．sin αcos α C ．－sin αcos α D ．sin 2α－sin α2．若f (sin x )＝2cos x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A.3＋1 B ．1－ 3 C ．1＋3或1－ 3 D ．2解析：由sin x ＝12求出cos x ，然后再代入函数关系式．答案：C3．已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝________．答案：－24．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α c os 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos2α＝1.答案：D5．下列各式中与1－2sin 2cos 2相等的是( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2＋cos 2 D ．－sin 2－cos 2解析：“1”的代换，1＝sin 22＋cos 22，同时要注意sin 2＞0，cos 2＜0. 答案：A6．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－25，cos α＝－15.∴tan α＝sin αcos α＝2.答案：27．cos α＝3sin α，0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( ) A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：所求式子可化成sin α·cos αsin 2α＋cos 2α(齐次分式)，分子、分母同除以cos 2α. 答案：B8．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α的值为( )A ．1B ．－1 C.34 D ．－43解析：分子、分母同除以cos α. 答案：A9．sin 2x ＋sin 2y －sin 2x sin 2y ＋cos 2x cos 2y ＝________．解析：sin 2x ＋sin 2y －sin 2x sin 2y ＋cos 2x cos 2y ＝sin 2x ＋sin 2y (1－sin 2x )＋cos 2x cos 2y ＝sin 2x ＋sin 2y cos 2x ＋cos 2x cos 2y ＝sin 2x ＋cos 2x (sin 2y ＋cos 2y ) ＝sin 2x ＋cos 2x ＝1. 答案：1能力升级10．A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 是________三角形．解析：∵sin A ＋cos A ＝23，∴sin A cos A ＝－518＜0.∴A 为钝角．答案：钝角11．设a 为常数，且a >1，0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为________．解析：f (x )＝1－sin 2x ＋2a sin x －1＝－(sin x －a )2＋a 2. ∵a >1，0≤x ≤2π，∴当x ＝π2时，f (x )max ＝2a －1. 答案：2a －112．已知tan α＝m ，α是第二象限角，则sin α的值等于( ) A.1＋m 21＋m 2 B ．－1＋m 21＋m2 C ．±m 1＋m 21＋m 2 D ．－m 1＋m 21＋m2解析：由tan α＝m ，得1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α＝1＋m 2.∴cos 2α＝11＋m2.∴cos α＝－11＋m 2.故sin α＝tan α·cos α＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋m 2＝－m 1＋m2. 答案：D13．如果sin θ＋cos θ＝－15(0＜θ＜π)，则tan θ的值为( )A ．－43 B.43 C ．±43 D ．－34解析：sin θ＋cos θ＝－15，平方得sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125.故2sin θcos θ＝－2425＜0.∴θ为钝角，1－2sin θcos θ＝4925.∴(sin θ－cos θ)2＝4925，sin θ－cos θ＝75(－75舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－15，sin θ－cos θ＝75⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ＝－45，∴tan θ＝－34.答案：D14．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？解析：假设存在，设直角三角形两个锐角为α，β，则sin α，sin β是方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．∵α＋β＝90°，∴sin β＝cos α.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝－3k4， ①sin α·cos α＝2k ＋18， ②①2－2×②，整理得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109.当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ＝144－160<0，所以原方程无解，k ＝2舍去．将k ＝－109代入②，得sin α·cos α＝sin α·sin β＝－1172，∴sin α，sin β异号，应有sin α<0或sin β<0.实际上sin α>0，sin β>0，∴k ＝－109不满足题意，∴k值不存在．1．2.3 三角函数的诱导公式设0°≤α≤90°，对于任意一个0°到360°的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立．β＝⎩⎪⎨⎪⎧α，当β∈[0°，90°]，180°－α，当β∈[90°，180°]，180°＋α，当β∈[180°，270°]，360°－α，当β∈[270°，360°].思考：180°－α，180°＋α，360°－α的三角函数值与α的三角函数值有怎样的关系呢？1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式． 2．掌握诱导公式二至公式六及其应用．1．设α为任意角，角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则角－α的终边与单位圆的交点P 1的坐标是________，角π－α的终边与单位圆的交点P 2的坐标是________，角π＋α的终边与单位圆的交点P 3的坐标是________．2．诱导公式一：sin(2k π＋α)＝______，cos(2k π＋α)＝________，tan(2k π＋α)＝________，k ∈Z.3．诱导公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________． 4．诱导公式三：sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________．5．诱导公式四：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________．6．利用诱导公式求任意角的三角函数值，步骤如下：任意角的三角函数――→ 利用0°～360°的角的三角函数――→ 利用锐角三角函数――→查表求值(特殊角取特殊值)7．△ABC 中，sin(A ＋B )＝__________，cos(A ＋B )＝________，tan(A ＋B )＝________． 8．α与π2－α的终边关于直线________对称．9．诱导公式五：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝____________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．10．诱导公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝____________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________． 11．六组诱导公式可以概括成________，________．12．学习诱导公式的目的之一是把求任意角的三角函数值转化为求____________________．13．在△ABC 中，sinA ＋B2＝__________，cosA ＋B2＝________．诱导公式诱导公式如下表所示：三角函数角正弦余弦正切 α＋k ·2π(k ∈Z)sin α cos α tan α α＋π－sin α －cos α tan α －α －sin α cos α －tan α π－α sin α －cos α －tan απ2＋α cos α －sin α π2－α cos α sin α 32π＋α －cos α sin α 32π－α －cos α－sin α1．运用诱导公式化简、求值的前提条件是熟记上述诱导公式．上述诱导公式可概括为一句口诀“奇变偶不变，符号看象限”．也就是诱导公式左边的角可统一写成k ·π2±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时，公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变(即左边为正弦则右边为余弦，左边为余弦则右边为正弦)，当k 为偶数时，公式等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k ·π2±α为第几象限，以及左边的三角函数在该象限的符号即为公式右边的符号．2．利用诱导公式可以化简任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化小，化到锐角就行了”．用诱导公式求三角函数式的值已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．分析：从被求式和已知式的角度看，关键是寻求到75°＋α与105°－α之间的关系，我们发现(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，这样有关系式105°－α＝180°－(75°＋α)，就可以用诱导公式了．解析：cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13＞0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角，则有sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.方法指导：(1)解答本题的关键是发现105°－α与75°＋α之间的关系，即(105°－α)＋(75°＋α)＝180°.这为应用诱导公式化简本题找到入手之处．(2)使用平方关系，出现开方运算时，需由角所在象限来确定根号前的“±”号．而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题．(3)已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他三角函数值．若给定具体数值，但未指定角α所在象限，就需要进行分类讨论．变式训练1．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2 013)＝－1，则f (2 014)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 利用诱导公式化简三角函数化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π6(k ∈Z)．分析：分k 为奇数和偶数进行讨论．解析：(1)当k ＝2n (n ∈Z)时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋23π·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6 ＝sin 23πcos π6＝sin π3cos π6＝32×32＝34.(2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝34.综合(1)(2)式可知，原式＝34.◎规律总结：归纳到一般有：sin(k π＋α)＝(－1)ksin α(k ∈Z)，cos(k π－α)＝(－1)kcos α(k ∈Z)．思考：sin(k π－α)＝？cos(kπ－α)＝？sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2±α＝？cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2±α＝？以上均有k ∈Z.变式训练2．化简：sin （2π－α）cos （π＋α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫112π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α.。

2019-2020数学苏教版必修4 第1章1.2.2同角三角函数关系作业 Word版含解析

[学业水平训练] 1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________．解析：∵5，12，13为勾股数组，且α为第四象限角，∴sin α＝－513. 答案：－5132．化简sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ得________．解析：原式＝sin θ（1－sin θ）－sin θ（1＋sin θ）（1＋sin θ）（1－sin θ）＝sin θ－sin2θ－sin θ－sin2θ1－sin2θ＝－2sin2θcos2θ＝－2tan 2θ. 答案：－2tan 2θ3．若sin x ＋cos x ＝2，那么sin 4x ＋cos 4x 的值为________．解析：由sin x ＋cos x ＝2，得2sin x cos x ＝1，由sin 2x ＋cos 2x ＝1，得sin 4x ＋cos 4x ＋2sin 2x cos 2x ＝1.所以sin 4x ＋cos 4x ＝1－12(2sin x cos x )2＝1－12×1＝12. 答案：124．已知sin(α－π4)＝13，则cos(α－π4)等于________．解析：cos(α－π4)＝± 1－sin2（α－π4）＝± 1－（13）2＝±223. 答案：±2235．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin2αcos2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m2＋1，sin 2α＝m2m2＋1. 又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0. 因而sin α＝－m m2＋1. 答案：－m 1＋m26．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，那么tan θ的值是________．解析：法一：设P (x ，y )是角θ终边上任一点，P 到坐标原点的距离为r ，则r ＝x2＋y2>0，且sin θ＝y r ，cos θ＝x r .由已知有y ＋x r ＝15 ①，即25(x ＋y )2＝x 2＋y 2，整理并解得y x ＝－34或y x ＝－43②.因为0＜θ＜π，所以y ＞0，又由②知x ＜0，再由①知x ＋y ＞0，则|x |＜|y |.所以－1＜x y ＜0，y x ＜－1.所以tan θ＝y x ＝－43. 法二：由sin θ＋cos θ＝15，① 得sin θcos θ＝－1225<0，又0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，则sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝ 1－2×（－1225）＝75.② 由①②解得sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43. 答案：－437．化简：sin2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan2x －1. 解：原式＝sin2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin2x cos2x－1 ＝sin2x sin x －cos x －cos2x （sin x ＋cos x ）sin2x －cos2x＝sin2x －cos2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 8．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin2α－3cos2α4sin2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin2α－3cos2α4sin2α－9cos2α＝2tan2α－34tan2α－9＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α ＝2sin2α－3sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tan α＋1tan2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [高考水平训练]1．已知cos α＝tan α，则sin α＝________．解析：因为cos α＝tan α，所以cos α＝sin αcos α，即sin α＝cos 2α≥0，可得sin α＝1－sin 2α，即sin 2α＋sin α－1＝0，解得sin α＝－1±52，舍去负值，得sin α＝5－12. 答案：5－122．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：∵tan θ＝2，∴cos θ≠0则原式可化为sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ＋sin θcos θcos2θ－2cos2θcos2θsin2θcos2θ＋cos2θcos2θ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin2θ＋cos2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝{－3，15}．因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2(－3，15)，P 3(15，15)，P 4(15，－3)．经分析知，这四个点构成一个正方形．4．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θ·cos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin2θsin θ－cos θ＋cos2θcos θ－sin θ ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12； (2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又∵θ∈(0，2π)，∴θ＝π3或π6.。

【高中数学必修四】1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2 同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21

同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos

苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.2.2课时作业(含答案)

1．2.2 同角三角函数关系课时目标1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：________________.(2)商数关系：________________(α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝__________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式： sin α＝____________；cos α＝____________.一、填空题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是________．2．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝______. 3．若sin α＋sin 2α＝1，，则cos 2α＋cos 4α＝________.4．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于________． 5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值为________． 6．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为________． 7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝______.8．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________. 9．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________． 10．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝____.二、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.能力提升13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数关系知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22 cos αtan α sin αtan α作业设计1．1 2.－513 3.1 4.－435．－13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 6．－8解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8. 7.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 8．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 9.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 10．2解析方法一由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1. 化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5， ∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.11．解原式＝(1－cos 4α)－sin 4α(1－cos 6α)－sin 6α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边． ∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin2α－cos2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解(1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a. ∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a.解得：a＝1－2或a＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，∴a＝1＋2舍去．∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.。

苏教版高中数学必修4典型例题：同角三角函数

同角三角函数的例题讲解例1．已知54sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．分析：由平方关系可求cos α的值，由已知条件和cos α的值可以求tan α的值，进而用倒数关系求得cot α的值．解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角 ∴,53)54(1sin 1cos 22-=--=--=αα ∴345354cos sin tan -=-==ααα.43tan 1cot -==αα例2．已知178cos -=α，求sin α、tan α的值．分析：∵cos α＜0 ∴α是第二或第三象限角．因此要对α所在象限分类．当α是第二象限角时，.8151781715cos sin tan ,1715)178(1cos 1sin 22-=-===--=-=ααααα当α是第三象限时.815tan ,1715cos 1sin 2=-=--=ααα提问：不计算sin α的值，能否算得tan α的值？由于αα22tan 1cos 1+=而α在Ⅱ或III 象限 ∴.815117181cos 1tan 22±=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=-±=αα例3．已知cot α=m (m≠0) 求cos α．思路1． .cot sin sin 1cot αααα→→→ 由于sin α在Ⅰ、Ⅱ象限的值为正，因此，可以按α在第Ⅰ、Ⅱ象和α在第III 、Ⅳ象限分类．解1：（1）当α在第Ⅰ、Ⅱ象限时,1cot 1sin 122m +-=+-=αα∴,1111sin 222m m m ++=+=α ∴.11cot sin cos 22m m m ++=⋅=ααα （2）当α在第III 、Ⅳ象限时221cot 1sin 1m +=+=αα∴.11sin 22m m ++-=α ∴2211cos mm m ++-=α 思路2：ααααcot cot 1tan cot →→→ 由于αcos 在Ⅰ、Ⅳ象限为正，因此按α在Ⅰ、Ⅳ象限和α在Ⅱ、Ⅲ象分类．解2：)0(cot ≠=m m α ，∴角α的终边不在坐标轴上．（1）当α在第Ⅰ、Ⅳ象限时m1tan =α, ,1)1(1tan 1cot 122mm m +=+=+=αα ∴.1cos 2m m+=α（2）当α在第Ⅱ、III 象限时m1tan =α∴,1cos 12mm +-=α ∴21cos m m+-=α．思路3．ααααcos cos 1sin 1cot →→→．由ααsin 1cot →知，α按Ⅰ、Ⅱ和III 、Ⅳ象限分类，注意αααcot sin 1cos 1=．（解3略）由此可见，解决有关同角三角函数问题，路径较多，在分析问题解决问题过程中，应尽量引导学生自己去探寻解决问题的路径．例4．已知tan α≠0，用tan α表示α的其它三角函数．分析：可以按例3的方法分析，即要用tan α表示sin α，只需求α角的什么？应按角α终边在第几象限分类等等，给学生提出探索问题的方向，由学生自己完成．比如：若想先求αcos ，则只需求αcos 1，只需将α按Ⅰ、Ⅳ和Ⅱ、III 象限分类．思索路径： .sin cos cos 1tan αααα−−−→−−−−→−−−−→−平方关系倒数关系平方关系同样，若先求αcot ，进而求αsin 1的值，则需分α在Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ象限进行讨论．思索路径：.cos sin sin 1cot 1tan ααααα−−−→−−−−→−−−−→−−−−→−平方关系倒数关系平方关系倒数关系。

高中数学苏教版必修4学案：1.2.2同角三角函数关系Word版含解析

1.2.2 同角三角函数关系1．理解同角三角函数的大体关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos α.(重点) 2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)[基础·初探]教材整理同角三角函数的大体关系阅读教材P16～P17的有关内容，完成下列问题．1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.2．商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()(3)若sin α＝12，则cos α＝32.()【解析】(1)√.符合同角三角函数的关系．(2)×.等式sinα2cosα2＝tanα2的条件是⎩⎪⎨⎪⎧cos α2≠0，α2≠π2＋kπ，k∈Z，即α≠π＋2kπ，k∈Z.(3)×.因为α的范围不明，故cos α＝±1－sin2α＝±32.【答案】(1)√(2)×(3)×2．已知α是第二象限角，且cos α＝－13，则tan α＝________. 【解析】∵α是第二象限角，∴sin α＞0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝1－cos2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】－2 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用同角基本关系式求值已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值．【出色点拨】 sin α＝－35――→sin 2α＋cos 2α＝1求cos 2α――→讨论α的所在象限求cos α，tan α【自主解答】因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1625.若是α是第三象限角，那么cos α＜0. 于是cos α＝－1625＝－45，从而tan α＝sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝34.若是α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.同角三角函数的大体关系式揭露了同角三角函数之间的关系，其最大体的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必需进行讨论.[再练一题]1．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【解】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.三角函数式的化简、求值化简：sin θ1－cosθ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ.【出色点拨】切化弦―→构造完全平方――→开方化简求值【自主解答】原式＝sin θ1－cos θ·sin θcos θ－sin θsin θcos θ＋sin θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ1＋cos θ＝sin θ1－cos θ·(1－cos θ)2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝sin θ1－cos θ·(1－cos θ)21－cos2θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ|sin θ|＝sin θ|sin θ|＝±1.化简三角函数式的常常利用方式：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.[再练一题]2．化简下列各式：(1)tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角．(2)1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α20＜α＜π2. 【导学号：06460009】【解】 (1)原式＝tan αsin 2α＋cos 2αsin 2α－1＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2 ＝tan α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan α＝－1. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2 ∵0＜α＜π2， ∴0＜α2＜π4. ∴0＜sin α2＜cos α2.∴原式＝cos α2－sin α2＋sin α2＋cos α2＝2cos α2.三角函数式的证明求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.【出色点拨】从左侧利用“1＝sin 2x ＋cos 2x ”及平方差公式推右边即可．【自主解答】 ∵(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， ∴左侧＝(sin x ＋cos x )2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边．在计算、化简或证明三角恒等式时，常常利用的技能有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技能的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的从头整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.[再练一题]3．证明下列三角恒等式：(1)tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α；(2)2sin αcos α(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)＝1＋cos αsin α.【证明】(1)左侧＝sin αcos α·sin αsin αcos α－sin α＝sin2αsin α－sin αcos α＝1－cos2αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α.右边＝1sin α＋1tan α＝1sin α＋cos αsin α＝1＋cos αsin α.∴左侧＝右边，等式恒成立．(2)左侧＝2sin αcos α[sin α＋(cos α－1)][sin α－(cos α－1)]＝2sin αcos αsin2α－(cos α－1)2＝2sin αcos αsin2α－cos2α－1＋2cos α＝2sin αcos α2cos α(1－cos α)＝sin α1－cos α＝sin α(1＋cos α) (1－cos α)(1＋cos α)＝sin α(1＋cos α)sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边．所以原等式成立．[探讨共研型]“sin α±cos α”同“sin αcos α” 间的关系【提示】设sin α±cos α＝m ，则(sin α±cos α)2＝m 2，即1±2sin αcos α＝m 2，所以sin αcos α＝±1－m22.反之也可以，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，开方即可．探讨2 已知sin α＋cos α的值，如何求sin α－cos α或cos α－sin α的值？【提示】设sin α＋cos α＝t ，则1＋2sin αcos α＝t 2，从而2sin αcos α＝t 2－1 ∴1－2sin αcos α＝2－t 2 从而(sin α－cos α)2＝2－t 2，对上式开方即可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．(2016·南京高一检测)已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π，求：(1)sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．【出色点拨】 sin α＋cos α＝15――→平方求sin αcos α――→构造完全平方差公式求(sin α－cos α)2―――――→0＜α＜π求sin α－cos α【自主解答】 (1)∵sin α＋cos α＝15， ∴(sin α＋cos α)2＝125， ∴1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－12 25.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝7 5.1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方即可．2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要按照已知角θ的范围，肯定sin θ±cos θ的正负．[再练一题]4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为________．【解析】∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－3 2.【答案】－32[构建·体系]1．已知α是第二象限的角，sin α＝513，则cos α＝________. 【解析】 cos α<0，故cos α＝－1－sin 2 α＝－1213. 【答案】－12132．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.【解析】由sin α＋cos α＝12，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.【答案】－383．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.【解析】 ∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2，∴tan α＋1＝4tan α－2，即3tan α＝3，∴tan α＝1. 【答案】 14．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________.【解析】 cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.【答案】 15．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 【导学号：06460010】【证明】左侧＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sinα)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos2α－sin2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)同角三角函数关系(建议历时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________. 【解析】∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin2θ＝45.【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________.【解析】 ∵sin α＝55，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35.【答案】－35 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.【导学号：06460011】【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴54cos 2α＝1，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－255.【答案】－2555．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos 2 4＝________.【解析】 1－cos 2 4＝sin 2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4.【答案】－sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x cos x 等于________．【解析】由1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12. 【答案】－127．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. 又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝2.【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】 ∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.【答案】 1713二、解答题9．已知tan x ＝2，求：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x的值；(2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值．【解】 (1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3. (2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 10．已知tan 2 α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.【证明】因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.[能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________.【解析】 ∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________.【解析】原式＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°| ＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】－13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0，∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝289169，∴sin A －cos A ＝1713，∴sin A ＝1213，cos A ＝－513，故5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝843. 【答案】 8434．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ. (3)方程的两根及此时θ的值．【解】 (1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

苏教版高中数学必修四学同步训练三角函数一Word含答案

1.2.2 同角三角函数关系(一)一、填空题1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α＝______. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________. 3．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 4．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是______． 6．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ＝________. 7．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α＝______. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.二、解答题9．已知sin α＝m (|m |<1且m ≠0)，求tan α的值．10．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.11．已知sin α－cos α＝－55，π<α<3π2，求tan α的值．三、探究与拓展12．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．答案1．－43 2.－35 3.－255 4.－32 5.－13 6.23 7．－43 8.459．解 ∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)， ∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m 1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m 1－m 2. 10．解由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611. 解得：tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 11．解由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝－55sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得 5cos 2α－5cos α－2＝0.∴cos α＝255或cos α＝－55. ∵π<α<3π2，∴cos α<0. ∴cos α＝－55，∴sin α＝－25 5. ∴tan α＝sin αcos α＝－255－55＝2. 12．解 (1)由根与系数的关系知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2，a ＝1＋2(舍)．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.。

江苏省—高一数学必修四随堂练习及答案：同角三角函数的关系

高一随堂练习：同角三角函数的关系1．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ； 2．已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则． 3．α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________． 4．已知tan α=3，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=- . 5．已知()πα,0∈，1sin cos 5αα+=，则αtan = ．.6．已知x 是第三象限角，且55sin cos =-x x . （1）求x x sin cos +的值;（2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值/7．已知4sin 5θ=，2πθπ<<. （1）求tan θ；（2）求222sin 2sin cos 3sin cos θθθθθ++的值. 8．2()sin cos ,f x x x =+求()f x 的值域.9．已知α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭0，1sin cos 5αα-=. (1) 求sin cos αα值； (2)求sin cos αα+的值.参考答案1．75 【解析】试题分析：分子分母同除αcos ，便会出现αtan ,75335234tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=⨯+-⨯=+-=+-αααααα 考点：三角函数的计算2．932-. 【解析】试题分析：对式子5sin cos 4αα-=-两边平方，得2225sin 2sin cos cos 16αααα-+=，从而9sin cos 32αα=-. 考点：同角三角函数基本关系（平方关系），注意sin cos αα±通过平方可与sin cos αα联系. 3．817【解析】由221815sin cos sin cos αααα⎧⎪⎨⎪⎩＋＝，＝－解得sin α＝±817.∵α为第二象限角，∴sin α>0，∴sin α＝817. 4．45【解析】试题分析：已知条件为正切值，所求分式为弦的齐次式，所以运用弦化切，即将分子分母同除以2cos α得2224sin 3sin cos 4tan 3tan 4933454cos sin cos 4tan 43ααααααααα++⨯+⨯===---. 考点：弦化切5．43-. 【解析】试题分析：由已知：1sin cos 5αα+=. 又22sin cos 1αα+=.联立解方程组得：3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.因为()πα,0∈，所以4sin 5sin 03cos 5ααα⎧=⎪⎪>∴⎨⎪=-⎪⎩，所以：4tan 3α=-. 考点：1、同角三角函数关系式；2、解方程组.6．（1）553-；（2）57．【解析】试题分析：解题思路：(1)先求2)sin (cos x x -，再求x x cos sin ，进而求x x sin cos +；（2）联立方程组，解得x x cos ,sin ，进而求所求值.规律总结：涉及“x x x x cos sin ,cos sin ±”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：x x x x x x cos sin 4)cos (sin )cos (sin 22=--+；x x x x cos sin 21)cos (sin 2±=±.注意点：由2)cos (sin x x ±的值，求x x cos sin ±的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：51cos sin 21)sin )(cos 1(2=-=-x x x x ，54cos sin 2=∴x x 59cos sin 21)sin (cos 2=+=+∴x x x x x 是第三象限角，553sin cos —=+∴x x )2(由)1(得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+55sin cos 553sin cos x x x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=552sin 55cos x x 57)55(55552)552(2cos cos sin sin 22222=-+⨯--=+-∴x x x x ．考点：同角三角函数基本关系式. 7．（1）4tan 3θ=-；（2）222sin 2sin cos 83sin cos 57θθθθθ+=-+. 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数的基本关系：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，结合条件4sin 5θ=，可得29cos 25θ=，再由2πθπ<<可知3cos 5θ=-，从而sin 4tan cos 3θθθ==-；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只tan θ有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以2cos θ，从而可得：22222sin 2sin cos tan 2tan 83sin cos 3tan 157θθθθθθθθ++==-++. 试题解析：（1）∵22sin cos 1θθ+=，4sin 5θ=，∴29cos 25θ=， 2分又∵2πθπ<<，∴3cos 5θ=-， 4分 ∴sin 4tan cos 3θθθ==-； 6分（2）22222sin 2sin cos tan 2tan 3sin cos 3tan 1θθθθθθθθ++=++ 9分 857=- 12分. 考点：同角三角函数基本关系.8．【解析】试题分析：可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为2()cos cos 1,f x x x =-++利用换元法令cos ,[1,1],t x t =∈-原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意t 的取值范围.解：原函数可化为2()cos cos 1,f x x x =-++令cos ,[1,1],t x t =∈-可得21,[1,1]y t t t =-++∈-则 5[1,].4y ∈-考点：同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.9．(1) 12sin cos 25αα=; (2)7sin cos 5αα+=. 【解析】试题分析：应用公式时注意方程思想的应用；对于sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±，可以知一求二. 解：由1sin cos 5αα-=，知21sin cos 25αα-=（）,即112sin cos 25αα-=，可得12sin cos 25αα=；又249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=（）, 可得70sin cos 25πααα∈+=（，）,. 考点：同角的三角函数基本关系式.。

高中数学第1章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案苏教版必修4

1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】因为cos α<0且cos α≠－1，所以α是第二或第三象限角．所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号，所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋（1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ）＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α，所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1，所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边．所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α，即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)．因为1－cos α≠0，sin α≠0，所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边．所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边，所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0，又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角．当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55，此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________．解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。

同角三角函数的关系作业高中数学必修四苏教版含答案

学业分层测评(四) 同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________.【解析】 ∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin 2θ＝45.【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________.【解析】 ∵sin α＝55，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35.【答案】－354．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.【导学号：06460011】【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α.又sin2α＋cos2α＝1，∴54cos2α＝1，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－25 5.【答案】－25 55．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos2 4＝________. 【解析】1－cos2 4＝sin2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4.【答案】－sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos xsin x－1＝12，则1＋sin xcos x等于________．【解析】由1－sin2x＝cos2x，可得1＋sin xcos x＝－cos xsin x－1＝－12.【答案】－1 27．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝1 2，∴tan α＋1tan α＝2.【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289 169，∴sin α－cos α＝17 13.【答案】17 13二、解答题9．已知tan x＝2，求：(1)cos x＋sin xcos x－sin x的值；(2)23sin2x＋14cos2x的值．【解】(1)cos x＋sin xcos x－sin x＝1＋tan x1－tan x＝1＋21－2＝－3.(2)23sin2x＋14cos2x＝23sin2x＋14cos2xsin2x＋cos2x＝23tan2x＋14tan2x＋1＝23×4＋144＋1＝712.10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以sin2αcos2α＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin2βcos2β＋1，所以1cos2α＝2cos2β，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝________.【解析】∵sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α.又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________. 【解析】原式＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°| ＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】－13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0，∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝289169，∴sin A －cos A ＝1713，∴sin A ＝1213，cos A ＝－513，故5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝843. 【答案】 8434．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ. (3)方程的两根及此时θ的值．【解】 (1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

苏教版数学高一必修四练习同角三角函数关系

双基达标 (限时15分钟)1．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析由sin θ＝－45<0，tan θ>0知θ是第三象限角，故cos θ＝－35.答案－352．已知α是第二象限角且tan α＝－512，则sin α＝________. 解析由sin αcos α＝－512.∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋14425sin 2α＝1，又sin α>0∴sin α＝513.答案 5133．已知sin α－cos α＝12，则sin 3α－cos 3α＝________.解析 ∵sin α－cos α＝12，∴sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝14，∴sin αcos α＝38.∴sin 3α－cos 3α＝(sin α－cos α)(sin 2α＋sin αcos α＋cos 2α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116. 答案 11164．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是________．解析 cos αsin α－1＝cos α(1＋sin α)(sin α－1)(1＋sin α)＝－cos α(1＋sin α)cos2α＝－1＋sin αcos α＝12.答案1 25．已知tan α＝3，则sin2α＋2sin α·cos α的值为________．解析因为tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝110.于是sin2α＋2sin α·cos α＝9cos2α＋6cos2α＝15cos2α＝1510＝3 2.答案3 26．化简下列各式：(1)1－2sin 40°cos 40°；(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β.解(1)1－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|sin 40°－cos 40°|，∵sin 40°<cos 40°，∴|sin 40°－cos 40°|＝cos 40°－sin 40°.(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝cos2β＋sin2β＝1.综合提高(限时30分钟)7．已知tan α＝－32，则sin αcos α等于________．解析由tan α＝sin αcos α＝－32∴sin α＝－32cos α∴sin α·cos α＝－32cos 2α＝－32cos2αsin2α＋cos2α＝－32tan2α＋1＝－613.答案－6138．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.答案－329．若cos α<0，化简 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α为________．解析 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝1－sin α|cos α|＋1＋sin α|cos α|＝－2cos α. 答案－2cos α10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －1k －32＝1. ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.答案 3411．已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α；(2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α.解 (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114. (2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223. (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940. 12．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求下列各式的值：(1)tan θ； (2)sin θ－cos θ；(3)2sin θ·cos θ＋2sin 2θ1－tan θ. 解 (1)∵sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝125.∴sin θ·cos θ＝－1225<0.∴sin θ>0，cos θ<0.联合⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，整理可得25sin 2θ－5sin θ－12＝0.解得sin θ＝45或sin θ＝－35(舍去)．∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43.(2)sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝1－2sin θ·cos θ＝ 1＋2425＝75.(3)2sin θ·cos θ＋2sin2θ1－tan θ＝2sin θ(cos θ＋sin θ)1－sin θcos θ＝2sin θ·cos θ(cos θ＋sin θ)cos θ－sin θ＝－2425×15－75＝2417513．(创新拓展)已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a ∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．解(1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a. ∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a.解得：a＝1－2或a＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a≤1，∴a＝1＋2舍去．∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.。