数列递推在高中数学联赛中的应用

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高中联赛排列组合的解法

数学竞赛中的排列组合问题江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。

其解题方法也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。

一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有。

（1998年全国高中数学联赛）解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个奇数。

当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。

题意要使其和为不小于10。

我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法：（0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3），（1，2，5），（1，3，4）。

因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。

例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。

若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动。

那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种。

（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。

故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。

（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法。

随后的两次跳法各有四种，比如由F出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共4种。

因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。

∴一共有2+24=26种不同跳法。

高中数学中数列与数列递推公式的性质与运算总结

高中数学中数列与数列递推公式的性质与运算总结数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列在高中数学中有着重要的地位，它不仅是数学中的基础，也是其他数学分支的重要工具。

在学习数列的过程中，我们不仅需要了解数列的性质，还需要掌握数列的运算方法和数列递推公式的应用。

首先，数列有着一些基本的性质。

首先是数列的有界性。

一个数列如果存在上界或下界，那么它就是有界数列；反之，如果没有上界或下界，那么它就是无界数列。

其次是数列的单调性。

如果数列的后一项大于（或小于）前一项，那么这个数列就是递增（或递减）数列；如果数列的后一项大于等于（或小于等于）前一项，那么这个数列就是递增（或递减）数列。

此外，数列还有等差数列和等比数列等特殊类型。

等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等；等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等。

其次，数列的运算方法也是我们需要掌握的。

数列的运算主要包括四则运算和复合运算。

四则运算是指对数列中的每一项进行加、减、乘、除的运算；复合运算是指对两个或多个数列进行运算，如求和、求积、求差等。

数列的运算方法可以帮助我们进一步研究数列的性质和规律。

最重要的是数列递推公式的应用。

数列递推公式是指通过已知的数列前几项，推导出数列后续项的公式。

数列递推公式有两种形式：显式递推公式和递推关系式。

显式递推公式是指通过已知的数列前几项，直接得出数列后续项的公式；递推关系式是指通过已知的数列前几项，得出数列后续项与前几项的关系，然后再通过递推关系得出数列后续项的公式。

数列递推公式的应用可以帮助我们解决实际问题，如求解等差数列或等比数列的通项公式，求解复合数列的递推关系等。

总结起来，高中数学中数列与数列递推公式是我们必须掌握的重要内容。

数列的性质和运算方法可以帮助我们深入理解数列的规律和特点，数列递推公式的应用可以帮助我们解决实际问题。

通过对数列的学习和应用，我们不仅可以提高数学思维能力，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。

高中数学竞赛专题1-7

专题一数学竞赛中的数列问题东北育才学校张雷数学竞赛中的数列问题可以分为以下三类(1) 递推数列问题：其中二阶递归数列是数学竞赛中非常重要的内容.既是高考中递归数列的延伸，又是数学竞赛的基础知识.其形式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）.且已知1a 和.2a 求}{n a 的通项公式.我们通常采用特征方程法.即设βα,为方程q px x +=2的二根.则βα≠时，.n n n B A a βα+=其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定；如果βα=，则.)(1-+=n n n B A a α其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定. 除此之外，还有不动点法等.(2) 数列不等式问题（3）数列综合应用问题：数列问题丰富多彩，常与不等式、数论、组合、函数方程等相结合，这需要我们灵活的解题能力和全面的数学知识.【范例选讲】一、递推数列问题1. （2008年东南竞赛）设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+=.试求通项n a 的表达式.解：将所给递推关系的两边同时除以12n +，得111,2222n n n n n a a n n+++=++ 即111,2222n n n n n a a n n+++-=+ 所以 1111112222nn ni ii ii i i i a a ii +++===⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 111111(1)2242n n n i i a a n n i+++=+-=+∑，即 111(1)112.4222n n n n i i n n i a ++=+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑令12n n i i i S ==∑，则1122nn i i i S -==∑， 11111112122222nn n n n n n i i i i i i i i i i i i S S S +---====-=-=-=-∑∑∑∑111111211112222n n i i i n i i -+---=+--⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑1121112111()222212nn n i n i n n --=⎡⎤=-+=-+-⎢⎥⎣⎦-∑112112222n n nn n -+=-+-=-故 111(1)1123(1)222(1)4222242n n n n n n n n n n n a n +++⎡++⎤++⎛⎫⎡⎤=++-=+-≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，从而 222(6)1(2)n n a n n n n -=-+--≥.2．（2009年高中数学联赛）已知p ，q （0q ≠）是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，12n n n a pa qa --=-（n =3，4，…）．（I ）求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；（II ）若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3. （2000年全国高中数学联赛）设数列}{n a 和{b n }满足10=a ，00=b ，且,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n 证明：n a ),,2,1,0( =n 是完全平方数．分析我们能否得到}{n a 的递推关系，先求出通项看一看. 证明由于6371+-=+n n n a a b 则.637121+-=+++n n n a a b 代入下式整理得： 61412--=++n n n a a a 即).21()21(142112---=-++n n n a a a 又10=a ，.41=a 则由特征方程法可求得： n n a )347(41+=21)347(41+-+n . 由于 7±43=（2±2)3 ，所以 2])32(21)32(21[n n n a -++=设n n n c )32(21)32(21-++=，则10=c ，.21=c由特征方程法可知：}{n c 满足递推关系.412n n n c c c -=++故由0c ，1c 为整数可推得：n c 为整数，于是n a 为完全平方数. 二．数列不等式问题4、（2007年全国高中数学联赛）设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数2≥n 时，n n a a <+1.证明由于)111(11)1(1k n k n k n k -+++=-+，因此∑=+=n k n kn a 1112，于是，对任意的正整数2≥n ，有∑∑+==++-+=-1111121111)(21n k n k n n k n k n a a0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==nk n k kn n n n k n n ，即n n a a <+1 5.（2003年女子竞赛）数列{}n a 定义如下：2112,1,1,2,n n n a a a a n +==-+=，证明：20031220031111112003a a a -<+++< 证：由题设得11(1)n n n a a a +-=-111111n n na a a +∴=---122003122320032004120042004111111111()()()1111111111111a a a a a a a a a a a a ∴+++=-+-++-------=-=----易知数列{}n a 是严格递增的，20041a >，故1220031111a a a +++<为了证明不等式左边成立，只需证明2003200412003a -> 由已知用归纳法可得1111n n n a a a a +-=+，及11,(1)n n n a a a n n ->≥从而结论成立。

如何总结高一数学的数列递推关系与应用

如何总结高一数学的数列递推关系与应用在高一数学的学习中，数列递推关系及其应用是一个重要且具有一定难度的知识点。

要想学好这部分内容，我们需要深入理解其概念，掌握常见的递推关系类型，并能够灵活运用它们解决各种实际问题。

首先，我们来明确一下什么是数列递推关系。

简单来说，数列递推关系就是通过已知的项，按照一定的规则推出后续的项。

比如，对于数列{aₙ}，如果给出了 a₁的值，以及一个关于 aₙ和 aₙ₋₁（或者其他前面的项）的关系式，那么就可以依次求出后面的项。

常见的数列递推关系类型有很多。

等差数列的递推关系是 aₙ ＝aₙ₋₁＋ d（d 为公差），等比数列的递推关系是 aₙ ＝ aₙ₋₁ × q（q为公比）。

除了这两种基本的数列，还有一些更复杂的递推关系，比如线性递推关系（形如 aₙ ＝ paₙ₋₁＋ q，其中 p、q 为常数）、非线性递推关系（如 aₙ ＝ aₙ₋₁²＋ 1 等）。

在学习数列递推关系时，理解其通项公式的推导过程是非常关键的。

以等差数列为例，我们知道 a₁的值，公差为 d，那么 a₂＝ a₁＋ d，a₃＝ a₂＋ d ＝ a₁＋ 2d，以此类推，可以得到 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d。

这个通项公式就是通过对递推关系的不断累加得到的。

对于等比数列，同样可以通过类似的方法推导出通项公式 aₙ ＝ a₁ × qⁿ⁻¹。

掌握了数列递推关系的类型和通项公式的推导，接下来就是要学会应用它们解决实际问题。

在数学竞赛或者高考中，经常会出现与数列递推关系相关的题目。

比如，让我们求数列的某一项的值，或者判断一个数列是否满足某种递推关系。

这时候，我们就需要根据已知条件，选择合适的递推关系类型，然后运用相应的方法进行求解。

例如，有这样一道题目：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ ＝2aₙ₋₁＋ 1（n ≥ 2），求 a₅的值。

首先，我们可以根据递推关系依次求出 a₂、a₃、a₄，最后求出 a₅。

竞赛中的数列题评析

解Ａ＝＿ｚ，得旦＝故
＋＝．
（）２略．
评析
数列的递推关系形如ａ＋ｐ＋ｑ（１２， ≠Ｏ）其特征方程为＝ｘ＋ｑ，为特征＝ａａｎ＞朋，ｐ，
根．１若ＩＺ，（）Ｔ＃则其通项ａ＝Ｉ＋；２若＝则其通项ａ＝（Ｂ）ＡＴ（），Ａ＋ｎ
表示）．
设第ｎｎ）的第一个数为ａ，ａ２＋，（ ≥２行则＝ａ一２两边同除２列因＝厅１，以１ × ．数ｆ等数，此ｎ（＋）－所０１２｛１｝Ｌａ￥ｎａ：２２５：１％ｎ，００＝
评析数列的递推关系形如ａ＝ａ一，ｐ＋往往可变形转化为
２Ｉ特征根法求通项．
・
１６・
中学教研（学）数
例１已知Ｐ，（ ≠Ｏ是实数，ｑｑ）方程一＋０有２个实根Ｉ，，列｛满足ａｐａ＝一ｑｑ＝Ｔ￣数３ａ｝：，：ｐ，
ａｐ１ｑ２凡＝， … ）＝ａ一一ａ一（３４，．
第６期
陈硕罡：赛中的数列题评析竞
・ｌ５・
竞赛中的数列题评析
●陈硕罡（东阳中学浙江东阳３２０）２１０
全国高中数学联赛经过２Ｏ多年的发展，虽然试题题型等几番变化，但总体形成了自己特定的命题风格，别是一些重点内容，以说是 “ 年必考、特可年常考常新 ” 数列就是这样的一个内容，．它在整个中学数学

竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略

解，则实数ａ的最小值是（
（Ａ）１
参考文献：
（Ｂ）２
（Ｃ）４
提示：利用分类讨论法．答案为Ｃ．
［１］周玲．数学竞赛在中国的实践质问其教育价值
［Ｊ］．数学教育学报，２０１０（５）．［２］２００８年全国初中数学竞赛天津赛区初赛［Ｊ］．中等数
１
０ｌ＝２，口ｍ＋＋０ｍ
一
一
，ｎ＋ｎ＝－（ｎ＋口２，１），
其中，ｍ、ｎ∈ Ｎ，ｍ≥凡．证明：
（１）对一切ｎ∈ Ｎ，有
ａ＋２＝２ａｎ＋ｌ—ａ＋２；
收稿日期：２０１２— ０８—３１
由于ａ一ａ＞０，故
（ｎ ≥１）．ａ＋ａ＝４ａ（ｎ ≥２）．
从而，１＝
故＋＋… ＋ｊ —
ａｉａ２ａ２ｏｏ９
（２）由于ａ＋＝４ａ一ａ，（ｎ ≥２），廿『利用特征值法知
ａ２＝４ａ一２ｎ．
代入式②并化简得ａ＋２＝２ａ＋ｌ — ａ＋２．（２）由式③得
（ａ＋２一ａ＋１）＝（ａ＋ｌ — ａ）＋２．
③
例１设数列｛ａ｝（ｎ ≥ ０）满足
（２００９，全国高中数学联赛湖北省预赛）
证明（１）在题设关系式中，令ｍ＝ｎ，得ａ０＝０；
此，一直备受命题者的青睐． … 本文以试题为例，就竞赛中的递推型数列不等式问题的求解策略作一探究，供读者参考．

高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限定理的应用技巧

高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限定理的应用技巧数列是数学中的一种重要概念，它是按照一定规律排列的数的集合。

而数列极限则是数列的重要性质之一，它描述了当数列中的项趋于无穷时整个数列的性质。

本文将介绍数列与数列极限的概念以及它们在高中数学中的应用技巧。

一、数列与数列极限的概念及性质1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的数的集合，通常用字母表示。

比如，我们可以用$a_1, a_2, a_3, \ldots$表示一个数列，其中$a_n$表示数列中的第n项。

数列也可以用函数的形式来表示，如$f(n)$表示数列中的第n 项。

2. 数列的递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项推导得到，这种关系被称为数列的递推关系。

比如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的递推关系是$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$。

3. 数列极限的概念数列极限描述了当数列中的项趋于无穷时，整个数列的性质。

若存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N 时，$|a_n - L| < ε$成立，则称数列存在极限L，记作$a_n \to L$。

4. 数列极限的性质（1）数列极限存在唯一性：如果数列的极限存在，则极限是唯一的。

（2）数列极限与递推关系的关系：如果一个数列存在极限L，并且数列的递推关系是$a_{n+1} = f(a_n)$，则当n趋于无穷时，$a_{n+1}$也趋于L。

（3）数列极限的保序性：如果数列$a_n$和$b_n$满足$a_n \leqb_n$，且它们都收敛于L，则L满足$a \leq L \leq b$。

二、数列极限在数列求和中的应用1. 数列和的定义和性质数列和表示数列中一定项数的元素相加的值，通常用$S_n$表示。

比如，数列$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$的前n项和可以表示为$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$。

高中数学竞赛数列专题

高中数学竞赛数列专题摘要：一、引言1.高中数学竞赛的重要性2.数列专题在竞赛中的地位二、数列基本概念与性质1.等差数列2.等比数列3.斐波那契数列4.数列的极限与连续三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式2.等比数列求和公式3.求和公式的应用实例四、数列与函数的关系1.数列的通项公式与函数2.数列的前n项和与函数五、数列题型分类与解题策略1.判断数列性质题2.数列求和题3.数列递推式题4.数列与函数综合题5.解题策略总结六、高中数学竞赛数列真题解析1.真题举例2.解题过程与思路分析七、数列专题强化训练与建议1.推荐练习资料2.强化训练方法与时间安排3.提高数列能力的建议八、总结1.数列专题在高中数学竞赛中的重要性2.掌握数列基本概念与性质3.熟练运用求和公式和解题策略4.结合实际训练，提高数列水平正文：一、引言随着教育制度的不断发展，高中数学竞赛日益受到广泛关注。

在众多竞赛专题中，数列专题具有举足轻重的地位。

本文将从以下几个方面展开讨论，以帮助同学们更好地掌握数列知识，提高在数学竞赛中的竞争力。

二、数列基本概念与性质1.等差数列：等差数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之差相等。

这一常量称为公差。

2.等比数列：等比数列是指一个数列，其中任意两个相邻的元素之比相等。

这一常量称为公比。

3.斐波那契数列：斐波那契数列是指这样一个数列：第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项等于前两项之和。

4.数列的极限与连续：数列极限是指当项数趋向无穷时，数列值的极限值。

数列连续性是指数列在某一区间内，任意两项之间的差值趋于0。

三、数列求和公式与应用1.等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

2.等比数列求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数，a1为首项，q为公比。

3.求和公式的应用实例：利用求和公式计算等差数列或等比数列的前n项和。

高中数学竞赛数列专题

高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。

本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。

一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。

数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。

数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。

数列的性质包括有界性、单调性以及极限。

有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。

单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。

而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。

二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。

等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。

等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。

等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。

斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。

斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。

三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。

通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。

在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。

解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。

高中数学竞赛几个重要的特殊数列

第二节几个重要的特殊数列基础知识 1．斐波那契数列莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。

在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。

年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。

其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n n n B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。

（这个问题的证明我们将在下节课给出）因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为：251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nnn B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。

高中数学中的数列与递推关系解析

高中数学中的数列与递推关系解析数列是数学中的重要概念之一，它在高中数学中占据着重要的地位。

数列可以看作是一系列按照一定规律排列的数，而递推关系则是描述数列中每一项与前一项之间的关系。

在高中数学中，数列与递推关系的解析是数学学习的重点之一，下面将对数列与递推关系的解析进行探讨。

一、数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每一项称为数列的项，项之间的顺序是有序的。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

例如，1，2，3，4，5，6，……是一个无限数列，而1，4，9，16，25，36是一个有限数列。

数列中的每一项可以用通项公式来表示，通项公式是数列中的每一项与项号之间的关系式。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其通项公式为an=3n-2，其中an表示数列中的第n项。

二、等差数列与等差数列的解析等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式可以通过递推关系来解析。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有递推关系an=a1+(n-1)d。

通过这个递推关系，我们可以求得等差数列的通项公式。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a1=1，公差d=3，通项公式为an=1+(n-1)3=3n-2。

三、等比数列与等比数列的解析等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式可以通过递推关系来解析。

设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则有递推关系an=a1*r^(n-1)。

通过这个递推关系，我们可以求得等比数列的通项公式。

例如，对于等比数列2，4，8，16，32，……，其首项a1=2，公比r=2，通项公式为an=2*2^(n-1)=2^n。

四、斐波那契数列与斐波那契数列的解析斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项公式可以通过递推关系来解析。

设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，第n项为an，则有递推关系an=a(n-1)+a(n-2)。

对一道2011年数学联赛数列题解法的探究及思考——兼谈递推数列问题的解题策略

（２ ±
一１，
下面用数学归纳法证明之：
① 当ｎ＝１，猜想显然正确；时 ② 假设当ｎ时（ｅＮ．，猜想成立，即吼＝＝ｋ），
因詈＝为斟
记＝则６＝
，
＝
一
，
１ ’
（中ｂ＝２，其ｌ）
如＝
２５７ｔ—
一
一
、
ｃ４４ｔ－Ｚｆ。一ｌ
—了一 ’
该题中已知条件给出的递推关系十分复杂，很难一下子找到合适的思路和方法，参考答案提供的解法如下：
猜想％：鲨
，
原：已条变为＋三解将知件形：ｔ＝
以上几个例子都选自文［］［］Ｉ、２，这些解题过程比文［］１、
［］２所介绍的构造法还要简捷些．由此可见，迭代法是通解之法．
３造法是智者之法．构
尽管归纳法和迭代法简单易懂，但有些时候却不能用，例
熟练运用归纳法和迭代法的基础上，适当地引入构造法也是可
２￣ｔ一ｋ一２４ｋ２（一１－）
收稿日期：２１－１００１１－９
作者简介：陈立彬（９９）１６一，男，浙江天台人，中学高级教师，浙江省天台县教育局教研室教研员，主要从事数学教育与中学数学研究
４６
（一１＝Ａ１）１（一１．３２）（＋８ ×（一一３２）ｎ＋ｎ
８一５一５＋６＝１ｏ，６＋８一２１一３一％７＝％７＋１．８ … ．３ｏ，＝一

高中数学中的数列递推公式推导与应用

高中数学中的数列递推公式推导与应用在高中数学中，数列是一个经常出现的概念。

它由一系列数字按特定顺序排列的序列组成。

对于一个数列，我们可以用递推公式来描述，递推公式是指一个数列中的每一项都是由它前面的一项推导而来的。

在学习数列时，递推公式的推导和应用是必不可少的一部分。

一、递推公式的推导对于一个数列，如果我们已经知道了它的前几项，那么我们可以通过推导递推公式来求得数列中的任意一项数。

首先，我们要明确一个概念，就是公差。

公差指的是数列中相邻两项的差值。

对于一个数列，它的通项公式是指数列中任意一项的数学式子。

我们可以通过求解通项公式，来推导出递推公式。

例如，我们有一个等差数列{a1, a2, a3, ..., an}，其中公差为d，首项为 a1。

我们可以通过不断地对相邻两项求差，找到数列中每一项与第一项之间的差值。

具体如下：a2 - a1 = da3 - a2 = d......an - an-1 = d将上述式子两两相加，可以得到：a2 - a1 + a3 - a2 + ... + an - an-1 = (n - 1)d即an = a1 + (n - 1)d这就是等差数列的通项公式。

我们可以把它转化成递推公式，如下：an = an-1 + d这个递推公式表明，一个等差数列中的每一项都是由它前面的一项加上公差 d 推导而来的。

同样的，我们也可以用类似的方式推导出等比数列和斐波那契数列的递推公式。

二、递推公式的应用在数列问题中，我们通常会遇到两个问题：一是求得数列中某一项的值；二是求得数列前 n 项的和。

递推公式能够帮助我们解决这两个问题。

举个例子，假设我们有一个数列 {1, 3, 5, 7, ...}，其中每一项都是奇数。

我们可以用递推公式来求得它的第 n 项值和前 n 项和。

假设数列中的第一项为 a1，公差为 d，通项公式为an = a1 + (n - 1)d我们可以得出该数列的递推公式：a1 = 1d = 2an = an-1 + 2接下来，我们可以利用递推公式求得数列中第 n 项的数值：- a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3- a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5- a4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7以此类推，我们就可以得到该数列的任意一项。

高中数学竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式

2
转化法:这里需要恰当的变形……
思考
1.已知数列{an}中，a1=
3 5
，an+1=
an 2an
1
，
求{an}的通项公式．
解：(倒数变形) 1 2an 1 1 2
an1
an
an
∴

1 an

是以
5 3
为首项，公差为
2
的等差数列，
即1 an

5 3
+2（n－1）=
一般地，可仿第122 页例5的处理方法试试看.
∴an=tan

(n
1)
4
atc tan 2 ．
思考 5.设 a0 1 , an
1

a2 n1

1
an1
n N*
,求通项公式 an .
7
思考5
练习4
思考 5.设 a0 1 , an 1
山重水尽疑无路……
4

110…an…( n
3

N
*
),求通项公式
an
.
思考
3. 已知函数
f (x)
( x 1)4 ( x 1)4
( x 1)4 ( x 1)4
( x 0 ),在数列
{an } 中, a1 2 , an1 f (an )( n N )，求数列 {an } 的通项公式．
求通项公式 an . 法一:取对数变形
102

1 2n1
法二:作商用迭加法也很好!
练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列an 中,
a1 1, a2 10 , an2an13an2 1 ( n≥ 3 , n N * ),

数学竞赛中的数列问题

高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。

性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl l kl l j i 11，那么∑∑===kl j kl i lla a 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl l kl l j i 11，那么llj kl i kl a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。

性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki km i m ki ki ki iaS aS aS ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(11211k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。

性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。

例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n n T S nn ，则=∞→nn n b a lim（）A.1B. 36 C.32 D.94 （1995年高考）方法：例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（） A.130 B. 170 C. 210 D.260 （1996年高考）方法1：方法2：特殊值法例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S nn（1）求2828a b 的值，（2）求使nn a b 为整数的所有正整数n 。

高中数学竞赛数论

高中数学竞赛数论数论作为数学的一个分支，是数学竞赛中重要的考查内容之一。

高中数学竞赛数论题目常常涵盖了整数性质、模运算、质数等各个方面的知识。

在数论的学习和应用中，往往需要我们灵活运用各种技巧和方法来解决问题。

本文将从基本概念、常见性质、解题技巧等方面来介绍高中数学竞赛数论的相关内容。

一、基本概念1. 整数的性质：整数的奇偶性、整数的除尽性等都是数论中基本的概念。

在解题过程中，我们常常需要利用整数的性质来简化问题。

2. 算术基本定理：任何一个大于1的正整数，都可以表示为若干个质数的乘积，且这种表示方法是唯一的。

这一定理在数论中有着非常重要的作用，解决了很多关于因数分解的问题。

3. 同余方程：在数论中，我们常常会接触到模运算和同余方程。

同余方程是指在整数集合Z上定义的一种关系，通常用符号“≡”来表示。

在解决问题时，求解同余方程是一个常见的手段。

二、常见性质1. 质数性质：质数是指只有1和它本身两个正因数的自然数。

在解题中，我们需要掌握质数的性质，如质数的判定方法、质数之间的性质等。

2. 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了正整数幂的同余性质。

欧拉定理在数论中的应用非常广泛，是解决一类数论问题的重要工具。

3. 数列与递推关系：在数论竞赛中，常常会涉及到数列和递推关系。

我们需要熟练掌握数列的性质和常见的数列递推方法，以便解题时能够迅速找到规律。

三、解题技巧1. 数学归纳法：数学归纳法是数论中常用的证明方法，通过数学归纳法可以证明某个结论对于所有正整数都成立。

在数论竞赛中，经常可以用到数学归纳法来解决问题。

2. 等价转化：有时候，我们需要将原来的问题进行等价转化，从而简化解题过程。

通过巧妙的等价转化，我们可以找到更容易解决的问题。

3. 假设反证法：假设反证法是一种解题思路，通过假设问题的否定，再通过逻辑推导得出矛盾，从而证明原命题成立。

在数论中，假设反证法常常被用来解决一些猜想和证明问题。

浅析高中数学数列问题中的递推关系的应用

８７，简得：＿ｌ＋８＝，６０化ｎ６ｎ５８０解得ｎ１或ｎ４（）即１月１１这＝２＝９舍，１２３天感染者人数最多，７人。为５０
一
二、如ａ＿－ｆｎ，（）形（）ｆｎ为等差或等比数列时递推关系
故感者数为里共染人：
２
＋堕
２
！
：
月１．市新的流感病毒感染者有２人，后，天的新感日该０以每染者平均比前一天的新感染者增加５人。由于该市医疗部门０采取措施，该种病毒的传播得到控制，某天起，天的新使从每感染者平均比前一天的新感染者减少３人，１月３Ｏ到１０日止，
者人数为ｂ＝０３一）３＝２ｎ５０２（０ｎ一０一０＋７。
找第ｎ与前面几项的关系式，及初始项的值。它不是一种项以抽象的概念，是需要针对某一具体题目或一类题目而言的。我们将对递推关系的建立作比较深入析高中数学数列问题中的递推关系的应用
梁建梅
（Ｉ广播电视大学丰南分校，北唐山唐｜【ｊ河０３０）６３０
摘要：世界上的一切事物都在不经意之中变化着，在这纷繁的变幻中，多现象的变化是有规律可循的。这种规律往许