数学建模0-1规划问题
数学建模阅卷分配问题
SJ
k 1 nj
jk ijk
x zi A j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19)
4）每个评委评判某个学校的B题卷数目不能超过该校B题卷 数的总量，不评B题卷的评委评阅该校B题卷的数目为0，即：
(1 SJ
k 1
jk
) xijk (1 z i ) B j (i 1,2, ,19; j 1,2, ,19)
1707
B
1708
B
1709
B
1710
A
1801
B
1802
B
1803
B
1804
B
1805
A
1806
A
1807
B
1808
B
1901
A
1902
B
1903
A
-
-
-
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-
数学建模竞赛评卷中的试卷分配问题
现有来自19所学校的19名评委（每校一名）评阅试卷，同 时要求： 1）每份试卷经四位评委评阅； 2）每位评委只能一道题，且来自01，04，06，12，16学校 的评委要求评A题，来自02，05，07，10学校的评委要求评B 题； 3）为了使每位评委的工作量尽可能的平均，要求每个评委 评阅的试卷数在40-45份； 4）每名评委尽可能回避本校答卷，并且每个评委评阅的答 卷尽可能广泛。 根据上述已知条件以及要求，寻找最佳的评卷分配方案。
19
7）来自01，04，06，12，16学校的评委评A题，来自02， 05，07，10学校的评委评B题，即 zi 1 (i 1,4,6,12,16); zi 0 (i 2,5,7,10)
公交站点的数学建模的例子0-1规划
公交站点的数学建模的例子0-1规划记录一个关于0-1规划问题（指派问题、分配问题）模型的建立、实现、求解的过程，并在基础模型通过添加惩罚或激励机制考虑多种情况。
记录目的在于学习交流以及日后自己对该类模型能进行较快的进行描述实现。
问题描述（基础）考虑这么一个分配问题有9个数，让他们其中分成2组每组不超过6人，每组又分成A、B两队，每队不超过3人。
目标使得每组A、B两队和之差最小。
用数学题的语言进行描述该问题，现有9人，分成2组，每组最多6人，每组内又分AB两队，如何安排才能使得每组两队分数较为平衡。
思考解的形式我们将解分成2*2个（两组每组两队）部分，每个部分需要重9个数中进行选择，用0-1来表示在该部分中是否被选中，那么它的解的个分别数为9*2*2，用矩阵形式为：将其用向量的形式进行表示：思考约束条件以及目标解的形式确定之后，思考如何针对该解的形式，然后对问题进行描述，从问题中和解的形式，我们可以总结出以下的2个约束：•每组中的A部分和B部分分别小于等于3人•每个数只能出现1次，即每一列的和为1 用公式进行表达为：∑j=113x1ja<=3∑i=13xi1a<=1∑j=113x1jb<=3∑i=13xi 1b<=1......思考目标两队分数之和比较接近，可以理解每一组中为：max(∑(xa)∗y)st.∑(xa)∗y<=1/2∗∑(x)∗y其中x表示9个数的位置（0-1表示），y表示对应位置的数的值,即使得每组A队的分数尽可能大并且接近该组之和的1/2。
将其组合起来可以该总目标表示为：max(∑(xija)∗y）st.∑j=19x1ja<=∑j=19x1jb∑j=19x2ja<=∑j=19x2jb最后将问题进行重新进行整理•目标为：A队之和最大•约束1: 每队小于等于3人•约束2: 每组A队小于B队•约束3: 每个数只能出现1次，即每一列和为1代码实现主代码，函数在附录。
数学建模研究生录取问题(人员调度)
2013年中北大学大学生数学建模竞赛选拔赛题B 研究生录取问题摘要本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1规划问题。
首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，考虑所有可能的师生配对方案，根据总体满意度作为评价研究生复试招生合理性的指标，找到师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。
对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。
在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。
关键词：集对分析层次分析法0-1 规划双向选择一问题重述某校某学科方向招收研究生指标是20人，达到复试线的是31个人，有关学生初试复试成绩见后面表格。
导师中有3位教授(T1,T2,T3)，7位副教授(T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10)，现需要解决以下问题：1. 根据初试和复试成绩，选拔20位学生。
2. 根据学生意愿，对导师和学生进行分配。
其中教授T3今年只招2人，其余每位教授可招收3-4人，每位副教授可招收1-2人。
3. 近几年采用的导师分配办法是：先由每位教授根据学生意愿选择3人，再由每位副教授根据学生意愿选择1人；接下来根据学生意愿教授可以再选择1人，副教授再选择2人。
试提出评价研究生复试招生合理性的指标，并对上述方法予以评价。
4. 学校规定：各学科严格按照下达指标招生，不得超过；如果某学科不能完成今年的招生计划，明年的指标按照今年实际招生数量确定。
但在近几年的招生中发现有以下问题：一是因面试时间短，面试效果不理想，个别不是很优秀的学生被录取；二是确定并录取名单后，有的学生拒绝录取，又到别的学校参加复试；三是有的学生9月份报到的时候，因找到工作，或对导师安排有意见或其它个人原因放弃读研机会，导致指标浪费。
试提出招生录取的改进方案，该方案对上述问题有一定考虑，并对该方案的利弊进行评价。
数学建模lingo作业-习题讲解
基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。
根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。
生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。
每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。
厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。
其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。
最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。
同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。
试为该节能灯具厂制定生产计划。
解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。
第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。
在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。
（1） 关于生产数量的目标约束。
用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。
用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。
因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。
数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.Lingo软件是常用的优化问题的求解软件。
参考答案:正确2.0-1规划是整数规划。
参考答案:正确3.求解整数规划一定能得到最优解。
参考答案:错误4.整数规划是指规划问题中的全部变量限制为整数。
参考答案:错误5.所有决策变量均要求为整数的整数规划称为纯整数规划。
参考答案:正确6.整数规划与线性规划不同之处在于增加了整数约束。
参考答案:正确7.分枝定界法是整数规划的常见算法。
参考答案:正确8.原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划也一定有最优解。
参考答案:错误9.整数规划最优解常可以按照实数最优解简单取整而获得。
参考答案:错误10.与线性规划连续的可行域不同，整数规划的可行域是离散的。
参考答案:正确11.整数规划由于限制变量是整数，增加了求解难度，但整数解是有限个，所以有时候可以采用枚举法。
参考答案:正确12.非线性规划已经有一般的适合所有问题的成熟的解法。
参考答案:错误13.非线性规划的局部最优解和全局最优解等价。
参考答案:错误14.多目标规划的目标函数多于1个。
参考答案:正确15.非线性规划是指规划模型的目标函数或者约束条件中至少有一个为非线性表达式。
参考答案:正确16.多目标规划的解法包括分枝定界法，单纯形法。
参考答案:错误17.根据地球上任意两点的经纬度就可以计算这两点间的距离。
参考答案:正确18.如果可能，把非线性规划转换为线性规划是非常好的一个思路，原因是线性规划有比较成熟的算法。
参考答案:正确19.Lingo软件求解非线性规划的结果都是全部最优解。
参考答案:错误20.求解多目标规划的线性加权和法，在确定权系数之前，一般要对目标函数值做统一量纲处理，其目的是避免出现大数吃小数、权系数失去其作用的问题。
参考答案:正确21.哥尼斯堡七桥问题由欧拉证明了是可以走通的。
参考答案:错误22.“健康中国2030”规划纲要其中一项主要指标是将我国人均预期寿命提升至79岁左右。
数学建模 学校选址问题模型
学校选址问题摘 要本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。
为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。
模型一：首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数：∑==161i i x s然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件;最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab 进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。
模型二：首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。
然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。
其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。
在替换后，进行具体求解。
再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。
最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。
关键字：最少建校个数 最小花费 固定成本 规模成本 灵敏度分析1. 问题重述1.1问题背景：某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。
但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示：表1-1备选校址表备选校址1 2 345 6 7 8 覆盖小区1,2,3, 4,6 2,3,5,8, 11,20 3,5,11,201,4,6,7,12 1,4,7,8,9,11,13, 14 5,8,9,10 11,16,20 10,11,1516,19, 20 6,7,12, 13,17, 18 备选校址9 10 11 12 13 14 15 16覆盖小区 7,9,13, 14,15, 17,18, 199,10,14,15,16, 18,191,2,4,6, 75,10,11, 16,20,12,13，14,17, 189,10,14, 152,3,,5, 11,202,3,4,5,81.2 问题提出：问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。
数学建模——生产计划问题
v .. . ..数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号. . . 资料. .1生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。
针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。
模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。
关键词：Lingo、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。
1该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
二、问题分析该问题的目标是使一年总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。
三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。
四、变量说明变量含义z总赔偿和库存费用i4,3,2,1=jx,3,2,1,=第j季度产品i的产量ij=ji,=d34,3,2,1,,2,1第j季度产品i的需求量ij114,3,2,1,3,2,1,==j i s ij 第j 季度末产品i 的库存量五、模型的建立与求解根据题中所给条件分析可得：决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库存的费用最小为目标，即：()∑∑∑===+++=3131313211.58.105.205.20min j i j ijj j j s d d d z约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j 季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即：8.150007.33.41.2321≤++j j j x x x约束条件二：产品I 在第二季度无法生产，产量为0，即：012=x约束条件三：每种产品在第四季度给库存150件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即：1504141+=∑∑==j j ij ijd x约束条件四：第i 季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即：11j jik ij ij ik k k xd s d ==+-=∑∑ 约束条件五：每个季度每种产品的产品量不可能为负数，并且也只能为整数，即：4,3,2,1,3,2,1,0==≥j i x ij 且为整数，1线性规划的目标函数与约束条件方程为：33312311112312441111min (20.520.510.8) 5.12.1 4.3 3.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4j j j ijj i j j j j ij ij j j jj ik ij ij ik k k ij z d d d s x x x x s t x d x d s d x i j ========+++⎧⎪++≤⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+-=⎪⎪≥==⎩∑∑∑∑∑∑∑且为整数，利用Lingo 得出总的赔偿加库存的费用最小为5900.70元。
(完整word版)数学建模最佳阵容问题附程序代码
最佳阵容问题摘要本文针对女子体操团体赛中最佳出场阵容的问题.我们通过对赛程规定和已知数据的分析，合理的列出了目标函数和约束条件，特别对第二问的目标函数使用中心极限定理使目标函数简化.建立了以0—1整数规划为核心的数学模型,针对第一问分别使用贪心算法和0-1规划确定全能运动员。
使用lingo对模型进行求解.最后很好的给出了不同情况下出场阵容的最佳方案，由概率知识可容易的求出夺冠概率（0)和得分期望（224。
6）,有90％的把握可战胜平均成绩为222。
7249的对手。
得出下面的具体结果.关键词贪心算法 0-1规划中心极限法一、问题分析每个队至多允许10名运动员参赛，每个项目可以有6名选手参加，每个运动员只能四项全参加或只参加单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项.每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员可参加单项比赛。
问题一：1. 每个选手的各单项得分按最悲观估算，排出一个出场阵容,使该队团体总分尽可能高。
2. 每个选手的各单项得分按均值估算，排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。
需要先确定4个全能运动员，考虑使用贪心算法确定,然后再使用1个0—1变量进行0-1整型规划，使用lingo求解确定剩余6个人的出场阵容。
但贪心算法只能找到局部最优解,于是考虑使用2个0-1变量也可用lingo进行求解，可以使结果更加优化。
问题二:1.求出一个出场阵容使该队总分不少于236.2分的概率最大,以该阵容出战,其夺冠的前景如何，得分期望值又如何。
2。
按以上阵容出战,它有90％的把握战胜得分为多少的对手。
要使一个出场阵容夺冠的概率最大，也可使用问题一的0—1整型规划，但此时发现目标函数过于复杂，使用lingo无法实现.于是考虑对目标函数进行合理的化简，由于各场比赛之间可以看作是相互独立的事件服从正态分布，因此我们选择使用中心极限定理对目标函数进行简化，之后再使用lingo进行求解即可。
数学建模-生产计划问题
数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。
针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。
模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。
关键词： Lingo 、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。
该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
二、问题分析该问题的目标是使一年总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。
三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。
四、变量说明变量含义z总赔偿和库存费用=jix,=4,3,2,1,3,2,1第j季度产品i的产量ij=jd,=i,3,2,1,34,2,1第j季度产品i的需求量ijis=j4,3,2,1,=,3,2,1第j季度末产品i的库存量ij五、模型的建立与求解根据题中所给条件分析可得：决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库存的费用最小为目标，即：()∑∑∑===+++=3131313211.58.105.205.20min j i j ijj j j s d d d z约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j 季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即：8.150007.33.41.2321≤++j j j x x x约束条件二：产品I 在第二季度无法生产，产量为0，即：012=x约束条件三：每种产品在第四季度给库存150件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即：1504141+=∑∑==j j ij ijd x约束条件四：第i 季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即：11j jik ij ij ik k k xd s d ==+-=∑∑ 约束条件五：每个季度每种产品的产品量不可能为负数，并且也只能为整数，即：4,3,2,1,3,2,1,0==≥j i x ij 且为整数，线性规划的目标函数与约束条件方程为：33312311112312441111min (20.520.510.8) 5.12.1 4.3 3.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4j j j ijj i j j j j ij ij j j jj ik ij ij ik k k ijz d d d s x x x x s t x d x d s d x i j ========+++⎧⎪++≤⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+-=⎪⎪≥==⎩∑∑∑∑∑∑∑且为整数，利用Lingo得出总的赔偿加库存的费用最小为5900.70元。
线性规划模型
（1）模型中常数数据不精确
（2）模型中常数数据可能发生变化
价值变动
min z cx s.t. Ax b x0
11/43
资源总量变动
敏感性分析
max z 60d 30t 20c 8d + 6t + c <=48 4d + 2t + 1.5c <= 20 d + 1.5t + 0.5c <=8 t <= 5
mn
满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合 称为可行域 ，满足最优目标的解称为最优解 决策变量为整数时，称为整数线性规划
决策变量取0或1时，称为0-1线性规划
7/43
线性规划问题的解
线性规划问题的可行域是一个凸多边形；
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的
顶点处达到。
单纯形法:
约束条件右端变化一个单位时目标函数变化量，只对紧约 决策变量改变一个单位时目标函数的改变量，只有非基变 量有值 束有值
12/43
敏感性分析
Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 60.00000 0.0 8.000000 30.00000 60.00000 0.0 20.00000 2.500000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 48.00000 INFINITY 2.000000 20.00000 1.333333 8.000000 8.000000 1.000000 3.000000 5.000000 INFINITY 2.000000
数学建模建模实例
s.t.
m n
n
i =1 j =1
∑x
j =1 m i =1
ij
≤ ai = bj
i=1,2,…,m J=1,2,…,n i=1,…,m;j=1,…,n
∑x
ij
xij ≥ 0
ห้องสมุดไป่ตู้
5.当销量之和大于产量之和时 这类运输问 当销量之和大于产量之和时,这类运输问 当销量之和大于产量之和时 题称为销大于产的运输问题,其数学模型为 销大于产的运输问题 题称为销大于产的运输问题 其数学模型为
min f = ∑∑ cij xij
s.t.
m n
∑x
j =1 m i =1
n
i =1 j =1
ij
= ai = bj
i=1,2,…,m J=1,2,…,n i=1,…,m;j=1,…,n
∑x
ij
xij ≥ 0
1.产地产量之和与销地销量之和相等的运输 产地产量之和与销地销量之和相等的运输 产地产量之和与销地销量之和 产销平衡运输问题. 问题称为产销平衡运输问题 问题称为产销平衡运输问题 2.约束条件数是产地数与销地数之和 约束条件数是产地数与销地数之和m+n 约束条件数是产地数与销地数之和 3.决策变量数是产地数与销地数之积 决策变量数是产地数与销地数之积m n 决策变量数是产地数与销地数之积 4. 产量之和大于销量之和时 有产大于销的运 产量之和大于销量之和时,有产大于销的运 输问题,其数学模型为 输问题 其数学模型为
f =21x11+25x12+7x13+15x14+51x21+51x2237x23+15x24 约束条件: 约束条件 x11+x12+x13+x14=2000 x21+x22+x23+x24=1100 x11+x21=1700 x12+x22=1100 x13+x23=200 x14+x24=100 xij ≥ 0, i=1,2; j= 1,2,3,4
经典最短路径问题-数学建模
9 62
5 10 11
8
8
3 99
7 2 10
2
5
最短路径算法
Dijkstra算法
使用范围:
2
8 177
8
8
3354
5
61 1
9 9
6 2 5 12 11
3
9
7 2
10
0 2
1) 寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径;
2) 有向图、无向图和混合图;
3) 权非负.
算法思路：
采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每 个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.
for i=1:n
① ins=0;
for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1;
min=label(terminal);
path(1)=terminal;
i=1;
while path(i)~=start
path(i+1)=f(path(i));
i=i+1 ; end
③
path(i)=start;
②
ins=0;
for j=1:length(s)
if i==s(j)
ins=1;
end, end
if ins==0
v=i;
if k>label(v)
k=label(v); v1=v;
end, end, end
s(length(s)+1)=v1;
u=v1;
end
最短路径算法
Dijkstra算法程序的使用说明：
[D, path]=floyd(a)
数学建模货物配送问题
货物配送问题摘要随着城市经济的发展，现代服务业快速发展，城市配送已经成为支撑城市正常运作和经济发展的重要手段。
货物配送作为物流体系中基本的业务环节。
公司通过制定完善的配送方案来获取较大利益。
本文是针对梦想连锁一家主营鲜猪肉的食品加工公司的2个生产基地对其他23 个销售连锁店所需鲜猪肉的的运输调度问题提出相应的方案。
针对问题一，考虑每个城镇的销售量都是固定的，并且要满足所有连锁店的需求，要求运输成本最低，转化为路径最短的问题。
首先根据所给数据画出全省城镇交通网络图。
采用0-1规划算法，即决策变量能到达为1，否则为0，编写程序，用lingo软件直接得出每个连锁店与生产基地所在地城镇63和城镇120之间距离的最小值和所到连锁店，得最优生产与配送方案：由生产基地120向连锁店1、2、5、9、10、11、13、14、15、19、21、22运送货物，其成本为6532.0313元，由生产基地63向连锁店3、4、6、7、8、12、17、18、20、23运送货物，其成本为4008.86118.元。
因此优化得，总的最低成本为10540.89248元。
针对问题二，对于第一小问，采用描述统计的方法，求得各个城镇需求的平均值、方差，通过分析数据来描述其特征。
对于第二小问，在全省所有城镇年需求量已求的基础上，建立灰色预测模型，然后预测分析2012年以后各年份的需求总量，得出全省需求量达峰值时，时间为2014年2月份，并将出现峰值时所有城镇的需求结果进行排序，求解出需求量较大的前五位城镇分别为120、63、31 、106、 68；需求量较小的后五位城镇为 84、30 、54 、74 、129 。
针对问题三，本题需决定连锁店的增建方案，以使全省销售量最大，这是一个优化问题。
我们将采用先分析后计算，并结合0-1规划的方法。
建立目标函数和约束条件。
并利用lingo软件编写程序，城镇6 8 10 18 31 33 50 54 56 64 68 76 100 101 104 110 116 120 123 125 150 154需要增设连锁店，其中城镇120，31,64，10,123分别含有连锁店的个数是3,2,2,2,2个，其余的城镇连锁店个数为1个，使得全省销售量最大，最大值为919414公斤。
数学建模学生面试问题(强烈推荐)
学生面试问题摘要本文研究的学生面试问题，是在给定学生数量的前提下，按照每名学生的面试组由四名老师组成，且各个学生的面试组两两不完全相同的要求，研究需要的老师数量，并求出面试分组方案。
为了保证面试的公平性，组织者还提出了四条要求，需要考虑除Y2外使其它三条要求尽量满足的分配方案。
第一问是已知学生数量为N，求任意两个面试组最多只有一名老师相同的最小老师数量，我们将此问题转化成一个0-1规划模型，并设计了优化搜索方法，通过MATLAB编程实现了最少M的近似解。
在第二问的解决中，首先对Y1-Y4四个要求进行了分析，并分别建立了相应的量化指标，在此基础上，建立了一个多目标规划模型。
针对学生数较多，模型求解运算量大的问题，特别设计了优化算法，减少了搜索中的运算量。
同时，通过讨论均衡与公平性的含义，以分目标为基础，建立了综合评价目标，以此为指引，使搜索算法更具有针对性。
计算结果表明，分配方案满足Y1-Y4的情况是非常好的。
第二问中还运用组合数学中区组设计的理论，论证了N=379、M=24时不存在完全满足均衡和公平要求的理想分配方案。
第三问中，将老师组分成文、理两类，首先修改了问题一中的相应模型和算法，给出了求解结果。
在第二问中提出了启发式－混合交叉算法，从模拟结果看，分配方案比原第二问中的方案要差些，但总体上在各个指标上满足的情况也是较好的。
第四问首先分析了均匀性与面试公平性的关系，并提出了公平率的评价指标。
为了解决学生与面试老师有特殊关系，及个别老师打分过于苛刻或宽松的问题，本文提出了规避的解决方法。
关键词：多目标规划算法评价指标1.问题重述某高校采用专家面试的方式进行自主招生录取工作。
经过初选合格进入面试的考生有N人，拟聘请老师M人进行面试。
每位学生要分别接受“面试组”的每一位老师的单独面试。
每个面试组由4名老师组成。
各位老师独立地对考生提问并根据其回答问题的情况给出评分。
为了保证面试工作的公平性，组织者提出如下要求：Y1：每位老师面试的学生数量应尽量均衡；Y2：面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同；Y3：两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量的少；Y4：任意两位老师面试的两个学生集合中出现相同学生的人数尽量少。
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
数学建模典型例题
一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天.每天的体育运动消耗热量大约是69焦/千克天乘以他的体重千克.假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦.试研究此人体重随时间变化的规律.一、问题分析人体重Wt随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程.二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为Wt+△t-Wt；身体一天内的热量的剩余为10467-5038-69Wt将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dWt+△t-Wt=10467-5038-69Wtdt；四、模型求解d5429-69W/5429-69W=-69dt/41686W0=W解得：5429-69W=5429-69We-69t/41686即：Wt=5429/69-5429-69W/5429e-69t/41686当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案.5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输.在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本aij 购入价减去折旧加上运营和维修成本.以千元计数aij的由下面的表给出：请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略.二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略.三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二511 7 三 64166 13 8四一 9128 1120五10六运用Dijikstra算法1 2 3 45 60 4 6 912 206 912 20912 2012 2020可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出.三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1.那么双方各采取什么策略二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题.1、对策参与者为两方红蓝两方2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动.蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮记为1-1-1-1、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个记为2-1-1-0、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有记为2-2-0-0.显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的.三、问题假设：（1）红蓝双方均不知道对方的策略.（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取.（3）红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标.（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策.四、模型建立行动及其产生的结果由此可得赢得矩阵蓝方为A,红方为BA= 1 00.75 0.50 0.50 0.83B= 0 0.25 0.5 1 0.5 0.17没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i的概率为 xii=1,2,3,红方采取行动j的概率为yjj=1,2,则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=x1,x2,x30< xi<1,∑xi=1｝,S2=｛y=y1,y20< yi<1,∑yi=1｝.五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略xMax v10x1+0.25x2+0.5x3 >v1x1+0.5x2+0.17x3 >v1x1+x2+x3 =1xi<=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略yMin v2y2<v20.25y1+0.5y2 <v20.5y1+0.17 y2 <v2y 1+y2=1yi<=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键.所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益.现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成.雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同.各雷达的重要性如下表所示表中该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障问题：如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益一、问题分析：该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益.根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵.二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务,分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成. 三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A 根据题目,设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =,bi 表示第i 个任务的重要性.列出保障任务重要性向量：[]7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B我们用二者的乘积表示效益矩阵：T*=BAR.我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务,如果是,其值为1,否则为0.利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程：∑=<=niijx11,m<=nmodel:sets:M/1..10/;N/1..18/:a;allowedM,N:b,r,x;endsetsdata:a=0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7;b=0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.8 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.50.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.2 0.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.70.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 0.20.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.5 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.20.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0;enddatamax=sumallowedi,j:xi,jri,j;forMi:forNj:ri,j=ajbi,j;forMi:sumNj:xi,j=1;forNj:sumMi:xi,j<=1;forMi:forNj:binxi,j;End解得最大效益为6.63,分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A 型,5、7号承担B1,B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型.。
数学建模实验一：数学规划模型AMPL求解
实验一：数学规划模型AMPL求解专业年级：2014级信息与计算科学1班姓名：黄志锐学号：201430120110一、实验目的1. 熟悉启动AMPL的方法。
2. 熟悉SCITE编辑软件的运行。
3. 熟悉AMPL基本编程。
4. 熟悉AMPL求解数学规划模型的过程。
二、实验内容1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
基本模型：根据题意，设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2，每天获利为z元，则可建立线性规划模型如下：max z=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0,x2≥0模型求解：使用AMPL编程求解上述线性规划模型（并作敏感性分析）代码如下：结果分析：使用AMPL编程求解上述线性规划模型（并作敏感性分析）结果如下：通过分析上述结果可知，该线性规划模型的全局最优解为x1=20,x2=30，则最优值为3360（即最大利润为3360元）。
求解过程中迭代次数为2次。
对上述线性规划模型进行敏感度分析有：1.目标函数系数变化范围：x.rc x.down x.up :=x1 0 64 96x2 0 48 72;即x.rc为最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量; x.down,x.up为最优解不变时目标函数系数允许变化范围。
2.影子价格raw = 48 原料增加1单位, 利润增长48;time = 2 时间增加1单位, 利润增长2;capacity = 0 加工能力增长不影响利润即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，甲类设备的影子价格为0元。
数学建模
物品分组排序问题摘要文主要研究物体的排序问题，从两方面进行考虑，一是考虑重量，二是考虑体积。
在物品满足这两个条件时，不需要更换物品，否则需要更换。
通过不同的算法，我们确定如何安装和排序的问题。
问题1运用了0-1整数规划模型，通过求解得到各个象限的物品。
问题2同时考虑了重量和体积的问题，使模型更复杂化了。
问题3利用了灵敏度分析，能够很快地解答出重量和体积的取值范围。
问题一中，明确16个物品均匀分布的含义，即物品在每个象限域的个数要相等，只能有4个物品在每个象限，并且各个象限域内物品的质量和要在某一的范围内，不能出现过重或过轻的情况。
由以上的均匀分布可得：每个物品必须在规划的指派问题模且只能在其中的一个象限域内，这样，我们就很容易想到01型。
从而利用lingo软件优化模型，得到结果。
问题二中，要满足的条件不仅是重量上的，而且还要满足体积上的，所以要同时考虑重量和体积。
体积的要求是相邻两个组，即相邻两个象限之间比较，而重量的要求是相邻象限之间的比较，所以将体积的要求优先考虑，进而再去考虑体积的要求,利用lingo优化模型，得到结果。
问题三中，综合考虑重量和体积时，分为以下3种：①当体积满足条件时，重量不满足条件；②当重量满足条件时，体积不满足条件；③体积和重量都不满足条件；最后，本文给出了模型的评价与推广。
关键词：0-1规划的指派问题模型网络搜索物品更换一、问题提出现有物品16件，每件物品的重量G和体积V互不相同，下面的附件数据提供了相关数据。
试解决下列问题。
（1）按照要求需要将16件物品分成四组，每组4件。
如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小，试建立数学模型，给出求解算法和最优分配方案。
（2）如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小的同时，每组之间的总体积差也要尽可能小，并且重量差优先，试建立数学模型，并给出最优分配方案。
（3）如果要求分组后每组之间的总重量差不能大于2，每组之间的总体积差不能大于3，请验证附件数据不能满足以上要求。
数学建模优化类型题
题目1产销量的最佳安排某厂生产的某种产品有甲、乙两个型号，假设该工厂的产品都能售出，并等于市场上的销量。
工厂的利润既取决于销量和（单件）价格，也依赖于产量和（单件）成本，按照市场经济规律，甲的价格会随其销量的增长而降低，同时乙的销量的增长也会使甲的价格有一定的下降；乙的价格遵循同样的规律。
而甲、乙的成本都随其各自产量的增长而降低，且各有一渐进值。
请你为该工厂设计一个最佳的产销量安排计划，即确定两个型号各自的产量，使总的利润最大。
解答提示1．无约束优化模型建立与求解记甲、乙两个型号的产（销）量分别为x1和x2，价格分别为p1和p2，成本分别为q1和q2。
简单地假设每个型号的价格与两个型号的销量成线性关系，即，，，并且合理地设（为什么？）。
简单地假设每个型号的成本与本型号的产量服从负指数关系，且有渐进值，即，，。
于是总利润为问题化为求解。
设定如下一组数据：，，输入MatLab求解，得到结果为：甲的产量为23.9025，乙的产量为62.4977，最大利润为6413.5。
查看程序代码function y=fun(x)y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);y=-y1-y2;x0=[50,70];[x,y]=fminunc(@fun,x0),z=-y题目2饮料厂的生产计划某饮料厂只生产一种饮料用以满足市场需求。
该厂销售科根据市场预测，已经确定了下一个月（未来四周）该饮料的需求量。
该厂生产计划科根据本厂实际列出了一个生产计划数据表（如下表所示）。
根据此表第二栏（生产能力）的数据，该厂能够提前完成生产任务，但如果周末有产品库存，每千箱饮料的库存费为则应如何安排生产, 可以保证按时满足市场需求, 且使总费用最小?1. 线性规划模型建立与求解（注意：此提示的数据是参考默认输入的数据值,请注意比较）本题目主要考察线性规划模型建立与求解。