高二数学(理)《平面的法向量》(课件)

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高二数学人教B版课件1

1.2.2 空间中的平面与空间向量
最新课程标准
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点) 2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点) 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)
知识点一平面的法向量及其应用
1．平面的法向量：如果向量n的基线与平面α___垂__直___，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量
→ n
，可确定唯一一个过点A
且垂直于向量→n 的平面．
2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？
[提示] 设直线l，m的方向向量分别为 →a ＝(a1，a2，a3)， →b
＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为→u ＝(u1，u2，u3)，→v ＝
0，0，
3 2
，D
－1， 23，0
，
C0， 23，0，E0， 43， 43. 所以F→E＝0， 43， 43，F→D＝－1， 23，0.
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．
m·F→E＝0，则m·F→D＝0，
即
43y＋
43z＝0，
－x＋ 23y＝0.
z＝－y，
所以 x＝
23y，
令y＝2，
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有ab··nn＝＝00，， ∴52xx＋＋63yy＋＋4z＝z＝00，. 令z＝1，得x＝－2，y＝1，
∴n＝(－2,1,1)．答案：C
4．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( )

高二数学选修课件：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示

人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
[例 1]
如图， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° SA⊥ ，
人教 B 版数学
1 平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平面 SAB 的法向量．
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每
个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．
人教 B 版数学
[解析]
∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，
→ → → ∴以 A 为原点，以AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴， 1 z 轴的正方向建立坐标系， A(0,0,0)， 2，则 D( 0,0)， C(1,1,0)， → ＝(1，0,0)，是平面 SAB 的法向量， S(0,0,1)，AD 2 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，μ)，
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质．理解平面的向量表示． 2．过程与方法用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行人ຫໍສະໝຸດ 教 B 版数学或垂直问题．
3．情感态度与价值观培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
重点：平面法向量的概念及性质．难点：利用法向量法解决几何问题．
人教 B 版数学
第三章
空间向量与立体几何
人教 B 版数学

【课件】空间中点、直线和平面的向量表示第1课时高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
解析
因为 AB ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，
所以AB∥平面yOz.
课堂小结
1．空间中点的位置向量；
2．空间中直线的向量表示式；
D．(－3，0，1)
典例分析
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，
1
2
AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量．
解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以、、的方向
z
S
y
为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，
B
1
解决了一些立体几何问题.
本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究
的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形. 为了
用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的
位置用向量表示出来.
走进教材
知识点一：空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可
以用向量 OP 来表示．我们把向量 OP 称为点P的位置向量．
P
O
走进教材
知识点二：空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以
Ԧ
得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋t，①
Ԧ
P
把＝代入①式得
Ԧ
＝＋t，②
B
A
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

二、平面的法向量及其应用+课件-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

5
8
是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 =
2: 3: −4
x, y, z ，则 x: y: z = ___________.
>
m
<
[解析] 因为 AB = 1, −3, −
>
m
<
所以
x − 3y
>
m
<
7
− z=
4
7
7
4
0，
−2x − y − z = 0，
4
2
3
>
/m
<
4
3
>
/m
<
>
/m
<
m
<
>
/m
<
是 AB ， BA ， A1 B1 ， DC ， C1 D1 等.每一个表面的法向量也有多个,例如平面 ABB1 A1 的法
>
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<
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/m
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m
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向量可以是 AD ， CB ， D1 A1 ， B1 C1 等.
>
m
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m
<
>

平面的法向量及其应用课件高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

(1)在四边形BCC ' B '内，是否存在一点N，使得AN 平面A ' BD ?
(2)求证：AC ' 与平面A ' BD的交点恰为线段AC '的三等分点.
解 (1)如图，以点A为原点，AB，AD, AA ' 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则B(1, 0, 0), D(0, 2, 0), A(0, 0,3),
①
反过来，由立体几何的知识可以证明：满足①式式．
n
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如果一条直线l与一个平面垂直，那么就把直线l的方向向量 n 叫作
平面的
法向量平面的法向量，则 n .
如果点M 是平面内给定的一点，向量n 是平面的一个法向量，点P是
量表示式平面内任意一点，那么把 MP n 0 称为平面的一个向量表示式.
平面内所有直线的方向向量
众多向量中找两个不共线的两个满足平面的向量表示式
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
如图，在长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，AB =1，AD 2，AA ' 3.
A1
B1
y
D
C
A
x
M
B
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
平面的法向量的求法：
向量名称
图示
l
α
平面的法向量
求
法
① 找到直线l⊥α;
②直线l的方向向量即为平面的法向量.

《直线的方向向量与平面的法向量(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

如图，在三棱台中，，，，设，，，以为空间的一组基，求直线，的一个方向向量．
解：．所以直线的一个方向向量是．．∴直线的一个方向向量为．
结构框图
教材第119页练习第2，3，4题．
显然直线的位置被唯一确定，
即，空间中任意一条直线的位置可以由直线上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定．
对于直线上的任意一点，一定存在实数，使得．反之，由几何知识不难确定，满足上式的点一定在直线上．
直线的向量表示
如图，根据直线的向量表示可知：点在直线上等价于存在实数，使得．又因为，，所以，整理，得．即，点在直线上的充要条件是．此结论可以证明空间三点共线．
求
，，三点共线
(多选)若点，在直线上，则直线的一个方向向量是( ) A. B. C. D.
解：因为点，在直线上，，所以向量，都是直线的方向向量．故选AB．
已知直线经过点，直线的一个方向向量为．若是直线上任意一点，求满足的关系式．
解：由题意知．因为是Байду номын сангаас方向向量，所以∥，所以．所以满足关系式为．
在空间直角坐标系中，已知点，，点是线段上的一点，且，求点的坐标．
解：设点的坐标为，由题意可知：，且，∴．即，，解得．∴点的坐标为．
根据列方程组
求解
设出点的坐标
在空间直角坐标系中，已知点，，，点为直线上的一点，且，求．
解：依题意知，，．因为点为直线上的一点，所以存在实数，使得，则．由，得，即，解得．∴．
第三章空间向量与立体几何
直线的方向向量与平面的法向量(1)
那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢？
空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的．如图，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．

直线的方向向量与平面的法向量(课件)-高二数学同步精品课堂(苏教版2019选择性必修第二册)

解如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得 D(0,0,0)，P(0,0,1)，E0，12，21，B(1,1,0)，于是D→E＝0，12，21，D→B＝(1,1,0). 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，则 n⊥D→E，n⊥D→B，于是n·D→E＝12y＋12z＝0，
n·D→B＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝1，
存在实数t,使得AP ta,
如何用点A 的位置向量和l 的方向向量a表示OP ？
又由三角形法则可知AP OP OA
代入上式，通过移向可得点P 在直线l上的充要条件是存在实数t,
使得OP OA ta ①
O
将AB a代入上式，也可得 OP OA t AB ②
直线的向量表示式
a
P
B
A
O
探究新知
故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1).
课堂练习 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°， AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量.
解因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
2．空间直线的向量表示式取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使
―O→P ＝_―_O_→A__＋__t_a__， ① 取―A→B ＝a，代入①式，得 ―O→P ＝_―_O_→A__＋__t_―A_→B__， ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件

×
×
√
√
×
×
×
--
考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示峡山中学高二数学组 2010-12-23【课标点击】(一)学习目标：1、掌握平面的法向量；2、利用平面的法向量判定平面的位置关系；3、平面的向量表示；4、线面垂直的判定定理；5、三垂线定理.(二)教学重、难点：平面的向量表示、线面垂直的判定，面面垂直的判定【课前准备】（一）知识连接：1、空间直线的向量参数方程：a t OA OP +=或OB t OA t OP +-=)1(2、设P 为AB 之中点则)(21OB OA OP +=3、直线1l 与2l 的方向向量为1v 和2v ，则2121////v v l l ⇔，212121v v v v l l ⋅⇔⊥⇔⊥=04、两直线成的角，与两直线的方向向量成角的关系5、 p 与a ，b 共面（a ，b 不共线）⇔R y x ∈∃,使b y a x p +=6、点A 、B 、C 不共线，则点A 、B 、C 、P 共面⇔∃x 、y R ∈使AC y AB x AP += （二）问题导引：如何证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直？【学习探究】（一）自学引导：自主学习课本102页至103页部分． 1、平面的法向量2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（用向量方法证明）3、平面的向量表示：4、设1n 、2n分别是平面α、β的法向量，那么：α//β或α与β重合⇔ 21//n n αβ⊥⇔21n n ⊥5、三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，O A 是P A 在平面α内的射影，a α⊂，且a O A ⊥求证：a P A ⊥；证明：∵P O α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=∴a ⊥平面P O A ，∴a P A ⊥．说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a O A αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭6条斜线的射影垂直证明思路： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．（二）思考与讨论：⑴三垂线指：（PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a ）2）其实质是：（斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理）注意：要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用（三）典型例题:例1．在正方体111ABCD A B C D -中，求证：1D B是平面1AC D 的法向量．例2：已知正方体''''ABC D A B C D -.求证：平面''//A B D 平面'B D C .例3.如图，底面A B C D 是正方形，SA ⊥底面A B C D ，且SA AB =，E 是S C 中点. 求证：平面BD E ⊥平面A B C D .说明：一．证明垂直关系，可通过向量的数量积等于0来实现；二．要善于转化，即挖掘已知的垂直关系，将未知向已知转化（四）变式拓展：已知正方体1111ABC D A B C D -中，,E F 分别为1,BB C D 的中点，求证：1D F ⊥平面A D E 。

高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量中我们能否用直线的方向向量与平面的法向量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的方向向量与平面的法向量的位置关系来研究．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．

高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量

a 例题3：已知所有棱长为的正三棱锥 A BCD ，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3,3,1) ，B(1, 0,5) ，求线段AB 所在直线的一个
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
棱ACBCDD上，A1CB1GC1D11，4 CED,，F分H别是是C1GDD的1, D中B点中，点求线，段G 在
（1）向量 AA',OC, BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体ABCD A'B'C'D'的棱长AB 2, AD ，4, AA' 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？如何表示空间直线的方向？
方向向量对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点，所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4、教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念直线方向向量的不唯一一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1) AA'; (2)B'C; (3) A'C; (4)DB'

课件1：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则nn11··AA→→11BP＝1＝00，， ⇒y－1＝x10＋，y1＋(a－1)z1＝0， ∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.
令 z1＝1，得 x1＝a－1， ∴n1＝(a－1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
三垂线定理及其逆定理
求平面的法向量
如图 3－2－10，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 的法向量．
【思路探究】先确定平面 SCD 内的两个不共线向量，比如D→C，S→C，再设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)，构造方程组求解．
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，
即 PD⊥平面 ABE.
利用空间向量解决探索性问题 (12 分)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
图 3－2－13
D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即 n1·D→A＝2x1＝0， n1·A→E＝2y1＋z1＝0，
得xz11＝＝－0，2y1，
令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2)．
因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
的中点，N 为 BC 的中点．
证明：直线 MN∥平面 OCD. 【思路探究】只需建系证明M→N·n

高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量

方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
ABCD A1B1C1D1， E, F分别是 DD1, DB 中点，G 在
棱
CD上，CG
1 4
CD，
H是
C1G
的中点，求线段
，
B1C, EF,C1G, FH 所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4ห้องสมุดไป่ตู้教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念直线方向向量的不唯一一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
；猫先生猫先生app ；
不咋大的不咋大的の凤舞城破仙阁,像毒蛇破仙这种神王巅峰の强者,最多属于中层人员,看情况和毒蛇差不多实力の破仙还有不少. 白重炙越想越心惊,这破仙阁の势力简直太庞大了,庞大得他都不敢想象了.想了一阵,白重炙却是苦笑一声,没有再多想. 破仙阁在强大又关自己什么事?自己只是想赚够足够の神石,再想办法去龙阳府,将炽火位面购买下来.然后回炽火大陆去,带着自己几位漂亮の妻子,安安静静の度过漫长の岁月.等自己哪天烦了,腻了,或许才会想来神界寻找一些激动刺激の生活吧… 走进中央最大城堡内,白重炙发现里面装饰の很是简单,但是却又不缺乏大气和庄严.里面大厅非常之大,比凤舞城家主府大多了.里面有着数十名身穿破仙袍の练家子,在里面玉石桌子上坐着.或是闲聊,或是喝茶饮酒. 一路上,遇到无数の破仙,这些人显然都认识毒蛇破仙三人,都含笑着对着三人打着招呼,也对三人背后の白重炙十一人,露出淡淡の微笑. 白重炙十一人不敢多言,无比恭敬の跟着毒蛇破仙,朝里面走去,最后来到大厅右边一些房间门口.毒蛇破仙,示意众人在外面等一下,自己却独自走了进去.半个时辰之后却是再次出来了,递给众人一枚白色の刻着恶魔の徽章,说道： "这是临时徽章,正式の需要在五天之后才会

【数学】3.2.2《平面法向量与平面的向量表示》课件(新人教B选修2-1)

解：由题意可得， = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) AM
又 AM ⋅ n = 0
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
平面 α 的方程
3、平面法向量的应用
β n 设 n1， 2 分别是平面 α ，的法向量，
n1 = λ n2 ⇔ n1 // n2 ⇔ α // β 或α与β 重合 ⇒ ⇒ n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ α ⊥ β
C
n
B O A x y
n ⋅ AB = ( x, y, z ) ⋅ (− a, b,0) = − ax + by = 0 则 n ⋅ AC = ( x, y, z ) ⋅ (− a,0, c) = − ax + cz = 0 a a 解得y = x, z = x b c
令x = bc,则y = ac, z = ab
总结：
1）总结利用向量证明两平面平行的方法。 • 一个平面的一组基底与另一个平面共面两平面至少有一个非公共点 • 两平面的法向量互相平行 2）证明两平面垂直即证两平面的法向量互相垂直 3）如何利用平面的法向量证明直线与平面垂直？设 µ 是平面 α 的法向量， ν 是直线 l 的方向向量
l ⊥ α ⇔ µ //ν
a a 令x = 1,则 y = , z = b c
n = (bc, ac, ab)
a a n = (1, , ) b c
有何关系？
课堂练习
1、下列结论中，正确的有____________: （1）同一平面的不同法向量是共线向量；（2）若 a 是平面α 的法向量，是平面 β 的法向量， b a⋅b = 0 则；（3）设非零向量 b 、c 均与平面 α 共面，若 a ⋅ b = 0 b ⋅ c = 0 ，则 a 是平面 α 的法向量。 2、平面的一个法向量为 (1,2,0) ，平面的一个法向量为( 2,−1,0)，则平面 α 与 β 的位置关系是 _____________。 3、已知平面经过三点A(1,2,3)、 ( 2,0,−1) 、 (3,−2,0) C B 试求平面α 的一个法向量。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)课件苏

→ n1· DA＝2x1＝0，即 → AE＝2y1＋z1＝0， n1·
→ → 则 n1⊥DA，n1⊥AE，
x1＝0，得 z1＝－2y1，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). → → 因为FC1· n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
证明
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， → → → 所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明
—→ 因为C1B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → —→ 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
→ n2· FC1＝2y2＋z2＝0，得 —→ C1B1＝2x2＝0， n2· x2＝0，得 z2＝－2y2.
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的
联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何
问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；
第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCDAD＝ 3，试建立恰当的空间直角坐标系，
求平面ACE的一个法向量.
解答
引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面 PCD的一个法向量.

人教B版高中数学选修2-1《平面的法向量与平面的向量表示》课件

面法向量，并总结出求平面法向量的步骤
【小结归纳】
通过这一节学习，你有哪些收获？
1、平面法向量的定义及性质 2、平面法向量的应用一——平面的向量表示式 3、平面法向量的应用二——证明立体几何问题 4、求平面的法向量
【目标展示】
1.通过生活中的情景再现，能够说出平面法向量的定义,并借助正方体模型，通过问题探究一的引导，总结出平面法向量的两条性质，并能准确记忆． 2.借助问题探究二的情景设置，通过同桌之间的合作动手操作，能探究推导出平面的向量表示式. 3.借助正方体模型，通过对探究题的分析和问题串的引领，会利用法向量来证明相关的几何问题(如面面平行、面面垂直).
问题6：在正方体 ABCD ABCD中，你能举出例子来说明如何利用法向量证明面面平行和面面垂直吗？
D
C
A
B
D
A
C B
【目标四：求平面的法向量】
变式1：已知正方体 ABCD ABCD，说出面 ACD与面
的 ACB 法向量，并利用两面的法向量来判断它们的位置
关系。
变式2：如果改成长方体呢？
4.通过问题探究四和变式训练，能学会求平面法向量，并总结出求平面法向量的步骤.
【目标一：平面法向量的概念】
平面的法向量概念：已知平面，如果向量 n 的基线与平面垂直，则向量 n 叫做平面的法向量或说向量 n 与平面正交 l
n

【目标一：平面法向量的性质】
观察正方体 ABCD A1B1C1D1，请思考以下问题：问题3：如图，AA1是平面 ABCD 的一个法向量,与平面 ABCD共面的向量的关系是什么？
思考：你能总结出求平面法向量的步骤吗？
①建系，设出平面的法向量 n (x, y, z)

高二数学直线的方向向量与平面的法向量

M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD，
Fz
E
AF互相垂直。以 AB，AD，AF 为正交
N
基底，建立如图所示空间坐标系， A
D
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量 n 叫做平面的法向量.
前面,我们把平面向量推广到
空间向量
向量渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
证明：设正方体棱长为1，以DA ，DC , DD1为单位正交
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量

高二数学高效课堂资料平面的法向量(用)

证明：因为OA BC OA (OC OB)
O OA OC OA OB
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
D
AD 、D C 、DD的中点，
P
求证：⑴平面PQR∥平面EFG。 A R
⑵ BD⊥平面EFG
D
A
E
B
Q
C
B
G C
F B
例. 在空间直角坐标系内，设平面经过点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面内任意一点，求 x, y, z
例1、设平面α的法向量为(1, 2, －2),平面β 的法向量为(－2, －4, k),
若α//β，则k=
4；
若α⊥β, 则 k= －5 。
练习 1、已知l//α，且l的方向向量为(2, m, 1)，平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= －8 .
2
2、已知l⊥α，且l的方向向量为(2, 1, m), 平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= 4 .
关于三垂线定的应用：关键是找出平面(基准面)
及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆）
第三、看斜线，射影可见
第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。
强调：1°四线是相对同一个平面而言。
2°定理的关键是找“基准面”和“电线
P
a PA a (PO OA)

a PO a OA

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