最新版高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质_1
答案：C
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4．(1－x)6 的展开式中 x 的奇数次项的二项式系数的和为________． 解析：令 x＝1，则 C06－C16＋C26－C36＋C46－C56＋C66＝0，且(C06＋C26＋C46＋C66)＋(C16＋ C36＋C56)＝26， ∴C16＋C36＋C56＝25＝32. 答案：32
[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．
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(2)解答该问题 ①注重对性质的理解 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 如本例中利用性质可确定出展开式中第 6 项的二项式系数最大． ②注意对概念的区分 要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中 间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝 对值最大的项的区别.
(2)设第 r＋1 项的系数的绝对值最大，
因为 Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·－1xr＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，
所以CCr1r100··221100－ －rr≥ ≥CC1r1r＋－00 11··221110－－rr，－1，
8分
得C2Cr10r1≥0≥2CCr1r1－ ＋00 11，， 即121r－＋r1≥≥2r1，0－r， 解得83≤r≤131. 因为 r∈N，所以 r＝3，10 分 故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4＝－C310·27·x4＝－15 360x4.12 分
… 解析：由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1. 答案：2n－1
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答案：C
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2．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8 等于( )
高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角应用案巩固提升b23b高二23数学
3r
＝(－1)r54－rCr4x4－ 2 ， 令 4－32r＝1，得 r＝2， 所以展开式中 x 的系数为 (－1)2×52C24＝150.
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5．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则a21＋a222
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解：(1)设 f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4. 令 x＝1，则 f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1； 令 x＝－1，则 f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27. 则 a1＋a3＋a5＋…＋a13＝f（1）－2f（－1）＝1－227＝－13. (2)根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m 的展开式中二项式系 数的最大值为 C2mm＝a，而(x＋y)2m＋1 的展开式中二项式系数 的最大值为 Cm2m＋1＝b.又 13a＝7b， 所以 13C2mm＝7C2mm＋1， 则 13×m（！2m×）m！！＝7×（m（＋2m1）＋！1）×！m！，解得 m＝6.
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14．(选做题)已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2 ＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中 ai(i＝0，1，2，…，10) 为实常数．求：
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[B 能力提升]
11．已知(2x－1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项
系数的和小 38，则 C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn的值为( )
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，即C r n ＋1＝□03C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________.(3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋10)×92＋C 312＝274. 拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1] (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案 (1)n 2－n ＋22(2)2n－1 32解析 (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2 二项展开式的系数和问题 例2 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510,故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1. (5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r·(3)r x r，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题 例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∵T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－3x n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1 答案 D 解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.。
高中数学第一章计数原理13132“杨辉三角”与二项式系数的性质同步课件新人教A版选修2
[变式训练] 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2 ＋a4x＋a5.
(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)求a1＋a3＋a5. 解：(1)令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋ a4＋a5， 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出或 探究．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的 关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式 系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为 0，1 或－1， 但在解决具体问题时要灵活掌握．
3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数； (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 r∈{0， 1，2，…，n}的范围．
A．144 B．146
C．164 D．461
解析：由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12， 第 3 项是 C23，第 4 项是 C13……第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.
所以 S16＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13 ＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(2＋3＋…＋9)＋C310＝ （2＋29）×8＋130××29××18＝164.
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展 开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 失分警示：若此处对展开式各项系数和的概念不清楚， 则不能得出正确的关系式 又展开式二项式系数和 C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n， 由题意有 4n－2n＝992. 即(2n)2－2n－992＝0，得 2n＝32，所以 n＝5.(3 分) (1)因为 n＝5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数 最大项为第三、四两项．(4 分) 失分警示：此处易错成认为展开式只有 5 项，中间项 的二项式系数最大
高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角b23b高二23数学
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3．求展开式中系数的最大值问题． 在系数均为正的前提下，求它们的最大值只需比较相邻两个的 大小，根据通项公式正确地列出不等式(组)即可．即设第 r＋1 项的系数最大， 则TTrr＋＋11的的系系数数≥≥TTrr的＋2的系系数数.
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故(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令 x＝1，得 a0＋a1＋…＋a5＝1.
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2．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
第一章 计数(jìshù)原 理
1．3 ．2 杨辉三角
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第一章 计数(jìshù)原理
1.了解杨辉三角的特点． 2.理解二项式系数的性 质及证明． 3.掌握二项式系数的性质及其应用．
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二项式系数的性质(杨辉三角) (1)每一行的两端都是__1_，其余每个数都等于它“肩上”两个数 的和．即：C0n＝__1__，Cnn＝__1__，Cmn＋1＝_C__nm_－_1＋__C__nm___． (2)每一行中，_与__首_末__(_sh_ǒu_m_ò_)两__端__“_等__距__离_”___的两个数相等．即： Cnm＝Cnn－m.
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1．杨辉三角直观地给出了二项式系数的性质，有关杨辉三角的 问题，要从横看、竖看、隔行看、连续看等多角度找出数据与 组合数的关系规律． 2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字 母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和 特征来确定．一般地对字母赋的值为 1 或－1，但在解决具体问 题时要灵活掌握．
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所 构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左至右 的第14个数与第15个数的比为2∶3. 解析 由题意设第n行的第14个数与第15个 数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项 和第15项的二项式系数的比， 所以 C1n3∶C1n4＝2∶3，即n－1413＝23，解得 n＝34， 所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
解析 答案
(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数
组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个
数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于
A.144
B.146
√C.164
D.461
解析 由题干图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C29，第 16 项是 C19，
所以 S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29
＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)
＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.
解析 答案
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
个 二项式系数 相等
如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项 Tn1 的
增减性与 二项式系数最大
2
最大值 如果n为奇数，那么其展开式中间两项 Tn1 与 Tn11 的二项式
系数相等且同时取得最大值
2
2
二项展开式中各二项式系数的和等于 2n ， 各二项式 即 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn ＝_2_n_ 系数的和 奇数项的二项式系数之和等于 偶数 项的二项式系数之和，
高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角教案 新人教B版选修2-3(2021年整理)
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角教案 新人教B 版选修2-3三角辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角教案 新人教B 版选修2-3编辑整理：绩进步，以下为辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 杨辉三角教案 新人教B 版选修2-3的全部内容。
重点难点重点：理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。
难点：二项式系数性质的应用.教法 尝试、变式、互动教具教学过程设计 教学过程设计 教材处理师生活动三、随堂练习1。
填空：设()887871031...x a x a x a x a -=++++则（1）871...a a a +++= ； （2）876543210a a a a a a a a a -+-+-+-+= ； （3）876543210a a a a a a a a a ++++++++= ； （4）86420a a a a a ++++= ; （5）7531a a a a +++= ; 2.求1351111111111...C C C C ++++3。
3512nx x --⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大项。
4.求()()()23111a b c +++展开式的各项系数和。
8。
用二项式定(1）()11n n +- (2）10991-能 附加.设(13x -01..a a a +++板书设计:教学过程设计教材处理 师生活动5。
填空： （1）已知591515,,C a C b ==那么1016C = ; （2）当n 为偶数时，()n a b +展开式中，二项式系数最大项是第 项；当n 为奇数时,()n a b +展开式中,二项式系数最大项是第 项； （3)在()92x -的展开式中，二项式系数最大项为 .6．求 ()131x -的展开式中的含x 的奇次项系数的和. 7. 已知331n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项。
原创1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
例1 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a6 x6 a7 x7
求 （1）a0
（2） a1 a2 a6 a7
赋值法
解：设 f (x) (1 2x)（7 1）令x=0,即 f (0) (1 2 0)7 1 展开式右边即为 a0 所以 a0 f (0) 1 （2）令x=1, f (1) (1 2 1)7 1 a0 a1 a2 a6 a7
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
最大项与增减性
增减性的实质是Cnk 与 Cnk1 比较的大小.
C
k n
n! k ! (n
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合 数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只 有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不 一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法， 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr x r
Cnn x n
思考探究
1.展开式的二项式系数 Cn0,Cn1,Cn2 Cnr , Cnn 有什么变化 规律？ 2.二项式系数最大的是哪一项？
新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C kn ＋1＝C k －1n ＋C kn . (2)二项式系数的性质1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( × ) 2．二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( × ) 3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )类型一 与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A ．第6行B ．第7行C ．第8行D ．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 (1)B (2)C解析 (1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19，所以S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29)＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164.反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 34解析 由题意设第n 行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C 13n ∶C 14n ＝2∶3，即14n －13＝23，解得n ＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 类型二 二项式系数和问题例2 已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. 求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1. (2)令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5. 由(2x －1)5的通项T k ＋1＝C k 5(－1)k ·25－k·x5－k知a 1，a 3，a 5为负值，所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35. 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992. ∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝270223x . (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·3k·2(52)3k x＋，假设T k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 53k≥C k －153k －1，C k 53k ≥C k ＋153k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－k )！k ！×3≥5！(6－k )！(k －1)！，5！(5－k )！k ！≥5！(4－k )！(k ＋1)！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k ≤92，∵k ∈N ，∴k ＝4， ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x .反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C k 11x11－k (－y )k ＝C k 11(－1)k x 11－k y k， ∴项的系数的绝对值为|C k 11·(－1)k |＝C k11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C 611x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5. (4)展开式中，二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 011－C 111＋C 211－…－C 1111＝(1－1)11＝0.1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题 答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k4(－3)4－k(2x )k，∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案358解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4，该项的系数为358.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．2 D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 由条件知2n ＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k 5(x )5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k 1556k x -中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45. 6．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k4(5x )4－k·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k4342k x -，令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( )A ．展开式中的二项式系数之和是1 024B ．展开式的第6项的二项式系数最大C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a10－k (－b )k ＝(－1)k C k 10a 10－k b k 知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确．二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6. 10．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____. 考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值．(1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，①所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.②与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002. (4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100.13．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x n 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值； (3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k8m k x 8－2k ， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1. 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 54<m ≤2，2≤m <72. 所以m 只能等于2.四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________. 考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －6365解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365.15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。