chp07投影

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正轴测投影
• 正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标 正二测： 原点的距离都相等。 原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变 形系数。 形系数。
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正轴测投影
• 正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标 正三测： 原点的距离都不相等。 原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相 同的变形系数。 同的变形系数。
第七章 投影
三维图形的基本问题 投影变换 平面几何投影
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三维图形的基本问题
1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？ 在二维屏幕上如何显示三维物体？ –显示器屏幕、绘图纸等是二维的 显示器屏幕、 显示器屏幕 –显示对象是三维的 显示对象是三维的 –解决方法----投影 解决方法---解决方法----投影 –三维显示设备正在研制中 三维显示设备正在研制中 2. 如何表示三维物体？ 如何表示三维物体？ –二维形体的表示----直线段,折线,曲线段, 二维形体的表示----直线段,折线,曲线段, 二维形体的表示----直线段 多边形区域 –二维形体的输入----简单（图形显示设备 二维形体的输入----简单（ 二维形体的输入----简单 与形体的维数一致） 与形体的维数一致）
–投影分类 投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限 投影中心与投影平面之间的距离为无限
根据投影 方向与投 影平面的 夹角 根据投影 平面与坐 标轴的夹 角
平面几何投影
透视投影
平行投影
平面几何投影平面几何投影-平行投影
–平行投影 平行投影
• 投影中心与投影平面之间的距离为无限 因此， 因此，只需给出投影方向即可 • 是透视投影的极限状态
三维图形的基本问题
• 4. 如何产生真实感图形 如何产生真实感图形?
–何谓真实感图形 何谓真实感图形 • 逼真的 • 示意的 –人们观察现实世界产生的真实感来源于 人们观察现实世界产生的真实感来源于 • 空间位置关系----近大远小的透视关系和 空间位置关系-------近大远小的透视关系和 遮挡关系 • 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布 –解决方法----建立光照明模型、开发真实 解决方法----建立光照明模型、 解决方法----建立光照明模型 感图形绘制方法
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正轴测投影
正轴测投影的形成过程如下： 正轴测投影的形成过程如下：
–将空间一立体绕绕y轴旋转θy角 将空间一立体绕绕 将空间一立体绕 –然后再绕x轴旋转θx 然后再绕 –最后向z=0平面做正投影 最后向 =0平面做正投影 由于这种投影的投影平面不与立体的轴 线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可 线垂直，同时可见到物体的多个面， 产生立体效果。经过正轴测投影变换后， 产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物 体线间的平行性不变，但角度有变化。 体线间的平行性不变，但角度有变化。
x o v y z tx ty tz ty tx u (a,b) o’ ’
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y
tz o
y
y
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正平行投影-三视图
• 俯视图： 俯视图：
0 −1 −1 0 (u v w 1) = (x y z 1) 0 0 a − t b − t x y 0 0 x 0 0 0 0 v 0 1
xs = x + x p ⋅ t ys = y + y p ⋅ t z = z + z ⋅t p 计算机学院 s
z
(xs,ys)
x
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(x,y,z)
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斜平行投影求法
• 因为 • 所以
ys zi ∴t = − zp Q (x s z s )在Z = 0的平面上 ∴ z s = 0
求得： 求得： θ x = 35° θ y = 45° 正等测图的变换矩阵为
0.707 0 −0.408 0 −0.707 0 −0.408 0 0 0 0.816 0 0 0 计算机图形学 1 0 计算机学院
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斜平行投影
投影线与投影平面不垂直 • 斜等测投影 –投影平面与一坐标轴垂直 投影平面与一坐标轴垂直 –投影线与投影平面成45°角 投影线与投影平面成45 投影线与投影平面成45° 与投影平面垂直的线投影后长度不变 • 斜二测投影 –投影平面与一坐标轴垂直 投影平面与一坐标轴垂直 –投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角 投影线与该轴夹角成 arcctg(1 该轴轴向变形系数为 ½。 即与投影平面垂 。 直的线投影后长度变为原来的一半。 直的线投影后长度变为原来的一半。
∴正二侧投影需满足： 正二侧投影需满足：
cos 2 θ y + sin 2 θ y sin 2 θ x = cos 2 θ x
假定Z 假定Z轴上的单位矢量经变换后长度变为 即取Z轴的变形系数恒为1 1/2；即取Z轴的变形系数恒为1/2： sin 2 θ y + cos2 θ y sin 2 θ x = 1 / 4 可得：θx=20 42’, θy =19 28’。 可得： 42’ 28’ 变换矩阵为 0.926 0 0.378 0
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三维图形的基本问题
–三维形体的表示----空间直线段、折线、曲线 三维形体的表示----空间直线段、折线、 三维形体的表示----空间直线段 多边形、 段、多边形、曲面片 –三维形体的输入、运算、有效性保证----困难 三维形体的输入、 ----困难 三维形体的输入 运算、有效性保证---–解决方法----各种用于形体表示的理论、模型、 解决方法----各种用于形体表示的理论、 解决方法----各种用于形体表示的理论 模型、 方法 3. 如何反映遮挡关系？ 如何反映遮挡关系？ –物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡 物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡 关系 –遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分 遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分 –解决方法----消除隐藏面与隐藏线 解决方法---解决方法----消除隐藏面与隐藏线
1 0 1) →(0 cos θ x 0 1) 正轴侧投影 (0 0 1 1) →(sin θ y − sin θ x cos θ y 0 1)
正轴侧投影
(1
0 0 1) →(cos θ y
正轴侧投影
(0
sin θ x sin θ y
0 1)
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正二测和正等测
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正轴测投影
正轴测投影变换矩阵的一般形式： 正轴测投影变换矩阵的一般形式：
cos θ y 0 T = R (θ y )R (θ x )Tz = sin θ y 0 0 − sin θ y 1 0 0 0 cos θ y 0 0 1 0 0 0 cos θ x 0 0 − sin θ x 1 0 0 0 sin θ x cos θ x 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
tz ty tx u (a,b) o’y tz o y x
y
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正平行投影正平行投影-三视图
• 侧视图
0 0 0 1 (u v w 1) = (x y z 1) 0 1 a + t b + t z y 0 0 0 0 0 0 0 1
cos θ y 0 T = sin θ y 0
sin θ x sin θ y cos θ x − sin θ x cos θ y 0
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0 0 0 0 0 0 0 1
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正二测和正等测
下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵， 下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵， 即确定变换矩阵中的θx角和θy θx角和θy角 即确定变换矩阵中的θx角和θy角。 如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？ 如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？
正平行投影
斜平行投影
平面几何投影平面几何投影-平行投影
• 三视图：正视图、侧视图和俯视图 三视图：正视图、
正平行投影正平行投影-三视图
• 把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线 分别投影到三个坐标面上。 分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放 到同一平面上。 置到同一平面上。
z a2 a1 b1 x
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b2
c2
y
c1
正平行投影正平行投影-三视图
• 变换矩阵(其中(a,b)为u、v坐标下的值)z 变换矩阵(其中(a,b)为 坐标下的值) (a,b) 正视图
0 −1 0 0 (u v w 1) = (x y z 1) 0 1 a −t b+t z x 0 0 0 0 0 0 0 1 x
若令
S xp =
xs = x − ys = y −
xp zp yp zp
⋅ zi ⋅ zi
y
(xp,yp,zp )
•
(xs,ys)
x
z
xp zp
S yp =
yp zp
(x,y,z)
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斜平行投影求法
• 则矩阵式为： 则矩阵式为：
1 0 z 1) − S xp 0 0 1 − S yp 0 0 0 0 0 1 0 0 1
三维图形的基本问题
三维图形的基本研究内容
1. 2. 3. 4. 投影 三维形体的表示 消除隐藏面与隐藏线 建立光照明模型、 建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法
投影变换
• 投影变换:把三维物体变为二维图形表示 投影变换: 的过程称为投影变换。 的过程称为投影变换。