生物统计学-4-统计推断

Ⅰ
µ0 µ
Ⅱ
Ⅰ和Ⅱ重合
0.025 0.95
α错误
µ = µ0
0.025
犯第一类错误的概率等于显著水平 α 值
Ⅰ和Ⅱ不重合
C1
β
C2
Ⅰ
Ⅱ
α 2
α 2
-uα
µ0
uα
µ
犯第二类错误的概率记为 β 值
为了降低犯两类错误的概率，一般从选取适当的显 为了降低犯两类错误的概率，一般从选取适当的显 来考虑； 著水平α 和增加试验重复次数 n 来考虑； 结论： 结论： 1. 两类错误既有联系又有区别：α 错误只在否定 H 时 两类错误既有联系又有区别： 0 发生，β 错误只在接受 H 0时发生；α 错误增加时 β 发生； 发生， 错误减小， 错误减小； 错误减小，β 错误增加时 α 错误减小； 2. β 还依赖于 µ − µ0 的距离； 的距离； 3. 可使两类错误的概率都减小； n ↑, σ ↓ 可使两类错误的概率都减小；
1.3 对二个样本平均数相比较的假设：假设二个样本平均 对二个样本平均数相比较的假设： 数 的总体， x1和 x 2 来自于具有平均数 µ1和µ 2 的总体，即： H 0 : µ1 = µ 2
H A : µ1 ≠ µ 2
2. 确定显著性水平： 确定显著性水平： 在确定无效假设和备择假设后， 在确定无效假设和备择假设后，要确定一个否定 H 0 的 概率标准，即显著性水平（ 概率标准，即显著性水平（significance level）或概率 ） 水平（ ），记作 水平（probability level），记作 α ，生物统计中常取 ）， 两个显著水平； α = 0.05和α = 0.01 两个显著水平； 3. 计算概率； 计算概率； 4. 推断是否接受假设 小概率原理：如果根据假设条件能够确定事件 出现 小概率原理：如果根据假设条件能够确定事件A出现 为很小， 的概率 α 为很小，则在此假设条件下的 n 次独立重复 试验中，事件 将按预定的概率发生 将按预定的概率发生， 试验中，事件A将按预定的概率发生，而在一次试验 中则几乎不可能发生； 中则几乎不可能发生；
3. 双尾检验与单尾检验 3.1 双尾检验（two-tailed test）：具有两个否定区，分别 双尾检验（ ）：具有两个否定区 ）：具有两个否定区， 位于分布的两尾， 位于分布的两尾，即：
3.2 单尾检验（one-tailed test）：只有一个否定区的检验， 单尾检验（ ）：只有一个否定区的检验 ）：只有一个否定区的检验， 即：
样本 ( n1 < 30, n2 < 30) ；
2 2 2.1 两样本的总体方差 σ 12和σ 2 未知，但可假设 σ 12 =σ 2 = σ 2 未知，
时的检验： 时的检验： 首先计算平均数差数的方差 s ：
2 e
s (n1 − 1) + s (n2 − 1) s = (n1 − 1) + (n2 − 1)
第一节 假设检验的原理与方法
一、假设检验（Hypothesis test）的概念：根据总体的理 假设检验（ ）的概念： 论分布和小概率原理， 论分布和小概率原理，对未知或不完全知道的总体提出 2种彼此对立的假设，然后由样本的实际结果，经过一 种彼此对立的假设，然后由样本的实际结果， 种彼此对立的假设 定的计算， 定的计算，做出在一定概率意义上应该接受的那种假设 的推断，亦称为显著性检验（ ）；小概 的推断，亦称为显著性检验（significance test）；小概 ）； 率（little probability）水平为 0.05 或 0.01； ） ；
因此， 检验获得“差异显著” 因此，如果经 u 检验获得“差异显著”或“差 异极显著” 我们有 异极显著”，我们有95%或99%的把握认为 与 或 的把握认为 u u
0
不相同， 判断错误的可能性不超过5%或1% ；若经 不相同， 判断错误的可能性不超过 或 u 差异不显著” 检验获得 “差异不显著”， 我们只能认为在本次试 验条件下， 与 验条件下，u0 u H0： 没有差异的假设u = u 与0 u
即：
H0正确 否定H 否定 0 接受H 接受 0
H0 错误 推断正确(1推断正确 β)
α 错误 α) 错误(
推断正确(1推断正确 α)
β 错误 (β)
4.1 两类错误的关系： 两类错误的关系： I型错误与 型错误不会同时出现； 型错误与II型错误不会同时出现 型错误与 型错误不会同时出现； 在样本容量相同情况下， 型错误的概率减少 型错误的概率减少， 在样本容量相同情况下，犯I型错误的概率减少， 型错误的概率增加， 则II型错误的概率增加，反之亦然； 型错误的概率增加 反之亦然； 因为在显著性检验中，否定或接受无效假设的依据是 因为在显著性检验中， “小概率事件实际不可能性原理”，所以我们下的结论不 小概率事件实际不可能性原理” 可能有百分之百的把握。 可能有百分之百的把握。
时的检验： 检验法， n1 = n2 = n 时的检验：仍用 t 检验法，计算与假设两
2 时一样， 总体方差 σ 12 = σ 2 时一样，但其自由度为 df = n − 1 ，
而不是 2(n − 1)；
2 2 2.3 两样本的总体方差 σ 12和σ 2 未知，且σ 12 ≠ σ 2 , n1 ≠ n2 时 未知，
2 e 2 1 2 2
再计算两样本平均数差数的标准误 s x
1 − x2
：
sx1 − x2 =
最后计算 t 值：
s s + n1 n2
Hale Waihona Puke 2 e2 e( x1 − x 2 ) − ( µ1 − µ2 ) df = n1 + n2 − 2 t= sx1 − x2
2 2 2.2 两样本的总体方差 σ 12和σ 2 未知，且 σ 12 ≠ σ 2 ，但 未知，
sx1 − x2 =
s s + n1 n2
2 1
2 2
( x1 − x 2 ) − ( µ1 − µ2 ) u= sx1 − x2
检验： 二、小样本平均数的假设检验— t 检验：当总体方差 σ 2 小样本平均数的假设检验 检验（ 未知且样本容量 n < 30 时则采用 t 检验（t-test）； ）； 1. 一个样本平均数的 t 检验：小样本的 s 2和σ 2 相差较大， 检验： 相差较大，
x−µ 分布， 遵循自由度 df = n – 1 的 t 分布，即： sx s x−µ sx = ， t= ； sx n 2. 成组数据（pooled data）平均数比较的 t 检验：即检 成组数据（ 检验： ）
故
验两个样本平均数 x1和 x 2 所属总体平均数 µ1和µ2 是否
2 相等，适用于总体方差 σ 12和σ 2 未知且两样本均为小 相等，
1.1 无效假设所遵循的原则：有意义，且根据它可算出因 无效假设所遵循的原则：有意义， 抽样误差而获得样本结果的概率； 抽样误差而获得样本结果的概率； 1.2 对一个样本平均数的假设：假设一个样本平均数 x 来 对一个样本平均数的假设： 自于一具有平均数 的总体， µ 的总体，即： H 0 : µ = µ0 H A : µ ≠ µ0
x1 − x 2 的检验： 分布， 的检验：统计数 不再服从相应的 t 分布，故 sx1 − x2
检验； 进行近似 t 检验；由于 σ ≠ σ ，所以需要用两个样
2
第二节 样本平均数的假设检验
检验： 一、大样本平均数的假设检验— u 检验：当总体方差 σ 2 大样本平均数的假设检验 已知或总体方差未知但样本为大样本（ 已知或总体方差未知但样本为大样本（n≥30）时，样 ） 本平均数的分布服从于正态分布， 本平均数的分布服从于正态分布，标准化后则服从于 标准正态分布， 分布， 检验（ ）； 标准正态分布，即 u 分布，故采用 u 检验（u-test）； 1. 一个样本平均数的检验： 一个样本平均数的检验： 总体方差
σ2
已知时： 已知时：
σ
，
x−µ
；
σx = u= n ， σx ； 未知时： 总体方差 未知时： s x−µ 2 sx = σ u= sx n
2. 两个样本平均数比较的 u 检验：即检验两个样本平均 检验： 数 x1和 x 2 所属的总体平均数 µ1和µ2 是否来自于同一个
2 2 已知， 总体，适用于两个样本方差 总体，适用于两个样本方差 σ 12和σ 2 已知，或 σ 12和σ 2
例如，经 u 检验获得“差异显著”的结论，我们有 例如， 检验获得“差异显著”的结论， 95%的把握否定无效假设 0，同时要冒 的把握否定无效假设H 同时要冒5%下错结论的风 下错结论的风 的把握否定无效假设 检验获得“差异极显著”的结论，我们有99% 险； 经 检验获得“差异极显著”的结论，我们有 u 的把握否定无效假设H0，同时要冒 同时要冒1%下错结论的风险； 下错结论的风险； 的把握否定无效假设 下错结论的风险 u 检验获得“差异不显著”的结论， 而经 检验获得“差异不显著”的结论，在统计学上是指 “没有理由”否定无效假设H0，同样也要冒下错结论的 没有理由”否定无效假设 风险。 风险。
0
未被 确实没有
否定，这有两种可能存在： 否定，这有两种可能存在：或者是 u 差异， 差异， 或者是 u 盖了。 盖了。
与0 有差异而因为试验误差大被掩 u
因而， 因而，不能仅凭统计推断就简单地作出绝对肯 定或绝对否定的结论。 有很大的可靠性， 定或绝对否定的结论。“有很大的可靠性，但有一 定的错误率” 这是统计推断的基本特点。 定的错误率” 这是统计推断的基本特点。 “有三种谎言 — 谎话、该死的谎言和统计术” 谎话、该死的谎言和统计术” 引自Benjamin Disraeli（19世纪英国首相） 世纪英国首相） 引自 （ 世纪英国首相
未知，但两个样本都是大样本（ 未知，但两个样本都是大样本（即 n1 ≥ 30和n2 ≥ 30）；