【配套K12】九年级数学下册第27章圆本章总结提升同步练习

圆本章总结提升问题1 与圆有关的概念直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？例1 有下列说法：①圆中最长的弦不一定是直径；②同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；③等弧的长度一定相等；④经过圆内一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一个定点可以作无数条直径．其中正确的有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个问题2 垂径定理及其推论你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？例2 如图27－T －1，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连结BD ，OB ，AC . (1)求证：△AEC ∽△DEB ；(2)若CD ⊥AB ，AB ＝8，DE ＝2，求⊙O 的半径．图27－T －1【归纳总结】应用垂径定理时应注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．问题2 圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？例3 已知：如图27－T －2，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，连结AC ，OC ，CD ，BD .(1)请写出六个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝4，DE ＝1，求⊙O 的半径．图27－T －2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想． 问题4 圆周角定理及其推论圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？例4 如图27－T －3，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P .求证： (1)D 是BC 的中点；(2)△BEC ∽△ADC ； (3)AC ·CE ＝2PD ·AD .图27－T －3【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等．问题5 圆内接四边形什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例5 如图27－T －4所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC .若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图27－T －4A ．45°B ．50°C ．55°D ．60° 【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”．问题6 直线与圆的位置关系直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？例6 如图27－T －5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，连结AD .求证：(1)∠1＝∠BAD ； (2)BE 是⊙O 的切线．【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理．问题7 求不规则图形的面积什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例7 如图27－T－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )图27－T－6A．25π－6 B.25π2－6 C.25π6－6 D.25π8－6【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解．问题8 圆中的计算问题圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？例8 如图27－T－7，一扇形纸片的圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为2 3 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为( )A.23 cmB.23π cm C.32 cm D.32π cm 问题9 正多边形与圆正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例9 (1)已知：如图27－T －8①，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 为BC ︵上一动点，求证：PA ＝PB ＋PC ；(2)如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 为BC ︵上一动点，求证：PA ＝PC ＋2PB ； (3)如图③，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，P 为BC ︵上一动点，请探究PA ，PB ，PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．图27－T －8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形； (2) 各角相等的圆外切多边形是正多边形.教师详解详析【整合提升】例1 [解析] C 只有②③④正确． 例2 [解析] (1)根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可以得到这两个三角形有两对角分别相等，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可．(2)根据垂径定理，可以证明E 为AB 的中点，设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －2，根据勾股定理可得一个关于r 的方程，解方程即可．解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠A ＝∠D ，∠C ＝∠ABD ， ∴△AEC ∽△DEB.(2)∵CD ⊥AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴BE ＝12AB ＝4.设⊙O 的半径为r.∵DE ＝2， ∴OE ＝r －2.在Rt △OEB 中，由勾股定理，得OE 2＋BE 2＝OB 2，即(r －2)2＋42＝r 2，解得r ＝5， 即⊙O 的半径为5. 例3 [解析] (1) 此题是结论开放性问题．由于AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°(直径所对的圆周角是直角)．进一步可得AC 2＋BC 2＝AB 2，或∠A ＋∠ABC ＝90°；因为 OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，所以CE ＝BE ，CD ＝BD ，CD ︵＝BD ︵(垂径定理)，OE 2＋BE 2＝OB 2.进一步可得到：∠COD ＝∠BOD ，∠A ＝12∠COB ＝∠COD ＝∠BOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到AC ∥OD ，△BOD 是等腰三角形等． (2)在Rt △OBE 中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径．解：(1) 答案不唯一，如：BE ＝CE ，∠BED ＝90°，∠BOD ＝∠A ，AC ∥OD ，AC ⊥BC ，OE 2＋BE2＝OB 2，△BOD 是等腰三角形等．(2)设⊙O 的半径为r ，则OB ＝r, OE ＝r －1. ∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE ＝12BC ＝2.∵在Rt △OBE 中，OE 2＋BE 2＝OB 2,∴(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝52.故⊙O 的半径为52.例4 [解析] (1)根据等腰三角形三线合一的性质证明；(2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可；(3)由AC ·CE 联想到△BEC ∽△ADC.再由PD ·AD 联想到证明△BPD ∽△ABD ，综合可得AC ·CE ＝2PD ·AD.证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点．(2)在△BEC 与△ADC 中， ∵∠C ＝∠C ，∠CBE ＝∠CAD ， ∴△BEC ∽△ADC.(3)∵△BEC ∽△ADC ，∴BC AC ＝CECD .∵D 是BC 的中点，∴2BD ＝2CD ＝BC ， ∴2BD AC ＝CE BD，则2BD 2＝AC ·CE.① ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD. 又∵∠CAD ＝∠CBE ， ∴∠CBE ＝∠BAD.又∵∠BDP ＝∠ADB ，∴△BPD ∽△ABD ， ∴BD AD ＝PD BD，则BD 2＝PD ·AD.② 由①②得AC ·CE ＝2BD 2＝2PD ·AD ， ∴AC ·CE ＝2PD ·AD. 例5 [解析] B 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B . 例6 证明：(1)∵BD ＝BA ， ∴∠BDA ＝∠BAD.又∵∠1＝∠BDA ，∴∠1＝∠BAD. (2)如图，连结BO ，∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°.∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠1＋∠BCD ＝180°. ∵OB ＝OC ， ∴∠1＝∠CBO ，∴∠CBO ＋∠BCD ＝180°，∴OB ∥DC. ∵BE ⊥DC ，∴BE ⊥OB.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线．例7 [解析] D 由菱形的性质，在Rt △ABO 中，易得AB ＝5，于是以AB 为直径的半圆的面积为12·π·(52)2＝258π，阴影部分的面积为以AB 为直径的半圆的面积减去Rt △ABO 的面积，即25π8－6. [点评] 求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积．例8 [解析] A 由∠AOB 为120°，弦AB 的长为2 3 cm ，可以求出OA ＝OB ＝2 cm ，所以扇形的弧长为120180×2π，它等于圆锥的底面周长，即2πr ＝120180×2π，解得r ＝23(cm )．例9解：(1)证明：如图①，延长BP 至点E ，使PE ＝PC ，连结CE.∵∠1＝∠2＝60°， ∠3＝∠4＝60°， ∴∠CPE ＝60°，∴△PCE 是等边三角形， ∴CE ＝PC ，∠E ＝∠3＝60°. 又∵∠EBC ＝∠PAC ， ∴△BEC ≌△APC ，∴PA ＝EB ＝PB ＋PE ＝PB ＋PC.(2)证明：如图②，过点B 作BE ⊥PB 交PA 于点E.∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3.又易知∠APB ＝45°， ∴PB ＝EB ，∴PE ＝2PB.又∵AB ＝CB ，∴△ABE ≌△CBP ，∴PC ＝EA ， ∴PA ＝EA ＋PE ＝PC ＋2PB. (3)PA ＝PC ＋3PB.证明：如图③，在AP 上截取AQ ＝PC ，连结BQ.又∵∠BAP＝∠BCP，AB＝CB，∴△ABQ≌△CBP，∴QB＝PB.又易知∠APB＝30°，∴PQ＝3PB，∴PA＝AQ＋PQ＝PC＋3PB.。