菁华—博奥暑期培训班高中数学讲义1

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江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学高一数学“四步教学法”教案：3.1两角和与差的正弦公式(1)苏教版必修

睢宁县菁华高级中学“四步教课法”课时教课方案年级批阅批阅组别高一数学（备课组长）（学科校长）主备人使用人讲课时间课题 3.1.2 两角和与差的正弦(1)课型新讲课课标要求(1)掌握S() 与S() 的推导过程及公式特点。

知识与能力(2)利用两角和与差的正弦公式进行简单的求值。

教经过组织学生推导公式的过程，不停加强学生剖析问题解决问题的能力，学过程与方法使学生领会比较、概括等科学方法的运用，培育学生的推理能力提升学生目的数学素质。

标在教课过程中，经过学生的互相沟通，加强学生数学沟通能力，培育学生感情、态度与价值观聆听、接受他人建议的优秀质量。

教课要点教课难点教课方法教学过程及两角和与差的正弦公式及推导过程。

灵巧应用所学公式进行化简、求值。

“三学一教”四步教课法教课程序设计环节一明标自学过程设计二次备课1. 复习导入 (1min)第一，回首一下前方所推导的两角和与差的余弦公式. 我们利用单位圆、向量数目积定义及其坐标表示公式，推导出了两角差的余弦公式 C() ，从而推导出了两角和的余弦公式C() .有了方C() 和C() 的公式，自然会联想到两角和与差的正弦公式如何表达？法2.学习目标展现 (1min)(1) 经过阅读教材P107 内容，掌握S() 与S() 的推导过程及公式特点 .(2)经过理解教材 P108— P109 例题的解题过程，能够利用两角和与差的正弦公式进行简单的化简、求值.3. 自学指导 (1min)如何找到正弦和余弦的关系，经过两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式？环节二合作释疑环节三点拨拓展（备注：合作释疑和点拨拓展能够依据次序先后进行，也能够依据教课方案交错进行设计）过程设计二次备课1、公式推导教由诱导公式sin cos()得2sin()cos[()]cos[()]学22cos() cos sin() sin sin cos cos sin22过这一式子关于随意的，值均建立 .将此式称为两角和的正弦公式S()：程sin()sin cos cos sin及在前方，当我们推出两角差的余弦公式C()时，将此中的β用－β 取代，便获得了两角和的余弦公式C() ，这里，也不如将S() 中的β用－β方取代，看会获得什么新的结论?sin()sin[()] sin cos( ) cos sin()=法sin cos cos sin即： sin() sin cos cos sin这一式子关于随意的，的值均建立.将此式称为两角差的正弦公式S()：sin() sin cos cos sin2、两角和与差的正弦公式如何记忆？记忆口诀：两角和差，欲求正弦，正余余正，符号同前.3、在应用公式时要注意什么？应注意在求 sin , cos ,sin , cos的值时各个值的符号问题.4、能不可以利用同角的三角函数关系，从C() 推导出S() ？这样做有什么困难？用同角三角函数的关系推导时会碰到符号选用的困难.5、公式练习(1)正向睁开① sin[()]② sin(45 60 )(2)逆向归并① sin 20 cos40cos20 sin 40②1cos3sin 22种类一、正向运用公式例 1、不查表求75°， 15°的正弦值 .剖析：将所求角 75°， 15°分解为某些特别角的和或差，利用两角和与差的正弦公式求解 .思虑：还能够拆成什么特别角？sin75 °＝ sin （135° -60 °） =sin （225°－ 150°）sin15 °＝ sin （60°－ 45°）＝ sin （ 90°－ 75°）例 2、已知 sin2∈（，），cos＝－3，β∈（，3），＝，3252求 sin （）剖析：察看本题已知条件，要想求 sin （）, 应先求出 cos，sin，注意符号 .种类二、逆向运用公式化简、求值例 3、计算以下式子的值：(1)sin 13 cos 17 +cos 13 sin 17(2)sin70cos25-sin 25 cos 70(2) 点拨拓展： (1) 求cos79o cos56o cos11o cos34 o的值.(2)求函数 y 1sin x3cos x 的最大值. 22种类三、角的变换例 4、已知 cos() 5 , cos 4, ,均为锐角，求 sin的值 .135剖析：把角当作是角与的差，即()，再用两角差的正弦公式求解 .练习：已知(, 3(0,) ， cos()3 ，), 5 sin(35 ， 4 444)413求 sin()的值.注：解法中的“拆角”是三角变换中的常用技巧，它表现了化归思想 .环节四当堂检测二次备课教课1、 sin 21 cos39 cos21 sin 39____________2、 sin195____________过程3、 sin 200 cos140 cos160 sin 404、已知锐角4 ， cos()3,满足 cos，则55及 sin ____________方法5、已知锐角5 ， sin10, 知足 sin，求510讲堂小结课后作业板书设计教材 P109— 4（1）（ 6）、5、 63.1.2 两角和与差的正弦1．公式3．例题练习地区例 1 、2、3、 42．公式推导课后反省。

第01讲等差数列-2021年新高二数学暑假精品课程(人教A版)(学生版)

第01讲等差数列及前n 项和【学习目标】1．了解等差数列的概念及特征； 2. 掌握等差数列通项公式推导方法；3. 学会用逆向求和的方法推导等差数列的和通项公式；4.能灵活运用等差数列的通项公式与和通项公式求解一般数列。

【基础知识】1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝1()2n n a a 或S n ＝na 1＋d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝2d n 2＋n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．难点正本疑点清源 1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2n d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 3．等差数列与函数在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.【考点剖析】考点一等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由得即解得d ＝4.3．(2021·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 【答案】D【解析】设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋×(－2)＝－340.4．(2021·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1【答案】B【解析】设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得解得于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B. 考点二：等差数列的判定与证明例1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1n S －11n S -＝2，又11S ＝11a ＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1nS ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(1)n -＝当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝【变式发散】1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由．【解析】因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1n S －11n S -＝2(n ≥2)．又11S ＝11a ＝2，所以是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1nS ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(1)n ＝，所以a n ＋1＝.又a n ＋1－a n ＝－＝＝，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列． 2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．【解析】(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0，所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，因为S n ≠0，所以S n －S n －1＝12. 又11S ＝11a ＝12，故数列是以首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知1n S ＝2n ，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－.当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝【解法技巧】等差数列的判定与证明方法2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n ，设b n ＝，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．【证明】因为b n ＋1－b n ＝＝，所以{b n }为等差数列，又b 1＝＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝11n a -. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为11111111(1)(1)3n n n n n n a a a a a a +++--==----，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝11n a -＝121-＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝32n +，所以a n ＝. 考点三：等差数列的性质与应用例2．(1)(2021·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( ) A ．58 B ．54 C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，，则S 2 019＝________. 【答案】(1)D (2)A (3)8 076【解析】(1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝＝＝52.(2)设S n为等差数列{a n}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{a n}的前10项和为30，前30项和为210，∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．设其公差为d，则＝6d＝6，∴d＝1.故＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，∴S2 019＝4×2 019＝8 076.【解题技法】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则a m＋a n ＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)；数列S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【过关训练】1．(2021·聊城模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＝104，a6＝5，则数列{a n}的公差为() A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】设等差数列{a n}的公差为d.因为S13＝104，所以＝104，所以13a7＝104，解得a7＝8.因为a6＝5，所以d＝a7－a6＝8－5＝3.2．(2021·宁德二检)已知等差数列{a n}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝()A．33 B．16C．13 D．12【答案】C【解析】设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＋a5＝14，所以a2＋a6＝14，又a2a6＝33，所以或当时，d＝＝2，所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13；当时，d＝＝－2，所以a1a7＝(a2－d)(a6＋d)＝13.综上，a1a7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若，则1111a b ＝________. 【答案】2132【解析】由等差数列前n 项和的性质，得1111a b ＝. 考点四：等差数列前n 项和的最值问题例3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．【答案】49【解析】法一通项法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 由得解得≤n ≤.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝＝49. 法二二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. 【解题技法】求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组来确定． (2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋ d ＝2d n 2＋n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有 (n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．【过关训练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 15【答案】C【解析】由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝1()2n n a a +＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.【真题演练】1．【2020年高考北京】在等差数列中，19a =-，31a =-．记，则数列A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项2．【2020年高考浙江】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且．记12b S =，，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．3．【2020年高考全国II 卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1=−2，a 2+a 6=2，则S 10=__________．5．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列*(1){}()2n n n +∈N 的前3项和是_______． 6．【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n项和为________．【过关检测】1．已知n S 是公比为正数的等比数列的前n 项和，且满足412a 是与318a a -的等差中项，则的公比q 的值为（） A ．8B ．4C ．2D ．12．已知n S 是数列的前n 项和，则“2n S n n =-”是“数列是公差为2的等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（） A ．14钱 B ．12钱 C ．23钱 D ．35钱 4．《周牌算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为（） A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5．n S 是等差数列的前n 项和，1233a a a ，7910a a +=，则9S =（）A ．9B ．16C ．20D ．276．设数列的前n 项和为n S ，已知110a =-，29a =-，，若0n a =，则n 的值为（） A ．8B ．9C ．10D ．117．数列满足11122n n n b b ++=+﹐若112b =，则的前n 项和为（） A ．B ．1112n n ++-C ．222n n +- D ．13322n n ++-8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若．则55a b =（） A ．23B ．45C ．32D ．549．已知数列满足132a =，133n n n a a a +=+，若3n n n c a =，则12n c c c ++⋅⋅⋅+=_______.10．已知等差数列的前n 项和为n S ，若33a =，131036S S -=，则数列的公差为________.11．《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”这首歌诀的意思是：996斤棉花分别赠送给八个子女做旅费，从第二个孩子开始，每人分得的棉花比前一人多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得棉花为___________斤.12．设n S 为等差数列的前n 项和，671a a +=，则12S =___________，若70a <，则使得不等式0n S <成立的最小整数n =___________.13．已知等差数列n 的前三项依次为a ，8，，前n 项的和为n S ，366k S =．（1）求a 及k 的值；（2）设数列满足，且其前n 项的和为n T ，求n T ．14．已知数列的前n 项和为23n S n n =+．（1）求这个数列的通项公式n a ；（2）若，求数列的前n 项和n T ．【解析】（1）当111,4n a S ===当12,22n n n n a S S n -=-=+*22,n a n n N ∴=+∈（2）1(1)2n n b n ++⋅=2312232(1)2n n T n +=⨯+⨯+⋅+⋅② 34222232(1)2n n T n +=⨯+⨯++⋅①：()2341(1)28222n n n T n ++=+⋅--++15．在数列中，11a =，()*21221,,k k k a a a k N -+∈成等比数列，公比为0k q >. （Ⅰ）若2k q =，求13521k a a a a -+++⋅⋅⋅+；（Ⅱ）若()*22122,,k k k a a a k N ++∈成等差数列，公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：为等差数列；②若12d =，求数列的前k 项和k D .16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S =，3520a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求正整数m ，使得.。

暑假衔接班讲义高中数学

（）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（）
第二讲常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲集合的概念与运算 5
例 8 设集合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}，若 A ∩ B ≠ Ø，则 a 的取值范围是（）
A．－ 1<a ≤ 2

江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学高中数学 1.1 正弦定

江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学“四步教学法”教案：高中数学苏教版必修五：1.1 正弦定理2（3）C cB bC c A a B b A a sin sin ,sin sin sin sin ===，（4）CBc b C A c a B A b a sin sin ,sin sin sin sin ===，（5）A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（6）C B A c b a sin :sin :sin ::=3、利用正弦定理可以解决如下两类问题： (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角，进而可求出其他的边和教学过程及方法环节二合作释疑环节三点拨拓展（备注：合作释疑和点拨拓展可以按照顺序先后进行，也可以根据教学设计交叉进行设计）过程设计二次备课二、明标自学：(1min)学习目标：利用正弦定理解决三角形度量、面积、形状及证明等方面的问题.三、合作释疑：(12min)例1、如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为︒35，沿倾斜角为︒20的斜坡前进m 1000后到达D 处，又测得山顶的仰角为︒65，求山的高度BC （精确到m 1）．分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆．解：过点D 作AC DE //交BC 于E ，因为︒=∠20DAC ，所以︒=∠160ADE ，于是︒︒︒︒=--=∠135********ADB ．又︒︒︒=-=∠152035BAD ，所以︒=∠30ABD ．在ABD ∆中，由正弦定理，得)(2100030sin 135sin 1000sin sin m ABD ADB AD AB ==∠∠=︒︒．在ABC Rt ∆中，)(81135sin 2100035sin m AB BC ≈==︒︒．答：山的高度约为m 811．核心思想：化归三角形利用正弦定理解三角形。

高一年级数学选修课精英班讲义---三角函数

高一年级数学选修课精英班讲义（三角函数）1．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2．（1）用a ，θ表示S 1和S 2；（2）当a 固定，θ变化时，求21S S 取最小值时的角θ．2．设x ≥y ≥z ≥12π且x+y+z=2π，求cosx ·siny ·cosz 的最大和最小值．3．设a, b, c 是正实数且abc+a+c=b ，试确定P=1c31b21a2222+++-+的最大值．4．若f(x)=tan(x+4π)，比较f(0), f(-1), f(1)的大小．5．数列a 0, a 1, …，与b 0, b 1, …，定义如下：a 0=22, a n+1=2n a 1122--, n=0, 1, 2, …，b 0=1, b n+1=n 2n b 1b 1-+, n=0, 1, 2, …．求证：① a n =sin 2n 2π+； ② b n =tan 2n 2π+； ③ 2n+2a n <π<2n+2b n （n=0, 1, 2, …）。

6．在平面上有A 、B 、P 、Q 四个点，A 、B 为定点，且AB=P 、Q 为动点，且AP=PQ=QB=1，记ΔAP B与ΔPQB 的面积分别为S 、T（1）求S 2+T 2的取值范围；（2）当S 2+T 2取得最大值时，判断ΔAPB 的形状。

7．在ΔABC 中，2B=A+C ，且（1）求角A 、B 、C 的大小；（2）若AB 边上的高CD=，求三边a ，b ，c 。

8．如图所示，在等边三角形中，AB=a ，O 为中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OMON的最大（小）值。

9．如图所示，点P 在半圆O 直径的延长线上，点Q 在半圆上，以PQ 为边作等边三角形PQN ，使ΔPQN 和ΔPOQ 在PQ 两侧，已知半圆的半径是r ，OP 长为a ，求四边形OPNQ 面积的最大值，并求使四边形面积取得最大值的∠POQ 的大小。

高一升高二数学暑假衔接班等差数列与等比数列

等差数列、等比数列一、授课目的与考点分析：教学目标：（1）理解等差数列、等比数列的概念。

（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。

二、授课内容：等差数列、等比数列【知识梳理】等差数列等比数列定义通项公式前n项和中项性质【核心要点突破】要点考向1：有关等差数列的基本问题知识链接：1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的性质、通项公式和求和公式解决问题；2．等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d＞0,递增；d＜0，递减）；（A ）152 (B)314 (C)334 (D)1723、.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211(D)11×2104、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =( )A ．35 B.33 C.31 D.295、已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8=S 7，则下列说法不正确的是（）A ．S 9<S 10B ．d<0C ．S 7与S 8均为S n 的最大值D ．a 8=06、在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是。

7、在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______8、已知数列}{n a 中，前n 项和为n S ，51=a ，并且2122++++=n n n n a S S （+∈N n ），（1）求2a ，3a 的值；（2）设nn na b 2λ+=，若实数λ使得数列}{n b 为等差数列，求λ的值。

高二年级数学选修课精英班讲义---立体几何(1)

高二年级数学选修课精英班讲义（立体几何）一、选择题1. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则面EFC 1B 和面BCC 1所成二面角的大小为A．arctan B．arctan C．arctan D．arctan2. 已知SA 、SB 、SC 是共点于S 的且不共面的三条射线，∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°,则二面角B-SA-C 的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π3. 如图，二面角α—DC —β是α度的二面角，A 为α上一定点，且ΔADC 面积为S ，DC ＝a ，过点A 作直线AB ，使AB ⊥DC 且与半平面β成30°的角，则当ΔDBC 的面积有最大值时，α等于A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π二、填空题4．在正方体1AC 中，B 1B 与平面A 1C 1B 所成角的大小为_______________。

5．如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD = b ，PA ⊥平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点．则点Q 到BD 的距离为_______________；点P 到平面BQD 的距离为__________________．6．在单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，则平面AMN 到平面EFDB 的距离为_________________.三、解答题7．如图，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC ，G 是△PAB 的重心，E 是BC 上的一点，且BE=31BC ，F 是PB 上的一点，且PF=31PB ．求证：（1）GF ⊥平面PBC ；（2）FE ⊥BC ；（3）GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线．HEQ PDC BANMG FCP A8．如图：四棱锥P －ABCD 底面为一直角梯形，A B ⊥A D ，CD ⊥A D ，CD=2A B ，P A ⊥面A BCD ，E 为PC 中点. （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求证：BE ∥平面PAD ；（3）假定PA=AD=CD ，求二面角E －BD －C 的平面角的正切值.9. 在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，EC ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，EF ＝EC ＝1。

高中数学-01新课教案-01集合(必1)20200318

教育·激励一代人第一章 1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义中学数学QQ群（博奥学堂）：635807824学习目标1.通过实例理解集合的有关概念；2.初步理解集合中元素的三个特性；3.体会元素与集合的属于关系；4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．问题导学题型探究达标检测问题导学新知探究点点落实知识点一集合的概念思考有首歌中唱道：“他大舅他二舅都是他舅”你能从集合的角度解读一下这句话吗？答案“某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．元素与集合的概念：(1)把统称为元素，通常用表示．(2)把叫做集合(简称为集)，通常用________表示．研究对象小写拉丁字母a ，b ，c ，…一些元素组成的总体字母A ，B ，C ，…大写拉丁知识点二元素与集合的关系一般地，元素与集合的关系有两种，分别为、，数学符号分别为、.思考 1是整数吗？12是整数吗？答案 1是整数；12不是整数．属于不属于∈∉知识点三元素的三个特性思考1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．确定性互异性无序性一般地，元素的三个特性是指、、．知识点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R题型探究重点难点个个击破类型一集合的概念例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；解对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；解能构成集合；(3)某校2014年在校的所有高个子同学；解“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)3的近似值的全体．解“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1(1)下列给出的对象中，能构成集合的是()D A.著名数学家 B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数解析只有选项D有明确的标准，能构成一个集合.(2)下列各组对象可以组成集合的是()BA.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.类型二元素的三个特性的应用例2已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；解由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求.∴a＝0或－1.(2)若x2∈B，求实数x的值；解当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B .若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}解显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0，或2a －1＝0.若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B .＝{0，－52，54}≠B .故不存在这样的实数a ，x .跟踪训练2已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值.有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解方法一根据集合中元素的互异性，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝14，b ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，方法二∵两个集合相同，则其中的对应元素相同.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ② ∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零.当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝12.当b ＝12时，由①得a ＝14. 当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去).当b ＝0时，a ＝0(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝14，b ＝12.类型三元素与集合的关系例3 数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a ∈A . (1)若2∈A ，写出A 中的其他两个元素；解若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A ， ∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ；当11＋a＝2即a ＝－12时，2∈A .综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13.解 ∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a， (2)若A 为单元素集合，求a .即a 2＋a －1＝0，解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52.跟踪训练3已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－5a∈A”，则集合A中最多有________个元素.解析因为集合A中的元素是自然数，且a∈A,4－a∈A，所以a≥0,4－a≥0，解得0≤a≤4，又a是自然数，所以集合A中最多有0,1,2,3,4共5个元素.达标检测45教育·激励一代人1231.下列给出的对象中，能组成集合的是()DA.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x2－1＝0的实数根C2.下面说法正确的是()A.所有在N中的元素都在N*中B.所有不在N*中的数都在Z中C.所有不在Q中的实数都在R中D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()C A.1 B.2 C.3 D.44.下列结论不正确的是()CA.0∈NB.2∉QC.0∉QD.－1∈Z5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()BA.2B.3C.0或3D.0,2,3均可解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.规律与方法1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.教育·激励一代人第一章 1.1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示中学数学QQ群（博奥学堂）：635807824学习目标1.掌握用列举法表示有限集；2.理解描述法格式及其适用情形；3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.问题导学题型探究达标检测问题导学新知探究点点落实知识点一列举法思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案把它们一一列举出来.一一列举一般地，把集合中的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.知识点二描述法思考1能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.思考2描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写___________________________________，竖线后写_______________________.元素所具有的共同特征元素的一般符号及取值(或变化)范围题型探究重点难点个个击破类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；解设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；解设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.反思与感悟1.花括号“{}”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的.2.列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.跟踪训练1用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；解满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.解∵a ≠0，b ≠0，(2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合. ∴a 与b 可能同号也可能异号，故①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2； ②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b ＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝0.故所有的值组成的集合为{－2,0,2}.类型二用描述法表示集合例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；解设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}.(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}.反思与感悟集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.跟踪训练2用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；解方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.解“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.类型三选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合：(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；解列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；解列举法：{(0,0)，(2,0)}.(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.解描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，{2 000,2 001,2 004}则用列举法表示集合B＝____________________.解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}.。

人大附中高一暑期讲义学生版

A.对任意实数 a， (2,1) A
7．已知两个集合 M

x R
y

1
x

，N

y

R
y

1
x

，这两个集合的关系
是（）
A． M N
B． M N
C．M N
D．M N
8．（北京外国语学校月考）下列关系中正确的是（）
（1）{0} （2） 0 （3） {a}
（4）{a}{a，b} （5）{a} {a}
（1）若 A B={2},求实数 a 的值; （2）若 A B=A，求实数 a 的取值范围。
30.（2017 北京 161 中学高一期中）已知函数 f (x) lg(9 3x ) 的定义域为 A ，函数 g(x) x2 + 4x 1 ， x [0,3] 的值域为 B ．（1 ）求集合 A ， B ．（ 2 ）设集合 M (A B) Z ，其中 Z 为整数集，写出集合 M 的所有子集．（ 3 ）设集合 P {x a 1 x 2a +1} ，且 P B ，求实数 a 的取值范围．
()
A.{-2}
B.{1}
C.{-2,1}
D.{-2,0,1}
22.(2017 北京朝阳一模)已知集合 A={x|-1≤x<3},B={x∈Z|x2<4},则 A∩B=
( )
A.{0,1}
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1}
D.{-2,-1,0,1,2}
5
23.(2016 北京海淀二模)已知全集 U={x|x>0},M={x|x>1},则∁UM=( )

江苏省菁华学校高三数学培优补差辅导专题讲座-正弦定理余弦定理及其应用

正弦定理、余弦定理及其应用考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1 ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sinsin sin()33b c b c b cB C B C B B ππ++====++-，得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-．∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决．解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙，解得AC ＝3． ∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴ 21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．四、求值问题例5 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

高三年级数学选修课精英班讲义---数列,导数与不等式

高三年级数学综合选修精英班讲义(数列,导数与不等式)1．在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k nka a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．2. 已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++= 的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，．（I ）求1a ，3a , 5a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．3. 设函数1()1(,1,)xf x n N n x N n ⎛⎫=+∈>∈ ⎪⎝⎭且.(Ⅰ)当x =6时,求11xn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜111knk k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.4．已知m n ，为正整数.（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx m x ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132n n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132n mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n = ，，，；（III ）求出满足等式34(2)(3)n n n nn n ++++=+ 的所有正整数n ．5．已知()n n n A a b ，（n ∈N *）是曲线x y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…．（I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≥）是常数数列；（II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列；（III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N *）的斜率随n 单调递增．6．设3()3xf x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．7. 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．8．已知函数()e xf x kx x =-∈R ，。

高三年级数学选修课精英班讲义---立体几何

高三年级数学综合选修精英班讲义(立体几何) 1．已知四棱锥P—ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.(1) 求证：平面EBD⊥平面ABCD； (2) 求点E到平面PBC的距离；(3) 求二面角A—BE—D的大小.2．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠︒=90DAB， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分别是PC、CD的中点（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF（Ⅱ）设︒--⋅=60,为且二面角CBDEABKPA，求K的值。

3.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。

（1）证明：MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

4．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。

将△AEF沿EF折起到EFA1∆的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P,如图：（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B－A1P－F的大小。

CA BAFECBA1EFCPBBA5．如图，已知三棱锥O A B C -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1O A =，2O B O C ==，E 是O C 的中点．（1）求O 点到面ABC 的距离；（2）求异面直线B E 与A C 所成的角；（3）求二面角E A B C --的大小．6.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点。

（1）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（2）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1-EF-A 的大小（结果用反三角函数表示）。

江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学高中数学 1.1 正弦定理1四步教学法教案苏教版必修5

教
学
过
程
及
方
法
环节四当堂检测
二次备课
1、根据下列条件解三角形
（1）：
（2）
(3)
2、在中，，则三角形的形状。
3、(1)在中，已知的面积，求角C.
(2)在中，A满足
则的面积。
课
堂
小
结
课后
作业
作业P111、6、7
板
书
设
计
正弦定理
自学指导：1-4合作释疑：例1-3当堂检测1-3
课后小结
课
后
过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
3、正弦定理公式及结构特点？边角比值为多少？变形公式有哪些？
4、在利用正弦定理解三角形时，如何判断解的个数？
教
学
过
程
及
方
法
环节二合作释疑环节三点拨拓展
（备注：合作释疑和点拨拓展可以按照顺序先后进行，也可以根据教学设计交叉进行设计）
过程设计
二次备课
合作释疑：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
（3）利用三角形的外接圆证明正弦定理 =2R，2R为接圆的直径。
（4）面积相等法证明正弦定理，得出三角形的面积的另外表达式S
题型一：解三角形
例1：在中，求。

高一升高二数学暑假衔接班讲义第1讲(学)

第1讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）热点透析考查目标 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．达成目标 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．（二）知识回顾1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有、、三种情况．4．平面与平面的位置关系有、两种情况．5．公理4 平行于的两条直线互相平行．6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．[难点正本疑点清源]1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A二、高频考点专题链接题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二异面直线的判定的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°反思总结点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．巩固练习 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为 ( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为______．三、解答题(共22分)8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．三、解答题7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．。

高一数学预科班讲义

高一数学预科第1讲：集合及其运算一、集合的含义与表示：1.集合的表示方法：① ②③2．关于集合的元素的特征：（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）4．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z ,{} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。

6. 有限集合、无限集合、空集的定义例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点练习：下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2、填空：或用符号∉∈（1） -3 N ；（2）3.14 Q ；（3）31 Q ；（4）0 Φ?；（5）3 Q ；（6）21- R ；（7）1 N +；（8）π R 。

高中数学暑假初高衔接讲义8 子集、全集、补集

练习主题子集、全集、补集观察下列各组集合：（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；（2）A=N，B=R；（3）A={x|x为正方形}，B={x|x为四边形}.集合A与B之间具有怎样的关系? 如何用数学语言来表述这种关系？观察（1），可以发现，集合A中的每个元素都是集合B的元素.观察（2）（3），它们也有同样的特征.这时称A是B的子集.一、子集定义：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B 的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.例如，{1，2，3}⊆N，N⊆R，{x|x为正方形}⊆{x|x为四边形）等.A⊆B可以用Venn图来表示根据子集的定义，我们知道A⊆A.也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集.例1、若集合A={x|x是平行四边形}，集合B={x|x是正方形}，集合C={x|x是长方形}，D={x|x是菱形}，则下列正确的是（）A．A⊆C B．C⊆B C．D⊆C D．B⊆D例2、写出集合｛a，b，c｝的所有子集.对应练习：1、对于集合A，B，“A≤B”不成立的含义是（）A. B是A的子集B. A中的元素都不是B的元素C. A中至少有一个元素不属于BD. B中至少有一个元素不属于A2、已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|2＜x＜3}，则（）A. A∈BB. A⊆BC. A=BD. B⊆A3、已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A. {2，4，5}B. {1，2，5}C. {1，6}D. {1，3}4、集合A={1，2}的非空子集个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 15、已知集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且B⊆A，则a= .例3、设集合A={ x∣x2+4x=0，x∈R }，集合B={ x∣x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R }，若B⊆A，求实数a 的取值范围．对应练习：B ，求实数m的值．1、设集合A=｛x∣x2+x-6=0，x∈R｝，B=｛x∣mx+1=0，x∈R｝，若A2、若集合M={x ∣x 2-x-2＞0}，T={x ∣mx+1＜0}，且M ⊇T ，求实数m 的取值范围．二、真子集定义：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A ⫋B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真含A ”，如{a}⫋{a ，b}.例4、若x 、y ∈R ，集合A={（x ，y ）∣y=x}，B={（x ，y ）∣x y =1}，则集合A 、B 之间的关系为（） A. A ⫋B B. B ⫋A C. A=B D. A ⊆B对应练习：1、已知集合M={x ∣x ＞1}，N={x ∣x ＞a}，且M ⫋N ，则（）A. a ≤1B. a ＜1C. a ≥1D. a ＞12、已知∅⫋{x ∣x 2-x+a=0}，则实数a 的取值范围是（）A. {a ∣a ＜41}B. {a ∣a ≤41}C. {a ∣a ≥41}D. {a ∣a ＞41} 3、（多选题）下列说法正确的是（）A. 空集是任何集合的真子集B. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集C. 若A ⫋B ，B ⫋C ，则A ⫋CD. 如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A ⊆B4、已知集合A={x ∣x 2-2x+3=0}，B={x ∣x-a=0}，若B ⫋A ，则实数a 的值构成的集合是 .5、集合M={x ∣x 2+2x-a=0}，若∅⫋M ，则实数a 的范围是 .三、补集定义：一般地，设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C S （读作“A 在S 中的补集”），即A C S ={x ∣x ∈S ，且x ∉A}.A C S 可用图中的阴影部分来表示：对于例3，我们有：B=A C S ，A=B C S .四、全集定义：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看作一个全集U.例5、设全集U=R ，不等式组的解集为A ，试求A 及，并把它们分别表示在数轴上.对应练习：1、已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，5}，A C U =（）A.{ 1 ，3 }B.{ 1 ，3 ，6}C.{2，3，6}D.{2 ，3，5}2、已知全集U={x ∣-2≤x ≤3}，集合A={x ∣-1＜x ＜0或2＜x ≤3}，则A C U = .3、已知全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x ∣x=1-n 2，x ，n ∈Z}，则A C U = . 4、设U={1，2，3，4}，A={x ∣x 2-mx+n=0，x ∈U}.A C U ={2，3}，则m+n 的值为 .5、设全集U 和集合A ，B ，P 满足A=B C U ，B=P C U ，则A 与P 的关系是 .6、设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，A C U ={5}，求实数a ，b 的值.巩固练习：1、若集合A=｛y ∣y=x 2+1，x ∈R ｝，B=｛x ∣x+5＞0｝，则集合A 和B 的关系是（）A ．A ∈B B ．A ⊆BC ．A ⊇BD ．A=B2、设集合A=｛x ∣-1＜x ≤3｝，集合B=｛x ∣x ＞a ｝，若A ⫋B ，则a 的取值范围是（）A ．a ≥3B ．a ≤-1C ．a ＞3D ．a ＜-13、已知A={1，2，3}，B={（x ，y ）| x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则集合B 的子集的个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．324、设集合A=｛x ∣2≤x ≤6｝，B=｛x ∣2a ≤x ≤a+3｝，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（）A ．｛a ∣1≤a ≤3｝B ．｛a ∣a ≥3｝C ．｛a ∣a ≥1｝D ．｛a ∣1＜a ＜3｝5、已知集合A=｛1，2｝，B=｛x ∣x ∈A ｝，则集合A 与B 的关系是_________．6、集合A=｛x ∣x 2=4，x ∈R ｝，B=｛x ∣kx=4，x ∈R ｝，若B ⊆A ，则实数k= .7、设集合A=｛x ∣1＜x ≤2｝，B={x ∣x ＜a}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_________．8、设A=｛x ∣x 2-3x-10≤0｝，B={x ∣a+1≤x ≤2a-1}，若A ⊇B ，则a 的取值范围是______．9、设集合A=｛y ∣y=x 2-2x-1，x ∈R ｝，B={x ∣-2≤x ＜8}，则集合A 与B 的关系是_______．10、已知全集U=｛3，4，a 2+2a+3｝，集合A=｛3，4｝，A C U =｛6｝，则实数a 的值为_______． 11、已知集合A=｛x ∈R ∣x 2-3x+4=0｝，集合B=｛x ∈R ∣（x+1）（x 2-3x+4）=0｝，若A ⫋P ⊆B ，求满足条件的集合P 构成的集合．12、已知集合M=｛x ∣x 2+2x-a=0｝.（1）若∅⫋M ，求实数a 的取值范围；（2）若N=｛x ∣x 2+x=0｝且M ⊆N ，求实数a 的取值范围.13、设集合A=｛2，3，a 2+2a-3｝，B={∣2a-1∣，2}（1）若B C A ={5}，求实数a 的值；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值集合.14、已知全集U=R ，集合A={x ∣x ＞3或x ≤-2}，集合B={x ∣2m-1＜x ＜m+1}，且B ⊆A C U ，求实数m 的取值范围.15、已知集合A=｛x ∣x 2-3x-10≤0｝.（1）若A ⊆B ，B=｛x ∣m-6≤x ≤2m-1｝，求实数m 的取值范围；（2）若B ⊆A ，B=｛x ∣m-6≤x ≤2m-1｝，求实数m 的取值范围；（3）若B=｛x ∣m-6≤x ≤2m-1｝，是否存在实数m ，使得A=B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

数学【暑期精英强化课程】第1册 PD第04讲应用题综合(下) 教师版

第四讲应用题综合（下）1、巩固包含与排除和抽屉原理的解题方式。

2、复习前一讲内容。

3、培养学员发现数学中的美，激发学员学习探索的意识。

有重叠部分的若干对象的计数问题。

能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式酌重复计数问题。

抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

讲演者：得分：森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜，白菜和青草中的一种或者几种，爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，如果三种食物都爱吃的小白兔又有五只，那么这群小白兔共有多少只？【解析】萝卜①②③④⑤⑥⑦白菜青草爱吃萝卜的小白兔中不爱吃白菜的部分是①③，共12只。

爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草，所以②⑤是23只。

爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，所以⑥⑦是34只。

三种都喜欢的小白兔有5只，所以④是5只。

以上4部分正好构成小白兔的全部，所以将它们相加即可，共有12＋23＋34＋5=74只。

解答：这群小白兔共有74只。

讲演者：得分：从1到99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？【解析】解析：（1）将99个自然数分成50组：（1，99），（2，98），（3，97），……，（49，51），50，每组中取出一个数，则这50个数中每两个数的和都不等于100，满足要求。

（2）将99个自然数如下分组：（1，6），（2，7），（3，8），（4，9），（5，10）；（11，16），（12，17），（13，18），（14，19），（15，20），……，（91，96），（92，97），（93，98），（94，99），95；在每组中选取一个数，满足题目的要求。