曲面积分

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通俗讲解曲面积分_概述说明以及解释

通俗讲解曲面积分概述说明以及解释1. 引言1.1 概述曲面积分作为微积分的一个重要概念，是研究曲面上的数学对象和物理问题时不可或缺的工具之一。

通过对曲面上的函数进行积分运算，我们可以计算曲面上的各种物理量，如质量、电荷、热量等。

曲面积分可以看作是线性和高斯两类曲面积分的总称，每一类又有自己特定的解释与计算方法。

1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍曲面积分的概念、背景以及解释：- 第一部分将给出对曲面和曲面积分最基本概念的定义和性质，并说明它在实际应用中所扮演的重要角色；- 第二部分将详细解释第一类曲面积分及其计算方法，并通过示例和实例说明其应用范围和计算步骤；- 第三部门将着重阐述第二类曲面积分及其解释与计算方法，其中包括线性变换法和高斯公式及应用场景；- 最后，我们将进行文章总结与结论，并展望曲面积分在未来的发展趋势与应用前景。

1.3 目的本文的目的是通俗地解释曲面积分的概念、背景，以及解释和阐述第一类和第二类曲面积分的计算方法。

通过这篇文章，读者可以清晰地理解曲面积分在数学和物理中的重要性，并掌握如何应用不同方法计算曲面上各种物理量。

我们也希望通过本文能够引起读者对曲面积分研究领域发展趋势与未来应用前景的兴趣。

2. 曲面积分的概念与背景：2.1 曲面的定义和性质：曲面是三维空间中的一个二维对象，可以理解为平面的推广。

曲面可以由参数方程或者隐函数方程来表示，并且具有一定的光滑性和连续性。

曲面具有一些重要的性质，如切平面、法向量、曲率等。

切平面是曲面上某点处与曲面相切且与曲线相切的平面。

法向量是垂直于切平面并指向外侧的矢量，用于描述曲面在该点的法线方向。

曲率是衡量曲线在某一点处弯曲程度的数值。

2.2 曲面积分的基本概念：曲面积分是对给定曲面上函数进行求和或者积分运算的方法。

它将函数在整个曲面上各点处得值进行累加或者计算其积分值。

根据被积函数以及计算方法的不同，可以将曲面积分分为两类：第一类和第二类。

对面积的曲面积分公式

对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。

- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。

把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

2. 对面积的曲面积分的计算方法。

- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。

- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。

- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。

- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。

- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。

重积分、曲线积分、曲面积分

重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。

对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。

性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。

曲面积分

1 2 2 = − ∫− 1 1 − x dx − 2 1 − x
+ arcsin x 1 −1
=−
π
2
+π =
π
2
，
⎛ x xdS = ∫∫ x 1 + ⎜ ∫∫ ⎜ 2 S 32 D ⎝ 1− x
所以从而 2．计算
S3 S S31
⎞ x π ⎟ + 0dxdz = ∫∫ dxdz = ， ⎟ 2 2 1 − x D ⎠
S32
2
∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = π
I = ∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = π
S1 S2 S3
2 2 2 2 ∫∫ f ( x, y, z )dS ，其中 S 为球面 x + y + z = a ，
S
1
⎧ z < x2 + y2 ⎪ 0, f ( x, y , z ) = ⎨ 2 2 2 2 ⎪ ⎩x + y , z ≥ x + y
x 2 + y 2 = 1 介于平面 z = 0 与 z = x + 2 之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并
利用二重积分的性质，得
S1
∫∫ xdS = ∫∫ x 1 + 0 + 0dxdy = 0 ， ∫∫ xdS = ∫∫ x 1 + 1 + 0dxdy = 0
D S3 D
2 2
对于 S 3 ，由于其方程为 x + y = 1 ，所以不能写成 z = z ( x, y ) 的形式，故只能考虑其在 xOz 或 yOz 坐标面上的投影。为了简单起见，考虑 S 3 在 xOz 坐标面上的投影域 D ，根据题中条件易知 D = {( x, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + 2} ，且 S 3 可以分成 S 31 与 S 32 两部分，其中 S 31：y = 1 − x , ( x, z ) ∈ D ； S 32：y = − 1 − x , ( x, z ) ∈ D ，因为

闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式

闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式==================================在数学和物理学中，曲面上的积分问题是一个重要的研究领域。

曲面上的积分可以帮助我们计算曲面的重心、质心以及对流体力学和电磁学等领域中的一些问题进行求解。

本文将介绍闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式，并探讨它们在实际问题中的应用。

闭合曲面的求积分公式---------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。

2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|r u×rv|为面积元素的模长。

非闭合曲面的求积分公式-----------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。

2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|ru×rv|为面积元素的模长。

第5讲曲面积分的计算

第5讲曲面积分一.第一型曲面积分的计算1(,,)lim (,,)niiiid i Sf x y z dS f Sξηζ→==∆∑⎰⎰1.曲面的面积设曲面S 的方程为：(,)z f x y = (,)xy x y D ∈.xyD S =⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =,将曲面投影到yOz 面上(投影域为yz D )yzD S =⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =,将曲面投影到zOx 面上(投影域为zx D )zxD S =例1 求球面2222x y z R ++=(0z ≥)介于平面(0)z h h R =<<和平面0z =之间部分的面积.2. 第一型曲面积分的计算设S 的方程为：(,)z z x y = (,)xy x y D ∈.(,,)(,,(,xySD f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =(,,)((,),,yzSD f x y z dS f x y z y z =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =(,,)(,(,),zxSD f x y z dS f x y z x z =⎰⎰⎰⎰例1 计算SxzdS ⎰⎰,其中S 是锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下部分.例2 计算SzdS ⎰⎰,其中S 是由圆柱面222x y R +=,平面0z =和z x R -=所围立体的表面.二、向量值函数在有向曲面上的积分 1、曲面的侧空间曲面方程：(,)(,)(,)(,,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)z z x y x y D x y F x y z y y z x z x D z x x x y z y z D y z =∈⎧⎪=⇔=∈⎨⎪=∈⎩任一点处的法向量(,,)x y z n F F F =在光滑曲面S 上取一定点0M ，则曲面S 在点0M 处的单位法向量有两个方向，选取其中的一个方向作为曲面S 在点0M 处的单位法向量，记为0n .双侧曲面：S 上的动点M 从点0M 出发,在曲面S 上连续移动而不超过S 的边界回到0M 时,其单位法向量与出发前的0n 相同。

曲面的方程与曲面积分的计算方法

曲面的方程与曲面积分的计算方法曲面是三维空间中的二维对象，它的形状可以用方程来描述。

曲面方程的确定对于解决与曲面相关的问题具有重要意义，同时曲面积分作为计算曲面上各种物理量的数学工具，也是一个重要的概念。

本文将介绍曲面的方程表示方法以及曲面积分的计算方法。

一、曲面的方程表示方法曲面的方程表示方法多种多样，常见的有显式方程、参数方程和隐式方程。

1. 显式方程显式方程是指直接用坐标变量表示的方程，例如，一个球面的显式方程可以写作(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中，(a,b,c)是球心坐标，r是球的半径。

2. 参数方程参数方程是将曲面上的点的坐标表示为参数的函数，例如，一个椭球面的参数方程可以写作x=acosθsinφ，y=bsinθsinφ，z=ccosφ，其中，a、b、c分别是椭球面在x、y、z轴上的半轴长度，θ和φ是参数。

3. 隐式方程隐式方程是用关系表达的方程，形式上不显式地表示每个坐标变量，例如，一个圆锥面的隐式方程可以写作x²+y²-z²=0。

二、曲面积分的计算方法曲面积分是计算曲面上某个物理量的方法，常用于计算曲面上的质量、电荷、流量等。

根据计算的目的和问题的性质，曲面积分可分为第一型和第二型曲面积分。

1. 第一型曲面积分第一型曲面积分，也称为曲面的标量场曲面积分，它的计算公式为∬_S f(x,y,z) dS，其中f(x,y,z)是曲面上的某个标量函数，dS是曲面上的面积元素。

计算第一型曲面积分的方法通常有两种：直接计算和参数化计算。

直接计算的方法是通过将曲面分割成微小面元，然后对每个微小面元进行积分求和。

参数化计算的方法是将曲面用参数方程表示，然后将曲面积分转化为参数积分来计算。

2. 第二型曲面积分第二型曲面积分，也称为向量场的曲面积分，它的计算公式为∬_S F·dS，其中F是曲面上的向量场，dS是曲面上的面积元素。

第四节第一类曲面积分

)
（1）确定的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.

曲面积分

=其中Fra bibliotek所以= =
2,计算曲面积分 ,其中是上半个球面与平面围成封闭曲面外侧.
解：
本题需用高斯公式计算，化为三重积分后，再用球坐标计算
=
=
=
3,计算曲面积分 ,其中是长方体的整个表面的外侧，
解：（1）直接计算法
将有向曲面分成以下六个部分
上侧；
下侧；
前侧；
后侧；
左侧；
右侧；
对于，需将向xoy坐标面做投影.显然，除外，其余四片曲面在xoy坐标面上的投影均为零，故
曲面积分
一，第一类（对面积）的曲面积分
内容要点
第一类（对面积）的曲面积分的计算
设函数在曲面上连续，曲面的方程为，且有一阶连续偏导数，则曲面积分
其中为在坐标面上的投影区域.
例题
1计算曲面积分，其中是平面在第一挂限部分.
解：，
=
=
=
=
2计算曲面积分，在xoy坐标面的上方部分
解：
=
=
=
= .
练习题
1设为平面在第一卦限部分，求
2设为平面在第一卦限部分，求
3计算曲面积分，在xoy坐标面的上方部分
[答案：1, ; 2, ; 3, .]
二，第二类（对坐标）的曲面积分
内容要点
1,第二类（对坐标）曲面积分的计算
对于曲面积分的计算，首先应将的方程表为，然后将向xoy坐标面做投影，若投影区域为，则曲面积分便可化为二重积分
[答案：1, ; 2, 3, 4, 5, . ]
同理可得
总之
=
(2)高斯公式法
=
=
其中

第四节曲面积分

从而在单位时间内流过曲面Σ指定一侧的流量为
Δ i Δ i
i 1 n n
P i ,i , i ΔSi yz Q i ,i , i ΔSi zx R i ,i , i ΔSi xy .
i 1
令λ=max{ΔSi的直径}，当λ→0时，上面和式的极限值就是所求的流量Φ，即
Σ1,Σ2合并而成，即Σ=Σ1+Σ2，则有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Σ
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy.
Σ1 Σ2
上式可以推广到Σ是由有限片光滑曲面
Σ1,Σ2,…,Σn合并而成的情形.
性质2 设Σ是光滑的有向曲面，Σ－表示与
x2+y2=25所截得的部分(图10-59).
解积分曲面Σ的方程为

z=5-y，它在xOy面上的
投影为闭区域
Dxy
又
x, y x
2
y 25 .
2

图10-59
2 z z 2 1 1 0 1 2, x y
v P( x, y, z )i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k,
Σ是速度场中的一片有向光滑曲面，函数P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Σ上连续.求在单位时间内流体
流过曲面Σ指定侧的流量Φ.
如果流体在这区域上各点的流速为常向量v，那么单位时间内流过平面上面积为A的流量为
eni cos i i cos i j cos i k
近似代替ΔSi上各点处的流速，以该点的单位法向量
代替上各点处的单位法向量，把小曲面近似看成平

曲面积分的基本概念与运算

曲面积分的基本概念与运算曲面积分是数学中的一个重要概念，它可以用来求解曲面上的一些重要物理量，比如曲面的面积、电场的通量等。

本文将简要介绍曲面积分的基本概念与运算方法。

一、曲面积分的定义曲面积分是对一个向量场在曲面上进行积分的操作，其定义如下：设$\overrightarrow{F}$是一个定义在曲面$S$上的向量场，曲面$S$在$xOy$平面内的投影为区域$D$，$S$可由方程$z=z(x,y)$确定，则曲面积分的计算式为：$\iint_S{\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{ds}}=\iint_D{\ov errightarrow{F}(x,y,z(x,y))\cdot\overrightarrow{n}(x,y)dA}$其中,$\overrightarrow{n}(x,y)$表示曲面元素$ds$相应的法向量，$dA$表示$xOy$平面上的面积元素。

由于$\overrightarrow{ds}$的方向与曲面方向一致，因此曲面积分的计算式中需要乘上$\overrightarrow{n}$。

根据右手法则，$\overrightarrow{n}$的方向应当指向指向位于$z$半空间的区域$S$，也就是说，当观察者位于位于正$x$半轴方向时，曲面$S$在$xOy$平面内的投影应当位于观察者的左侧。

二、曲面积分的运算方法曲面积分的运算方法大致可以分为直接计算和利用高斯公式进行计算两类，下面分别介绍。

(一) 直接计算法直接计算法是通过计算曲面上的积分式来求解曲面积分的值。

设$\overrightarrow{F}$是一个定义在曲面$S$上的向量场，曲面$S$在$xOy$平面内的投影为区域$D$，$S$可由方程$z=z(x,y)$确定，那么曲面积分的计算式为：$\iint_S{\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{ds}}=\iint_D{\ov errightarrow{F}(x,y,z(x,y))\cdot\overrightarrow{n}(x,y)dA}$其中，$\overrightarrow{n}(x,y)$表示曲面元素$ds$相应的法向量，$dA$表示$xOy$平面上的面积元素。

空间向量场的曲面积分

空间向量场的曲面积分空间向量场是一个映射，将空间中的每个点映射到一个向量。

曲面积分是对空间向量场在曲面上的积分运算。

在本文中，我们将探讨空间向量场的曲面积分的概念、计算方法以及其应用。

一、概念空间向量场的曲面积分可以理解为将向量场在曲面上的投影进行积分运算，用来描述向量场通过曲面的情况。

曲面积分可以用来计算力场对物体的作用、电场的势能、电荷的总量等。

在数学上，设曲面S为参数化曲面，参数化表示为r(u,v) = (x(u,v),y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)为参数，x(u,v)、y(u,v)、z(u,v)为关于参数的函数，定义在一个有界区域上。

空间向量场F为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q、R为关于空间坐标的函数。

曲面S上的曲面元素面积dS可以用参数化表达式来表示：dS = || ∂r/∂u × ∂r/∂v || dudv其中∂r/∂u 和∂r/∂v 分别为 r(u,v) 对 u 和 v 的偏导数，×为向量的叉乘。

二、计算方法根据曲面积分的定义，我们可以使用以下公式来计算空间向量场的曲面积分：∬S F・dS = ∬D F(r(u,v))・(∂r/∂u × ∂r/∂v)dudv其中F(r(u,v))为向量场F在曲面S上的投影，·表示向量的点乘。

具体计算步骤如下：1. 将参数化曲面方程 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 带入向量场 F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，得到 F(r(u,v))。

2. 计算曲面元素面积dS = || ∂r/∂u × ∂r/∂v || dudv。

3. 将 F(r(u,v)) 和 dS 带入曲面积分公式，进行积分运算得到结果。

三、应用举例空间向量场的曲面积分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

曲面积分

第十三讲曲面积分一、主要知识点1．曲面积分的概念（1）对面积的曲面积分1）定义：设函数),,(z y x f 在光滑曲面∑上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对面积的曲面积分，即i ni i i i S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=∑→1),,(lim),,(τηξλ．2）性质： ① 与曲面∑侧的选择无关，即⎰⎰⎰⎰∑-∑=dS z y x f dS z y x f ),,(),,(．② 对曲面具有可加性，即若21∑+∑=∑，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f ．（2）对坐标的曲面积分1）定义：设函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在光滑的有向曲面∑上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲面积分，即∑⎰⎰=∑→∆+∆+∆=++ni xy i i xz i i yz iiS R S Q SP Rdxdy Qdxdz Pdydz1))()()((limλ．2）性质： ① 与曲面∑的侧有关，即⎰⎰⎰⎰∑∑--=．② 对曲面具有可加性，即若21∑+∑=∑，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12．2．曲面积分的计算方法（1）对面积的曲面积分――化为投影域上的二重积分．计算方法与步骤：1）画出曲面∑草图，写出曲面方程∑=),(y x z z ：； 2）做三代换： ① ),(y x z z =；②dS =；③ 曲面∑在xoy 面上的投影域xy D ．将对面积的曲面积分化为二重积分(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰；3）在投影域xy D 上计算二重积分．（2）对坐标的曲面积分计算方法与步骤 1）利用高斯公式① 若∑为封闭曲面，则dxdydz zR yQ xP Rdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω∂∂+∂∂+∂∂=++)(．条件一：R Q P ,,在空间区域Ω内偏导连续；条件二：曲面∑为闭曲面的外侧． ② 若∑为非封闭曲面，且R Q P ,,比较复杂, R Q P ,,在由'∑+∑ ('∑+∑为闭合)所围成的空间闭区域Ω中有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑Ω∑-=-+='''．2）通过投影到坐标面上化为二重积分⎰⎰⎰⎰∑±=++=Dxydydz z y z y x P Rdxdy Qdxdz PdydzI ],),([⎰⎰⎰⎰±±xyxzD D dxdyy x z y x R dxdzz z x y x Q )],(,,[]),,(,[．其中±号的确定：若曲面∑的法向量→n 与x 轴夹角),(→∧→x n 为锐角时，第一个积分前取正号，否则取负号；若曲面∑的法向量→n 与y 轴夹角),(→∧→y n 为锐角时，第二个积分前取正号，否则取负号；若曲面∑的法向量→n 与z 轴夹角),(→∧→z n 为锐角时，第三个积分前取正号，否则取负号． 3）利用两类曲面积分之间的联系改变投影面dS dSdxdy RdSdxdz QdSdydz PRdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++)(．dS R Q P ⎰⎰∑++=)cos cos cos (γβα．其中cos dydz dS α=，cos dxdz dS β=，cos dxdy dS γ=，γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点),,(z y x P 处法向量的方向余弦．（3）两类曲面积分的联系dS dSdxdy RdSdxdz QdSdydz PRdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++)(dS R Q P ⎰⎰∑++=)cos cos cos (γβα．其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点),,(z y x P 处法向量的方向余弦．3．曲面积分应用1）几何应用：空间曲面的面积⎰⎰∑=dS S ．2）物理应用：面密度为(,,)x y z μ的物质曲面，质量： (,,)M x y z d S μ∑=⎰⎰；重心坐标： 1(,,)x x x y z dS Mμ∑=⎰⎰，1(,,)y y x y z dS Mμ∑=⎰⎰，1(,,)z z x y z dS Mμ∑=⎰⎰；转动惯量： 22()(,,)x I y z x y z dS μ∑=+⎰⎰，22()(,,)y I x z x y z dS μ∑=+⎰⎰，22()(,,)z I x y x y z dS μ∑=+⎰⎰，222()(,,)o I x y z x y z dS μ∑=++⎰⎰．流体流量：设流体的密度1μ=，速度→→→→++=k R j Q i P v ，单位时间内流过曲面指定侧的流量 ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdxdz Pdydz．4．高斯公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面所围成，函数(,,)P x y z (,,)Q x y z(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Rdxdy Qdxdz Pdydzdv zR yQ xP ++=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω)((cos cos cos )P Q R dS αβγ∑=++⎰⎰ ．这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦．高斯公式的物理意义：若∑是高斯公式中闭区域Ω的边界曲面的外侧，那么⎰⎰∑++Rdxdy Qdxdz Pdydz ()P Q R dxdydz xyzΩ∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量等于分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量．所以高斯公式另一写法n A dS divAdV ∑Ω=⎰⎰⎰⎰⎰其中∑是空间闭区域Ω的边界曲面，而γβαcos cos cos R Q P n A A n ++=⋅=是A P i Q j R k =++在∑外侧法向量上的投影．向量场A 的散度：称zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= 为向量场A的散度． 5．斯托克斯公式设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有dxdy yP xQ dzdx xR zP dydz zQ yR )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑P dx Q dy R dz Γ=++⎰．另一种写法d y d z d z d x d x d y P d x Q D y R d zxy z PQRΓ∑∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰ ．环流量：沿有向闭曲线Γ的曲线积分P dx Q dy R dz Γ++⎰ 叫向量场A P i Q j R k =++沿有向闭曲线Γ的环流量．向量场A 的旋度：A rot ()R Q i y z ∂∂=-∂∂ j x R z P )(∂∂-∂∂+()Q P k x y∂∂+-∂∂RQPz y x k j i ∂∂∂∂∂∂ ＝斯托克斯公式物理意义：向量场A 沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场A的旋度场通过曲线Γ所张的曲面∑的通量．二、例题分析1．对面积的曲面积分例1．计算dS z y x I ⎰⎰∑++=)(222，其中∑为球面az zy x 2222=++．解：方法1：曲面∑分成两个半球面22222221,yx a a z y x a a z ---=∑--+=∑：：,则面积元素分别为za adxdy yx a adxdy dS az adxdy yx a adxdy dS -=--=-=--=22222221,，又它们在xoy 面上的投影均为222a y x D xy ≤+：，因此积分 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-==++=∑∑xyxyD D dxdy az a a z aaz zdxdy aazdS dS z y x I 222221222)(4442222264222221a aa dS aa a dxdy az a adxdy axyxyD D ππππ=+=+⋅=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑同理 444222242)(2a aa ds z y xπππ=+-=++⎰⎰∑,于是 =I 444222222826)()(21a aa dS z y xdS z y xπππ=+=+++++⎰⎰⎰⎰∑∑．方法2：之间投影到xo y 平面计算．练习题：1．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是立体122≤≤+z yx 的边界曲面．()12(2+π)2．计算积分⎰⎰∑zdS ，其中∑是曲面)10(),(2122≤≤+=z y x z ．(21)15π+)2．对坐标的曲面积分上述三种计算方法适用情况：（1）若曲面∑在xo y 面上投影为一个区域，则用方法3）简便；（2）若曲面∑在xo y 面上投影为一条线，且,,P Q R 具有连续的偏导数，则通常用加面*∑，使*∑+∑封闭，利用高斯公式；（3）若曲面∑在xo y 面上投影为一条线，,,P Q R 偏导数不连续的情况下，使用方法2）处理．例2．计算曲面积分212222()()axdydz z a dxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑为下半球面z =的上侧，a 为大于零的常数．解：因为被积函数在点(0,0,0)O 没有定义，不能用加、减一块面0z =构成闭曲面计算积分，应先将半球面方程带入被积函数中，得2()axdydz z a dxdyI a∑++=⎰⎰以下利用三种方法计算本题：方法1：利用高斯公式补一张面0z '∑=：，投影域为222D x y a +≤：，且是下侧，这里21(),0,,(32)P Q R z a P x Q R a z axyza∂∂∂+===++=+∂∂∂则 I ''∑∑∑=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211(32)[()]a z dv axdydz z a dxdy a a'Ω∑=-+-++⎰⎰⎰⎰⎰2322002121[32cos sin ]3a Da a d d r r dr a dxdy a a ππππθϕϕϕ=-++⎰⎰⎰⎰⎰44221[24cos sin ]4aa d a a aππππϕϕϕπ=-++⎰3333222a a a a ππππ=-++=-．方法2：投影法：曲面∑投影到yo z 平面上应分成前后两块，即x x ⎫∑=⎪∑=前后：：曲面∑在yo z 平面的投影域为222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤，曲面∑在xo y 平面的投影域为22{(,)|1}xy D y z x y =+≤，因为22()1()axdydz z a dxdyxdydz z a dxdy aa∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而x d y d z x d y d zx d∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前(向后)yzyzD D =--⎰⎰⎰⎰232223yza D d a πθπ=-==-⎰⎰⎰⎰，21()z a dxdy a∑+⎰⎰21(xy D a dxdy a=-⎰⎰222311(22)6a d a r rdr a aπθπ=-=⎰⎰，于是 333211362I a a a πππ=-+=-．方法3：转换投影法：投影到xo y 平面上，曲面z ∑=：曲面法向量为{,,1}x y n f f ''=--=，{,,}{,,1}yzxyD I P Q R ff dxdy ''=⋅--⎰⎰ 投影域为22:1xy D x y +≤，2221{,0,(22)}yzD x a x y dxdya=--⋅⎰⎰221()]yzD a dxdy a=+-⎰⎰22222122)a d a r rdr aπθ=-⎰⎰3232014cos 6a d a πθθπ=-+⎰⎰323332200114cos sin 62ad tdt a a ππθθππ=-+=-⎰⎰练习题：利用三种方法计算下列题 (2)I x z dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为有向曲面22z x y =+(01)z ≤≤，其中法向量与z 轴的正向夹角为锐角． 1()2π-例3．计算32222()xdydz ydxdz zdxdyI x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑是椭球面2222221x y z abc++=外侧．解：当(,,)(0,0,0)x y z ≠时， 0P Q R xyz∂∂∂++=∂∂∂，但是曲面方程不满足222x y z ++=常数，将曲面∑改换为'∑：2222x y z ξ++=外侧，（,,a b c ξ<），于是()()0P Q R dv xyz'∑-∑Ω∂∂∂+=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰空心球，即32222()xdydz ydxdz zdxdyx y z ''∑-∑∑++=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰31xdydz ydxdz zdxdy ξ'∑=++⎰⎰31()x y z dv xyzξ'Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰（球）（2222x y z ξ'Ω++≤：）3331143343dv πξπξξΩ==⋅=⎰⎰⎰．例4．计算曲面积分I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中曲面∑是球面2222xy z a ++=被平面0x y z ++=所截得位于上侧的上半部分．解：该题无论投影、转化投影，高斯公式都有一定的困难，将其转化为第一类曲面积分计算．曲面方程 2222x y z a ∑++=：，令 2222F x y z a =++-，则2,2,2y z F x F y F z x∂''===∂，cos α==，cos β==cos γ==所以22(I xyzdS ∑=++⎰⎰231(4)22a dS aa a ππ∑∑====⎰⎰⎰⎰．例5．计算22xy z dxdy x y zdydz ∑+⎰⎰，其中∑为由曲面22z x y =+与平面1z =所围成的闭曲面外侧．解：对第一个积分可以用高斯公式，即221()I xy z dxdy xyz dv z∑Ω∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰128xy zdv xy zdv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （其中1Ω：为Ω在0,0x y ≥≥部分）222211342010,0184sin cos (1)4x yx y x y dxdy xyzdz d r r dr πθθθ++≤≥≥==-=⎰⎰⎰⎰⎰，对于第二个积分不能用高斯公式，因为2x y z P =在0x =处偏导数不存在，只能投影，将曲面∑分成两块，2211,1z x y ∑=+≤上侧，222,01z x y z ∑=+≤≤：下侧，因为1z =垂直于yo z 平面，所以120x y zdydz ∑=⎰⎰，对于积分22x y zdydz ∑⎰⎰，将∑投影到yo z 平面还需要分2∑麻烦，采用转换投影法，投影到xo y 平，因为曲面22z x y =+法向量{2,2,1}n x y =--，所以2222{,0,0}{2,2,1}x y zdydz x y z x y dxdy ∑∑=⋅--⎰⎰⎰⎰2222222()0D xyx x y zdxdy x x y x y dxdy ∑=-=+=⎰⎰⎰⎰（因为被积函数关于x 的奇函数且积分区域xy D 关于y 轴对称），于是110044I =++=．注意：有时对第二类曲面积分的几项，各采用不同的方法去做会带来方便．例6．设()f u 为奇函数，且具有一阶连续的偏导数，∑是由锥面x =，两球面2221x y z ++=，2222x y z ++=所围成立体(0)x >的全表面外侧，求333[()][()]I x dydz y f yz dzdx z f yz dxdy ∑=++++⎰⎰．解：利用高斯公式计算： 2223()()()I x y z dv zf yz dv yf yz dv ΩΩΩ''=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于第一项 2223()x y z d v Ω++⎰⎰⎰ （将对称轴x 轴作为0ϕ=，利用球坐标计算）2434400113sin 6[cos ][5d d dr r πππθϕϕπϕ==-⎰⎰136(11)10)255ππ=-=，对于第二项()zf yz dv Ω'⎰⎰⎰，因为()f u 为奇函数，()f u '为偶函数，区域Ω关于0z =对称，()zf yz '是关于z 的奇函数，所以()zf yz dv Ω'⎰⎰⎰＝0，同理第三项()yf yz dv Ω'⎰⎰⎰=0，于是3(10)5I π=．练习题： 1．计算⎰⎰∑+++++=dxdy z z y x f dxdz y z y x f dydzx z y x f I ]),,([]),,(2[]),,([,其中),,(z y x f 为连续函数, ∑为平面1=++z y x 在第四卦限的上侧．（12）2．设)(u f 具有连续一阶导数，计算曲面积分zdxdy dxdz yxf x dydz y x f y I ++=⎰⎰∑)(1)(1．其中∑是由22z x y +=与228z x y --=所围立方体表面的外侧．（16π）3．利用斯托克斯公式计算曲线积分例7．计算222222()()()I y z dx z x dy x y dx Γ=-+-+-⎰，其中Γ为球面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥的边界线，从球心看Γ为逆时针方向．解：方法1：曲线用参数方程表示，将Γ分成3段，xo y 平面上一段：1cos ,sin ,0x t y t z Γ===：（t 从2π到0），则 122124(sin (sin )cos cos )3I t t t t dt πΓ==--=⎰⎰，由Γ的轮换对称及表达式的轮换对称知道 4343I =⨯=．方法2：用斯托克斯公式计算斯托克斯公式：P d x Q d yR dΓ++⎰()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy yzzxxy∑∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰cos cos cos dydz dzdx dxdy dS x y z x y z PQRPQRαβγ∑∑∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰其中（1）Γ为分段光滑的空间闭曲线；∑是以Γ为边界的分片光滑有向曲面（符合右手规则）；（2）函数,,P Q R 在含∑的空间区域内偏导数连续．这里22P y x =-，22Q z x =-，22R x y =-，则2222222()()()dydzdzdx dxdy I y z dydz z x dzdx x y dxdy x yz y x z x x y ∑∑∂∂∂==-+++++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ 6()6(1)()Dx y dxdy x y dxdy ∑=-+=--+⎰⎰⎰⎰ （221,0,0D x y x y +≤≥≥：）132001212cos 4D xdxdy d r dr πθθ===⎰⎰⎰⎰．注意：方向：从球心看去是逆时针方向，从外看去是顺时针方向，曲面∑法向量指向球心．练习题：计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ-++⎰ ＝，其中Γ是平面2y z +=和圆柱面221x y +=的交线（当在平面上侧看Γ时，Γ的方向是逆时针方向）．（π） 4．曲面积分的应用例8．设空间曲线构件的线密度为μ= ，且曲线方程是曲面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线，求曲线构件的质量M ．解：相交的曲线方程⎩⎨⎧=++=Γ2222a z y x x y ：，消去x 得到一个过曲线Γ的柱面方程2222a z y =+．又该曲线的质量 ⎰Γ+=ds z y M 222，将曲线方程代入被积函数即可计算出该积分 ⎰Γ+=ds z y M 222⎰Γ=ads 222a a a ππ== 注意：也可以利用参数方程计算该积分．例9．设向量22{,,}A xy y z = ，曲面∑为上半球面222(1)1x y z -++=(0)z ≥，被锥面z =所截部分（即z ≥A 通过曲面∑的流量（流体质量）．解：流量 022[c o s c o s c o s ]A n d S x y y z d Sαβγ∑∑Φ=⋅=++⎰⎰⎰⎰22xydydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰因为曲面∑在xo y 面上投影域的边界曲线比较容易求，所以用转换投影法，由222(1)1x y z -++=与222z x y =+，消去z ，得到22x x y =+，所以曲面∑在xo y 面上投影区域为：22{(,) }xy D x y x y x =+≤，并且∑在xo y 面上的投影点不重合，z ∑==：因为zz x y ∂∂==∂∂，所以n = 于是22{,,}xy y z dxdy ∑Φ=⎰⎰232)x y xy y z dxdy ∑-+=⎰⎰23222)y D x x y dxdy =--⎰⎰2222(2)xy xy D D x x y dxdy =+--⎰⎰⎰⎰ cos 22020(2cos )d r r rdr πθπθθ-=+-⎰⎰ 442221[cos cos ]34d ππθθθ-=-⎰ 42052cos 12d πθθ=⎰ 5315642232ππ== ．例10．一带电量q 为的正电荷置于半径为R 的球的中心，求所产生的电场强度对于该球面∑的通量．解：设球心在坐标原点，建立空间直角坐标系，在球面坐标系中，该球面的方程为sin cos sin sin cos x R y R z R ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（R 为常数，0ϕπ≤≤，02θπ≤≤）球面的面积元素 2s i n d S R d d ϕϕθ=球面上任意一点(,,)x y z 处外法线向量为(0)(0)(0)r x i y j z k =-+-+-其单位向量为 012222{c o s .c o s ,c o s }()r xi y j z k r r x y z αβγ++===++ ，放置点在(0,0,0)处并带电量为q 的正电荷在原点以外空间中任意一点(,,)x y z 处产生的电场强度为00322222(,,)()kq xi y j z k E x y z E E r kq r x y z ++===++ 于是电场对球面外侧的通量为0()E d s E n d S ∑∑Φ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰ 012222{cos .cos ,cos }()xi y j z kxi y j z k n R x y z αβγ++++===++于是32222()xi y j z k xi y j z k kqdS R x y z ∑++++Φ=++⎰⎰ 2223x y zkq dS R R∑++=⎰⎰ 224sin kqR R d d R ϕϕθ∑=⋅⎰⎰200sin 4kq d d k q ππθϕϕπ==⋅⎰⎰．练习题：1．如果半径为a 的球面上每一点的面密度等于该点到球面的某一定直径的距离的平方，试求球面的质量．（483a π） 2．已知流体的速度场→=i xy z y x v ),,(，试求此流体场在单位时间内通过曲面∑：22y x z +=位于平面1=z 以下部分外侧的流体的质量（流体密度为1）．（0）。

高等数学第十章曲面积分

（1）求 1和 2在 yoz 平面上的投影区域：
因 1和 2在 yoz 平面上的投影区域相同，设为 D yz ： 0 z H 。 R y R，

1
H
z

o
2
x
R
R
y
（2）求微元 dS ：在 1和 2 上，
dS 1 ( x 2 x ) ( ) 2 dydz y z R R y
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
2．反号性
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy

3．奇偶对称性
0 Rdxdy 2 Rdxdy
4 z 2 x y与形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 3 4 z 2 x y 4 代入，从而简化计算。函数，即将 3 x y 解：平面方程的为 z 4(1 ) （见下图）， 2 3
在 xoy 面上的投影区域为：
x y D xy : 1, x 0, y 0 2 3 z z 4 2, x y 3
0 i 1
n

2．物理意义 Pdydz Qdzdx Rdxdy

表示流体密度 1 速度场为 V P i Q j R k , 单位时间内流过曲面一侧的流量。

二、对坐标的曲面积分的性质
1．可加性

1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
【例1】计算曲面积分 ( z 2 x

x y z 1在第一卦限中的部分。 2 3 4

曲面积分高斯公式使用条件

曲面积分高斯公式使用条件（原创实用版）目录1.引言2.曲面积分的概念3.高斯公式的定义4.高斯公式的使用条件5.高斯公式的应用示例6.结论正文1.引言在数学中，曲面积分是一种对三维空间中的曲面上的函数值进行积分的方法。

在实际应用中，曲面积分有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域。

高斯公式是一种计算曲面积分的方法，它可以帮助我们更简便地求解曲面积分。

然而，高斯公式并不是适用于所有曲面积分的情况，它有一定的使用条件。

本文将介绍曲面积分的概念，高斯公式的定义以及其使用条件。

2.曲面积分的概念曲面积分可以理解为将一个三维空间中的曲面划分为无数个无限小的面元，计算这些面元上函数值的总和。

曲面积分的计算过程是相当复杂的，需要用到一定的数学方法。

3.高斯公式的定义高斯公式，又称高斯通量定理，是一种计算曲面积分的方法。

高斯公式的定义如下：∮∮_S F·dS = _V div F dV其中，S 表示曲面，F 表示曲面上的矢量场，dS 表示曲面元，V 表示曲面 S 包围的体积，dV 表示体积元，div F 表示矢量场 F 的散度。

4.高斯公式的使用条件高斯公式并非适用于所有曲面积分的情况，它有一定的使用条件。

使用高斯公式时，需要满足以下条件：（1）曲面 S 必须满足光滑性条件，即曲面 S 上的任意两点可以光滑连接；（2）矢量场 F 必须满足光滑性条件，即 F 在曲面 S 上的每一点都存在；（3）矢量场 F 的散度在曲面 S 上的每一点都存在且连续。

5.高斯公式的应用示例假设有一个球面，球面上有一个均匀分布的电场，我们需要计算球面上电场强度通过的电荷总量。

此时，我们可以使用高斯公式来解决这个问题。

假设电场强度为 E，球面半径为 R，我们可以将球面划分为无数个无限小的面元，计算每个面元上的电场强度与球面法线之间的夹角的余弦值，然后将这些值相加，最后乘以面元的面积，即可得到电荷总量。

6.结论高斯公式是一种计算曲面积分的方法，它有一定的使用条件。

曲面积分的概念与性质.

闭曲面有内侧与外侧之分
曲面在坐标面上的投影
在有向曲面上取一小块曲面S 用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)
我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为
(S
)xy

n
lim
||T||0 i1
f (i ,i , i )Si

I,
且与分割 T 及 (i ,i , i )
的取法无关, 则称此极限为f ( x, y, z) 在 S上的第一型曲面积分,
记为
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
第二型曲面积分的概念
有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的
n
lim
||T ||0
i 1
(i ,i , i )Si
,
其中 T {S1 , S2 ,...,Sn } 为曲面块的分割，Si 表
示小曲面块 Si 的面积，(i ,i , i ) 为 Si 中任意一点， || T || 为分割 T 的细度，即为诸 Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面, f ( x, y, z)为
给出是速度场中的一片有向曲面函数v(x y z)在上连续求在
单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量
•把曲面分成n小块 S1 S2 Sn(Si也代表曲面面积) •在Si上任取一点(i i i ) •通过流向指定侧的流量近似为
面积分
•函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y z)dxdy

lim
0

i1
R(i,i,
i
)(Si)xy

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