八年级数学上册 1.3 勾股定理的应用课件 第一课时北师大版
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
勾股定理的应用教学课件北师大版八年级数学上册
再见
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现 要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 解：如图，在Rt△ABC中： ∵500＞202 ． ∴不能在20 s内从A爬到B．
典型例题
2．如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从点D 出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？
典型例题
5． 如图,长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折
叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
5 3
.
随堂练习
1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这
个洞口，则圆形盖的半径至少为
1 2
米．
2．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固
有 C 90 .
3．已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以 x、y 、z为三边的三角
形的形状.
直角三角形
探究新知
探究圆柱上两点之间最短距离
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第一章勾股定理
3.勾股定理的应用
学习目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的 实际问题 2．能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形 的理解和辨析能力
复习回顾
1．在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则
有 a2 b2 c2.
2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
北师大版数学八年级上册《勾股定理的应用》课件
《勾股定理的应用》
A B
C
热身展风采
一长为13m的木梯，架在高为12m的高墙顶端， 这时梯脚与墙的距离是______ m． 5
12
13
？
身展风采
小眀将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子 上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m. 请算出旗杆的高度.
动手又动脑
课堂小结
你在知识和方法上有哪些收获和提高？
你还有什么需要继续学习的地方？
勤奋是桨，合作是舟， 一起努力驶向胜利的彼岸！
例题1.
如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底 面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点C处 有一蜘蛛，想吃到相对的上口外侧距开口 1cm的F处的食物，则蜘蛛沿着容器侧面爬行 的最短路程是多少？
动手又动脑
例题2.
如图，是一块长，宽，高分别是8cm，4cm 和2cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方 体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面 到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那 么它需要爬行的最短路径长多少？
最短距离
1、方法：立体图形
平面图形
2、依据：两点之间，线段最短
3、构造：直角三角形 4、应用：勾股定理
巩固练习
1. 如图，某同学的茶杯是圆柱形，底面 周长为12cm，高16cm，左边下方有一 只蚂蚁，从A处爬行到相对的中点B处， 则蚂蚁爬行的最短路线长_______ cm． 10
巩固练习
2. 如图，一边长为5cm的正方体盒子， 在左边下方A处有一只蚂蚁，想从A处沿 表面爬行到侧棱GF上的点M点处， GM=2cm，则蚂蚁从A爬行到M的最短距 离是 109 cm.
A B
C
热身展风采
一长为13m的木梯，架在高为12m的高墙顶端， 这时梯脚与墙的距离是______ m． 5
12
13
？
身展风采
小眀将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子 上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m. 请算出旗杆的高度.
动手又动脑
课堂小结
你在知识和方法上有哪些收获和提高？
你还有什么需要继续学习的地方？
勤奋是桨，合作是舟， 一起努力驶向胜利的彼岸！
例题1.
如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底 面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点C处 有一蜘蛛，想吃到相对的上口外侧距开口 1cm的F处的食物，则蜘蛛沿着容器侧面爬行 的最短路程是多少？
动手又动脑
例题2.
如图，是一块长，宽，高分别是8cm，4cm 和2cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方 体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面 到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那 么它需要爬行的最短路径长多少？
最短距离
1、方法：立体图形
平面图形
2、依据：两点之间，线段最短
3、构造：直角三角形 4、应用：勾股定理
巩固练习
1. 如图，某同学的茶杯是圆柱形，底面 周长为12cm，高16cm，左边下方有一 只蚂蚁，从A处爬行到相对的中点B处， 则蚂蚁爬行的最短路线长_______ cm． 10
巩固练习
2. 如图，一边长为5cm的正方体盒子， 在左边下方A处有一只蚂蚁，想从A处沿 表面爬行到侧棱GF上的点M点处， GM=2cm，则蚂蚁从A爬行到M的最短距 离是 109 cm.
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m， 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又因为AC2=92=81， 所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
北师大版初中八年级数学上册第1章3勾股定理的应用课件
勾股定理
3
勾股定理的应用
核心·重难探究
知识点
勾股定理的应用
【例1】 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处,请你帮蚂蚁设计一条最短的爬行线路,蚂蚁要爬行的最短路
程为多少?
思路分析 (1)你能将长方体展开成平面图形吗?有几种情况?(2)点A到点C1
的最短线路是什么?在展开图中画出来.(3)发现展开图中的直角三角形了
【例2】 某团队到某岛去玩寻宝游戏.如图,他们登陆后,
先向正东走了8 km,再向正北走,走了2 km,遇上礁石,只
好改道向正西走,走了3 km后,再向正北走6 km,再向正
东走1 km,找到了藏宝的地点.求宝藏的地点离登陆点的
距离.
思路分析 实际问题→构造直角三角形→应用勾股定理→解决实际问题.
解 如图,过点B作BD⊥AC于点D,连接AB.
吗?应用勾股定理能求出蚂蚁爬行的最短路程为多少吗?
解 蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点C1,有三种方式,分别展成平面图形
如下:
如图①,在 Rt△ABC1 中,
A12 =AB2+B12 =42+32=52=25.
如图②,在 Rt△ACC1 中,
A12 =AC2+C12 =62+12=37.
如图③,在 Rt△AB1C1 中,
A12 =A12 +B112 =52+22=29.
因为25<29<Fra bibliotek7,所以沿图①的方式爬行路线最短,最短路程是5.
图①
图②
图③
【方法归纳】
解与长方体有关的最短线路问题,只需对长方体进行部分展开,画出局部的
3
勾股定理的应用
核心·重难探究
知识点
勾股定理的应用
【例1】 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处,请你帮蚂蚁设计一条最短的爬行线路,蚂蚁要爬行的最短路
程为多少?
思路分析 (1)你能将长方体展开成平面图形吗?有几种情况?(2)点A到点C1
的最短线路是什么?在展开图中画出来.(3)发现展开图中的直角三角形了
【例2】 某团队到某岛去玩寻宝游戏.如图,他们登陆后,
先向正东走了8 km,再向正北走,走了2 km,遇上礁石,只
好改道向正西走,走了3 km后,再向正北走6 km,再向正
东走1 km,找到了藏宝的地点.求宝藏的地点离登陆点的
距离.
思路分析 实际问题→构造直角三角形→应用勾股定理→解决实际问题.
解 如图,过点B作BD⊥AC于点D,连接AB.
吗?应用勾股定理能求出蚂蚁爬行的最短路程为多少吗?
解 蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点C1,有三种方式,分别展成平面图形
如下:
如图①,在 Rt△ABC1 中,
A12 =AB2+B12 =42+32=52=25.
如图②,在 Rt△ACC1 中,
A12 =AC2+C12 =62+12=37.
如图③,在 Rt△AB1C1 中,
A12 =A12 +B112 =52+22=29.
因为25<29<Fra bibliotek7,所以沿图①的方式爬行路线最短,最短路程是5.
图①
图②
图③
【方法归纳】
解与长方体有关的最短线路问题,只需对长方体进行部分展开,画出局部的
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
北师大版八年级上册1.3勾股定理应用课件(共18张PPT)
如图为一圆柱体工艺品,其底面周长为60cm,高为25cm,从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该装饰线最短长为
A B A A A 'B cm.
2
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
2
2
5如, 果2,小3;明只B有. 一个其20c中m 的A尺A子’是，思圆考又柱该如体何验的证A高D垂,直AA’BB？是底面圆周长的一半
第一章 勾股定理
§1.3 勾股定理的应用
学习目标
1、会用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题； 2、能用勾股定理和逆定理，结合方程思想解决实际应用问题.
自主自研
（一）温故知新
1、平面内，两点之间 线段 最短；
2、圆的周长公式 C=2πR；圆的面积公式 S=πR2 ； 3、圆柱侧面的展开图是__矩__形____。
；
如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点
相对如的B图点B为处的一食物圆，需柱要爬体行的工最短艺路程品是多,少其？ 底面周长为60cm,高为25cm,
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该 一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的 线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？（自己动手试一试）
若设滑道AC长为x米，
研读课本P13 “做一做”。
A 因为△ACE是直角三角形，所以AE2+CE2 AC2,
(3)如下图，将圆柱侧面过点A剪开并展开，则侧面展开图是
A
，CB= cm，AC= cm.
A B A A A 'B cm.
2
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
2
2
5如, 果2,小3;明只B有. 一个其20c中m 的A尺A子’是，思圆考又柱该如体何验的证A高D垂,直AA’BB？是底面圆周长的一半
第一章 勾股定理
§1.3 勾股定理的应用
学习目标
1、会用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题； 2、能用勾股定理和逆定理，结合方程思想解决实际应用问题.
自主自研
（一）温故知新
1、平面内，两点之间 线段 最短；
2、圆的周长公式 C=2πR；圆的面积公式 S=πR2 ； 3、圆柱侧面的展开图是__矩__形____。
；
如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点
相对如的B图点B为处的一食物圆，需柱要爬体行的工最短艺路程品是多,少其？ 底面周长为60cm,高为25cm,
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容，
从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该 一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的 线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？（自己动手试一试）
若设滑道AC长为x米，
研读课本P13 “做一做”。
A 因为△ACE是直角三角形，所以AE2+CE2 AC2,
(3)如下图，将圆柱侧面过点A剪开并展开，则侧面展开图是
A
，CB= cm，AC= cm.
八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用课件(新版)北师大版
图1-3-3
3 勾股定理的应用
解析 ①将四边形GBEF与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB, 如图1-3-4所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABC中,由勾股定 理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.
图1-3-4 ②将四边形CDBE与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图1-3 -5(1)所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABD中,由勾股定理得 AB2=AD2+BD2=112+32=130.
3 勾股定理的应用
培养勾股定理中的几何直观能力
典例剖析 例 如图1-3-13所示,长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm,高 为6 cm,如果用一根细线从A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用 细线最短需要多长?如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么 所用细线最短时其长度的平方是多少?
初中数学（北师大版）
八年级 上册
第一章
勾股定理
3 勾股定理的应用
知识点一 圆柱侧面上两点间的最短距离 圆柱侧面的展开图是一个长方形.圆柱侧面上两点之间最短距离的 求法是把圆柱侧面展开成平面图形,依据两点之间线段最短,以最短路
线为斜边构造直角三角形,利用勾股定理求解.
3 勾股定理的应用
例1 如图1-3-1所示,一个圆柱体高20 cm,底面半径为5 cm,在圆柱体下 底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已 被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路 程是多少?(π取3)
图1-3-14
3 勾股定理的应用
素养呈现 确定几何体上的最短路线时,往往无法直接求解,需要先转 化为平面图形.将几何体展开,就能直观地看出最短距离. 本题先将几何体展开,再利用“两点之间,线段最短”确定所求线段,最 后使用勾股定理求出线段的长. 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与 变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养,利用平面 图形有助于发现、描述问题,有助于理解、记忆得到的结果,可以把困 难的数学问题变容易,把抽象的数学问题变简单.
北师大版八上1.3《勾股定理的应用复习(一)》优秀课件(22张)
B3 A 5 5
5
探究二：立方体表面最短路程问题
2、如图，已知长方体的长，宽，高分别为
3cm,3cm,5cm, 一只蚂蚁如果沿长方体的 表面从 A 点爬到 B 点，你能帮蚂蚁设计一 条最短的路线吗？最短路程是多少？
(1)类比前面探究画出可能 的路径 (2)通过比较求出最短路程 A
3 3
B
5
探究二：立方体表面最短路程问题
若正方体的边长是 5cm, 一只蚂蚁如果 沿正方体的表面从 A 点爬到 B 点，最短 路程是多少？
B B
A
A
探究二：立方体表面最短路程问题
AB1= 52 102 5 5 AB2= 52 102 5 5 B1 B1 5 AB3= 52 102 5 5
B
B2 2 B B3
5 5
A
AA 5 5
5
A
3 4
探究二：立方体表面最短路程问题
B1
3
AB1= 42 82 80 4 5
AB2=
AB3=
B3
52 72 74 32 92 90 3 10
5
A
4 B2
5
B 5
5 4 A A 4 3 3
A
3 4
探究二：立方体表面最短路程问题
思考：立方体表面的最短路程问题与它的棱长有 什么关系？
B1
3
AB1= 32 82 73 AB2= 62 52 61
5
AB3= 32 82 73 B1
B2 5 5 5
A
3
B
3
A 3 3
A
3
3
A
3
探究二：立方体表面最短路程问题
北师大八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
八年级数学上册1《勾股定理的应用》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分 线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章 三角形的证明 复习
回顾 思考1
“原名〞 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推 论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距 离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘， 那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用 课件(共15张ppt)
勾股定理的逆定理应用于根据三边的长度判断 三角形的形状。
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
试一试
中国人民的聪明智 慧真的让人叹服！
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载 了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各 几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生 的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向 岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各为多少？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为
x+1尺。由勾股定理得
5
x2 +52=(x+1)2 x2 +25= x2+2x+1
x x+1
24= 2x
x=12
x+1=13（尺）
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺
小试牛刀
练习2
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水 平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯 的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑 道ＡＣ的长
（2）量得AD长是30厘米，AB 长是40厘米，BD长是50厘米。 AD边垂直于AB边吗？
（3)如果李叔叔随身只有一个长 度为20厘米的刻度尺，能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ 边BC与边AB呢？
议一议
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段 的长度，甚至周长或面积。
如果将圆柱侧面剪开展开成 一个长方形,从A点到B 点的最短路 线是什么?你画对了吗?
例题解析
h 12
C
B
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC 12, BC 1 18 9 2 在RtABC 中，有 ＡＣ２＋ＢＣ２＝１２２＋９２＝２２５＝ＡＢ２ ＡＢ＝１５ 故最短路径是15cm。
第一章：勾股定理 2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件(北师大版)
C A
B
C A
B
结论：SA = 9，SB = 9，SC = 18，即 SC = SA + SB
一般的直角三角形呢？
C A
B
C A
B
结论：SA + SB = SC
将格子再次细分，使三角形顶点落在格点上
C B
A
问题2：如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位 长度，上面猜想的数量关系还成立吗？请说明理由.
E
BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED. ∴ AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)
方法总结
一般涉及线段之间的平
＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)． 方关系问题时，通常构
又∵ AD 是△ABC 的中线，∴ DB＝DC.
造直角三角形，利用勾 股定理把需要证明的线
∴ AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．
第一章：勾股定理
1.1.1 认识勾股定理 1.1.2 验证勾股定理及简单应用 1.2 一定是直角三角形吗 1.3 勾股定理的应用
知识结构
勾 股 定 理
勾股定理
直角三角形 的判定条件
勾股定理 的应用
内容 验证方法 应用 勾股定理的逆定理 勾股数 求直角三角形的边长 判定直角三角形的形状 最短路径问题 生活中的实际应用
=82 +62 = 64 +36 = 100 = 102
8
所以 AB = 10 m.
答：需要 10 m 的钢索.
C
6
B
例1 如图，求出下列直角三角形的一直角边长和斜边的长度，求三角形
的面积.
A
解：由勾股定理可知，△ABC 的三边满足 AB2 + BC2 = AC2
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
思路点拨：解题的关键是根据题设信息构造直角三角形并求出边 上进行判断.
举一反三
4. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城 街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图1-3-7，一辆小汽车在一 条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A的正前方60 m处的C点，过了5 s后，测得小汽车所在的B点与车 速检测仪A之间的距离为100 m. （1）求B，C间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请 说明理由.
谢谢
解：将曲面沿AB展开，如答图1-3-3，过点C作CE⊥AB于点E,连接 CF. 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18-1-1=16（cm）， CE= ×60=30（cm）， 由勾股定理，得CF2= CE2+EF2＝302+162=342. 所以CF=34（cm）. 答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.
典例精析 【例3】如图1-3-4所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物.请你想一想，这只 蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？
解：如答图1-3-1,将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC ＝3×(3＋1)＝12(dm)，∠C＝90°，AB即为最短路程. 在Rt△ABC中，因为AB2＝AC2＋BC2， 所以AB2＝52＋122＝132. 所以AB＝13（dm）. 答：这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶面 爬到点B的最短路程是13 dm.
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目录
01 本课目标 02 课堂演练
本课目标
1. 能够运用勾股定理解决实际问题，体会把立体图形转化为平面 图形，解决“最短路径”的问题，树立转化思想. 2. 会运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 3. 利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及 其逆定理解决实际问题.
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.3 勾股定理的应用(共16张PPT)
北师大版初中八年级数学上册
勾股定理的应用
学习目标 1.会直接利用勾股定理求直角三角形的边长.
2.能根据勾股定理列方程求直角三角形的边长. 3.会利用勾股定理的逆定理判断两条直线是否垂直.
寻找生活中 的数学
想一想
边AD与边AB 垂直吗？
A
B
D
蚂蚁怎样走 最近？
做一做 B
A
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 11:18:07 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
检 测
B C=24cm，CD=6cm，AD=8cm，
∠ADC=90°.求这Fra bibliotek工件的面积.96cm2
3. 旗杆的绳子垂到地面时比旗杆长1米， 绳子的末端恰好在离旗杆底部5米处 触地，问旗杆有多高？
12m
感悟与收获
运用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.画出示意图，将实际问题抽象为数学问题，再利 用题目中的直角构造直角三角形来解决。
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
勾股定理的应用
学习目标 1.会直接利用勾股定理求直角三角形的边长.
2.能根据勾股定理列方程求直角三角形的边长. 3.会利用勾股定理的逆定理判断两条直线是否垂直.
寻找生活中 的数学
想一想
边AD与边AB 垂直吗？
A
B
D
蚂蚁怎样走 最近？
做一做 B
A
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 11:18:07 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
检 测
B C=24cm，CD=6cm，AD=8cm，
∠ADC=90°.求这Fra bibliotek工件的面积.96cm2
3. 旗杆的绳子垂到地面时比旗杆长1米， 绳子的末端恰好在离旗杆底部5米处 触地，问旗杆有多高？
12m
感悟与收获
运用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.画出示意图，将实际问题抽象为数学问题，再利 用题目中的直角构造直角三角形来解决。
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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自清自查
如图下图所示.有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的A点相 对的B点处的事物，需要爬行的最短路程是 多少?（π取3）
展示竞争,基础反馈
3.轮船在大海中航行，它从A 点出发，向正北方向航行 20 ㎞，遇到冰山后，又折向东航行15 ㎞，则此时轮 船与A 点的距离为___________㎞.
预习导学
请同学们想象一下: 有一只小蚂蚁想从A点爬到B 点.请大家思考,动手探索:用什么方法可以帮小蚂蚁找 到（也就是画出）从A点到B点的最短的路线.思考,讨 论五分钟.
用一张矩形的纸卷成一个圆柱，按照书 本的位置在圆柱上标出A，B 两点，自 己尝试画几条路线，观察一下哪条路线 最短？
引导一:如果是一只飞蚂蚁,或鱼缸中的金鱼, 则在空间中连接AB. 因为两点之间线段最短!
引导二: 尝试从A点到B点沿圆柱和长方体侧 面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
你能把A点和B点所在的侧面变成同一平面吗? 思考2分钟.
将圆柱.长方体侧面剪 开展成一个长方形， 从A点到B点的最短 路线是什么？
引导三:
你画对了吗？
你画对了吗？合作交流Fra bibliotek1.课本P13做一做 2.课本P13例
4.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开 拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅 走了 ______________步路(假设2 步为1 米)，却踩伤 了花草.
课堂小结
谈谈自己的收获与不足
1.3 勾股定理的应用
学习目标
会用勾股定理解决与直角三角形的一些问题
学习重点
勾股定理的灵活应用
学习难点
把问题转化为解直角三角形的问题
一. 复习巩固: 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。 某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时 的速度向东行走。1时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进。上午10：00， 甲、乙二人相距多远？