高中数学 第二章小结与复习全册精品教案 新人教A版必修1
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
返回
6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
返回
4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
高中数学(人教a版)必修一教案：§2章 小结与复习
小结与复习1、回顾本章的知识结构2、指数与对数指数式与对数式的互化幂值真数b N ⇔log N指数←→对数值提问：在对数式中，a ，N ，b 的取值范围是什么？例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x-⨯=⨯即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯ 所以25454,2x axa b x ax a b -+=-=+即因此得：2a b x a +=- （1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。
2．指数函数与对数函数问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.问题2：在同一直角坐标系中画出函数log x x a y a =与的图象，并说明两者之间的关系.问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.例2：已知函数()y x 的图象沿x 轴方向向左平移1个单位后与()3x f x =的图象关于直线y x =对称，且(19)2g a =+，则函数3(01)ax y x =<≤的值域为 .分析：函数3x y =关于直线y x =对称的函数为3log (1)y x =-∴33(19)log 182log 2g ==+∴3log 23log 2,3(3)2ax x a y x =∴===∵(0,1],(1,2]x y ∈∈则小结：底数相同的指数函数与对数函数关于y x =对称，它们之间还有一个关系式子：log (1,0,0)a N a N a a N =≠>>例3：已知1()log (01)1a x f x a a x+=>≠-且 （1）求()f x 的定义域（2）求使()0f x >的x 的取值范围分析：（1）要求1()log 1a x f x x+=-的定义域， 则应有10101010101x x x x x x +>+<⎧⎧+>⇔⎨⎨->-<-⎩⎩或 （2）注意考虑不等号右边的0化为l o g 1a，则（2）小题变为1log log 1,1aa x x +>-再分a>1和0<a<1两种情况分别求出1110111x x x x ++><<--和. 建议：通过提问由学生作答。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 本章 总结提升
本章总结提升
内
容
索
引
01
网络构建归纳整合
02
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
基本不等式及应用
基本不等式
+
≤(a>0,b>0)是高考热点,主要考查实数比较大小、不等式
2
证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基
本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,
(1)解不等式(a-2)x2-x-t2+t<0;
(2)关于x的不等式ax2+bx+3≥0的解集为R时,求b的取值范围.
解(1)由题意知1-a<0,且-3和1是关于x的方程(1-a)x2-4x+6=0的两个根,
1- < 0,
∴
4
1-
6
1-
= -2, 解得 a=3.
= -3,
不等式(a-2)x2-x-t2+t<0可化为x2-x-t2+t<0,即(x-t)[x-(1-t)]<0,
10 800
所以 f(x)=560+48x+ ≥560+2
48 × 10 800=2
10 800
000,当且仅当 48x= ,
即 x=15 时,等号成立.
因此,当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2 000,
即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.
本 课 结 束
所以
1
1
0<<1,0<<1,所以
所以
4
人教A版数学必修一第二章复习与小结(1)
例5.求函数y log4(7 6 x x2 )的定义域， 单调区间，值域.
解：定义域为(-1,7) 单调递增区间为（-1，3），单调递减区间为（3，7） 令t=7+6x-x2 ( x 3)2 16,t (0,16] y log4 t log4 16,值域为（-，2]
(2)原式＝llgg 23＋llgg 29·llgg 34＋llgg 38
＝llgg
2 lg 3＋2 2＋3lg
32
＝32llgg 23·56llgg 32＝54.
例 3 已知 a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，
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第二章复习与小结（1）
第二章知识梳理
第二章知识梳理
• 二、知识要点 • 根式、分数指数幂、对数 • 指数的运算性质 • 对数的运算性质 • 指数函数的图象及性质 • 对数函数的图象及性质 • 复合函数的相关问题（定义域、值域、单
调性）
第二章知识梳理
• 三、公式默写及推导 • 指数的运算性质（6个常用公式） • 对数的运算性质（7个常用公式）
例6.求函数y lg( x ) lg(100x), x [ 1 ,10]的值域.
10
10
解：y (lg x lg10) (lg100 lg x)
(lg x 1) (2 lg x)
=( lg x)2 lg x 2
令 lg x t, y t 2 t 2, t [1,1]
例 2．计算下列各式： (1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
例 2．计算下列各式： (1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
高中数学 第二章小结与复习教案 新人教A版必修1
第二章小结与复习（一）教学目标1.知识与技能掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.2.过程与方法归纳、总结、提高.3.情感、态度、价值观培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.（二）教学重点、难点重点：指数函数、对数函数的性质的运用.难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.（三）教学方法讲授法、讨论法.（四）教学过程作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助.课后作业作业：小结与复习习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1 已知f (x) = lg x，则y = |f (1 –x)|的图象是下图中的（ A ）【解析】方法一：y = |f (1 –x)| = |lg(1 –x)|，显然x≠1，故排除B、D；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.方法二：从图象变换得结果：−−−−−−−→−=︒180lg轴翻转把图象绕yxy y = lg(–x))1lg()lg(xyxy-=−−−−−−−−→−-=位把图象向右平移一个单y = lg[– (x–1)]−−−−−−−−−−→−轴翻折到上方轴下方部分沿把xxy = |lg(1 –x)|.【小结】（1）y = lg x变成y = lg (1 –x)过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解.（2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.例2 设a＞0，a≠1，t＞0，比较t alog21与21log+ta的大小，并证明你的结论.【解析】∵t＞0，∴可比较talog与21log+ta的大小，高中数学 第二章小结与复习教案 新人教A 版必修1- 11 - / 11 即比较t 与21+t 的大小. ∵当t = 1时，21+=t t ，∴21log log +=t t a a . 当t ≠1时， ∵12)(212+-=-+t t t t = 2)1(-t ＞0，∴t + 1＞t 2，∴21+t ＞t . ∴当0＜a ＜1时，t a log ＞21log +t a， 即t a log 21＞21log +t a . 当a ＞1时，t a log ＜21log +t a， 即t a log 21＜21log +t a . 综上知：当t = 1时，21log log 21+=t t aa ； 当t ＞0且t ≠1时，若0＜a ＜1， 有t a log 21＞21log +t a； 若a ＞1，则有t a log 21＜21log +t a. 【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和t 2的比较. 可由t + 1 – 222)1(21)(-=-+=t t t t ≥0，所以t + 1≥t 2 (t =1时取等号)，从而得出0＜12+t t ≤1和21+t ≥t .。
人教A版高中数学必修一课件：第二章章末小结
数;在 x∈(-∞,3]上函数 y=������-������2+3x+2为减函数.
2
数学(RA-GZ) -必修1
【小结】涉及函数 y=ax 的单调性,底数 a 为字母时,应该分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论.
数学(RA-GZ) -必修1
4
2
1
1.(2016 年全国Ⅲ卷)已知 a=23,b=45,c=253,则( ).
2
aa,log1
2
1
a,������2之间的大小关系是(
).
1
1
A.aa>������2>log1a B.������2>log1a>aa
2 1
C.log 1 a>aa>������2
2 1
D.log 1 a>������2 >aa
2
2
数学(RA-GZ) -必修1
【方法指导】先根据指数函数的单调性比较
1
������3
=������
1
3 (a -8b ������-8������
)������13
1
������3
1
������3
=a
3
b.
(2)原式=lg4 2-lg 4+lg 7 5
7
=lg(4 2×1×7
74
5)
=lg 10=1lg 10=1.
2
2
数学(RA-GZ) -必修1
【小结】根式、指数和对数的运算要注意几个方面:一是把根式 化成指数幂的形式;二是借助公式把底数化成同底;三是注意指数与
∞)上为增函数;
数学(RA-GZ) -必修1
人教新课标版数学高一-数学必修1第2章本章小结
数学·必修1(人教A版)一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．通过本章的学习达到以下基本目标：①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．⑦了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．⑧了解幂函数的概念，结合函数y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象，了解它们的变化情况．二、主干知识(一)指数与指数幂的运算 1．整数指数幂的概念． (1)正整数指数幂的意义：(2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂： a －n＝1a n (a ≠0，n ∈N *)．2．整数指数幂的运算性质：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③(ab )n ＝a n b n .3．如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞0，且n ∈N *.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时a的n次方根用符号na表示．(2)方根的性质：①当n是奇数时，na n＝a；②当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0).4．分数指数幂．(1)正数的分数指数幂的意义：设a＞0，m，n∈N*，n＞1，规定(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．5．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(二)指数函数及其性质1．函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质(见下表)：函数y＝a x(a＞1)y＝a x(0＜a＜1)图象定义域R R值域x＞0时，y＞1,x＜0时，0＜y＜1x＞0时，0＜y＜1x＜0时，y＞1定点过点(0,1)过点(0,1)单调性单调递增单调递减1．如果a x＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N；(2)以无理数e＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N简记为ln N.2．指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.3．对数的性质．(1)在指数式中N ＞0，故0和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0；(2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，所以log a 1＝0，即1的对数为0；(3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，所以log a a ＝1，即底数的对数为1.4．对数恒等式．(1)如果把a b ＝N 中的b 写成log a N 形式，则有(2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x 形式，则有log a a x ＝x .5．对数的运算性质．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和； (2)log a MN ＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．(四)对数函数及其性质1．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象、性质(见下表)：函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)图象定义域R＋R＋值域R R单调性增函数减函数过定点(1,0)(1,0)(1)当a＞1时，若x＞1，则log a x＞0，若0＜x＜1，则log a x＜0；(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则log a x＞0，若x＞1，则log a x ＜0.3．函数y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(五)幂函数1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．3．幂函数的性质．(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，α＝0,1时，图象为直线型．图象为双曲线型；当1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．答案：12 011►跟踪训练解析：由平方差公式化简即得答案．答案： －27答案：－6a3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是________．答案：131．设a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x ；a log a N ＝N; log a a x ＝x .指数与对数运算2．设a >0，a ≠1, M >0，N >0 ，则有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，(2)log a MN ＝log a M －log a N ，(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．3．设a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，则log a x ＝log b xlog b a .设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10，又∵m ＞0，∴m ＝10.答案：A►跟踪训练4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：α＋1＝2，故α＝1，选B. 答案：B5．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4 B.14C．－4 D．－147．设g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x，x＞0，则g⎝⎛⎭⎪⎫g⎝⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：答案：121．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是⎝⎛⎭⎫0，＋∞，过定点(0,1)．当a>1时，指数函数y＝a x是R上的增函数；当0<a<1时，指数函数y＝a x是R上的减函数．2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的定义域是⎝⎛⎭⎫0，＋∞，值域是R，过定点(1,0)．指数函数与对数函数的性质当a >1时，对数函数y ＝log a x 是⎝⎛⎭⎫0，＋∞上的增函数；当0<a <1时，对数函数y ＝log a x 是⎝⎛⎭⎫0，＋∞上的减函数．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：由log 0.5(4x －3)＞0且4x －3＞0可解得34＜x ＜1，故A 正确．答案：A►跟踪训练8．函数y ＝2x 的图象大致是( )答案：C9．函数f (x)＝lg(x－1)的定义域是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：x－1＞0，得x＞1，选B.答案：B10．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案：A研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．设函数的集合P＝f(x)＝log2(x＋a)＋研究基本初等函数及其组合的性质A．4个B．6个C．8个D．10个解析：当a＝0，b＝0；a＝0，b＝1；a＝12，b＝0; a＝12，b＝1；a＝1，b＝－1；a＝1，b＝1时满足题意，选B.答案：B►跟踪训练11．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．答案：BA．①②B．②③C．③④D．①④答案：B13．设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.解析：由条件知，g(x)＝e x＋a e－x为奇函数，故g(0)＝0，得a＝－1.答案：－1数学思想方法的应用数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 _______ .解析：曲线y ＝x 2－|x |＋a 关于y 轴对称，当x ≥0时，y ＝x 2－x＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，结合图象要使直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a有四个交点，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －14＜1，解得1＜a ＜54.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54►跟踪训练14．已知c ＜0，下列不等式中成立的一个是( )A ．c ＞2cB ．c ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c D ．2c＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12c解析：在同一直角坐标系下作出y ＝x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝2x 的图象，显然c ＜0时，x ＜2x＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即c ＜0时，c ＜2c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c.答案：C15．下列函数图象中，正确的是( )答案：C16．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，y ＝f (x )是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x )＝0的实根的个数是_________个．答案：2二、转化与化归的思想设a ＝333＋1334＋1，b ＝334＋1335＋1，试比较a 、b 的大小．解析：如果比较a －b 与0或ab 与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．由于a 、b 两数的结构特点可构造函数f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1，则a ＝f (33)，b ＝f (34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a 、b 的大小．f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1＝3x ＋1＋33(3x ＋1＋1)＝(3x ＋1＋1)＋23(3x ＋1＋1) ＝13＋23(3x ＋1＋1). ∵3x ＋1在R 上递增，∴23(3x ＋1＋1)在R 上递减．∴ f (x )＝13＋23(3x ＋1＋1)在R 上递减． ∴ f (33)＞f (34)，即a ＞b .►跟踪训练17．解方程：(lg 2x )·(lg 3x )＝lg 2·lg 3.解析：原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－lg 6.∴x ＝1或x ＝16， 经检验x ＝1，x ＝16都是原方程的解． ∴原方程的解为x 1＝1或 x 2＝16.18．比较log 0.30.1和log 0.20.1的大小．解析：log 0.30.1＝1log 0.10.3＞0，log0.20.1＝1log0.10.2＞0.∵log0.10.3＜log0.10.2，∴log0.30.1＞log0.20.1.19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3, 则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有______________ (填序号)．答案：①②④三、分类讨论思想若a>0，且a≠1，p＝log a(a3＋a＋1)，q＝log a(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系为()A．p＝qB．p<qC．p>qD．a>1时，p>q；0<a<1时，p<q解析：要比较p、q的大小，只需先比较a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小的a值的分界点为使(a3＋a＋1)－(a2＋a＋1)＝a2(a－1)＝0的a 值：a＝1，当a>1时，a3＋a＋1>a2＋a＋1，此时log a(a3＋a＋1)>log a(a2＋a＋1)，即p>q.当0<a<1时，a3＋a＋1<a2＋a＋1，此时log a(a3＋a＋1)>log a(a2＋a＋1)，即p>q.可见，不论a>1还是0<a<1，都有p>q.答案：C ►跟踪训练20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0. 若f (a )＝12，则a ＝( ) A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 2解析：讨论a >0和a ≤0两种情况．答案：C21．已知函数f (x )＝log a x 在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a 等于( )A.2πB.π2C.2π或π2D ．不同于A 、B 、C 答案解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论．(1)当a >1时，f (x )在[2，π]上是增函数，最大值是f (π)，最小值是f (2)，据题意，f (π)－f (2)＝1，即log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2. (2)当0<a <1时，f (x )在[2，π]上是减函数，最大值是，最小值是f (π)，故f (2)－f (π)＝1，即log a 2－log a π＝1，∴a ＝2π. 由(1)(2)知，选C.答案： C22．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2试比较f (x )和g (x )的大小．解析：f (x )－g (x )＝log x 3x 4. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1⇒x ＞43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1⇒0＜x ＜1，即x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当3x 4＝1即x ＝43时，f (x )＝g (x )． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1⇒1＜x ＜43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1⇒x ∈∅，即1<x <43时，f (x )＜g (x )．综上所述：①当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝43时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )＜g (x )．23．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求定义域；(2)讨论函数的单调区间．解析：(1)由a x －1＞0⇒a x ＞1，当a ＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数定义域为(－∞，0)．点评：底数含字母a ，要进行分类讨论．。
人教A版高中数学必修1 课件 ：第二章 章末复习与总结
解得 x1＝1，x2＝1＋2
3，x3＝1－2
3 .
因为 1≤m＜n，所以 m＝1，n＝1＋2
3 .
2．进行等价转化有效避免讨论
有时可以将题目中的条件进行等价转化，结合一定的运算技
巧，避免分类讨论．
【例 2】 设函数 f(x)＝|lg x|若 0<a<b，且 f(a)>f(b)，证明：
ab<1. [ 证 明 ] 如 果 是 常 规 做 法 ， 将 f(x) 写 成 分 段 函 数 形 式
章末复习与总结 创新拓展 思想方法 易错警示
有效回避分类讨论的若干策略 分类讨论是高中数学中必须掌握的数学思想之一．掌握分类 讨论的思想方法，有利于培养学生全面严谨的数学思维能力，并 能够有逻辑地分析、解决问题．然而，这种数学思想对于学生来 说，难度非常大，掌握情况并不理想．具体表现在：没有分类讨 论的意识、不知道分类讨论的标准及讨论的内容．大多数分类讨 论的问题都与参数有关，其实质是“化整为零，各个击破”，而
们分同正、同负和一正一负四类讨论．而事实上，如果运用偶函
数的性质，可以避免讨论．
因为 f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以 f(1－t)<f(t)⇔f(|1－t|)<f(|t|)．因
为|1－t|与|t|都在区间[0，＋∞)内，且 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所 以 |1 － t|>|t| 两 边 同 时 平 方 可 解 得
x－1>0， 3－x>0， [解] 由题意得a－x>0， x－13－x＝a－x，
即1x<<ax<，3， －x2＋5x－3＝a.
设函数 f(x)＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)，则函数 f(x)的值域为
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(1)(9)
第二十教时教材：对数的基本概念目的：要求学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，并由此求一些特殊的对数式的值。
进程：一、引入：从指数导入，见P 80例题假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？设：经过x 年国民生产总值是1995年的2倍则有 ()a a x 2%81=+ 208.1=x这是已知底数和幂的值，求指数的问题。
即指数式 N a b =中，已知a 和N 求b 的问题。
（这里 10≠>a a 且）二、课题：对数定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b =，那么数 b叫做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
N a b =b N a =log1．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2． 对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a同样易知： 1log =a a3．如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 Na Na=log（对数恒等式）三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数。
例如： 1642= 216log 4= 100102= 2100log 10=2421=212log 4= 01.0102=- 201.0log 10-=例一、P 81 例一、例二 例二、1．计算： 27log 9，81log34，()()32log 32-+，625log435解：设 =x 27log 9 则 ,27=x a 3233=x , ∴23=x设 =x 81log34则8134=⎪⎭⎫⎝⎛x, 4433=x, ∴16=x令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -+-, ∴()()13232-+=+x , ∴1-=x令 =x 625log435, ∴625543=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x , 43455=x , ∴5=x 2．求 x 的值：①43log 3-=x ②35log 2-=x③()()1123log 2122=-+-x x x ④()[]0log log log 432=x解：①2713443==-x②3212235==-x③2,00212123222-==⇒=+⇒-=-+x x x x x x x但必须：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≠->-0123112012222x x x x ∴0=x 舍去 2-=x④()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x 3．求底数：533log -=x , 872log =x解：53355333---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x , ∴353-=x87788722⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x , ∴2=x 四、介绍两种特殊的对数：1．常用对数：以10作底 N 10log 写成 N lg 2．自然对数：以 e 作底 e 为无理数，e = 2.71828……N e log 写成 N ln五、小结：1°定义 2°互换 3°求值六、作业：（练习） P 81 练习 P 84 习题2.7 1，2 《课课练》 P 79 课时练习 6—10。
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(1)(4)
第十五教时教材： 指数（1）目的：要求学生掌握根式和分数指数幂的概念，进而掌握有理指数幂的概念及运算法则，并能具体应用于计算中。
过程：一、复习初中已学过的整数指数幂的概念。
1．概念：*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅=Λn 个a)0(10≠=a a *),0(1N n a aa n n ∈≠=-2． 运算性质：)()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3． 两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b a )(可看作nn b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n ba二、根式：1． 定义：若),1(+∈>=N n n a x n 则x 叫做a 的n 次方根。
2．求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x = 例（略）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为03． 名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数 4．公式： a a n n =)( 当n 为奇数时a a nn =当n 为偶数时⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a nn5． 例一 （见P71 例1）三、分数指数幂1．概念：导入：)0()0()0()0()0(454521323231243125102510>=>=>=⇒>==>==c c c b b b a a a a a a a a a a a 推广事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n nmk ∈>= 则m n nm nk a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a mnm 的是次方根，即：n m nm a a =同样规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且2． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(10)
第十二教时教材：反函数（1）目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。
过程：一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。
二、反函数的引入及其定义：1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x - 1②这个映射是有方向的：f :：A B ( f ：x y = 3x - 1)③如果把方向“倒过来”呢？（写成） f -1： A B ( f -1：y 31+=y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 31+=y x 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x ）。
2．得出结论：函数 31+=y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。
定义：P66 （略）注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = ϕ (y )②满足函数的（近代）定义③自变量与函数对调④定义域与值域对调⑤写法：x = f -1(y )考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x ) 如上例 f -1：31+=x y 3．几个必须清楚的问题：1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f(x )，它们互为反函数。
2︒ 并不是所有的函数都有反函数。
如 y = x 2（可作映射说明）因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。
3︒ 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域原函数的值域是它的反函数的定义域 如：)(2Z y y x ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。
4︒ 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。
三、求反函数：1．例题：（见P66—67 例一）注意：1︒ 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。
人教A版高中数学必修一复习教案第二章函数新人教(2)
第二十二教时教材： 换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？二、换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log =∴ aNN m m a log log log = 两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b mnb a n a m log log =（ a , b > 0且均不为1）证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a 2︒ b m n a m b n ab b a mn na mlog lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 421432log 3log ⋅解：1︒ 原式 =15315555531log 3log 52.0=== 2︒ 原式 =2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818∴log 18 2 = 1 - a∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836例三、设 1643>===t z y x 求证：y x z 2111=-证：∵1643>===t z y x ∴6lg lg 4lg lg 3lg lg tz t y t x ===，， ∴yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m 解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m∴3=m四、小结：换底公式及其推论 五、作业：1． 求下列各式的值：1︒ 65353log 9--+ )(41-2︒7log 15log 1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(12252． 已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222logx的值。
第二单元小结与复习(1)学案高一上学期数学人教A版
2.4第二单元小结与复习（1）一、知识回顾1.不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔ .(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒ . (3)可加性：a ＞b ⇔ . (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ ；a ＞b ，c ＜0⇒ .(5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒ . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ .(7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒ (n ∈N ，n ≥2)． 2.重要不等式∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥ ，当且仅当 时，等号成立．变式：ab ≤ .3.基本不等式（一正二定三相等）两个正数的几何平均数不大于算术平均数。
ab ≤a ＋b 2（a >0,b >0），当且仅当 时，等号成立．变式1：a b +≥ . 变式2：ab ≤ .口诀：积定和最小，和定积最大．二、学法指导1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。
2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质。
解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算。
3．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。
解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。
4.求含字母的式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除。
5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b 。
高中数学 第二章小结与复习教案 新人教A版必修1
第二章小结与复习（一）教学目标1.知识与技能掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.2.过程与方法归纳、总结、提高.3.情感、态度、价值观培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.（二）教学重点、难点重点：指数函数、对数函数的性质的运用.难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.（三）教学方法讲授法、讨论法.（四）教学过程备选例题例1 已知f (x ) = lg x ，则y = |f (1 – x )|的图象是下图中的（ A ）【解析】方法一：y = |f (1 – x )| = |lg(1 – x )|，显然x ≠1，故排除B 、D ；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.方法二：从图象变换得结果：−−−−−−−→−=︒180lg 轴翻转把图象绕y x y y = lg(–x ) )1lg()lg(x y x y -=−−−−−−−−→−-=位把图象向右平移一个单 y = lg[– (x –1)]−−−−−−−−−−→−轴翻折到上方轴下方部分沿把x x y = |lg(1 – x )|. 【小结】（1）y = lg x 变成y = lg (1 – x )过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解.（2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.例2 设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较t a log 21与21log +t a 的大小，并证明你的结论.【解析】∵t ＞0，∴可比较t a log 与21log +t a的大小，即比较t 与21+t 的大小. ∵当t = 1时，21+=t t ，∴21log log +=t t a a . 当t ≠1时， ∵12)(212+-=-+t t t t = 2)1(-t ＞0，∴t + 1＞t 2，∴21+t ＞t . ∴当0＜a ＜1时，t a log ＞21log +t a， 即t a log 21＞21log +t a . 当a ＞1时，t a log ＜21log +t a， 即t a log 21＜21log +t a . 综上知：当t = 1时，21log log 21+=t t a a ； 当t ＞0且t ≠1时，若0＜a ＜1， 有t a log 21＞21log +t a ； 若a ＞1，则有t a log 21＜21log +t a . 【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和t 2的比较. 可由t + 1 – 222)1(21)(-=-+=t t t t ≥0，所以t + 1≥t 2 (t =1时取等号)，从而得出0＜12+t t ≤1和21+t ≥t .。
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第二章小结与复习
（一）教学目标
1.知识与技能
掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.
2.过程与方法
归纳、总结、提高.
3.情感、态度、价值观
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.
（二）教学重点、难点
重点：指数函数、对数函数的性质的运用.
难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.
（三）教学方法
讲授法、讨论法.
（四）教学过程
（多媒体投影）.
.方法总结
函数；
和值域；
. .
备选例题
例1 已知f (x ) = lg x ，则y = |f (1 – x )|的图象是下图中的（ A ）
【解析】方法一：y = |f (1 – x )| = |lg(1 – x )|，显然x ≠1，故排除B 、D ；又因为当x = 0时，y = 0，故排除C.
方法二：从图象变换得结果：
−−−−−−−→−=︒180lg 轴翻转把图象绕y x y y = lg(–x ) )1lg()lg(x y x y -=−−−−−−−−→−-=位
把图象向右平移一个单 y = lg[– (x –1)]−−−−−−−−−−→−轴翻折到上方
轴下方部分沿把
x x y = |lg(1 – x )|. 【小结】（1）y = lg x 变成y = lg (1 – x )过程不会变换，不知道关于什么轴对称导致误解.
（2）解决有关图象的选择问题，方法比较灵活，可用特值排除法，也可直接求解，但一定要注意图象的特点，对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移，移动的单位是多少，这是移动的关键.
用心 爱心 专心 11 例2 设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较t a log 21与2
1log +t a 的大小，并证明你的结论. 【解析】∵t ＞0，∴可比较t a log 与2
1log +t a
的大小， 即比较t 与21+t 的大小. ∵当t = 1时，21+=
t t ，∴2
1log log +=t t a a . 当t ≠1时， ∵12)(212+-=-+t t t t = 2)1(-t ＞0，
∴t + 1＞t 2，∴2
1+t ＞t . ∴当0＜a ＜1时，t a log ＞21log +t a
， 即t a log 21＞2
1log +t a . 当a ＞1时，t a log ＜2
1log +t a
， 即t a log 21＜21log +t a . 综上知：当t = 1时，2
1log log 21+=t t a a ； 当t ＞0且t ≠1时，若0＜a ＜1， 有t a log 21＞2
1log +t a ； 若a ＞1，则有t a log 21＜2
1log +t a . 【小结】解决此类比较大小的题目，要注意结合函数的单调性，作差比较一定要判断差值与0的大小，从而作出大小的比较，注意分类讨论的思想应用，本题中的t +1和t 2的比较. 可由t + 1 – 222)1(21)(-=-+=t t t t ≥0，所以t + 1≥t 2 (t =1时取等号)，从而得出0＜12+t t ≤1和2
1+t ≥t .。