四川省2017中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲三角形的基础知识试题

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中考数学第1编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识

第十五讲等腰三角形与直角三角形,考标完全解读),感受宜宾中考)1．(宜宾中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形．你添加的条件是__答案不唯一，如BD ＝CD__．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，BE ⊥AD ，BE 交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且EF∥AC.求证：点F 是AB 的中点．证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAE ＝∠CAE.∵EF ∥AC ，∴∠AEF ＝∠CAE ， ∴∠AEF ＝∠BAE，∴AF ＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，又∠AEF＝∠BAE，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB中点．,核心知识梳理)等腰三角形的性质和判定1．性质：(1)等腰三角形两腰__相等__(定义)．(2)等腰三角形两角底角__相等__(等边对等角)．(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．2．判定：(1)有__两边相等__的三角形是等腰三角形．(2)有__两角相等__的三角形是等腰三角形．等边三角形的性质和判定3．等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊).(1)等边三角形的内角都__相等__，且为__60__°.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．(3)等边三角形是__轴对称__图形，它有__三__条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线．4．等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)__三边__相等的三角形是等边三角形(定义)．(2)三个内角都__相等__的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的__等腰__三角形是等边三角形．直角三角形的性质和判定5．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角__互余__．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__．(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.6．直角三角形的判定判定1：有一个角为__90°__的三角形是直角三角形．判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的__一半__，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．判定3：若__a 2＋b 2＝c 2__，则以a ，b ，c 为边的三角形，是以c 为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)．线段垂直平分线的定理及逆定理7．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程．8．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离__相等__的点在这条线段的垂直平分线上．【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可．,重点难点解析)等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图①，在△ABC 的边AB 上取一点P ，连接CP ，可以把△ABC 分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P 是△ABC 的边AB 上的和谐点．解决问题：(1)如图②，△ABC 中，∠ACB ＝90°，试找出边AB 上的和谐点P ，并说明理由；(2)已知∠A＝40°，△ABC 的顶点B 在射线l 上(图③)，点P 是边AB 上的和谐点，请在图③中画出所有符合条件的B 点，并写出相应的∠B 的度数．【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由∠A 为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点B 有3个．【答案】解：(1)AB 边上的和谐点为AB 的中点．理由如下： ∵P 是AB 的中点，∴PC ＝12AB ＝PA ＝PB ，∴△ACP 和△BCP 是等腰三角形；(2)①当∠A＝∠ACP＝40°时，则∠CPB＝40°＋40°＝80°.如答图①.若CP ＝CB 1，则∠CPB 1＝∠CB 1P ＝80°. 若B 2P ＝B 2C ，则∠B 2PC ＝∠B 2CP ＝80°， ∴∠CB 2P ＝180°－80°－80°＝20°.若PC ＝B 3P ，则∠PB 3C ＝∠PB 3C ＝180°－80°2＝50°；②当∠A＝∠APC＝40°时，如答图②，∵∠CPB 4＝180°－∠APC＝180°－40°＝140°， ∴∠CB 4P ＝180°－140°2＝20°；③当∠ACP＝∠APC＝70°时，如答图③，∵∠CPB 5＝180°－∠APC＝180°－70°＝110°， ∴∠CB 5P ＝180°－110°2＝35°.综上所述，符合条件的∠CBP 的度数为35°，50°，80°，20°. 【针对训练】 1．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形，菱形都是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°.若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB ＝BC ，请画出图形并求出∠ABC 的度数．解：∵AC 是四边形A BCD 的和谐线， ∴△ACD 是等腰三角形，在等腰Rt △ABD 中， ∵AB ＝AD ，∴AB ＝AD ＝BC ，如图①，当AD ＝AC 时， ∴AB ＝AC ＝BC ，∠ACD ＝∠ADC， ∴△ABC 是正三角形， ∴∠ABC ＝60°.如图②，当AD ＝CD 时， ∴AB ＝AD ＝BC ＝CD. ∵∠BAD ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°；如图③，当AC ＝CD 时，过点C 作CE⊥AD 于E ，过点B 作BF⊥CE 于F. ∵AC ＝CD ，CE ⊥AD ， ∴AE ＝12AD ，∠ACE ＝∠DCE.∵∠BAD ＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE.∵AB ＝AD ＝BC ，∴BF ＝12BC ，∴∠BCF ＝30°.∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC. ∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE， ∴∠ACB ＝∠BAC＝12∠BCF ＝15°，∴∠ABC ＝150°，综上所述，∠ABC 的度数为60°或90°或150°.等边三角形的性质和判定【例2】图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0 dm ，CE ＝CF ＝18.0 dm ，BC ＝2.0 dm .(1)求AP 长的取值范围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP 的值．【解析】(1)根据题意，得AC ＝CN ＋PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值范围；(2)根据等边△PCN的判定和性质即可求解．【答案】解：(1)∵BC＝2.0 dm ，AC ＝CN ＋PN ＝12 dm ， ∴AB ＝12－2＝10(dm )，∴AP 的取值范围为：0 dm ≤AP ≤10 dm . (2)∵CN＝PN ，∠CPN ＝60°， ∴△PCN 等边三角形， ∴CP ＝6 dm .∴AP ＝AC －PC ＝12－6＝6(dm )．即当∠CPN＝60°时，AP ＝6 dm .【针对训练】2．(2017南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( D )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC，DE ∥BC.求证：(1)△ADE 是等边三角形； (2)AE ＝12AB.证明：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ABC＝60°， ∴∠ADE ＝∠ACB＝60°， ∴∠A ＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE 是等边三角形； (2)∵△ADE 是等边三角形， ∴AD ＝AE.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC. ∵BD 平分∠ABC，∴D 是AC 的中点(三线合一)，AD ＝12AC ＝12AB ，∴AE ＝12AB.直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC 是该装置左视图，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，为了加固斜面，在斜面AB 的中点D 处连结一条支撑杆CD ，量得CD ＝6.(1)求斜坡AB 长和∠ADC 的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的△ABC 的表面，请你计算△ABC 的面积．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ＝2CD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过C 作CE⊥AB 于E ，根据直角三角形的性质得到CE ＝12CD ＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，D 是AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝2×6＝12.∵CD ＝BD ，∴∠ADC ＝2∠B＝30°； (2)过C 作CE⊥AB 于E ， ∵∠ADC ＝30°，∴CE ＝12CD ＝3，∴S △ABC ＝12×12×3＝18.【针对训练】4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E. 求：(1)∠CDE 的度数； (2)CE∶EA.解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点， ∴CD ＝AD ＝BD ， ∴∠DCA ＝∠A＝15°， ∴∠BDC ＝∠A＋∠DCA＝30°. ∵ED ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－30°＝60°； (2)连结BE.∵D 为AB 中点，DE ⊥AB ， ∴BE ＝AE ，∴∠EBA ＝∠A＝15°， ∴∠BEC ＝15°＋15°＝30°，∴cos ∠BEC ＝cos 30°＝33. ∵AE ＝BE ，∴CE AE ＝33.线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得AE ＝ED ，则EF 是AD 的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD，即可证得．【答案】证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠EDA ＝∠E AD ，∴AE ＝ED. 又∵EF⊥AD，∴EF 是AD 的垂直平分线，∴AF ＝DF ， ∴∠FAD ＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD， ∴∠FAC ＝∠B. 【针对训练】5．(德州中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( A )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°,当堂过关检测)1.(2017荆州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( B )A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°,(第1题图)),(第2题图))2．(2017滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( B )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°3．(淮安中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E. (1)若BC ＝3，AC ＝4，求CD 的长； (2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5. ∵CD 是AB 边上的中线， ∴CD ＝12AB ＝2.5；(2)∵∠ACB＝90°， ∴∠A ＋∠B＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°， ∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ， ∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.。

(四川)中考数学总复习第四章图形的认识与三角形第17节三角形与全等三角形

在△ABC 和△DEF 中，AABC＝＝DDEF，，∴△ABC≌△DEF(SSS) BC＝EF，
(2)结论：AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF
8．(导学号 14952095)(2016·河北)如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上(F， C 之间不能直接测量)，点 A，D 在 l 异侧，测得 AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(1)∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即 BC＝EF，
＋
∠B)，由外角的性质得出∠AEC＝90°＋12(∠B－∠C)，在△EFD 中，由三角形内
角和定理可得∠EFD；(3)与(2)的方法相同．
解：(1)∵∠C＝50°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°－50°－30°＝100°.∵AE 平分∠BAC， ∴∠CAE＝50°.在 Rt△ADC 中，∠DAC＝90°－50°＝40°， ∴∠EFD＝50°－40°＝10° (2)∠EFD＝12(∠C－∠B)．证明：∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE＝180°－∠2 B－∠C＝90°－12(∠C＋∠B)．
7．(2016·广安)如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，求证：DF＝BE.
证明：连接 AC，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE， CD＝BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝FC，∠CFD＝∠CEB＝90°. 在 Rt△CDF 与 Rt△CBE 中，CCDF＝＝CCEB，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)， ∴DF＝BE

中考数学知识点梳理·系统复习--第四单元图形的初步认识与三角形

第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质二、知识清单梳理知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.第17讲相似三角形21P COBAPCO BADABC abcDABC abc四、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。

四川省2017中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试(四)图形的初步认识与

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知∠α＝32°，求∠α的补角为( C )A ．58°B ．68°C ．148°D ．168° 2．(2016·黔南)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )3．(2016·重庆)如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a∥b，若∠1＝55°，则∠2等于( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．125°4．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( B ) A ．msin40° B ．mcos40° C ．mtan40° D.mtan40°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，则∠1＋∠2的大小为( B ) A ．120° B ．240° C ．180° D ．300°6．(2015·黄冈)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，设AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为( C )A ．6B ．6 3C ．9D ．3 37．如图，OP 平分∠MON，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( C ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．2 38．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为( C )A ．20B ．12C ．14D ．139．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，且AE∶ED＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AFE ∶S 四边形ABCE为( D )A ．3∶4B ．4∶3C ．7∶9D ．9∶710．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A ．5B ．6C ．7D ．8提示：由点A ，B 的坐标可得到AB ＝22，然后分类讨论：①AC＝AB ；②BC＝AB ；③CA＝CB ，确定C 点的个数．二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，△A BD ≌△CBD ，若∠A＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为130°．12．若a ，b ，c 为三角形的三边，且a ，b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值范围是1<c<5．13．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 214．如图，AC ，BD 相交于O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD＝75°．15．(2015·巴中)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为1．16．(2016·凉山)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，AC ＝AE ，∠1＝∠2，AB ＝AD.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB ＝∠EAD.在△BAC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD，AB ＝AD ，，∴△BAC ≌△DAE(SAS)．∴BC ＝DE.18．(10分)某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…，请你根据①②步骤解答下列问题： (1)找出图中∠FEC 的余角； (2)计算EC 的长．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)设EC ＝x cm ，则EF ＝DE ＝(16－x)cm ，AF ＝AD ＝20 cm. 在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝12 cm ，FC ＝BC －BF ＝20－12＝8(cm)．在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2，∴(16－x)2＝82＋x 2，解得x ＝6. ∴EC 的长为6 cm.19．(12分)(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC，垂足为P.设AP ＝x 海里．在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP·tan ∠PAC ＝33x. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．20．(14分)(2015·资阳)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF. (1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°. 又∵DE＝CF ，∴△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ECQ∽△ADE， ∴CQ DE ＝CE AD . ∵CE AD ＝DE AD ＝12， ∴CQ DE ＝CQ CF ＝12，即点Q 是CF 的中点． (3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ECQ∽△A DE ，∴CQ DE ＝QE AE .∴CQ CE ＝QEAE.又∵∠C＝∠AEQ ＝90°，∴△AEQ ∽△E CQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE. ∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ2. ∵EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。

[K12学习]四川省2017中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试(四)图

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知∠α＝32°，求∠α的补角为( C )A ．58°B ．68°C ．148°D ．168° 2．(2016·黔南)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )3．(2016·重庆)如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a∥b，若∠1＝55°，则∠2等于( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．125°4．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( B ) A ．msin40° B ．mcos40° C ．mtan40° D.mtan40°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，则∠1＋∠2的大小为( B ) A ．120° B ．240° C ．180° D ．300°6．(2015·黄冈)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，设AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为( C )A ．6B ．6 3C ．9D ．3 37．如图，OP 平分∠MON，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA ＝3，则PQ 的最小值为( C ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．2 38．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为( C )A ．20B ．12C ．14D ．139．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，且AE∶ED＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AFE ∶S 四边形ABCE为( D )A ．3∶4B ．4∶3C ．7∶9D ．9∶710．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A ．5B ．6C ．7D ．8提示：由点A ，B 的坐标可得到AB ＝22，然后分类讨论：①AC＝AB ；②BC＝AB ；③CA＝CB ，确定C 点的个数．二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，△A BD ≌△CBD ，若∠A＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为130°．12．若a ，b ，c 为三角形的三边，且a ，b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值范围是1<c<5．13．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 214．如图，AC ，BD 相交于O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD＝75°．15．(2015·巴中)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为1．16．(2016·凉山)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，AC ＝AE ，∠1＝∠2，AB ＝AD.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB ＝∠EAD.在△BAC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD，AB ＝AD ，，∴△BAC ≌△DAE(SAS)．∴BC ＝DE.18．(10分)某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…，请你根据①②步骤解答下列问题： (1)找出图中∠FEC 的余角； (2)计算EC 的长．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)设EC ＝x cm ，则EF ＝DE ＝(16－x)cm ，AF ＝AD ＝20 cm. 在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝12 cm ，FC ＝BC －BF ＝20－12＝8(cm)．在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2，∴(16－x)2＝82＋x 2，解得x ＝6. ∴EC 的长为6 cm.19．(12分)(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC，垂足为P.设AP ＝x 海里．在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP·tan ∠PAC ＝33x. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．20．(14分)(2015·资阳)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF. (1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°. 又∵DE＝CF ，∴△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ECQ∽△ADE， ∴CQ DE ＝CE AD . ∵CE AD ＝DE AD ＝12， ∴CQ DE ＝CQ CF ＝12，即点Q 是CF 的中点． (3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ECQ∽△A DE ，∴CQ DE ＝QE AE .∴CQ CE ＝QEAE .又∵∠C＝∠AEQ ＝90°，∴△AEQ ∽△E CQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE. ∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ2. ∵EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。

四川省近年中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第17讲全等三角形试题

第17讲全等三角形1．(2016·厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( A ）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB2．(2016·永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ D ）A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD3．(2016·怀化）如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D，则下列结论错误的是( B ）A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD4．如图，∠B＝∠D＝90°,BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ B ）A．40° B．50° C．60° D．75°5．(2015·柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF＝5．6．（2016·济宁)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB,垂足分别为D，E，AD和CE交于点H,请你添加一个适当条件AH＝BC或AE＝CE或EH＝EB，使△AEH≌△CEB。

7．（2016·武汉）如图，点B，E，C，F在同一条直线上,AB＝DE，AC＝DF,BE＝CF,求证：AB∥DE.证明:∵BE＝CF,∴BC＝EF。

在△ABC和△DEF中，错误!∴△ABC≌△DEF(SSS）．∴∠ABC＝∠DEF.∴AB∥DE.8．(2016十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF.求证:AF＝DF。

证明:∵AB∥CD,∴∠B＝∠FED。

在△ABF和△DEF中，错误!∴△ABF≌△DEF.∴A F＝DF.9．(2016·怀化)如图,已知AD＝BC，AC＝BD。

中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形第15课时三角形基础知识及直角三角形课件

A.1 个
B.2 个
C.3 个
)
D.4 个
[方法模型] 判断三条线段能否构成三角形,主要运用三
角形的三边关系定理,只要较小的两边之和大于第三边,
即可判定这三条线段能构成三角形.
第十一页，共三十三页。
[解析] 四根木棒任选三根的所有组合:
3 cm,4 cm,7 cm;3 cm,4 cm,9 cm;3 cm,
2
(3)∠AFB=⑤ ∠AFC =90°.
第三页，共三十三页。
课前双基巩固
3.三角形的中位线
(1)定义
连接三角形两边⑥
中点
的线段叫做三角形的中位线.
(2)中位线定理
三角形的中位线⑦
平行(píngxí
ng)
于第三边,并且等于第三边的⑧
第四页，共三十三页。
.
一半(yībàn)
课前双基巩固
考点二三角形的三边(sān biān)关系
能是(
长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,
)
A.6
B.3
C.2
D.11
∴原=a+b-c+(c-a-b)=a+b-c+c-a-b=0.
2.[2017·凉山州] 已知 a,b,c 是△ ABC 的三条边长,化简
|a+b-c|-|c-a-b|的结果为 (
)
A.2a+2b-2c
B.2a+2b
C.2c
D.0
(1)三角形的一个外角
(2)三角形的外角
大于
任何一个与它不相邻的内角.
等于(děngyú)
与它不相邻的两个内角的和.
(3)三角形的外角和为
360°

四川省2017中考数学考点系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第15讲三角形的基础知识试题

中考数学 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识

(四川)中考数学总复习 第四章 图形的认识与三角形 第17节 三角形与全等三角形

中考数学知识点梳理·系统复习--第四单元 图形的初步认识与三角形

四川省2017中考数学 考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形单元测试(四)图形的初步认识与

[K12学习]四川省2017中考数学 考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形单元测试(四)图