江苏省徐州市建平中学高一数学《不等关系(1)》导学案

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高中数学第三章不等式§31不等关系导学案苏教版必修

§3.1不等关系第 21 课时一、学习目标了解不等关系和不等式，掌握不等式的性质，会用不等式的性质解决一些简单的问题。

二、学法指导１．实数的运算性质与大小顺序关系是不等式这一章的理论基础；是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。

２．比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号。

3．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用。

三、课前预习1．现实世界中存在着相等关系，同时也存在着关系，因此，我们需要研究下列问题：（１）如何用不等式表示不等关系？（２）不等式有哪些性质？２．实数a 与b 的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：设,,0a b R ∈⇔则a-b ＞；0⇔a-b=0⇔a-b ＜。

３．常用不等式的性质：（１）,a b b c ⇒＞＞；（２）a b a c ⇒+＞ b c +；（３）,0a b c ac ⇒＞＞ bc ：（４）,0a b c ac ⇒＞＜ bc ：（５）,a b c d a c ⇒+＞＞ b d +；（６）0,0a b c d ac ⇒＞＞＞＞ bd ；（７）0,,1n a b n N n a ∈⇒＞＞＞n b。

四、课堂探究书Ｐ６５引例表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系.五、例题分析例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．例3．比较大小：(1)(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；(2)a mb m ++与a b （其中0b a >>，0m >）．分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．六、巩固训练（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与的大小．七、课堂回顾与作业。

《不等关系》导学案 2022年最新word版

2.1 不等关系学习目标：1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史开展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.学习重点：用不等关系解决实际问题.学习难点：正确理解题意列出不等式.预习作业：请同学们预习作业教材P2-4的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题：1.不等式的概念：一般地，用符号“＜〞〔或≤〕，“＞〞〔或≥〕连接的式子叫做______________ 2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________例1、用不等式表示〔1〕a是正数；〔2〕a是负数；〔3〕a与6的和小于5；〔4〕x与2的差小于－1；〔5〕x的4倍大于7；〔6〕y的一半小于3.变式训练：1、用适当的符号表示以下关系：(1) a是非负数；〔2〕直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；〔3〕 X与17的和比它的5倍小。

2.〔1〕当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？〔2〕当x=1.5时，成立吗？〔3〕当x=－1呢？活动与探究：a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜〞或“＞〞号填空：〔1〕a__________b;〔2〕|a|__________|b|;〔3〕a+b__________0;〔4〕a－b__________0;〔5〕a+b__________a－b;〔6〕ab__________a拓展训练：1.某校两名教师带假设干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。

数学《不等关系》教案

一、教学目标1. 让学生理解不等关系的概念，掌握不等式的基本性质。

2. 培养学生运用不等关系解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 不等关系的概念：介绍大于、小于、大于等于、小于等于等基本不等关系。

2. 不等式的基本性质：介绍不等式的加减乘除运算规则，以及不等式两边加减乘除同一个数的性质。

3. 不等式的解法：介绍解一元一次不等式、一元二次不等式的方法。

4. 不等关系在实际问题中的应用：举例讲解如何用不等关系解决生活中的问题。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考问题，探索不等关系的本质。

2. 利用实例讲解，让学生直观地理解不等关系在实际问题中的应用。

3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4. 利用数形结合法，让学生直观地理解不等式的作用。

四、教学准备1. 准备相关教学PPT，包括不等关系的基本概念、不等式的基本性质、不等式的解法等。

2. 准备实际问题案例，用于讲解不等关系在实际问题中的应用。

3. 准备练习题，用于巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入新课：通过讲解实际问题，引出不等关系的概念。

2. 讲解不等关系的概念：介绍大于、小于、大于等于、小于等于等基本不等关系。

3. 讲解不等式的基本性质：通过示例，讲解不等式的加减乘除运算规则，以及不等式两边加减乘除同一个数的性质。

4. 讲解不等式的解法：介绍解一元一次不等式、一元二次不等式的方法。

5. 应用不等关系解决实际问题：通过实例，讲解不等关系在实际问题中的应用。

6. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

7. 总结与反思：对本节课所学知识进行总结，引导学生思考不等关系在生活中的重要性。

8. 布置作业：布置相关练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对不等关系概念和基本性质的理解程度。

2. 课后作业：审阅学生提交的课后作业，评估他们对不等式解法的掌握情况。

高中数学第3章不等式第一节不等关系学案苏教版必修5

不等关系二、重难点提示重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

考点一：不等关系概念：表达不等关系的式子叫做不等式，常用“<”“>”“≤”“ ≥” “ ≠”表示不等关系。

考点二：不等式的性质① 对称性：a b b a >⇔<② 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭ ③ 加法性质：a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭④ 同向相加：a b a c b d cd >⎫⇒+>+⎬>⎭⑤ 乘法性质：0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭；0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭⑥ 正数同向乘：00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⑦ 正数乘方：*0n na b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ ⑧ 正数开方：*0a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭【要点诠释】不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性。

运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。

如性质“0(,1)nna b a b n Z n >>⇒>∈>”成立的条件是“n 是大于1的整数，0a b >>”，假如去掉“0b >”这个条件，取3,4,2a b n ==-=，那么就会出现“223(4)>-”，即“916>”的错误结论，类似的反例不胜枚举。

考点三：比较两数（式）大小的方法——作差比较法（1）实数比较大小的依据是： ① a －b ＞0⇔a ＞b ； ② a －b ＝0⇔a ＝b ； ③ a －b ＜0⇔a ＜b 。

不等关系复习导学案

不等关系复习导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.●重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.●方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式ab≤2ba(a>0,b>0)和a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.§1等关系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“≥”、“≤”、“≠”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.对于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.3.不等关系与不等式的异同不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即a∈R⇔a2≥0.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.2.实数比较大小的依据在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a与b之间具有以下性质：如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b是负数，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b.反之也成立，就是a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.3.实数比较大小的方法（1）比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a-b的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理（配方，分解因式、分类讨论）→判断差的符号→得出结论.注意：（1）在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a 和b ，在a=b ， a>b,ab ⇔b<a . (2)a>b,b>c ⇔a>c . (3)a>b ⇔a+c>b+c .推论 a>b,c>d ⇔a+c>b +d .(4)a>b ,c >0⇔ac>bc ;a>b,c <0⇔ac<bc .推论1 a>b >0,c>d >0⇔ac>bd ;推论2 a>b,ab >0⇔a 1<b1;推论3 a>b >0⇔a n >b n (n ∈N ＋,且n >1). (5)a>b >0⇔n a >n b (n ∈N ＋,且n >1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,b ∈R ，则a-b >0⇔ ;a-b =0⇔ ;a-b <0⇔ .3.不等式的基本性质(1)a>b,b>c ⇒ ;(2)a>b,c >0⇒ ; (3)a>b,c <0⇒ ;(4)a>b,c>d ⇒ ;(5)a>b >0,c>d >0⇒ ;(6)a>b >0,n ∈N +,n >1⇒ . ［答案］ 1.不等号 2.a>b a=b a<b3.(1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc (4)a+c>b+d (5)ac>bd (6)a n >b n , n a >n b思路方法技巧命题方向比较大小［例1］已知x <1,比较x3-1与2x 2-2x 的大小. ［分析］作差→因式分解变形→判断符号［解析］ x 3-1-(2x 2-2x )=x 3-2x 2+2x -1=(x 3-x 2)-(x 2-2x +1)=x 2(x -1)-(x -1) 2 =(x -1)(x 2-x +1) =(x -1)（x -21）2+43∵x <1,∴x -1<0.又∵（x -21）2+43>0,∴(x -1)［（x -21）2＋43］<0,∴x 3-1<2x 2-2x .［说明］ 1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分2.变形的方法对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论〖JB)〗变式应用1设p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件.［解析］P-Q＝a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2)2∵P>Q,∴(ab-1) 2+(a+2) 2>0∴ab≠1或a≠-2.故实数a、b应满足的条件是ab≠1或a≠-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系［例2］某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？［分析］利用提价后的价格x 表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.［解析］杂志的定价为x 元，则销售的总收入为（8-2.05.2-x ×0.2）x 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-2.05.2-x ×0.2）x ≥20.［说明］决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可. 变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g ，5g ，10g ，已知每天可用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.［解析］每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，则x 、y 应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g ；（2）咖啡的总使用量不大于2000g ；（3）糖的总使用量不大于3000g ；（4）x,y 为自然数.∴x,y 满足不等式组：9x +4y ≤3600, 4x +5y ≤2000,3x +10y ≤3000,x ∈N ,y ∈N .命题方向不等式性质的简单应用［例3］对于实数a 、b 、c ，有下列命题①若a ＞b ,则ac ＜bc ; ②若ac 2>bc 2,则a>b ;③若aab>b 2; ④若c>a>b >0;则a c a ->bc b -;⑤若a>b ,a 1>b1,则a >0,b <0.其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5 ［答案］ C［解析］ ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac 2>bc 2知c ≠0, 所以c 2>0,所以a>b , 故该命题是真命题.a<ba<b③ a ２>ab, ab >b 2.所以a 2>ab>b 2故该命题为真命题.a <0b<0④a>b ⇒-a <-b ⇒c-a<c-b .因为c>a ,所以c-a >0.所以0<c-a<c-b .两边同乘以()()b c a c --1,得a c -1>bc -1>0.又因为a>b >0,所以a c a ->bc b -.故该命题为真命题. ⑤a>b ⇒a-b >0, a 1> b 1⇒a 1－b 1>０⇒ab ab ->０.因为a-b >0,所以b-a <0.所以ab <0. 又因为a>b ,所以a >0,b <0,故该命题为真命题.综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.［说明］通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定. 变式应用3判断下列各题的对错.（1）bca c <且c >0⇒a>b （）（2）a>b 且c>d ⇒ac>bd （）（3）a>b >0且c>d >0⇒cb b a >（）（4）⇒>22c bc a a>b （）［答案］ × × √ √bc a c < ［解析］（1） ⇒a 1<b1 ｃ>０当a <0,b >0时，此式成立，推不出a>b ，∴(1)错；（2）当a =3,b =1,c =-2,d =-3时，命题显然不成立，∴（2）错；a>b>0 （3）c>d>0⇒d a >cb>0⇒c b d a >成立.∴(3)对；（4）显然c 2>0,∴两边同乘以c 2,得a>b .∴(4)对.探索延拓创新命题方向应用不等式的性质讨论范围［例4］已知：-2π≤α<β≤2π，求2βα+，2βα-的范围.［分析］已知的不等式相当于-2π≤α≤2π-2π≤β≤2π α<β，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.［解析］ ∵-2π≤α<β≤2π， ∴-2π≤α<2π①, -2π<β≤2π②， ∴①+②得-π<α+β<π∴-2π<2βα+<2π.由②得-2π≤-β<2π， ④①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-2π≤2βα-<0.变式应用4已知12<a <60,15<b <36，求a-b 及ba的取值范围. ［解析］欲求a-b 的范围,应先求-b 的范围,欲求b a 的范围,应先求b1的范围,再利用不等式性质求解.∵15<b <36, ∴-36<-b <-15.∴12-36<a-b <60-15 ∴-24<a-b <45.又361<b 1<151, ∴15603612<<b a , ∴431<<ba. 名师辨误做答［例5］已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a -2b 的范围. ［误解］ ∵1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3, ∴0≤a ≤4.又∵1≤a+b ≤5,-3≤-(a-b )≤1， ∴-1≤b ≤3.∵0≤a ≤4,-1≤b ≤3, ∴0≤3a ≤12,-6≤-2b ≤2,∴-6≤3a -2b ≤14.［辨析］在误解中，由已知条件推出不等式-6≤3a -2b ≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a+b ≤5与-1≤a-b ≤3,得到0≤a ≤4,-1≤b ≤3,但这并不意味着a 与b 可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a =4,b =3时，a+b =7，就已超出题设条件1≤a+b ≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.［正解］设a+b=u,a-b=v , 则a =2v u +,b=2vu -, 且1≤u ≤5,-1≤v ≤3.∴3a -2b =21u +25v , ∵21≤2u ≤25，-25≤25v ≤215,∴-2≤2u +25v≤10，即-2≤3a -2b ≤10.课堂巩固训练一、选择题 1.下列不等式： ①x 2+3>2x (x ∈R ); ②a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a,b ∈R );③a 2+b 2≥2（a-b -1）中正确的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］对于①，x 2+3-2x =(x -1) 2+2>0恒成立，对于②，a 3+b 3-a 2b -ab 2=a 2(a-b )+b 2(b-a )=(a-b )(a 2-b 2)=(a-b ) 2(a+b ), ∵a 、b ∈R ,∴(a-b ) 2≥0，而a+b >0,或a+b =0,或a+b <0,故②不正确,对于③，a 2+b 2-2a +2b +2=a 2-2a +1+b 2+2b +1=(a -1) 2+(b +1) 2≥0，∴③正确，故选C.2.设x<a <0，则下列各不等式一定成立的是（） A. x 2<ax <a 2B. x 2>ax >a 2C. x 2<a 2<axD. x 2>a 2>ax ［答案］ Bx ＜a ＜0 x 2＞ax［解析］ x ＜0 ⇒ ⇒ x 2＞ax ＞a 2.a ＜0 ax ＞a 23.若x>y 与x 1>y1同时成立，则（） A. x >0,y >0 B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <0 ［答案］ B［解析］ ∵由x ＞y 推出x 1>y1，需满足xy ＜0.又x ＞y ，∴x ＞0,y ＜0.二、填空题4.已知x ≤1，f (x )=3x 3,g (x )=3x 2-x +1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x ) g (x ).［答案］ ≤［解析］ f (x )-g (x )=3x 3-(3x 2-x +1) =(3x 3-3x 2)+(x -1) =3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1),∵x ≤1得x -1≤0，而3x 2+1>0,∴(3x 2+1)(x -1)≤0， ∴3x 3≤3x 2-x +1.∴f (x )≤g (x ).5.已知60<x <84,28<y <33,则x-y 的取值范围为，yx的取值范围为 .［答案］ (27,56) (1120,3) ［解析］ ∵28<y <33, ∴-33<-y <-28,又∵60<x <84, ∴27<x-y <56.由28<y <33得2811331<<y ,即31120<<yx. 三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？［解析］设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2=ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业一、选择题1.已知a,b,c,d 均为实数，有下列命题：（） ①若ab ＜0,bc-ad ＞0,则0>-bda c ;②若ab ＞0,0>-b da c ,则bc-ad ＞0; ③若bc-ad ＞0, 0>-b da c ，则ab ＞0.其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 ［答案］ C［解析］ ①∵ab ＜0,∴ab1＜0, 又∵bc-ab ＞0,∴ab 1·（bc-ad ）＜0即0<-bda c , ∴①错；②∵ab ＞0, 0>-bda c , ∴ab (bda c -)＞0,即：bc-ab ＞0, ∴②正确； ③∵0>-b d a c ,∴abadbc -＞0，又∵bc-ad ＞0,∴ab ＞0,∴③正确.2.已知P ＝112++a a ,Q =a 2-a +1,则P 、Q 的大小关系为（） A.P>Q B.P<Q C.P ≤Q D.无法确定［答案］ C ［解析］ P-Q ＝112++a a -a 2+a -1=1112223234++---+++---a a a a a a a a a a=()111222224+++-=++--a a a a a a a a ,∵a 2+a +1=(a +21)2+43>0,-a 2(a 2+1)≤0， ∴()11222+++-a a a a ≤0，∴P ≤Q .3.(2011·陕西文，3)设0<a0,即ab >a ,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a =1,b =4,易知选B. 4.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则（）A.a 2>b 2B.a b<1 C.lg(a-b )>0 D.( 21)a <(21)b［答案］ D［解析］ a >b 并不保证a 、b 均为正数，从而不能保证A 、B 成立.又a>b ⇒a-b >0,但不能保证a-b >1,从而不能保证C 成立，显然只有D 成立.事实上，指数函数y =(21)x 在x ∈R 上是减函数，所以a>b ⇒(21)a <(21)b 成立.故选D. 5.已知a0C.ab <0D.｜a ｜<｜b ｜［答案］ A［解析］特殊值法：令a =-1,b =0,满足a|b |,排除D ，故选A.6.已知a 2+a <0,那么a,a 2,-a ,-a 2的大小关系是（） A.a 2>a >-a 2>-a B.-a >a 2>-a 2>aC.-a >a 2>a >-a 2D.a 2>-a >a >-a 2 ［答案］ B［解析］特殊值法：∵a 2+a <0,∴-1<a <0.令a =-21,则a 2=41,-a =21,-a 2=-41，故选B.一般解法：由a 2+a <0,得0<a 2<-a 且a <-a 2<0,故a <-a 2<a 2<-a ,选B.7.如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是（）A.a ＞4bB.(a +4)(b +4)=200a ＞4b C.(a +4)(b +4)=200 a ＞4b D.4ab =200 ［答案］ C8.如果a ＞0,且a ≠1,M =log a （a 3+1），N =log a （a 2+1），那么（） A.M ＞N B.M ＜NC.M=ND.M 、N 的大小无法确定［答案］ A［解析］当a ＞1时a 3+1＞a 2+1，y=log a x 单增， ∴log a (a 3+1)＞log a （a 2+1）.当0＜a ＜1时a 3+1＜a 2+1，y =log a x 单减.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1),或对a 取值检验. 二、填空题9.已知三个不等式：①ab >0;②bca c >;③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若③成立，则①成立∴②③⇒①；若①成立则③成立，∴①②⇒③.若③成立即bc ＞ad ,若①成立，则ab ad ab bc >，∴a c ＞bd∴①③⇒②. 10.如果a>b ，那么下列不等式：①a 3>b 3; ②ba 11<;③3a >3b ; ④lg a >lg b .其中恒成立的是 . ［答案］ ①③［解析］ ①a 3-b 3=(a-b )(a 2+b 2+ab ) =(a-b )［(a +2b )2+43b 2］>0;③∵y =3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b当a >0,b <0时，②④不成立.11.设m =2a 2+2a +1,n =(a +1) 2,则m 、n 的大小关系是 . ［答案］ m ≥n［解析］ m-n =2a 2+2a +1-(a +1) 2＝a 2≥0.12.设a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0，则p =a b ,q =b a ,r =m a mb ++,s =nb na ++的大小顺序是 . ［答案］ p ＜r ＜s ＜q［解析］取a =4,b =2，m =3,n =1,则p =21,q =2,r =73,s =35则p ＜r ＜s ＜q （特值探路）.具体比较如下： p-r =a b -m a m b ++=()()m a a ma b +-＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0∴a+m ＞b+m ＞0.a+n ＞b+n ＞0，∴m a m b ++＜1, nb na ++＞1,∴r ＜s . 或r-s =m a mb ++-n b na ++=()()()()n b m a n m a b a b +++++-<0.∴r ＜s .s-q =n b n a ++-b a =()()n b b n a b +-·＜0，∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表：方案类别基本费用超时费用甲包月制（不限时） 120元无乙限时包月制（限60小时）80元2元/时问某用户每月上网时间在多少小时以内，选择乙方案比较合适？［解析］设用户每月上网时间为x 小时，则选择乙方案为 80(0≤x ≤60)y =2(x -60)+80(x >60),由2(x -60)+80≤120,得x ≤80,∴某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适. 14.(1)已知a>b,e>f,c >0.求证：f-ac<e-bc . (2)若bc-ad ≥0,bd >0.求证：b b a +≤d dc +. ［解析］ (1)∵a>b,c >0,∴ac>bc,∴-ac<-bc, ∵f <e ,∴f -ac <e -bc .(2)∵bc-ad ≥0,∴ad ≤bc ,又∵bc >0,∴b a ≤dc, ∴b a +1≤d c+1, ∴b b a +≤dd c +.15.已知a 、b 为正实数，试比较abb a +与a +b 的大小. ［解析］解法一：（ab b a +）－（a +b ）＝（b ba-）- （a ab -）=aa b b b a -+- =()()abba b a --=()()abba ba 2-+.∵a 、b 为正实数，∴a +b >0, ab >0,( a -b )2≥0.∴()()abba ba 2-+≥0，当且仅当a=b 时，等号成立.∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号.解法二：∵（ab b a +）2＝ab a b b a 222++,(a +b )2=a+b +2ab ,∴（ab b a +）2-(a +b )2=ab a b b a 222++-(a+b +2ab )=()abb a ab b a +-+33＝()()()abb a ab b ab a b a +-+-+22=()()abb a b a 2-+.∵a 、b 为正实数，∴()()abb a b a 2-+≥0，∴（a bb a +）2≥(a +b )2.又∵ab b a +>0，a +b >0， ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 16.已知0<a+b <2π,-2π<a-b <3π,求2a 和3a -3b的取值范围.［解析］∵0<a+b<2π -2π<a-b<3π, 两式相加得-2π<2a <65π.设3a -3b=m (a+b )+n (a-b ) =a (m+n )+b (m-n ),则有m+n =3m-n =-31,解得m =34,n =35.∴3a -3b =34 (a+b )+ 35(a-b ).0<34 (a+b )<32π -65π<35 (a-b )< 95π, 两式相加，得-65π<3a -3b <911π. 故2a ∈(-2π,65π),3a -3b ∈(-65π, 911π).。

高中数学导学案不等式关系

第三章不等式§3.1不等式与不等关系第1课时【授课类型】新授课【教学目标】1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学重点】同目标2【教学难点】同目标3【教学过程】1、情境导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

2、展示目标下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系。

3、检查预习（1）用不等式表示不等关系限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v404、合作探究（2）用不等式表示不等关系某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩5、交流展示引例：b 克糖水中有a 克糖（b ＞a ＞0），若再加入m 克糖（m ＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式。

6、精讲精练例题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

不等关系学案1苏教版必修5

2、用不等式（组）准确地表示出问题中的不等关系。。
学习
思路
1、
2、
3、
学法
指导
1、
2、
学习过程
一、提出问题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况。
你能举出一些实际中不等关系的例子吗？这些不等关系怎样用数学式子表示出来？
……
十、旅客每人携带品的体积和重量是，每件物品的外部尺寸长、宽高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……
设儿童身高为h米，物品外部尺寸长、宽、高之和为p厘米，请用数学符号“＞、＜、≠、≥、≤”表示上面横线标出的不等关系。
实例2、在平面直角坐标系中，点P（x，y）位于第三象限。
实例3、设点O是平面内一点，点P是平面内动点，且OP长不大于8，试用图表示此不等关系。
三、例题分析
例1．某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？
例2、某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册。要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
注意：不等关系与不等式之间的异同：不等关系强调的是关系，可用符号“＞、＜、≠、≥、≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b、a＜b、a≠b、a≥b、a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
二、应用示例
实例1、《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行的身高1.1—1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名的人数应买儿童票。

江苏省徐州市建平中学必修5导学案 3.1《不等关系(2)》

3.1 不等关系（2）学习目标1．掌握不等式的基本性质，并能灵活利用解决相关问题．2．根据不等式的意义，掌握用比较法比较两个实数的大小关系，加深对不等关系的认识和理解．重点、难点不等式的基本性质，比较法比较两个实数的大小关系学习过程一、课前准备1．在以下各题的横线上填上适当的不等号．⑴2 6+ ⑵2)21． 2．比较大小：⑴22a 43a - ⑵11a + 1a -（1a ≠-）． 3．已知0,10a b <-<<，那么2,,a ab ab 三个数中的大小顺序为．二、例题选讲【例1】试利用不等式（组）表示下列实际问题中的不等关系．⑴沪宁高速公路全程限速120/km h ；⑵二次函数223y x x =+-的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的集合；⑶b 克糖水含有a 克糖（0b a >>），若再添上m 克糖（0m >），则糖水变甜了； ⑷某钢铁厂把长度为4000m 的钢管截成500m 和600m 两种规格，按要求生产600m 钢管的数量不能超过500m 钢管数量的3倍．【例2】①已知,a b R ∈，比较2222a ab b -+与23b -的大小．②已知0,0,a b >>比较a b a b 与b a a b 的大小．【例3】已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>．变式：设a b c >>，求证：1110a b b c c a ++>---三、课堂练习：1．已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是2．,,a b c R ∈，满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+，则,,a b c 的大小关系为四、学习小结。

江苏省徐州市贾汪区建平中学高一数学《导数》教案(1)

备课时间课题教学目标教学重难点教学参考授课方法教学
2012 年 1 月
7 日
主备人：张庆亮
上课时间
第班级
周
周节次
月
日
导数的应用复习——切线
应用导数解决函数过一点的切线方程问题
总课时数
第
节
教学重点、难点：用导数求切线方程
教师用书引导发现
课本合作探究
练习册
多媒体专用教室
．
二、典例精析例 1 设函数 f (x) g (x) x ，曲线 y g (x) 在点
2
(1, g (1)) 处的切线方程为 y 2 x 1 ，则曲线 y f ( x ) 在
练习：点 (1, f (1)) 处的切线方程为．设曲线 y
x 1 x 1
在点（3，2）处的切线与直线
ax y 1 0 垂
直，则 a
教学
教
学
二次备课
2
过程设计
例2求 y
1 x
在点 x=1 处的切线方程
练习： y x 在点（1,1）处的切线方程
3
生：独立完成
师：点评
例 3 y kx b 是 y x 的切线，求 b 及切点坐标
3
师生共同归纳
练习：1、 y
x 在 x=1 处的切线方程
教学辅助手段教
学
二次备课
1
过程设计
一、知识回顾 1. ( )
x
(lnx )
1
(sinx )
(e )
x
பைடு நூலகம்
学生回顾常用函数的导数及导数的四则运算

(导学案)§2.1 不等关系(学生版)

(总课时12)§2.1 不等关系【学习目标】掌握不等式的意义，会根据给定条件列出不等式.【学习重难点】准确应用不等号，建立量与量之间的不等关系.【导学过程】一.情境引入看一看：如图1是跷跷板，你想过它的工作原理吗？翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．如图2在古代中国，人们就懂得了翘翘板的工作原理，设计出了一些简单机械，应用到了生活实践当中．由此可见，“不相等”处处可见.从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．二.探究新知1.用两根长度均为lm 的绳子，分别围成一个正方形和圆.（1）如果要使正方形的面积不大于25m 2，那么绳长L 应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积不小于100m 2,那么绳长L 应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）你能得到什么猜想？_________________________________________________.2.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm ，bcm ，ccm ，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.____________.3.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m 的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm ，以后10年内每年增加约3cm ，设经过x 年后这棵树的树围超过30cm ，请你列出x 满足的关系式.______________.观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ 16＞422l l π ， 1004251622≥≤πl l ，， a+b+c ≤160 ，6＋3x ＞30. _____________________.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤” ），“＞”（或“≥” ）连接的式子叫做不等式.三.典例与练习例1.下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y ＞0；③x=3；④x-1；⑤x+2≤3，其中不等式有（）图1 图2 脚踩“打糕机” 手动“提水机”A.2个B.3个C.4个D.5个练习1.用适当的符号表示下列关系：（1）x的一半小于－1；_________. （2）y与4的和大于0.5；______________（3）x与17的和比它的5倍小；___________,(4)y的3倍与8的和比x的5倍大；_________.（5）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；_________.例2.用不等式表示（1）a是正数；______ （2）a是负数；______（3）a非负数；______ （4）b是非正数；______（5）x的4倍大于7；______ （6）y的一半小于3.______练习2.（生活中常见交通标志）在生活中不等关系的应用随处可见.最低时速限制限制高度限制宽度限制质量时速____50 高度____3.5m 宽度____3m 质量____10t例3.八（1）班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本.已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则可列出关于x的不等式是____________________.练习3.某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式是________________.四.课堂小结常用不等号读作表示不等关系的常用数学术语或词语“＞”大于正数、____，____...“＜”小于负数、____，____...“≥”大于等于（不小于）非负数、____、____、____...“≤”小于等于（不大于）非正数、____、____、____、____...“≠”不等于五.分层过关1.下列语句不能用不等式表示的是( )A. m＋1是负数B. a2是正数C. m＋n等于xD. m－1是非负数2.下列数量关系用不等式表示，不正确的是( )A.m比－2大，表示为m＞－2B. a2与2的差是非负数，表示为a2－2＞0C. x的一半比它与6的差小，表示为＜x－6D.a与b的差不大于a与b的和，表示为a－b≤a＋b3.某地某天最高气温是33 ℃，最低气温是22 ℃，则当天该地气温t(℃)的变化范围可用不等式表示为( )A. t≥22B. t≤22C. 22＜t＜33D. 22≤t≤334.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（）A. m＜0B. m＞0C. m≤0D. m≥05.无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）A. x+5＞0B. x+5＜0C. x2＜0D. x2≥06.下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥3x－5＝2x＋2；⑦a2＋2≥0；⑧a2＋b2≠c2.其中是不等式的是___________．(只填序号)7.一辆45座的大客车上现在共有a人，到下一站后，下了3人，上了5人，此时车上仍未坐满，则用不等关系可表示为_________．8.用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1____0．9.在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗.10.已知x>0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6……(1)填空：[]＝__，[8.05]＝___；若[x]＝5，则x的取值范围是_____．(2)我市的出租车收费标准如下：3km以内(包括3km)收费10元，超过3km的，每超过1km，加收2.4元(不足1km按1km计算)．设所行驶的路程为x(km)，用含[x]的式子表示出当x>3时的乘车费用．(3)在(2)的条件下，某乘客乘出租车后付费26.8元，求该乘客所乘路程的取值范围．。

江苏省徐州市建平中学高一数学《一元二次不等式解法》导学案(2)

江苏省徐州市建平中学高一数学导学案
学习目标：
会解简单的分式不等式，简单的含参数的不等式；掌握简单的含有参数的一元二次不等式恒成立问题；
一、课前准备
1．函数)23lg(2+-=x x y 的定义域是
2．不等式102
x x -<-的解集是． 3．不等式()(1)0x a x --<的解集是{}15x x <<则a= ．
4．若点)1
1,23(-++-m m m m P 在第二象限，则m 的范围是．二、例题选讲例1. 不等式
1202x x -<+的解集是
例2. 若关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为{}
12x x <<，求实数,a b
例3、关于x 的不等式220mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围.
三、课堂练习：
1解不等式（1）
35021x x -≥+ （2）2351x x +<-
2、函数()
22lg 21y x x k =-+-的定义域为R ，求实数k 的取值范围 . 3、若关于x 的不等式232x ax >+的解集为{}2x x b <<，求实数a = ，b = 4、若方程2(2)50x m x m ++++=只有正根，则实数m 的取值范围是．
四、小结与作业：完成下一节导学案。

2.1 不等关系导学案

2.1不等关系第 1 课时（二）学习目标：1.理解不等式的意义，能根据条件列出不等式.2.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.（三）重点、难点：重点：用不等关系解决实际问题.难点：正确理解题意列出不等式.（四）教学过程【导入环节】请同学们看教材P37做一做上边的内容，根据教材设置的问题分别思考回答三个问题.【目标出示】初步感受不等关系【自学环节】1.自学指导请同学们完成教材P37做一做的内容，在学习的过程中请弄清下面问题：“不大于”指的是“”，通常用符号“”表示．“不小于” 指的是“”，通常用符号“”表示．2.自主学习不等式的概念：一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________【导学环节】例1：用不等式表示：（1）x与－3的和是负数；解：（2）x与5的和的28%不大于－6；解：（3）m除以4的商加上3至多为5；解：（4）a与b两数和的平方不小于3；解：（5）三角形的两边a、b的和大于第三边c。

解：例2：某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是:答对一题得6分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应答对多少道题?(只列关系式)活动与探究：a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜”或“＞”号填空：（1）a __________b ;（2）|a |__________|b |;（3）a +b __________0;（4）a －b __________0;（5）a +b __________a －b ;（6）ab __________a【训练环节】（1）下列不等关系一定正确的是（）A ．a ＞0B ．－x 2＜0C ．（x +1）2≥0D ．a 2＞0（2）a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．ab ＞0D ．以上均不对（3）如图所示，对a ，b ，c 三种物体的重量判断不正确的是（）A ．a ＜cB ．a ＜bC ．a ＞cD ．b ＜c （4）“x 与y 的和大于1”用不等式表示为____________；（5）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了x 道题，则根据题意可列不等式；（6）3≥x 的最小值是a ，1≤x 的最大值是b ，则=+b a ；（五）教学反思。

不等关系教案

不等关系教案教案标题：不等关系教案目标：1. 了解不等关系的概念和特征；2. 掌握不等关系的表示方法和解题技巧；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力。

教案步骤：一、导入（5分钟）1. 引入不等关系的概念，通过举例子让学生了解不等关系的含义和应用场景。

二、知识讲解（15分钟）1. 讲解不等关系的定义和特征，包括自反性、传递性和对称性。

2. 介绍不等关系的表示方法，如用不等号表示、用集合表示等。

3. 解释不等关系的解题技巧，包括找出关系的特点、画出关系图、进行逻辑推理等。

三、示例演练（20分钟）1. 给学生提供一些实际问题和数学题目，要求他们运用不等关系的知识进行解答。

2. 引导学生分析问题、提炼关系，然后利用不等关系进行推理和判断。

四、拓展练习（15分钟）1. 提供更加复杂的问题和题目，让学生进一步应用不等关系解决问题。

2. 鼓励学生尝试不同的解题方法，培养他们的创新思维和问题解决能力。

五、总结归纳（5分钟）1. 总结不等关系的要点和关键步骤，强化学生对该知识点的理解和记忆。

六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的作业，要求学生练习不等关系的应用和解题技巧。

教学辅助工具：1. 教学课件，用于展示相关概念和示例；2. 实际问题和数学题目，用于示例演练和拓展练习；3. 白板和彩色笔，用于解题过程的展示和讲解。

教学评估方法：1. 在示例演练和拓展练习环节，观察学生的解题过程和答题情况，及时给予指导和反馈；2. 在总结归纳环节，通过提问和讨论，检查学生对不等关系的理解程度。

教学延伸：1. 鼓励学生自主探索不等关系在生活和其他学科中的应用，拓宽他们的思维和视野；2. 引导学生研究不等关系的性质和定理，提高他们的数学思维能力和证明能力。

教案撰写的内容仅供参考，具体教学过程和方法可以根据教育阶段的要求和学生的实际情况进行调整和优化。

高一数学不等关系与不等式教案 (1)

§不等关系与不等式(二)一.教学目标（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质；（2）会将一些基本性质结合起来应用.（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.二.教学重点，难点重点：理解不等式的性质及其证明.难点：利用不等式的基本性质证明不等式。

三.教学过程（一）复习提问问题1:比较两实数大小的理论依据是什么？问题2:“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.问题3:初中我们学过的不等式的基本性质是什么?基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 问题4:上面三条性质其数学含义是什么?(1)若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ；(2)若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，c a ＞cb ； (3)若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b .. (二)．总结规律常用的不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>, （对称性）（2）c a c b b a >⇒>>, （传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>, （可加性）（4）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （可乘性）（5）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式的可乘性）（6）n n n n b a b a n N n b a >>⇒>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性）(三)．讲授新课例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b> 例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及yx 的取值范围. ∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32，∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６；∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10；.82145,16422430<<<<y x y x 即例3．已知22πβαπ≤<≤-，求2,2βαβα-+的取值范围。

高中数学新苏教版精品学案《不等关系》

不等关系【学习目标】1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型｡2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数､一元二次方程的联系｡3会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题｡【学习重难点】不等式常见基本性质及应用；永不等式（组）表示不等关系。

不等式的概念和一些基本性质。

【学习过程】1一元二次不等式的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式｡2二次函数的图象､一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ0的图象一元二次方程a2bc=0a>0的根有两相异实根1,2=错误!1的解集a>0 -∞,1∪2,∞-∞,-错误!∪-错误!,∞a0的解集是R,q:-10;292-61≥02解下列不等式:12243a2>a3>0,则使得1-ai21的解集为__________________｡二､解答题1解关于的不等式错误!错误!集是R等价于4a24a3,解得>3或0≤3,解得-3f1的解集为-3,1∪3,∞｡3④解析∵a2b2-2ab=a-b2≥0,∴①错误｡对于②③,当a0,∴错误!错误!≥2错误!=2-6解析：因为f=a2--c>0的解集为-3,2,所以-32=-错误!,a=-1,-3×2=错误!,c=-6 5-∞,-5]解析：记f=2m4,根据题意得错误!解得m≤-5【课堂活动区】一、解题导引解一元二次不等式的一般步骤:1对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即a2bc>0a>0,a2bc0;2计算相应的判别式;3当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;4根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集｡解：1两边都乘以-3,得32-62021方程32-62=0的解是1=1-错误!,2=1错误!,所以原不等式的解集是{|1-错误!错误!错误!0,∴22430,且方程322-8=0的解是1=-2,2=错误!,所以原不等式的解集是-∞,-2]∪[错误!,∞｡3原不等式可转化为162-81≤0,即4-12≤0,∴原不等式的解集为{错误!}｡【解题引导】1含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏｡2若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式｡3其次对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集｡。

《不等关系》导学案

《不等关系》导学案学习目标：理解不等式的意义；能根据条件列出不等式.学习重点：通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式.学习难点：实际问题中怎样建立量与量之间的不等关系.学习过程：一、自主预习（方法提示：带着以下问题——什么是不等式？列出不等式的关键是什么？自学，然后完成以下填空.）1．已知正方形的边长为a ，则该正方形的面积为 .2．已知圆的半径为r ，则该圆的面积为 .3．已知正方形的周长为l ，则该正方形的边长为_______；面积为 .4．已知圆的周长为l ，则该圆的半径为_______；面积为 .二、学习与探究1．（先独立完成，再小组合作交流）如图，用两根长度均为l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆①如果要使正方形的面积不大于252cm ，那么绳长l 应满足怎样的关系式？解：绳长l 是正方形的周长，∴正方形的边长为__________，∴面积为__________∴要使正方形的面积不大于252cm ，则有关系式__________________________。

②如果要使圆的面积不小于100 2cm ,那么绳长l 应满足怎样的关系式？解：则有关系式__________________________.③请你任意给l 取一些值，并完成下表：解：我猜想，用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，则有圆正方形S S ___。

2．做一做：通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm ，以后树围每年增加约为 3 cm.，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m ？解：设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4 m ，则有关系式____________________.3．观察以上所列的关系式有什么特点？一般地，用符号________________________________________连接的关系式叫做不等式。

高中数学不等关系的教案

高中数学不等关系的教案
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够掌握不等关系的基本概念和性质。

2. 能力目标：培养学生分析和解决不等关系问题的能力。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习动力。

二、教学重点和难点：
1. 重点：不等关系的定义、性质和应用。

2. 难点：不等式的解法及不等式组的解法。

三、教学设计：
1. 导入新知识（5分钟）：
通过举例引导学生思考何为不等关系，引导学生认识到不等关系的重要性，并提出学习不
等关系的意义。

2. 理论讲解（15分钟）：
教师介绍不等关系的基本概念和性质，包括不等式的定义、解法，不等式组的概念等，并
让学生掌握相关概念。

3. 练习与训练（20分钟）：
设计一些练习题，并让学生进行解答。

通过课堂练习让学生巩固掌握不等关系的基本解法。

4. 拓展应用（10分钟）：
通过实际问题引导学生将所学的知识应用到实际生活中，让学生感受数学在日常生活中的
重要性。

5. 总结提升（5分钟）：
教师总结本节课的重点内容，并对学生进行知识点的强化巩固。

四、课后作业：
1. 完成相关练习题，巩固不等关系的基本概念和解法。

2. 自主学习相关知识，扩展应用不等关系的场景。

五、教学反思：
通过设置导入、理论讲解、练习与训练、拓展应用、总结提升的教学环节，帮助学生建立系统的不等关系知识结构。

同时，通过设置课后作业，巩固学生的学习成果，提高学生的数学应用能力。