6不等关系与不等式一元二次不等式及其解法
不等式不等关系一元二次不等式
第一节、不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质1. 比较两个数(式)的大小[例1] ①已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小②已知b a 、为正数且b a ≠，比较33b a +与22ab b a +的大小关系由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用通分、配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． [注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．典题导入[例2] ①已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． ②已知b a >,n m >,0>p ,求证bp m ap n -<-。
③若810-<<<b a ，则b a +的取值范围是_________。
由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是( )A ．若ac ＞bc ⇒a ＞bB ．若a 2＞b 2⇒a ＞bC ．若1a ＞1b⇒a ＜bD ．若a ＜b ⇒a ＜b2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定3.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 4．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c . 其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．5．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．第二节、一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集的关系，可归纳为：若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况． (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同典题导入[例1] 解下列不等式：(1) 0＜x 2－x －2≤4； (5)－3x 2－2x ＋8≥0；(2) x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (6)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． (3)042>++ax x (4)0132>-+-a x ax[例2] ① 已知关于x 的不等式02<+-b ax x 的解集为{}32<<x x ，求求不等式012>--ax bx 的解集.②已知不等式)0(02≠>++a c bx ax 的解集是}41|{<<x x ，求二次不等式02<++a bx cx 的解集。
不等式
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x 0, y 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值的问题，统称为线性规划问题．
{x | x x1或x x 2 }
不等式ax2+bx+c0(a>0)的解集为
{x | x x1或x x 2}
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为
{x | x1 x x 2}
不等式ax2+bx+c0(a>0)的解集为
{x | x1 x x 2}
不等式ax2+bx+c>0(a>0)与不等式ax2+bx+c<0(a>0)
O
y
4
2x+y-4=0
2
x
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平 面区域的公共部分. y 例2 画出不等式组 x-y+5=0 x+y=0 5
x y 5 0 x y 0 x 3
O
3
x
表示的平面区域. x=3
ax2+bx+c>0
其中a，b，c是常数. 一元二次不等式的解集如何求呢？
一元二次不等式的解法
一般地， 如果对于一元二次方程
ax2+bx+c=0（a>0)
有两个不等的根 x1 =
一元二次不等式及其解法
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值 恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 以 m＜x2－6x＋1． 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．
不等关系与一元二次不等式 (优质课件,精校版)
由 16< x < 32 得 即 1/8 < y/x < 1/2
1/32 < 1/x < 1/16
又4 < y < 8 所以有 4/32 < y/x < 8/16
π π 练习1 . x y , 求y x, y - x的取值范围. 4 2
练习2.已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,求z=2x-3y的 取值范围.
不 等 式 的 性 质
可乘性— a>b, c>0 ac>bc c<0 ac<bc 同向正可乘—a>b>0，c>d>0 ac>bd 推 论 可乘方— a>b>0 an>bn (nR+)
可开方— a>b>0
n
a n b (nN)
课堂练习
若a、b、c R,b, 则下列不等式成立的是（ ） 1 1 a b 2 2 A. B.a b C. 2 2 D.a c b c a b c 1 c 1
比较f ( x)与g ( x)的大小关系.
小结： 作差——变形——定号——下结论
题型一：比较两个实数大小
(1)作差比较法：
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
a、b R + : a (2)作商比较法： a b 1 b 作商——变形——与1比较大小． a a b 1 大多用于比较幂指式的大小． b a a b 1 b
（2）解不等式- x2+2x-3<0 原不等式的解集为R
再 见
2. 不等式的性质： ①不等式的两边都加上（或减去）同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以（或除以）同一 个正数，不等号的方向不变。
不等式与不等关系,不等式的性质,一元二次不等式及其解法
第1课时§3.1.1不等式与不等关系教学目标1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；教学重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系教学过程一．课题导入问题1：高速公路上经常见到：”限速100公里”“限速80公里”等字样，是什么意思啊？问题2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不低于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，又是什么意思呢？现实生活中会经常见/听到一些“不低于”“不高于”“少于”“高于”“不超过”等等字眼，这说明在现实生活中，某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
二．例题讲解1）用不等式表示不等关系例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩三．课堂练习：1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则_____||d AB 。
（填不等号）2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 四．小结本节我们主要学习了用不等式来表示不等关系第2课时 §3.1.2不等式的性质教学目标1.掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式2.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 教学难点用不等式的性质证明简单的不等式。
高三数学复习第六章 不等式、推理与证明
演 练 知 能 检 测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回 扣 主 干 知 识
突 破 热 点 题 型
1．比较两个实数大小的法则 设a，b∈R，则 a－b＞0 (1)a＞b⇔ ； a－b＝0 (2)a＝b⇔ ； a－b＜0 (3)a＜b⇔ . 2．不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b，b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论： (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演 练 知 能 检 测
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
数学(6省专版)
＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回 扣 主 干 知 识
aa－b aabb a－b b－a a－b 1 a－b (2)abba＝a b ＝a b ＝b . aa－b a ∵当a>b，即a－b>0，b>1时，b >1，
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， a － b >0(其中a，
回 扣 主 干 知 识
b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )
第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理20190627338_最新修正版
第一节不等式的性质与一元二次不等式［考纲传真］1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 实际背景2会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .4.会解一元二次不等式，对给定的一兀次不等式，会设计求解的程序框图.知识全通关两个实数比较大小的方法2 .不等式的性质加法法则：a >b , c >d ? a + c >b + d ；（单向性） 可乘性：a >b, c >0? ac >bc ;（单向性）a >b ,c <0? ac <bc ；（单向性）b >1? a > b a € R, b > 0ab = 1? a = b a € R, b > 0av 1? a v b a € R, b > 0a作商法乘法法则: a >b >0, 乘方法则: a >b >0? c >d >0? ac >bd ；（单向性） a n>b n（ n A2, n € ";（单向性）（8） n A2, n € N）；（单向性） 元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系开方法则: a >b >0?A >0 A <0.3.通过函数图象了解一兀（1）a —b > 0?作差法a — b = 0? a = b a, a , b€ Rb € R a — b v 0? a v b a , b € R对称性: a >b ? b <a ；（双向性） 传递性: a >b, b >c ? a >c ；（单向性） 可加性: a >b ? a +c >b + c ;（双向性）有关倒数的性质a> b, ab>0? 1-< b.a ba>b> 0,0 <c< d?简单的分式不等式f x------ >0?g xf xg x >0? g x > 0, 丰0.1.有关分数的性质若a> b> 0, rm> 0,则b b+ m —< ---- a a+ m b b- ma> a-m b- m>0)；a a+ mb> b T ma< 冷b- m> 0).(思考辨析)判断下列结论的正误.(1)a> b? ac2>bc2.⑵ a>b>0, c>d>0? a>b.d c［基础自测］(正确的打“2”(x i , X2)，则必有，错误的打“ X”)⑶若不等式ax2+ bx+ c<0的解集为2⑷ 若方程ax + bx + c= 0( a* 0)没有实数根，则不等式a>0.()2ax + bx+ c>0的解集为R.［答案］(1) X (2) V (3) V (4) X2.（教材改编）下列四个结论，正确的是（） ①a >b , c <d ? a — c >b — d ;③ a >b >0? ④ a >b >0?D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知1 3②不正确；因为函数 y = x 是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0,所所以④不正确.] （教材改编）设a , b , c € R 且a >b ,则（）f 3 I 3 D. a > b［取 a = 1, b = — 2, c =— 1，排除 A, B, C,故选 D.］ （教材改编）不等式（x + 1）（ x + 2） < 0的解集为（）1.若 a > b > 0, c < d < 0，则一定有（）a b A.d > ca b D.c < d1 1 1 1B ［由 c <d <0 得 1< 1<0，则—1> —c > o 」②a >b >0， c <d <0? ac >bd ；A.①② B .②③ C ①④ D.①③ac <bd ,故A. ac > bc1 1 B.a < bC.A. {x | — 2 < x <— 1} B .{x | — 1< x < 2}C. {x | x <— 2 或 x > 1}D. {x | x <— 1 或 x > 2}［方程(x + 1)( x + 2) = 0的两根为x =— 2或x =— 1，则不等式(x + 1)( x + 2) < 0的解集为｛x |—2< x <— 1｝，故选 A.] 不等式x 2+ax + 4W0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 _____________ .2 2）[由题意知 A = a — 4 >0,解得 a 》4 或 a < — 4.]考点全面'方法简沽I 题型1|不等式的性质及应用-d >-£••• a < b 故选 B.］ d c d c2. (2016 •北京高考)已知X , y € R,且x >y >0,则() 1 A. x — •->0(—n, 2 n)[设 3a — 3 = a — 3 ) + n ( a + 3 )，则从而3 a —卩=2( a —卩)+ ( a +卩), 又一n< 2( a — 3 ) <n,0< a +3<n,—n< 2( a — 3 ) + ( a + 3 ) < 2 n .]［规律方法］利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法验证；二是利用特殊值法排除错误答案2比较大小常用的方法①作差商法：作差商？变形？判断,②构造函数法：禾U 用函数的单调性比较大小，，③中间量法：利用中间量法比较两式大小, 般选取0或1作为中间量.3由a <f X , y <b , c <g x , y <d 求F x , y 的取值范围，要利用待定系数法B. sin X — sin y >01 C. 2<0D. In x + In y >0C ［函数X1y = 2在(0,+s)上为减函数，.••当 x >y >0 时,1 <2X1，即2 — 1 2 V0, 故C 正确；函数 y = -在 (0,+s)上为减函数，由x >y >0? X1 1_V_? X y■X -严，故A 错误；函数y =sin X 在(0,+s)上不单调，当 x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误;x >y >0? xy >^^ln( xy )>0 ? / lnx +In y >0，故 D 错误.]3 .若 a = 20.6, b = log n 3, c = log 2 sin A. a >b > cB. b >a > cC. c >a > bD. b >c >aA [因为 a = 20.6> 20= 1,又 log 1 < log 2 nn 3< log n n,所以 0< b < 1 ,c = log 2sin < log 215=0,于是a >b >c .故选A.]4.已知角a 7t,卩满足一二-< a —卩< —,0< a + 3 <n ，贝U 3 a —卩的范围是m + n = 3,rn= 2, n — m =— 1,解得 n = 1,1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法:是直接使用不等式的性质逐个当a = 0时，解集为{X |X> 1};解决，即设 F X , y = mf X , y + ng x , y ，用恒等变形求得 m n ,再利用不等式的 性质求得F x ,y 的取值范围.I 麵型2|?考法1不含参数的一元二次不等式【例1】(1)不等式2x 2— X — 3>0的解集为⑵ 不等式—X 2— 3X + 4>0的解集为 _________ 3亠(1) X x >2或X <— 1元二次不等式的解法.(用区间表示) ⑵(一4,1) [(1)方程 2x 2— X — 3 = 0 的两根为 X 1=— 1, X 2 =3 3、2，则不等式2X 2— X — 3>0的解集为X x >2或X <— 1⑵ 由一X 2— 3x + 4>0得X 2+ 3X — 4<0,解得一4<X <1,所以不等式一X 2— 3x + 4>0的解集为(-4,1).]?考法2含参数的一元二次不等式 一 一 2【例2】(1)解关于X 的不等式：X — (a + 1)x + a <0. ［解］ 原不等式可化为(X — a )( X — 1) < 0, 当a > 1时，原不等式的解集为(1 , a )； 当a = 1时，原不等式的解集为 ？ 当a < 1时，原不等式的解集为(a, 1). ⑵解关于X 的不等式：ax —(a + 1)x + 1 <0. ［解］ 若a = 0，原不等式等价于—X + 1< 0, 解得X > 1.若a < 0,原不等式等价于 1X — -(X —1) >0, a解得X < a 或x > 1.a若a > 0,原不等式等价于1X — a (X —1) < 0.①当 a = 1 时,X — 1 (X — 1) < 0 无解;②当 a > 1 时, 1 1X — - (X — 1) < 0，得-< X <1； a a ③当 0 < a < 1 1时，a >1,1 解X —-a1 (X — 1) < 0,得 1 <X <-.a 综上所述，当 a <0时，解集为x < 一或 x >1[规律方法]1.解一元二次不等式的步骤: 1使一端为0且把二次项系数化为正数;2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法; 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤:一次不等式或二次项系数为正的形式;3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.a >0的解集是()0< a v 1 时，解集为1x 1< X < aa = 1 时, 解集为？;a > 1 时, 解集为x 1-< x < 1a1二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为2判断方程的根的个数，讨论判别式A 与0的关系;[®KES 习：(1)已知不等式ax 2— bx — 1>0的解集是x | - 1<x <-3，则不等式X 2— bx —A. {x |2<x <3}B. {x | x <2 或 x >3}C. x | 1<x <1'32D.1 X x <3或x >2[•••不等式ax 2— bx — 1>0的解集是x |1 1一一 <x < —••• ax 2— bx — 1 = 0 的解是 X 1 = — 2和 X 2= — 3,且a <0,2 3a 1 1 ——X 23aa = 一6, 解得b = 5.则不等式x 2— bx — a >0即为 2X — 5x + 6>0,解得 X <2 或 X >3.］ (2)解不等式 X + ax + 1< 0(a € F).A = a 2— 4.①当 A = a 2—4w0,即一2w a w2时，原不等式无解.②当 2 2 A = a — 4 > 0，即a > 2或a <— 2时，方程x + ax + 1 = 0的两X 1 =—a +寸 a 2— 4—a —J a 2— 4 x2= —2 —则原不等式的解集为—a+^a 2— 42综上所述，当—2W a<2时，原不等式无解.成立的条件是2 ax 2 + bx + c <0 aK 恒成立的条件是[:①1 b -4ac <0,当a >2或 a <— 2时，原不等式的解集为L—a -寸a 2—4—a r/ a 2+4 < x < 2【例3】 I 題型3|已知函数 f (x ) = mx — mx- 1.(1)若对于 x € R, f (x ) < 0恒成立，求实数 m 的取值范围;(2)若对于 x € ［1,3］ , f (x ) < 5 — m 恒成立，求实数 m 的取值范围.当m= 0时，f (x ) =— 1 < 0恒成立.m< 0,当 m#0 时，贝U 2 即一4< m< 0.A = m + 4m< 0,综上，—4< me 0,故m 的取值范围是(—4,0].⑵ 不等式 f (x ) <5— m 即(x 2— x + 1)m< 6,26 6x —x +1>0, •贰x —石对于x € ［1,3］恒成立，只需求x —石的最小值,6记 g (x ) = x 2—x1,x € [1,3],21 23记 h (x ) = x — x + 1 = x — 2 +h (x )在x € ［1,3］上为增函数，则 g (x )在［1,3］上为减函数,6 6•••[g(x)] min = g(3) = 7，.・.m<7.所以m 的取值范围是 一8, 7 .［规律方法］与二次函数有关的不等式恒成立的条件 21 ax + bx + c > 0 a M0 恒即一元二次不等式 2kx 2+ kx — -< 0对一切实数X 都成立. 8k < 0,则2A = k — 4X2 k x解得—3< k < 0.3综上，满足不等式 2kX 2+ kX —< 0对一切实数X 都成立的k 的取值范围是(—3,0］.8 (2)由题意得，函数f (X ) = X 2+ mx-1在［m 耐1］上的最大值小于 0，又抛物线f (X )=X 2 + mX- 1开口向上，所以只需f m = m + m — 1 < 0,2f m^ 1 = m+1+ m n u 1— 1< 0,2m —心‘解得-吳m K 0.] 2m + 3^^ 0,2【例4】 甲厂以X 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 K X < 10)，每小时可获得的利润是 100 •5X + 1 — X 元.X⑵要使生产900千克该产品获得的利润最大, 问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.［解］(1)根据题意, 得 200 5x + 1 — 3>3 000 ,—3整理得 5X — 14 — ->0,1 卩 5X 2—(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围;3习i (1)若不等式2kX 2+ kX —-<0对一切实数X 都成立，则k 的取值范围为()8A. ( — 3,0)B. [ — 3,0)C. [ — 3,0] (2)若不等式D. ( — 3,0］X 2+ mx- 1< 0对于任意 X C ［m m + 1］都成立，则实数 m 的取值范围是(1) D (2)—乎，0［(1)当k = 0时，显然成立;当k M0时,I 麵型又 K X W 10,可解得 3< x < 10.14X — 3>0,X即要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，X的取值范围是［3,10］.(2)设利润为y元，则900 y r -100 5X+ 1 —-X4 =9X 10 1 3 ------- 2 X X4 =9X 10 —31 —12 + 61 3X 6 十 12 ,故当x = 6 时，y max= 457 500 元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产 900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500 元.［规律方法］求解不等式应用题的四个步骤:阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系;引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型;解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义;回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果［sain嫁习］汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车,12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m 又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.1 x + 0.01 x2, s乙=0.05 X + 0.005 X2，问：甲、乙两车有无超速现象？但还是相碰了•事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过［解］由题意知，对于甲车,2有 0.1 X+ 0.01 X > 12, 即X2+ 10X— 1 200 >0,解得x > 30或X V — 40(不合实际意义，舍去),这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m ,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.2对于乙车，有 0.05X + 0.005X > 10,2即X + 10x— 2 000 >0,解得X > 40或X V — 50(不合实际意义，舍去),这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.自我感悟:最新修正版。
一元二次不等式题-概述说明以及解释
一元二次不等式题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述一元二次不等式是数学中常见且重要的内容之一。
它是由一个未知数的二次方程构成的不等式，表示了一个范围内的不等关系。
解一元二次不等式是我们在求解实际问题时经常遇到的需求，掌握解一元二次不等式的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对一元二次不等式的基本概念、性质以及解题方法进行详细介绍。
首先，我们将介绍一元二次不等式的基本概念，包括定义、形式以及与一元二次方程的关系。
其次，我们将介绍一元二次不等式的性质，如单调性、图像、根的性质等，这些性质是我们解一元二次不等式时的重要参考依据。
最后，我们将探讨解一元二次不等式的方法，包括图像法、代入法、等价变形法等不同的解题思路和应用技巧。
本文的目的是帮助读者通过学习和掌握一元二次不等式的基本概念和性质，以及解题方法，提高对一元二次不等式的理解和应用能力。
通过解一元二次不等式的过程，读者可以培养分析问题、抽象问题、解决问题的能力，同时也可以锻炼逻辑思维和数学推理的能力。
在文章的后续部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质，以及解一元二次不等式的方法。
通过对这些内容的学习和理解，读者将能够更好地应用一元二次不等式解决实际问题，在数学学习中迈出更加坚实的步伐。
接下来，我们将开始介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
请继续阅读下一部分：2.1 一元二次不等式的基本概念和性质。
1.2文章结构1.2 文章结构：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的主题——一元二次不等式题，并介绍文章的目的。
通过引言部分的阅读，读者可以初步了解一元二次不等式题的基本概念、性质以及解题方法的重要性。
在正文部分，我们将详细介绍一元二次不等式的基本概念和性质。
首先，我们会解释什么是一元二次不等式，它在数学中的重要性以及与一元二次方程的关系。
然后，我们会探讨一元二次不等式的性质，包括判定一元二次不等式的正负性、求解一元二次不等式的基本步骤等等。
一元二次不等式及其解法
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
注意讨论m＝0时的情况． 当m＝0时，1－2x<0， 即当x> 时，不等式恒成立； 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满
∴－a2＋6a＋b－3>0，Δ＝24＋4b，当b≤－6时，Δ≤0，
∴f(1)>0的解集为∅； 当b>－6时，3－ <a<3＋ . <a<3＋ }． ∴f(1)>0的解集为{a|3－
率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨]
[课堂笔记] 设税率调低后的税收总收入为y元，
则y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% ＝－ m(x2＋42x－400)． 由题意知，0<x≤8， 要使税收总收入不低于原计划的78%，
须y≥2 400m×8%×78%，
即－ m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2， 又0<x≤8，∴0<x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].
∴
即
，
解①，得x< 解②，得 由①②，得 ∴x的取值范围为 < x<
或 x> . < x< .
，
．
若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a 的取值范围. 解：法一：令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞) f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x ＝ a.
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
一元二次不等式及其解法(一)
一元二次不等式及其解法（一）[学习目标] 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力．知识点一一元二次不等式的概念思考下列不等式是一元二次不等式的有________．①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.答案①②解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系0)思考二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.题型一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2＜0； (4)－12x 2＋3x －5＞0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12或x＜－3}．(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.跟踪训练1 解下列不等式：(1)x 2－5x －6＞0；(2)(2－x )(x ＋3)＜0； (3)4(2x 2－2x ＋1)＞x (4－x )．解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)＞0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞2}． (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4＞0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23}．题型二 解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )． 解 原不等式可化为：(ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1；当a ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0，∴－1a＜x ＜1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1＜a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0，∴x ＞－1a或x ＜1；当a ＜－1时，－1a＜1，∴x ＞1或x ＜－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集是{x |x ＜1}；当a ＞0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，原不等式的解集是{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1.跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解 原不等式可化为 (x －a )(x －a 2)＞0 讨论a 与a 2的大小(1)当a 2＞a 即a ＞1或a ＜0时，x ＞a 2或x ＜a .(2)当a 2＝a 即a ＝0或a ＝1时，x ≠a .(3)当a 2＜a 即0＜a ＜1时，x ＞a 或x ＜a 2.综上，当a ＜0或a ＞1时，解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }， 当a ＝0或1时，解集为{x |x ≠a }， 当0＜a ＜1时，解集为{x |x ＞a 或x ＜a 2}． 题型三 “三个二次”关系的应用例3 已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．解 方法一 由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－(α＋β)＜0，①ca ＝αβ＞0， ②∵a ＜0,0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b cx ＋ac＞0.①÷②，得b c＝－(α＋β)αβ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β＜0.由②得ac＝1αβ＝1α·1β＞0. ∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α， ∴不等式x 2＋bc x ＋ac ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜1β或x ＞1α. 方法二 由题意知a ＜0，∴由cx 2＋bx ＋a ＜0，得cax 2＋b ax ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.。
一元二次不等式及其解法
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应 方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方 程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0， 那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有 其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪 一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他 参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义 只含有 1 个 未知数，并且未知数的 最高次数为 2 的 不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等 式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 式的 解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三 例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2， 求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
6 不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明、绝对值不等式知识点
不等式一、不等式的性质1、比较两个数大小的依据0a b a b >⇔-> 0a b a b =⇔-= 0a b a b <⇔-< 2、性质定理1 （反身性）若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。
（对称性） 定理2 （传递性）若a b >，且b c >，则a c >。
定理3 （可加性）若a b >，则a c b c +>+。
（加法法则） 移项法则 a b c a c b +>⇔>-。
（移项要变号）推论（同向可加性） 若a b >，b c >，则a c b d +>+。
同向不等式两边对应相加所得不等式与原不等式同向。
定理4 （可乘性）（乘法法则）若a b >，0c >，则a c b c >；若a b >，0c <，则a c b c <。
推论1（同向同正可积性）若0a b >>，0c d >>，则ac bd >。
两边都是正的同向不等式对应相乘所得不等式与原不等式同向。
推论2（同向同正可幂性）若0a b >>，则0nna b >> （n N +∈）。
定理5 （可开方性）若0a b >>0>> （n N +∈）。
定理6 （可倒性）若0a b >>，则110a b<<； 若0a b <<，则110a b>>。
（a b >，110ab a b >⇒<。
）含有绝对值不等式的性质： （1）a b a b a b -≤±≤+a b a b +≤+：,a b 异号是取"">；,a b 同号或0a =或0b =时取""=。
a b a b -≤+：,a b 同号是取"">；,a b 异号或0a =或0b =时取""=。
不等关系与不等式一元二次不等式及其解法
一、知识概述本周学习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法．首先学习不等关系与不等式的性质，通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；体会不等式、方程及函数之间的联系。
利用一元二次函数的图象及一元二次方程求解一元二次不等式；二、重难点知识归纳1、用不等号连接起来的式子表示不等关系，这样的式子叫不等式．不等式的常用的基本性质（1）a>b，b>c a>c(2)a>b a＋c>b＋c(3)a>b，c>0ac>bcc<0判别式解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化成一般形式（或），把二次项的系数变为正数（如果是负，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正）．（2）求出对应的一元二次方程的根．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）根据一元二次函数的图象、二次方程的根确定一元二次不等式的解集．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）三、典型例题剖析例1、解不等式．分析：令f（x)= ，△＞0，即方程=0有两个不相等的实根，又图象开口向上，画出图象的示意图，由二次函数的零点和一元二次方程的根的关系知不等式的解集．解：因为△＞0，方程=0的根是．所以不等式的解集是{x|x<－，或x>2}．例2、已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，求 a，b．分析：不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，则知二次函数y=ax2＋5x＋b的两个零点是x1=，x2=，由二次函数的零点与一元二次方程的关系知x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，由根与系数的关系得到关于a，b的方程组．解：因为不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，所以x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，所以解得例3、已知不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax－1>0的解集．分析：一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首项系数的正、负，不等式是大于还是小于零确定的，不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则x=2，x=3是方程x2－ax－b＝0的两根，求出a，b再解不等式．解：因为不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，从而 a=2＋3=5，b=－(2×3)=－6，于是－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0．因△>0，方程 6x2＋5x＋1=0 的两根为：故所求不等式的解集为．小结：解一元二次不等式时，首先一定要使二次项系数为正数，其次要知道解集是由方程的根来给出，从而知道解集时，可求不等式系数．例4、假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率是8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．分析：此为应用题，关键是审好题，从中建立出数学模型进行求解．解答：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元，根据题意可得120m（1＋2x%）(8－x)%≥120m·8%·78%，即x2＋42x－88≤0，解之－44≤x≤2，又 x>0，∴ 0<x≤2，∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}．例5、若不等式组的整数解只有－2，k应取怎样的值.分析：针对第二个不等式的解集展开讨论．解：由，解得x<－1或x>2，再由，得①当时，，①的解为，这时原不等式组的解为，显然不包括－2，不合题意，舍去；当时，，①的解为，这里原不等式组的解为（Ⅰ），或（Ⅱ）欲保证不等式组的解中只有整数解－2，由（Ⅰ）可得k<2，由（Ⅱ）可得k≥－3，即有－3≤k<2.当，即时，①无解，此时，不等式组也无解.综上所述，只有当时，原不等式组的整数解只有－2.。
高考一轮总复习 数学 第六章 第2讲 一元二次不等式及其解法
延伸探究 1 例 2 中(1)变为：若不等式 mx2－mx－1<0 对 m∈[1,2]恒成立，求实数 x 的取值范围．
解 设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
其图象是直线，
当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则gg12<<00， ，
x2－x－1<0， 即2x2－2x－1<0，
解得1－2
3 1＋ <x< 2
3，
故 x 的取值范围为1－2
3，1＋2
3 .
延伸探究 2 例 2 中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为“f(x)<5－m 无解”，如何求 m 的取值范围？
解 若 f(x)<5－m 无解，即 f(x)≥5－m 恒成立， 即 m≥x2－6x＋1恒成立，又 x∈[1,3]， 得 m≥6.即 m 的取值范围为[6，＋∞)．
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|x≤1 或 x≥2}
C．{x|1<x<2}
D．{x|x<1 或 x>2}
解析 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0， 所以结合二次函数的性质可得 1≤x≤2.故选 A.
3．[2016·辽阳统考]不等式xx－ ＋21≤0 的解集是(
)
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
所以不改革时的纯收入为：70n－3n＋nn－ 2 1·2万元，
90＝a＋b，
a＝80，
由题设知170＝2a＋b， 所以b＝10，
由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n，
解得－
3<k<0.
(2)[2015·兰州模拟]已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的取值 范围是_(_－__3_，__＋__∞__) __．
高考数学——不等关系与一元二次不等式-考点复习
④a>b，c>d⇒ a + c > b + d ；(单向性)
1
⑤可乘性： a > b, c > 0 ⇒ ac > bc ；(单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性) ⑥a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd ；(单向性) ⑦乘方法则： a > b > 0 ⇒ an > bn (n ∈ N, n ≥ 1) ；(单向性)
（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图； （4）求解：利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.
3
4．一元二次不等式恒成立问题
（1） ax2 + bx + c > 0(a ≠ 0) 恒成立的充要条件是： a > 0 且 b2 − 4ac < 0(x ∈ R) ． （2） ax2 + bx + c ≥ 0(a ≠ 0) 恒成立的充要条件是： a > 0 且 b2 − 4ac ≤ 0(x ∈ R) ． （3） ax2 + bx + c < 0(a ≠ 0) 恒成立的充要条件是： a < 0 且 b2 − 4ac < 0(x ∈ R) ． （4） ax2 + bx + c ≤ 0(a ≠ 0) 恒成立的充要条件是： a < 0 且 b2 − 4ac ≤ 0(x ∈ R) ． （5） ax2 + bx + c > 0 恒成立的充要条件是： a= b= 0 且 c > 0 或 a > 0 且 b2 − 4ac < 0(x ∈ R) ． （6） ax2 + bx + c < 0 恒成立的充要条件是： a= b= 0 且 c < 0 或 a < 0 且 b2 − 4ac < 0(x ∈ R) ．
不等式关系与不等式
§3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生了解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例 1 限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:v405.2,蛋白质的含量p 引例 2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于%3.2,写成不等式组就是——用不等式组来表示应不少于%2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1: 设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤.问题2: 某种杂志原以每本5.2元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高1.0元,销售量就可能相应减少2000x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3: 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解: 假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(二)不等式的基本性质对于任意两个实数b a ,,在b a b a b a <=>,,三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:≠≤≥<>,,,,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等). (3)不等式研究的范围是实数集R .同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如d c b a >>,,是同向不等式. 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如d c b a <>,,是异向不等式.定理1：如果b a >,那么a b <,如果a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >∴0>-b a由正数的相反数是负数,得0)(<--b a 即0<-a b∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：如果b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,∴0,0>->-c b b a 根据两个正数的和仍是正数 得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a ∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性可以推广到n 个的情形.定理3：如果b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出,如果c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.推论：如果b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则) 即d b c a d c b a +>+⇒>>, 证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：如果b a >且0>c ,那么bc ac >;如果b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质) 证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a > ∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac > 当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac <推论1: 如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若0,(1)nna b a b n N n >>>∈>则且. 说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件, 如果0>>b a ,那么nn b a >(N n ∈且1>n ).定理5: 若0>>b a ,则nn b a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,<=所以不能<就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,n n b a =由推论2和定理1,<,有a b <; 当nn b a =时,显然有b a =这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论.定理6：若b a >且0>ab ,则11.a b<(倒数性质) 证明：abab b a -=-110,>>ab b a 又011,0<-=-<-∴abab b a a b ba 11<∴(1)a b b a <⇔>;a b b a <⇔>(定理1,对称性) (2)c a c b b a >⇒>>,(定理2,传递性) (3)c b c a b a +>+⇒>(定理3,加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(定理3推论,同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)(6)bc ac c b a >⇒>>0,.;bc ac c b a <⇒<>0,(定理4,乘法单调性) (7)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)dbc ad c b a >⇒<<>>0,0(异向不等式相除) (9)0,>>ab b a ba 11<⇒(倒数关系) (10))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(定理4推论2,平方法则) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)(**)ααααααb a b a b a b a <⇒<>>>⇒>>>0,0;0,0 (**)0,0>>b a ,则1 ;1 ;1<⇔<=⇔=>⇔>bab a b a b a b a b a三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数)(x f y =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系,)(x g y =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本). 解: 略例2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略例3 某厂使用两种零件B A ,,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A ,2个B ;乙需要6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个,B 最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来. 解: 略例4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组? 解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知0≠x ,比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解: 略引伸: 在例中,如果没有0≠x 这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知0,0>>>m b a ,试比较m a m b ++与ab的大小. 解: 略例3 已知d c b a <<>>0,0,求证:db c a > 证明: 略例4 已知y x >且0≠y ,比较yx与1的大小. 解: 略 思考题:*,0,,a b n N >∈且b a ≠,比较()()n n a b a b ++与112()n n a b +++的大小.222c b a ++与ca bc ab ++的大小.y x ,均为正数,设yx N y x M +=+=4,11,试比较M 和N 的大小.例5 若31,51<-<-<+<b a b a ,求b a 23-的范围. 解: 略类型题: 已知bx ax x f +=2)(,如果4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f .求证:14)2(7≤≤f .分析: 利用(1)f -与(1)f 设法表示b a ,然后再代入(2)f 的表达式中,从而用(1)f - 与来表示(2)f , 最后运用已知条件确定(2)f 的取值范围.证明: 略 思考题:R b a ∈,,求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件.2.||||,0b a ab >>,比较a 1与b1的大小.0,0<<>>d c b a ,求证:db c a ->-ππααsin sin log log .)(x f y x ,均为不等正数,0,0>>q p 且1=+q p ,求证:)()()(y qf x pf qy px f +<+四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号:(1)2)23(+ 626+; (2)2)23(- 2)16(-;; (4)当0.>>b a 时,a 21log b 21log .2.选择题:(1)若01,0<<-<b a ,则有( )A. 2ab ab a >> B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >> D. a ab ab >>2(2)2log 2log n m >成立当且仅当( )A ．1>>m n 或01>>>n mB ．01>>>n mC ．1>>m n 或01>>>m n 或01>>>n mD ．1>>n m 3.比较大小：(1))7)(5(++x x 与2)6(+x (2)31log 21与21log 310>x ,比较2)1(-x 与2)1(+x 的大小.0≠a ,比较)12)(12(22+-++a a a a 与)1)(1(22+-++a a a a 的大小.142=+y x ,比较22y x +与201的大小.θsin 2与θ2sin 的大小(πθ20<<).0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a的大小.0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.0,>b a ,求证:a b ab>⇔>1§3.2 一元二次不等式及其解法教学目的：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系“三个二次”之间的关系;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.掌握简单的分式不等式、高次不等式以及绝对值不等式的解法;4.能利用分类讨论的思想讨论简单的含参一元二次不等式解法;5.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质. 教学重点：1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; ;3.利用分类讨论的思想解简单的含参一元二次不等式. 教学难点：1.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系;2.分类讨论的数学思想. 教学过程： 一、引入新课：让学生阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网,现在有两家ISP 公司可供选择,收费标准不一样.让学生计算并比较两种不同的收费方式,由此抽象出不等式的关系,引出一元二次不等式的概念,并逐步讨论其解法. 二、讲解新课：(1)一元二次不等式含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解法求一般的一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 的解集,我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根,再根据函数图像与x “二次函数”图像和性质解一元二次不等式,首先要明确“二次函数”的开口方向及其在x “三个二次”之间的关系,这是解一口诀:二次不等式,系数先化正;大于取两边,小于取中间. (3)解一元二次不等式的一般步骤①利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式(其中0>a ): 02>++c bx ax 或02≥++c bx ax 或02<++c bx ax 或02≤++c bx ax ②计算判别式ac b 42-=∆的值③当0>∆时,解方程02=++c bx ax 得两不等的实根21,x x ,不妨设21x x <, 则02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或 02≥++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ≥≤或 02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x << 02≤++c bx ax 的解集为}|{21x x x x ≤≤④当0=∆时,解方程02=++c bx ax 得两相等的实根21,x x , 则02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠ 02≥++c bx ax 的解集为R 02<++c bx ax 的解集为∅ 02≤++c bx ax 的解集为}|{1x x x = ⑤当0<∆时,解方程02=++c bx ax 没有实根, 则02>++c bx ax 的解集为R 02≥++c bx ax 的解集为R 02<++c bx ax 的解集为∅ 02≤++c bx ax 的解集为∅(1))0(0)()()0(0)()(<>⇔<>x g x f x g x f (2)⎩⎨⎧≠≤≥⇔≤≥0)()0(0)()()0(0)()(x g x g x f x g x f(1)a x f a x f a a x f -<>⇔>>)()()0(|)(|或 (2)a x f a a a x f <<-⇔><)()0(|)(|——分类讨论在处理系数含有参数的二次不等式问题时,务必注意对参数进行讨论. (1)二次项系数含参时,一般要分三种情况讨论:0,0,0<=>a a a (2)对判别式∆也分三种情况讨论:0,0,0<∆=∆>∆(3)对不等式对应方程的根21,x x 也分三种情况讨论:212121,,x x x x x x >=<三、讲解范例： 例1 解下列不等式⑴2450x x -+> ⑵2210x x -++< 解：⑴二次方程2450x x -+=,40∆=-<,方程无解.又函数245y x x =-+的图像开口向上,与x 轴无交点, 故不等式的解集为R .⑵法1:注意到二次项系数小于0,函数图像开口向下又方程2210x x -++=的解为121,12x x =-=由图像可得,不等式的解集为1{|,1}2x x x <->或法2:第一步“系数化正”（同解变换）,不等式可化为2210x x -->第二步“求出零点”,方程的解为121,12x x =-=第三步“大于取两边,小于取中间”（分类讨论）,不等式的解集为1{|,1}2x x x <->或．评注:利用“二次函数”图像,结合上表固然可以灵活的解决各种一元二次不等式问题,但第⑵小题法2所用的“口诀”方法在解决一元二次不等式、一元高次不等式及一元分式不等式中都有着非常广泛的应用,其中所包含的同解变换思想、分类讨论思想值得同学们认真体会;另外,它的算法“步骤”更适合初学者掌握.练习1:解下列不等式：⑴2440x x -+-> ⑵22320x x --> ⑶23730x x -+<⑷2620x x --+≤答案: ⑴∅ ⑵1{|2}2x x x ><-或⑶{x x << ⑷21{|}32x x x ≤-≥或例2 解下列不等式：⑴2113x x ->+ ⑵1x x≥ 解：⑴通分、移项(同解变换),不等式可化为403x x ->+,它的同解不等式为(4)(3)0x x -+>解得不等式解集为{|4,3}x x x ><-或 ⑵分类讨论：1°0>x ,原不等式可化为21x ≥,解得1x ≥或1x ≤-,故1x ≥2°0<x ,原不等式可化为21x ≤,解得[1,0)(0,1]x ∈-,故10x -≤< 综上,不等式得解集为{|10,1}x x x -≤<≥或评注:⑴解简单的分式不等式及高次不等式其实跟解二次不等式的道理是相通的,无外乎将其尽量化成一次式的乘积,然后通过讨论求解.其等价性类似此例：404040(4)(3)030303x x x x x x x x ->-<⎧⎧->⇔⇔-+>⎨⎨+>+<+⎩⎩或 ⑵第2小题还有一种解法比较普遍,即先通分,将不等式一边化为0,然后“系数化正”、“求出零点”、“穿线求值”,此法谓“穿根法”.练习2:解下列不等式：⑴103x x ->- ⑵(2)03x x x +<- ⑶(1)(1||)0x x +-> 答案: ⑴{|31}x x x ><或 ⑵{|2,03}x x x <-<<或 ⑶{|1,1}x x x <≠-且例3 ⑴已知不等式220ax bx ++>的解集为11{|}23x x -<<,试求实数,a b 的值; ⑵若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围.解: ⑴由题意知11,23-是方程220ax bx ++=的二实根,由韦达定理得112232111223bb a a a⎧-=-+⇒=-⎪⎪⎨⎪=-⨯⇒=-⎪⎩⑵分两种情况:1°0=a ,原不等式可化为10-<,显然成立2°0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a ∴40a -<≤练习3:(1)已知关于x 的不等式220ax bx ++<的解集是1{|2,}2x x x <->-或,求不等式220ax bx -+>的解集;(2)已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R , 求实数m 的取值范围. 答案: (1)1{|2}2x x << (2)]3,51(-∈m例4 解关于x 的不等式01)1(2<++-x aa x (R a a ∈≠,0). 解: 方程01)1(2=++-x a a x 的两个根为aa 1, 且aa a a a a a )1)(1(112+-=-=-①当1>a 或01<<-a 时,a a 1>,原不等式的解集为),1(a a②当1-<a 或10<<a 时,a a 1<,原不等式的解集为)1,(aa③当1±=a 时,aa 1=,原不等式的解集为∅例5 解关于x 的不等式0222>++mx x 解: 当44<<-m 时,不等式解集为R 当4±=m 时,不等式的解集为}4|{m x x -≠ 当44-<>orm m 时,不等式的解集为}416416|{22---<-+->m m orx m m x x例6 解关于x 的不等式0122>+-x mx 解: 当1>m 时,不等式的解集为R 当1=m 时,不等式的解集为}1|{≠x x当10<<m 时,不等式的解集为}1111|{mmorx m m x x --<-+>当0=m 时,不等式的解集为}21|{<x x 当0<m 时,不等式的解集为}1111|{mmx m m x -+<<--练习4:(1)解关于x 的不等式(2)(2)0x ax --> (2)解关于x 的不等式0)(322<++-m x m m x 答案: (1)当0=a 时,有}2|{<x x当0<a 时,即0)2)(2(<--a x x ,得}22|{<<x a x 当0>a 时,即0)2)(2(>--ax x①当10<<a 时,得}22|{<>orx ax x②当1=a 时,得}2|{≠x x③当1>a 时,得}22|{aorx x x <>(2)当10==orm m 时,不等式的解集为∅当01<>orm m 时,不等式的解集为}|{2m x m x <<当10<<m 时,不等式的解集为}|{2m x m x <<例7 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度x km/h 有如下的关系:21120180s x x =+在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于5.39m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少？(精确到01.0km/h) 解: 设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h根据题意,我们得到21139.520180x x +> 移项整理得：2971100x x +->显然0>∆,方程2971100x x +-=有两个实数根 即1288.94,79.94x x ≈-≈所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x <->或在这个实际问题中0>x ,所以这辆汽车刹车前的车速至少为94.79km/h.例8 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解: 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车,根据题意,我们得到222206000x x -+> 移项整理得211030000x x -+<因为0100>=∆,所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250,60x x ==由二次函数的图象,得不等式的解为6050<<x 因为x 只能取正整数所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在59~51辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学目标：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;3.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;4.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;5.通过本节学习,着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想,理解如何用“形”去研究“数”,如何用“数去解释“形”. 教学重点：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.用图解法解决简单的线性规划问题;3.根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解即线性规划在实际生活中的应用. 教学难点：的确定及怎样确定不等式0>++C By Ax (或0<)表示0=++C By Ax 得哪一区域; 2.准确求得线性规划问题的最优解及最优解是整数解; 3.把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答. 教学过程：一、讲授新课1.二元一次不等式表示平面区域:先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式1-+y x ＞0的解为坐标的点的集合}01|),{(>-+y x y x 所在的平面区域.由01>-+y x 得1+->x y ,令100+-=>x y y ,则点),(00y x 在直线1+-=x y ,即01=-+y x 上,点),(0y x 在点),(00y x 的上方,即在直线01=-+y x 的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式01>-+y x 的解为坐标的点的集合()}01|,{>-+y x y x 是在直线01=-+y x 右上方的平面区域.一般地,二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.说明:①二元一次不等式0≥++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上,}0|),{(}0|),{(}0|),{(=++>++=≥++C By Ax y x C By Ax y x C By Ax y x②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 推导:举例说明.2.判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法1:记住下列一般性结论:(1)若0>B ,则0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方的平面区域. 0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方的平面区域. (2)若0<B ,则0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方的平面区域. 0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方的平面区域. (3)若0,0>=A B ,则0>+C Ax 表示直线0=+C Ax 右侧的平面区域. 0<+C Ax 表示直线0=+C Ax 左侧的平面区域. 若0,0<=A B ,则0>+C Ax 表示直线0=+C Ax 左侧的平面区域. 0<+C Ax 表示直线0=+C Ax 右侧的平面区域.方法2:取特殊点检验;原因:由于对在直线0=++C By Ax 的同一侧的所有点),(y x ,把它的坐标),(y x 代入C By Ax ++,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00y x ,从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当0≠C 时,常取原点检验.对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤: ①先依不等式作直线,注意虚实; ②取点:在直线的某一侧取一点; ③确定符号,即确定直线某一侧的符号;④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.3.线性规划问题：引例: 已知q px x f -=2)(且5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ,求)3(f 的取值范围. 错解: 由71,3054114≤≤≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-q p q p q p而q p f -=9)3(利用不等式性质得269)3(7≤-=≤-q p f .正解: 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=-==-=3434)2()1(μνμννμq p q p f q p f 而νμνμ35389)3(,51,14-=-=≤≤--≤≤-q p f 所以]20,1[)3(-∈f错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了. (1)基本概念：设y x z +=2,式中变量满足下列条件:1255334⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-x y x y x ,求z 的最大值和最小值. 线性规划的基本概念:①线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量n x x x ,,,21 的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数：(关于变量n x x x ,,,21 达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于y x ,的一次式y x z +=2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式,叫线性目标函数.(例如关于y x ,的解析式：22,2y x z y x z +=+=等等的叫做目标函数). ③线性规划问题：一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解：a. 满足约束条件的解),(y x 叫可行解．b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率为n k k k ,,,21 ，而且目标函数的直线的斜率为k ,则当1+<<i i k k k 时，直线i l 与1+i l 相交的顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(i k k =)时,其最优解可能有无数个.c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. ⑤线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. (2)用图解法解决线性规划的一般步骤： ①画: 画出约束条件表示的可行域;②移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置; ③求: 根据直线方程求解出最优解;④算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值);⑤特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格. 4.实际问题中的线性规划：(1)建模: 注意审题,根据题意列出线性规划模型; (2)求解: 利用图解法求解模型(注意实际意义).二、例题解析：(一)平面区域的表示：例1 画出不等式062<-+y x 表示的平面区域. 解: 略例2 作出0)4)(2(<+--+y x y x 表示的平面区域. 解: 略例3 画出不等式组 3005⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-x y x y x 表示的平面区域 解: 略例4 (1)画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+>-+2052012x y y x y x 所表示的平面区域;(2)求由不等式2≤y 及1+≤≤x y x 所表示的平面区域.解: 略例5 已知直线l 的方程为0=++C By Ax ,点()222211,),,(y x M y x M 为直线l 异侧的任意两点,),(,3331y x M M 为直线l 同侧的任意两点. 求证: (1)C By Ax ++11与C By Ax ++22异号;(2)C By Ax ++11与C By Ax ++33同号.证明: (1)21,M M 在直线l 的异侧,则l 必交21M M 于0M 设0M 分21M M 之比为λ,则2001M M M M λ= 易得02211>++++-=CBy Ax CBy Ax λ所以C By Ax ++11与C By Ax ++22异号;(2)31,M M 在直线l 的同侧,而21,M M 在直线l 异侧 所以23,M M 在l 异侧由(1)得C By Ax ++33与C By Ax ++22异号; 所以C By Ax ++11与C By Ax ++33同号(二)线性规划的基本概念：例1 已知y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求y x z +=3的最小值.解: 略评述: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; （3）在可行域内求解目标函数的最优解.例2 已知y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ,试求y x z 900300+=的最大值时的点的坐标,及相应的z 的最大值. 解: 略例3 求y x z 300600+=的最大值,使式中的y x ,满足约束条件330022520,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的整数值.解: 略例4 在约束条件:102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下,求22y x z +=的最大值. 解: 略。
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一、一周知识概述本周学习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法．首先学习不等关系与不等式的性质，通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；体会不等式、方程及函数之间的联系。
利用一元二次函数的图象及一元二次方程求解一元二次不等式；二、重难点知识归纳1、用不等号连接起来的式子表示不等关系，这样的式子叫不等式．不等式的常用的基本性质（1）a>b，b>c a>c(2)a>b a＋c>b＋c(3)a>b，c>0ac>bc(4)a>b，c<0ac<bc2、一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程的关系判别式3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化成一般形式（或），把二次项的系数变为正数（如果是负，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正）．（2）求出对应的一元二次方程的根．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）根据一元二次函数的图象、二次方程的根确定一元二次不等式的解集．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）三、典型例题剖析例1、解不等式．分析：令f（x)= ，△＞0，即方程=0有两个不相等的实根，又图象开口向上，画出图象的示意图，由二次函数的零点和一元二次方程的根的关系知不等式的解集．解：因为△＞0，方程=0的根是．所以不等式的解集是{x|x<－，或x>2}．例2、已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，求 a，b．分析：不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，则知二次函数y=ax2＋5x＋b的两个零点是x1=，x2=，由二次函数的零点与一元二次方程的关系知x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，由根与系数的关系得到关于a，b的方程组．解：因为不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，所以x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，所以解得例3、已知不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax－1>0的解集．分析：一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首项系数的正、负，不等式是大于还是小于零确定的，不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则x=2，x=3是方程x2－ax－b＝0的两根，求出a，b再解不等式．解：因为不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，从而 a=2＋3=5，b=－(2×3)=－6，于是－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0．因△>0，方程 6x2＋5x＋1=0 的两根为：故所求不等式的解集为．小结：解一元二次不等式时，首先一定要使二次项系数为正数，其次要知道解集是由方程的根来给出，从而知道解集时，可求不等式系数．例4、假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率是8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．分析：此为应用题，关键是审好题，从中建立出数学模型进行求解．解答：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元，根据题意可得120m（1＋2x%）(8－x)%≥120m·8%·78%，即x2＋42x－88≤0，解之－44≤x≤2，又 x>0，∴ 0<x≤2，∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}．例5、若不等式组的整数解只有－2，k应取怎样的值.分析：针对第二个不等式的解集展开讨论．解：由，解得x<－1或x>2，再由，得①当时，，①的解为，这时原不等式组的解为，显然不包括－2，不合题意，舍去；当时，，①的解为，这里原不等式组的解为（Ⅰ），或（Ⅱ）欲保证不等式组的解中只有整数解－2，由（Ⅰ）可得k<2，由（Ⅱ）可得k≥－3，即有－3≤k<2.当，即时，①无解，此时，不等式组也无解.综上所述，只有当时，原不等式组的整数解只有－2.一、选择题1、不等式的解集为，则a＋b=（）A．10 B．－10C．14 D．－142、若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，则（）A．a>0，△<0 B．a<0，△>0C．a>0，△>0 D．a<0，△<03、已知集合M={x|x2－x－2<0}，P={x|x≤a}，若M∩P=Φ，则实数a的取值范围是（）A．{a|a<－1} B．{a|a≥2}C．{a|－1<a<2} D．{a|a≤－1}4、已知全集U={x|－2＋3x－x2≤0}，A=，则C U A=（）A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2≤x≤3} D．{x|2≤x≤3或x=1}5、若的解集为{x|2<x<4}，则a＋b的值为（）A．B．－C．－D．－66、下列不等式中，与不等式≥0同解的是（）A．(x－3)(2－x)≥0 B．(x－3)(2－x)>0C．≥0 D．7、若方程x2－(m＋2)x＋4=0有实根，则m的取值范围是（）A．{m|m≤－6} B．{m|m≥2}C．{m| m≤－6或m≥2} D．{m| m＜－6或m＞2}8、若方程组有实数解，则k的取值范围是（）A．{k|k≤4} B．{k|k≥－4}C．{k|k≤－4或k≥4} D．{k|－4≤k≤4}B 卷二、填空题9、当__________时，函数y=x2－4x＋1的值等于零，当__________时，函数y=x2－4x＋1的值是正数，当__________时，函数y=x2－4x＋1的值是负数．10、若对任何实数x，不等式kx2－(k－2)x＋k＞0恒成立，则k的取值范围是__________．11、关于x的方程7x2－(m＋13)x＋m2－m－2=0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则m的取值范围是____________.[解答]三、解答题12、x是什么实数时，有意义？[解答]13、k 是什么实数时，方程有实数根？[解答]14、对一切实数x，不等式ax2＋(a－6)x＋2＞0恒成立，求a的值．[解答]15、若不等式对一切 x 恒成立，求实数 m 的范围．[解答]试结果第1题答案错误! 正确答案为 D第2题答案错误! 正确答案为 A第3题答案错误! 正确答案为 D第4题答案错误! 正确答案为 D第5题答案错误! 正确答案为 B第6题答案错误! 正确答案为 D第7题答案错误! 正确答案为 C第8题答案错误! 正确答案为 D提示：1、方程的两根为，所以，．2、结合一元二次函数图像思考，易得结论A正确．3、∵M={x|－1<x<2}，M∩P=Φ，∴a≤－1．4、∵ U={x|x2－3x＋2≥0}={x|x≤1，或x≥2}，A={x|(x－1)(x－3)>0}={x|x<1，或x>3}，∴ C U A={x|2≤x≤3，或x=1}．如图5、∵解集中x取中间，∴，即a<0．由，得，6、显然（A）中多了2，（B）中少了3，（C）中多了2且少了3，所以选D．7、△=m2＋4m－12≥0，解得 m≤－6或m≥2．8、将y=x－k代入，得，由△≥0解得．9、x∈{x|x=，或x=}；x∈{x|x＜，或x＞}；x∈{x|＜x＜}10、不等式对一切x恒成立，故k应该满足k＞0且△＜0，得k<－2或k>．11、答案：－2<m<－1或3<m<4提示：设y=7x2－(m＋13)x＋m2－m－2，由∴－2<m<－1，或3<m<4.12、要使有意义，必须≥0，解得x≤－4，或x≥3．13、要方程有实数根，必须△=≥0，即≥0，解这个不等式得k≥－4或k≤－12．14、由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足即所以2＜a＜18．15、∵x2－8x＋20=(x－4)2＋4>0，∴只须 mx2－mx－1<0 恒成立即可．（1）当 m=0 时，－1<0，不等式成立；（2）当 m≠0 时，则须解得－4<m<0．由（1）、（2）得：－4<m≤0．1.（2009年天津卷）设函数f(x)=，则不等式f(x)>f(1)的解集是（）A．（－3，1）∪（3，＋∞） B.（－3，1）∪（2，＋∞）C. （－1，1）∪（3，＋∞）D.（－∞，－3）∪（1，3）答案：A所以f(x)>f(1)的解集为（－3，1）∪（3，＋∞），故选A．解法二：∵f(1)=3，画出f(x)的图像如图易知f(x)=3时，x=－3,1,3.故f(x)>f(1)－3<x<1或x>3.2.（2009年山东卷）在R上定义运算⊙：a⊙b=ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（－2，1）C．（－∞，－2）∪（1，＋∞）D．（－1，2）答案：B解析：根据题意得：x⊙(x－2)=x(x－2)＋2x＋(x－2)=x2＋x－2，∴解x2＋x－2<0得－2<x<1,故选B．3.（2009年陕西卷）若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)=ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1] D．（－1，0]答案：A解析：由x2－x≤0，解得0≤x≤1,∴M={x|0≤x≤1}.又1－|x|>0,解得－1<x<1,∴N={x|－1<x<1}.则M∩N={x|0≤x<1}，故选A．。