5 机械波习题详解

习题五
一、选择题
1．已知一平面简谐波的表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则 ［ ］
（A ）波的频率为a ； （B ）波的传播速度为 b/a ； （C ）波长为 π / b ； （D ）波的周期为2π / a 。

答案：D
解：由22cos()cos(
)2/2/y A at bx A t x a b ππππ=-=-，可知周期2T a
π
=。

波长为b π2。

2．如图，一平面简谐波以波速u 沿x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知P 点的振动方程为cos y A t ω=，则 ［ ］
（A ）O 点的振动方程为 cos ()l
y A t u ω=-；
（B ）波的表达式为 cos ()l x
y A t u u ω=--；
（C ）波的表达式为 cos ()l x
y A t u u
ω=+-；
（D ）C 点的振动方程为 3cos ()l
y A t u
ω=-。

答案：C
解：波向右传播，原O 的振动相位要超前P 点l
u
ω
，所以原点O 的振动方程为cos ()l
y A t u
ω=+
，因而波方程为cos ()x l y A t u u ω=-+，可得答案为C 。

3．一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t t '=时波形曲线如图所示．则坐标原点O 的振动方程为［ ］
（A ）]2
)(cos[π
+'-=t t b u a y ； （B ）]2)(2cos[π
-'-π=t t b u a y ；
（C ）]2
)(cos[π+'+π=t t b u a y ；
（D ）]2
)(cos[π
-'-π=t t b u a y 。

答案：D
解：令波的表达式为 cos[2()]x
y a t νϕλ
=-+π
x
O u 2l l
y
C P
当t t '=， cos[2()]x
y a t νϕλ
'=-+π
由图知，此时0x =处的初相 22t νϕ'+=-ππ， 所以 22
t ϕν'=--π
π，
由图得 b 2=λ， b
u
u
2=
=
λ
ν
故0x =处 cos[2]cos[
()]2
u y a t a t t b νϕ'=+=--πππ
4．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［ ］
（A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒； （B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等；（D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。

答案：D
解：当机械波传播到某一媒质质元时，媒质质元在平衡位置处形变最大，因此其弹性势能也最大。

运动到最大位移处形变最小，其弹性势能最小。

媒质质元的振动动能和弹性势能是等相位的，能量向前传播，媒质质元机械能不守恒。

所以答案应选D 。

5．设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S ν。

若声源S 不动，而接收器R 相对
于媒质以速度R v 沿着S 、R 连线向着声源S 运动，则位于S 、R 连线中点的质点P 的振动频率为［ ］
（A ）S ν； （B ） R S u v u ν+； （C ）
S R u u v ν+； （D ） S R u
u v ν-。

答案：A
解：位于S 、R 连线中点的质点P 相对于声源并没有相对运动，所以其接收到的频率应是声源的频率S ν
二、填空题
1．已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(25.0x t y -= (SI)，则
1= 10m x 处质点的振动方程为________________________________； 1= 10m x 和2= 25m x 两点间的振动相位差为_____________。

答案：0.25cos(125 3.7)y t =- (SI)； 5.55 rad ϕ∆=-。

解：（1）1= 10m x 处的振动方程为 100.25cos(125 3.7)x y t ==- （2）2= 25m x 处的振动方程为 250.25cos(1259.25)x y t ==- 所以2x 与1x 两点间相位差 21 5.55 rad ϕϕϕ∆=-=-
2．如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点的振动方程为cos()P y A t ωϕ=+，则
O 处质点的振动方程___________________________________；
该波的波动表达式_____________________________________。

答案： ])/(cos[0ϕω+
-=u L t A y ；])(cos[ϕω++-
=u
L
x t A y 3．图示为一平面简谐波在0t =时刻的波形图，则该波的波动表达 式__________________________________；
P 处质点的振动方程
为_________________________________。

答案：]2
)4.05(2cos[04.0π
--π=x t y (SI)； P y )2
34.0cos(04.0π
-
π=t (SI)。

解：（1）O 处质点，0t =时 0cos 0y A ϕ==， 0sin 0v A ωϕ=-> 所以
12
ϕ=-π，
又有 0.40
= 5s 0.08T u λ
=
=
故波动表达式为
0.04c o s [2()
]50.42
t x y =--π
π (SI) （2）P 处质点的振动方程为 ]2)4.02.05(2cos[04.0π--π=t y P )2
34.0cos(04.0π
-π=t (SI)
4．一平面简谐波，频率为31.010Hz ⨯，波速为31.010m/s ⨯，振幅为41.010m ⨯，在截面面积为424.010m -⨯的管内介质中传播，若介质的密度为238.010kg m -⨯⋅，则该波的能量密度__________________；该波在60 s 内垂直通过截面的总能量为_________________。

答案：521.5810W m -⨯⋅；33.7910 J ⨯。

解： （1） 22222521
2 1.5810W m 2
I uA uA ρωπρν-=
==⨯⋅ （2）
33.7910 J W P t IS t =⋅∆=∆=⨯。

(m)
-
5．如图所示，两列相干波在P 点相遇。

一列波在B 点引起的振动是 310310cos2y t -=⨯π；另一列波在C 点引起的振动是3201310cos(2)2
y t -=⨯π+π；令
0.45 m BP =，0.30 m CP =，两波的传播速度= 0.20 m/s u 。

若不考虑传播途中振幅的减小，则P 点的合振动的振动方程为 ____________________________________。

答案： 31
610cos(2)2y t -=⨯-ππ(SI)。

解：根据波动表达式[cos2()]x y A t u
νϕ=-+π可算出，由B 处发出的波在P 点引起的振动的振动方程为
311
310cos(2)2
y t -=⨯-ππ
由C 处发出的波在P 点引起的振动的振动方程为
321
310cos(2)2
y t -=⨯-ππ
两振动同相位，所以P 点的合振动的振动方程
3121
610cos(2)2
y y y t -=+=⨯-ππ
三、计算题
1．平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2cm ，频率为50Hz ，波速为 200 m/s ．在0t =时，0x =处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求4m x =处媒质质点振动的表达式及该点在2s t =时的振动速度。

答案：（1）21
210cos(100)2
y t -=⨯-ππ；（2） 6.28 m/s v =。

解：设0x =处质点振动的表达式为 0c o s ()y A t ωϕ=+， 已知 0t =时，0 = 0y ，且 0 > 0v ，所以1
2
ϕ=-π，因此得
0cos(2)y A t νϕ=+π21
210cos(100)2
t -=⨯-ππ
由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为
cos[2()]x y A t u νϕ=-+π211
210cos(100)22
t x -=⨯--πππ
4m x =处的质点在t 时刻的位移
21
210cos(100)2
y t -=⨯-ππ
该质点在2s t =时的振动速度为
21
sin()210100sin(200)2= 6.28 m/s 2
v A t ωωϕπ-=-+=-⨯⨯-=πππ
2．一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．
（1）求P 处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式；
（3）若图中 λ2
1=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程。

答案：（1）1
cos()2
P y A t =π+π；
（2）])4(2cos[π+-+
π=λ
d
x t A y ； （3）)2
1cos(0t A y π=。

解：（1）由振动曲线可知，周期T =4，所以P 处质点振动方程为
21
cos[(
)]cos()42
P y A t A t π=+π=π+π （2）波动表达式为 ])4(2c o s [π+-+π=λ
d x t A y （3）O 处质点的振动方程 )2
1cos(0t A y π=
3．一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 cos2()x
y A t νλ
=-π，而另一平面
简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 2cos2()x
y A t νλ
=+π
求：（1）4
x λ
=
处介质质点的合振动方程；（2）4
x λ
=
处介质质点的速度表达式。

答案：（1）)2
1
2cos(ππ+=t A y ν；（2）2cos(2)v A t νν=+πππ。

解：（1）在4
x λ
=
处
)212cos(1π-
π=t A y ν，)2
12cos(22π+π=t A y ν 因1y 与2y 反相，所以合振动振幅为二者之差： A A A A s =-=2，且合振动的初相ϕ与
振幅较大者（即2y ）的初相相同，为π2
1。

所以，
合振动方程 )2
1
2cos(ππ+=t A y ν
（2）4
x λ
=
处质点的速度
d 1
2sin(2 )2cos(2)d 2
y v A t A t t νννν=
=-+=+ππππππ
t (s)
0-A
1y P (m)
O P d
4．设入射波的表达式为 )(
2cos 1T
t
x
A y +
π=λ
，在0x =处发生反射，反射点为一固定端。

设反射时无能量损失，求
（1）反射波的表达式；（2）合成的驻波的表达式；（3）波腹和波节的位置。

答案：（1）])(
2cos[2πλ
π+-=x
T t A y ； （2）22222cos(
)cos()2sin sin
22x t
y A x t A T T λλ=+-=-π
πππππ； （3）波腹：11() 1,2,3,22x n n λ=-= ；波节：1
1,2,3,2
x n n λ== 。

解：（1）反射点是固定端，所以反射有相位π的突变，且反射波振幅为A ，因此反 射波的表达式为
])(
2cos[2πλ
π+-=x
T t A y （2）驻波的表达式是
1222222cos()cos()2sin sin
22x t
y y y A x t A T T λλ=+=+-=-ππππππ （3）波腹位置满足： π=π+
πn x 2
1
/2λ，即 11
() 1,2,3,22
x n n λ=-=
波节位置满足
π+π=π+
π2
1
21/2n x λ，即 1
1,2,3,2
x n n λ==
5．在大教室中，教师手拿振动的音叉站立不动，学生听到音叉振动声音的频率
01020Hz ν=；若教师以速度0.5m/s v =匀速向黑板走去，则教师身后的学生将会听到拍
音，试计算拍频（设声波在空气中的速度为340m/s V =）。

答案：3Hz ν∆=。

解：因声源远离学生，所以由音叉直接传来至学生处的声波频率
0340
10201018.5Hz 3400.5
V V v νν'=
=⨯=++ 黑板接收到的音波频率（声源朝向黑板运动）
034010201021.5Hz 3400.5
V V -v νν''=
=⨯=- 黑板固定不动，所以黑板反射的声波频率ν'''等于黑板接收到的声波频率ν''
即
Hz 5.1021=''='''νν
故，学生听到的拍的频率为 3H z ννν''''∆=-=。