线性代数经管类PPT课件
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《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数 幻灯片PPT
• 定义8 设有两个n
• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
出版社 科技分社
54
线性代数
出版社 科技分社
• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
线性代数
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44
线性代数
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45
线性代数
出版社 科技分社
• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
线性代数
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40
线性代数
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41
线性代数
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42
线性代数
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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线性代数 课件
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
1
线性代数
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
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54
线性代数
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• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
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44
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45
线性代数
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
线性代数
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40
线性代数
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41
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42
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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1
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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线性代数经管类(课堂PPT)
11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
线性代数自考(经管类)
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
线性代数PPT课件专题培训
AB O
AO 或 BO
AB AC
BC
若 A O, B O, 但AB=O,则称 B 是 A 旳右零因子， A 是 B 旳左零因子.
背面会证明：若 | A | 0 ，则
AB O
BO
AB AC
BC
类比：当 a= 0 时 ab 0 ab ac
b0 bc
特殊矩阵与矩阵相乘旳有关结论：
• 单位矩阵在矩阵乘法中旳作用相当于数 1 在数旳 乘法中旳作用.
若方程组为齐次方程组，那么方程组一定有解. （I） 若 r = n, 则方程组有唯一解： x1 0, x2 0, , xn 0 （II）若 r < n, 则方程组有无穷多解： 取 xr1 k1, xr2 k2 , , xn knr 可得方程组旳解为
x1 c1r1k1
x2
c2 r 1k1
a2bn-1
anb1
• n 阶方阵 A (aij )
若当 i >j 时，aij 0, 则称 A 为上三角矩阵.
若当 i<j 时，aij 0, 则称 A 为下三角矩阵.
结论：两个上（下）三角矩阵旳积依然是上（下） 三角矩阵.
证明：设 A,B 是两个上三角矩阵，且C=AB, 当 i>j 时
.
amn
注意：kA 与 k|A| 不同！
矩阵旳数乘旳运算规律
设A, B为同型旳mn 矩阵, , 为数:
(1) 1 A=A.
(2) ()A = (A).
(2) (3) (+)A = A+A. A+B.
(4) (A+B) =
矩阵旳加法与数乘运算, 统称为矩阵旳线性运算.
四、矩阵与矩阵相乘
定义: 设A = ( aij )是一种 ms 矩阵, B = ( bij )是一种
线性代数经管类PPT课件
§1.3 行列式的性质与计算
一、行列式的性质
n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶
行列式是较为困难的 只有少数行列式用定义计 算比较方便
我们已经知道三角行列式的值就是主 对角线上各元素的乘积 因此我们想到能否把一 般的行列式化成三角行列式来计算 这就需要研 究行列式的性质
转置行列式
将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转
0 0 ... ann
2) 下三角行列式
a11 0 ... 0
a21 ...
a22 ...
... ...
0 ...
a11a22...ann
an1 an2 ... ann
3) 主对角行列式
1 0 ... 0
0 ...
2
...
... ...
0 ...
12...n
0 0 ... n
4) 次对角行列式
264
性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.
102
例
D 3
1
6 (1)(1)22 1
2 2
14
104
131
DT 0
1
0 (1)(1)22 1
2行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.
ab2 ba2
同理，称
二、三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数 同济大学第七版PPT
根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代 数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂， 力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解 行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。
线性代数
2
主要内容
第一章 行 列 式
第二章 矩
阵
第三章 线性方程组
；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。
线性代数
8
第一节 行列式的概念
5 6
【例 1.2】求二阶行列式
的值。
32
解
5 3
6 2 a11A11 a12 A12
a11 a12 L a1n D a21 a22 L a2n
L LOL
an1
a L 线性代数 n2
ann
13
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 L a1n A1n
其中，M 1j 表示元素a1j jn 1，2，L ，n 的余子式，它是D 中划
去a1j 所在的第1行和第 j 列后剩下的元素按原来的次序构成的 n 1 阶
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij i，j 1，2 的代数余子式；而 M ij 是行列
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
线性代数
7
第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而
线性代数
2
主要内容
第一章 行 列 式
第二章 矩
阵
第三章 线性方程组
；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。
线性代数
8
第一节 行列式的概念
5 6
【例 1.2】求二阶行列式
的值。
32
解
5 3
6 2 a11A11 a12 A12
a11 a12 L a1n D a21 a22 L a2n
L LOL
an1
a L 线性代数 n2
ann
13
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 L a1n A1n
其中，M 1j 表示元素a1j jn 1，2，L ，n 的余子式，它是D 中划
去a1j 所在的第1行和第 j 列后剩下的元素按原来的次序构成的 n 1 阶
Aij 1 i j Mij 称为元素 aij i，j 1，2 的代数余子式；而 M ij 是行列
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
线性代数
7
第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而
《线性代数》PPT课件幻灯片PPT
特别当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,···, n )相似时,
那么
Am = PmP-1; (A)= P()P-1.
而对于对角阵, 有
1k
k =
k2
;
kn
()=
(1)
(2)
(n).
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式
(A). 结论: 假设f( )为矩阵A的特征多项式, 那么矩阵
A的多项式 f(A)=O. 此结论的一般性证明较困难, 但当矩阵A与对角
因此, 当a = –1时矩阵A能对角化.
三、小 结
1. 相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系, 它具有很多良好的 性质, 除了课堂内介绍的以外, 还有: (1) 假设A与B相似, 那么det(A)=det(B); (2) 假设A与B相似, f(x)为多项式, 那么f(A)与f(B) 相似; (3) 假设A与B相似, 且A可逆, 那么B也可逆, 且A1与B2-1. 相相似似.变换与相似变换矩阵 相似变换是对方阵进展的一种运算, 它把A变成 P-1AP, 可逆矩阵P称为进展这一变换的相似变换矩阵.
-2
P1AP
1 1.
矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相
互对应.
例3:设A= 110
0 1 0
a10,当a为何值时, 矩阵A能对角化?
0 1 解: | A –E | = 1 1 a = –(–1)2(+1).
1 0
得矩阵A的特征值 1 = –1, 2 = 3 = 1. 对应单根1 = –1, 恰好可求得一个线性无关的特
阵 相似时很容易证明即.
f(A)=Pf()P=POP-1=O.
二、利用相似变换将方阵对角化
n阶方阵A是否与对角阵 =diag( 1, 2,···, n ) 相似, 那么我们需要解决如下两个问题:
线性代数相关知识培训教程PPT课件( 93页)
那末 A称为对称阵.
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义
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线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
或a1jA1j a2jA2j ...anjAnj D(j1,2,L,n) (2) 其中，Aij是元素aij在D中的代数余子式.
1 1 2
例1 计算行列式 D 3 0 4
211
解一：对角线法则； 解二：展开法则.
总结：1. 利用展开法则计算行列式时，应选择还有 零元素最多的行（列）展开.
2. 如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则 行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.
a 22
a 2 n 则 DT a 12 a 22
an2
a n 1 a n 2 a nn
a 1 n a 2 n a nn
102
131
例 D3 1 6行 列 互换 DT 0 1 0
104
264
性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.
102
例
D3
1
6
(1)(1)22 1
2 2
14
104
同理，称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
an1 an1 ... ann
.
30
例如 175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 35 8 53 8
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 DD, D0.
例如
123 2 3 5 0 123
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
§1.1 行列式的定义
一、二阶行列式
我们用记号 a11 a12 a21 a22
表示代数和a11a22a12a21 称为二阶行列式。
பைடு நூலகம்
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。
即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算
对角线法则 （口诀：叉叉相乘来相减）
131
DT 0
1
0
(1)(1)22 1 1
2 2
4
264
说明
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的所有 元素所得到的行列式等于k D. 这也就是说，行列 式可以按行（列）提出公因数.
0 0 ... a nn
2) 下 三 角 行 列 式
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn
3) 主 对 角 行 列 式
1 0 ... 0
0 ...
2 ...
... ...
0 ...
1 2 ... n
a i1 a i2 L a in LLLLLLL a n1 a n2 L a nn
1 2 5
例4 计算行列式 D 2 4 10
100 D3 0 3 0 ;
102
解： D 13 0 ;D 22 4 ;D 36 ;
§1.2 行列式按行（列）展开
一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记A ij1ijM i， j 叫做元素 a ij 的代数余子式．
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
定义 由 n2个数aij (i j1 2 n)组成的记号
a11 a12 L D a21 a22 L
MM
a1n
a2n M
a ij
an1 an2 L ann
称为n阶行列式.
说明（1）n阶行列式共有n!项．
当ij偶数时，Aij Mij; 当ij奇数时，Aij Mij;
行列式的每个元 对素 应分 着别 一个余子式 个代数余.子式
1
例1 行列式 3
2
为
A．-2
1 2
0 1 的元素 a 2 3 的代数余子式 A 2 3
47
（A）
B．2 C．-1
D．1
解：
A23(1)23M23
1 2
1
4 2
二、行列式展开定理
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain 设 D ... ... ... ...
a j1 a j2 ... a jn ... ... ... ...
an1 an1 ... ann
则
D D1
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... a j1 a j2 ... a jn D1 ... ... ... ... ai1 ai2 ... ain ... ... ... ...
解:按照第一列展开
1
DnAn1 (1)n1n
2 O
(1)n1n!
n1
定理1(行列式展开定理)：行列式等于任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和。 即： ai1Ai1ai2Ai2...ainAinD (i1,2,L,n) (1)
或a1jA1j a2jA2j ...anjAnj D(j1,2,L,n) (2) 其中，Aij是元素aij在D中的代数余子式.
定 理 2： 行 列 式 某 一 行 (列 )的 各 元 素 与 另 一 行 (列 )的 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 即 ：ai1Aj1ai2Aj2...ainAjn0 ij (3)
a1jA 1ia2jA 2i...anjA ni 0 ij (4)
练习题
2 1 0
1.求出 D 4 1 2 中元素a23、a33的代数余子式，并求
1 1 1
出D的值. 2.计算下列行列式的值
1 2 5 4 0 32 0 D 0 4 1 1 0 11 3
§1.3 行列式的性质与计算
一、行列式的性质
n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列 式是较为困难的 只有少数行列式用定义计算比 较方便
0 0 ... n
4) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... 2 ... ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
例1 计算下列行列式的值
1 1 2 3
0 24 6
D1 0
03
; 7
0 0 0 5
0001 0020 D2 0 3 0 0 4000
1 0 21
例2 计算行列式 D 2 1 1 0
1 0 03 1 0 2 1
3 1 0 7
例3 计算行列式 D 1 0 1 5
2 3 3 1 0 0 1 2
01000 00200
例4 计算行列式 D 0 0 0 3 0
00004 50000
01
例4 计算行列式 D
02 OO
0 n1
n
0
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
我们已经知道三角行列式的值就是主对角 线上各元素的乘积 因此我们想到能否把一般的 行列式化成三角行列式来计算 这就需要研究行 列式的性质
转置行列式
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
或a1jA1j a2jA2j ...anjAnj D(j1,2,L,n) (2) 其中，Aij是元素aij在D中的代数余子式.
1 1 2
例1 计算行列式 D 3 0 4
211
解一：对角线法则； 解二：展开法则.
总结：1. 利用展开法则计算行列式时，应选择还有 零元素最多的行（列）展开.
2. 如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则 行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.
a 22
a 2 n 则 DT a 12 a 22
an2
a n 1 a n 2 a nn
a 1 n a 2 n a nn
102
131
例 D3 1 6行 列 互换 DT 0 1 0
104
264
性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.
102
例
D3
1
6
(1)(1)22 1
2 2
14
104
同理，称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则计算。
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
an1 an1 ... ann
.
30
例如 175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 35 8 53 8
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 DD, D0.
例如
123 2 3 5 0 123
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
§1.1 行列式的定义
一、二阶行列式
我们用记号 a11 a12 a21 a22
表示代数和a11a22a12a21 称为二阶行列式。
பைடு நூலகம்
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。
即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算
对角线法则 （口诀：叉叉相乘来相减）
131
DT 0
1
0
(1)(1)22 1 1
2 2
4
264
说明
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的所有 元素所得到的行列式等于k D. 这也就是说，行列 式可以按行（列）提出公因数.
0 0 ... a nn
2) 下 三 角 行 列 式
a11 0 ... 0
a 21 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
a11a 22 ...a nn
a n1 a n2 ... a nn
3) 主 对 角 行 列 式
1 0 ... 0
0 ...
2 ...
... ...
0 ...
1 2 ... n
a i1 a i2 L a in LLLLLLL a n1 a n2 L a nn
1 2 5
例4 计算行列式 D 2 4 10
100 D3 0 3 0 ;
102
解： D 13 0 ;D 22 4 ;D 36 ;
§1.2 行列式按行（列）展开
一、余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i行和第 j 列划去后，留下来的 n1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记A ij1ijM i， j 叫做元素 a ij 的代数余子式．
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
定义 由 n2个数aij (i j1 2 n)组成的记号
a11 a12 L D a21 a22 L
MM
a1n
a2n M
a ij
an1 an2 L ann
称为n阶行列式.
说明（1）n阶行列式共有n!项．
当ij偶数时，Aij Mij; 当ij奇数时，Aij Mij;
行列式的每个元 对素 应分 着别 一个余子式 个代数余.子式
1
例1 行列式 3
2
为
A．-2
1 2
0 1 的元素 a 2 3 的代数余子式 A 2 3
47
（A）
B．2 C．-1
D．1
解：
A23(1)23M23
1 2
1
4 2
二、行列式展开定理
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain 设 D ... ... ... ...
a j1 a j2 ... a jn ... ... ... ...
an1 an1 ... ann
则
D D1
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... a j1 a j2 ... a jn D1 ... ... ... ... ai1 ai2 ... ain ... ... ... ...
解:按照第一列展开
1
DnAn1 (1)n1n
2 O
(1)n1n!
n1
定理1(行列式展开定理)：行列式等于任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和。 即： ai1Ai1ai2Ai2...ainAinD (i1,2,L,n) (1)
或a1jA1j a2jA2j ...anjAnj D(j1,2,L,n) (2) 其中，Aij是元素aij在D中的代数余子式.
定 理 2： 行 列 式 某 一 行 (列 )的 各 元 素 与 另 一 行 (列 )的 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 即 ：ai1Aj1ai2Aj2...ainAjn0 ij (3)
a1jA 1ia2jA 2i...anjA ni 0 ij (4)
练习题
2 1 0
1.求出 D 4 1 2 中元素a23、a33的代数余子式，并求
1 1 1
出D的值. 2.计算下列行列式的值
1 2 5 4 0 32 0 D 0 4 1 1 0 11 3
§1.3 行列式的性质与计算
一、行列式的性质
n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列 式是较为困难的 只有少数行列式用定义计算比 较方便
0 0 ... n
4) 次 对 角 行 列 式
0 ... 0 1
0 ...
... 2 ... ...
0 ...
n (n1)
( 1) 2 1 2 ... n
n ... 0 0
例1 计算下列行列式的值
1 1 2 3
0 24 6
D1 0
03
; 7
0 0 0 5
0001 0020 D2 0 3 0 0 4000
1 0 21
例2 计算行列式 D 2 1 1 0
1 0 03 1 0 2 1
3 1 0 7
例3 计算行列式 D 1 0 1 5
2 3 3 1 0 0 1 2
01000 00200
例4 计算行列式 D 0 0 0 3 0
00004 50000
01
例4 计算行列式 D
02 OO
0 n1
n
0
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
我们已经知道三角行列式的值就是主对角 线上各元素的乘积 因此我们想到能否把一般的 行列式化成三角行列式来计算 这就需要研究行 列式的性质
转置行列式