高考数学二轮复习专题对点练4从审题中寻找解题思路201812242115

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2023高考数学二轮专题复习与测试第二部分客观题的解题方法课件

客观题的解题方法
所以函数 g(x)＝f（xx）为(0，＋∞)上的减函数， 1
客观题的解题方法
已知 f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且 f(x)>xf′(x)恒成立，则不等式 x2·f 1x－f(x)>0 的解集为________．解析：设 g(x)＝f（xx），则 g′(x)＝xf′（x）x－2 f（x），又因为 f(x)>xf′(x)，所以 g′(x)＝xf′（x）x－2 f（x）<0 在(0，＋∞)上恒成立，
客观题的解题方法
方法四构造法
若 2a＋log2 a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b2
D．a<b2
解析：设 f(x)＝2x＋log2x，则 f(x)为增函数．
因为 2a＋log2 a＝4b＋2log4 b＝22b＋log2 b，
所以 f(a)－f(2b)＝2a＋log2 a－(22b＋log2 2b)＝22b＋log2 b－(22b＋log2 2b)＝
y＝2x，所以直线 AB 的斜率为－12，因为 A(8，0)，所以直线
AB 的方程为 y－0＝－12(x－8)，即 x＋2y－8＝0，故选 A.
答案：A
客观题的解题方法
不等式|x|－π2 ·sin x＜0，x∈[－π，2π]的解集为________．解析：在同一坐标系中分别作出 y＝|x|－π2与 y＝sin x 的图象：
＋1)，则下列说法正确的是( )
A．当 x>0 时，f(x)＝ex(1－x)
B．f(x)>0 的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
C．函数 f(x)有 2 个零点
D．∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2 解析：对于 C，当 x<0 时，令 f(x)＝0⇒x＝－1，所以 f(x)有 3 个零点分别

高三数学二轮专题复习(四)审题路线中寻求解题策略

审题路线中寻求解题策略审题是解题的前提，只有认真阅读题目，提炼关键信息，明确题目的条件与结论，才能通过分析、推理启发解题思路，选取适当的解题方法.最短时间内把握题目条件与结论间的联系是提高解题效率的保障.审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾.正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向.事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分.下面结合实例，教你正确的审题方法，制作一张漂亮的“审题路线图”，助你寻求解题策略.题目的条件是解题的主要素材，条件有明示的，也有隐含的，审视条件时更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，对条件进行再认识、再加工，注意已知条件中容易疏忽的隐含信息、特殊情形，明晰相近概念之间的差异，发挥隐含条件的解题功能. 1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c. (1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.审题路线图cos B cos C ＝－b 2a ＋c ―――――――――→隐含的三角形内角和正、余弦定理转化△ABC 边或角的关系→角B 的三角函数值―――――→角B 的范围角B ――――――→应用余弦定理求ac →△ABC 的面积解 (1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝2π3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos2π3，解得ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近已知条件，从而发现和确定解题方向.2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.审题路线图欲求tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4―→sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4―――――――――――→⎝⎛⎭⎫θ＋π4－⎝⎛⎭⎫θ－π4＝π2利用sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35易求 [答案] －43[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35>0，且θ是第四象限角，易知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， ∵θ－π4＝θ＋π4－π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43.3.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.审题路线图(1)欲证平面P AB ⊥平面P AD ―――――――――→面面垂直的判定定理找线面垂直只需证AB ⊥平面P AD ―――――→找线线垂直条件中的∠BAP ＝∠CDP ＝90°(2)求四棱锥P －ABCD 的侧面积――――――――――→各侧面多边形内角可知各边的关系明确只需求出一边长――――――――→已知四棱锥的体积列方程求出AB 即可(1)证明由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ， AP ，PD ⊂平面APD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解题目的关键.4.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()审题路线图图象的位置―→图象的对称、升降―→图象的特殊点―→极端趋势[答案] D[解析] y ＝f (x )＝2x 2－e |x |为偶函数，当x >0时，f ′(x )＝4x －e x ，作y ＝4x 与y ＝e x 的图象如图所示，故存在实数x 0∈(0，1)，使得f ′(x 0)＝0，则当x ∈(0，x 0)时，f ′(x 0)<0，当x ∈(x 0，2)时，f ′(x 0)>0，所以f (x )在(0，x 0)内单调递减，在(x 0，2)内单调递增，又f (2)＝8－e 2≈8－7.4＝0.6，故选D.5.如图，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若AB →＋AC →＝AD →，且点D 在圆C 上，则AB →·AC →＝________.审题路线图AB →＋AC →＝AD →―→四边形ABDC 为平行四边形―――――――――→结合图形中圆的特征△ABC 为正三角形―→计算AB →·AC → [答案] r 22[解析] 根据向量加法的平行四边形法则知，四边形ABDC 为平行四边形，而|CD →|＝|AC →|＝|BC →|＝|AB →|＝r ，∴△ABC 为正三角形， ∴AB →·AC →＝r 22.数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，和我们熟悉的数学结构联想比对，就可以寻找到解决问题的方案. 6.(2017·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)·a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和.审题路线图(1)a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ――――→和式特征作差法求a n (2)a n 2n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)――――→结构特征裂项法求和解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减，得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2).又由题设可得a 1＝2，满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *).(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1(n ∈N *).题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向.在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法.7.(2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.审题路线图已知折线图――――――→审视数据的意义基础设施投资额的变化规律―――――――→比较两种模型预测得到更可靠的模型解 (1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ⅱ)从(1)的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题.例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等.因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或[解析]式的限制条件，审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向.所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性.8.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.审题路线图(1)焦点，离心率―→c ，a 的值―→b 的值―→椭圆的标准方程 (2)▱OPTQ →S ▱OPTQ ＝2S △OPQ →S △OPQ ＝12·|OF ||y 1－y 2|→y 1和y 2关系→直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立解 (1)由已知可得，c a ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6.又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2). 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m ，解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S 四边形OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4×－2m 2＋3＝2 3.。

2024年高考数学复习各题型解答方法总结

2024年高考数学复习各题型解答方法总结一、选择题解答方法：选择题是高考数学中常见的题型，解答时需要注意以下几点：1. 仔细阅读题目：选择题通常给出了多个选项，要在其中选择正确的答案，所以需要仔细阅读题目，理解题意。

2. 排除法：如果对某个选项确定是错误的，可以直接排除掉，这样可以缩小范围，提高解题效率。

通过排除法，可以找出正确答案。

3. 筛选法：某些选择题的选项中有多个是正确答案，这时可以通过筛选法找出所有正确答案。

首先找出其中一个正确答案，然后再观察其他选项，看是否满足条件，以确定所有正确答案。

4. 推理法：有些选择题需要通过推理来确定答案，需要将题目中给出的条件进行分析，并运用相关知识进行推理，找出正确答案。

二、填空题解答方法：填空题是高考数学中另一种常见的题型，解答时需要注意以下几点：1. 明确题目要求：填空题通常要求填入一个数值，有时也可以是一个表达式。

在填写答案前，要先弄清楚题目要求填什么。

2. 利用已知条件：填空题中常会给出一些已知条件，可以根据这些条件来确定答案。

通过将已知条件代入等式或运用相关关系，可以得到待填空的数值，或者用待填空的变量表达式表示答案。

3. 反推法：有些填空题通过反推法也可以确定答案。

通过比较题目中给出的条件和填空选项的关系，可以反推出待填空的数值或表达式。

4. 多种途径：填空题可以有多种解法，可以多角度思考和尝试。

如果一种方法无法确定答案，可以尝试其他方法，找出最适合的解答途径。

三、解答题解答方法：解答题是高考数学中相对较难的题型，解答时需要注意以下几点：1. 理清思路：解答题一般需要通过一系列的步骤来解决问题，首先要理清思路，明确步骤和方法，避免盲目性解题。

2. 规范书写：解答题需要写清楚解题过程和推理思路，并在重要的步骤和结论处用画线等方式标注出来，以便阅卷人员清晰地看到解题思路。

3. 合理估算：有些解答题中给出的数据量较大，可以通过合理估算或化简计算来简化解答过程，提高解题效率。

2018届高中数学高考二轮复习客观题答题策略与技巧教案含答案(全国通用)

教学过程一、考纲解读解数学选择题的常用方法，主要分为直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格. 《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”. 为此在解填空题时要做到：细——审题要细，不能粗心大意；活——解题要活，不要生搬硬套；稳——变形要稳，不可操之过急；快——运算要快，力戒小题大作；全——答案要全，力避残缺不齐.二、复习预习选择题在高考中注重多个知识点的小型综合，渗透各种思想方法，体现以考查“三基”为重点的导向，解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定空位上将缺少的语句填写清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等. 填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型.三、知识讲解考点1 选择题答题技巧充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理；先间接后直接，先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．考点2 填空题答题技巧解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．四、例题精析例1 [2014全国1卷]设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 ( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【规范解答】解法1.选C （验证推理）设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C. 解法2.选C （特值验证）从题意条件我们不难想到将函数()f x ，()g x 特殊化，设x x f =)(，2)(x x g =则A 选项中3)()(x x g x f =不是偶函数，排除A ；B 选项中|()f x |()g x =2x x 很明显是偶函数，排除B 。

高考数学第二轮复习怎样解解答题试题

卜人入州八九几市潮王学校高考数学第二轮复习怎样解解答题【考点梳理】一、题型梳理在高考数学试题的三种题型中，解答题的题量虽比不上选择题，但其占分的比重最大，足见它在试卷中地位之重要。

解答题也就是通常所说的主观性试题，这种题型内涵丰富，包含的试题形式灵敏多变，其根本架构是：给出一定的题设〔即条件〕，然后提出一定的要求〔即要到达的目的〕，让考生解答。

而且，“题设〞和“要求〞的形式五花八门，多种多样。

考生解答时，应把条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进展推理、演绎或者计算，最后到达所要求的目的，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完好地陈述清楚。

二、考察功能解答题的考察功能，概括地说应该是：它重点突出地深化考察知识和才能，并且可以多角度、多层次地考察。

详细地讲：12．考生解答解答题时，必须写出求解过程。

因此，解答题能有效地考察陈述表达才能。

这也是客观题所无法办到的。

3．解答题一题多解的现象在数学中表现突出，对于同一试题的解答，所用的思想方法、数学概念和法那么，以及演算、推理过程，其差异有时非常大。

因此，它能为考生展露自己的才能提供广阔的天地，良好的环境条件；同时，也能比较有效地考察出各个层次的考生，促进考试区分度的进步。

4．解答题评分HY的制定有一定的灵敏性，通常可以通过评分HY的制定，对试题的考察功能进展调控，也就是说，分值的配置可倾向于考察的侧重点。

三、思想方法解答题在高考中占有相当大的比重，在全卷的三种题型中，分数占近50%，主要由综合性问题构成，就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。

它的题型特点和考察功能决定了审题考虑的复杂性和解题设计的多样性。

在审题时要把握好“三性〞，即明确目的性，进步准确性，注意隐含性。

解题理论说明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向。

一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑或者局部联想，在确定方法时必须遵循的原那么是：1．熟悉化原那么。

新高考数学二轮总复习学案设计从审题中寻找解题思路

第4讲从审题中寻找解题思路审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.审题与解题的关系审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.审题典例示范一、审清条件信息审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.【例1】(1)(2019广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是()A.-2B.-1C.0D.1(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,则tan ∠PBA=()A.√32B.-√32C.√34D.-√34x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值.f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f'(-1)=0,联立得,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.Rt △ABC 和Rt △BPC 的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,进而推出∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC ,推出∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC ,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tan ∠PBA.,过A 点作BP 延长线的垂线,构造Rt △ADB ,利用Rt △ABC 和Rt △BPC 的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,解Rt △ADB 、Rt △BPC 、Rt △ADP ,找出AD 、BD 、PD 、BP 之间的关系,并用与θ有关的正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD 建立等量关系求解tan ∠PBA.二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.【例2】(1)已知函数f (x )=√2sin (2ωx +π4)+1的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为( )A.[3π8,5π8)B.(3π8,5π8]C.[3π4,5π4)D.[3π4,5π4] (2)(2020浙江考前模拟,10)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P (x ,y ),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x ,y 无关,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4]B.[-4,6]C.(-∞,4]∪[6,+∞)D.[6,+∞)f (x )的图象在[0,12]上”是指x ∈[0,12],∴2ωx+π4∈[π4,ω+π4],设t=2ωx+π4,函数y=sin t 在[π4,ω+π4]上的对称轴为t=π2,t=3π2,…,对称中心为(π,0),(2π,0),…,f (x )的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,隐含着π2∈[π4,ω+π4],π∈[π4,ω+π4],但3π2∉[π4,ω+π4].|3x-4y+a|+|3x-4y-9|联想点到直线的距离公式,能审出其表示的是点3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和;x ,y 无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧,从而圆心1,由此得到a 的取值范围是a ≥6或a ≤-4;3x-4y-9=0的表达式,能审出该直线在圆的下方,所以另一直线必须在圆的上方,从而舍去a ≤-4.三、审条件中的结构特征高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.【例3】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=5,△ABC 的面积S △ABC =25√34,且b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,则sin B+sin C=( )A.3B.9√32C.√3D.3√33个.由a=5和S△ABC=25√34得不出结果,所以突破口为b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,该条件是关于三边两角的关系式,等式左边的结构与余弦定理的变式2bc cos A相等,代换后进行化简得结论A=π3,此为解法一;观察该等式的右边,为减少变量进行角边的转换,利用边表示角,得第二种解法.四、审图形特点寻简捷在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.【例4】(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.W与时间t的函数关系图象,能审出两函数图象在不同的时间段的变化特征,但企业污水治理能力的强弱是用-f(b)-f(a)b-a来表示的,所以-f(b)-f(a)b-a 的几何意义是解题的关键所在,若能审出-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的负数,问题迎刃而解.五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.【例5】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购19个还是20个易损零件?,有综合性但难度不大.时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x≤19与x>19,分别探求y与x的函数解析式;(2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图;(3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,在求解其平均数时自然需要借助于柱状图.六、审结论善转换结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.(a>0).若直线y=2x-b与【例6】(2020山东济南三模,16)已知函数f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x-12函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的值为;若总存在直线与函数的图象均相切,则a的取值范围是.f(x)与g(x)的图象都与直线相切,转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率,从而得到方程组,解出参数a的值.y=f(x),y=g(x)的图象均相切,首先转换成函数f(x)的g(x)的图象相切,其次再转换成由f(x)的图象的切线方程与函数g(x)的解析式组成的方程有两相等实根,然后将有两相等实根转换成判别式等于0,从而得出关于参数a的表达式,最后转换成求a的最小值.七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.【例7】(2020山东济南6月模拟,8)在△ABC中,cos A+cos B=√3,AB=2√3.当sin A+sin B 取最大值时,△ABC内切圆的半径为()A.2√3-3B.2√2-2C.13sin A+sin B取最大值时,△ABC内切圆的半径,首先要求出sin A+sin B取最大.cos A+cos B=√3是解决问题的突破口,条件是两角的余弦,要求的最大值是两角的正弦,同角三角函数的平方公式能够将条件和要求的结论联系起来,从而找到解决问题的思路.审题策略归纳1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练.2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.第4讲从审题中寻找解题思路审题典例示范【例1】(1)C(2)C解析(1)(方法一)∵f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,∴f(x)=-x2(x+2)2=-(x2+2x)2.所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法二)由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4, ①由f(x)关于x=-1对称,可知f'(-1)=0,得3a=2b+4, ②联立①②解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)≤0,所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法三)因为f (x )=-x 2(x 2+ax+b )的图象关于直线x=-1对称,则满足f (x-1)=f (-1-x ).运用特殊值法.取x=1,x=2,代入上式,则{f (0)=f (-2),f (1)=f (-3),{4-2a +b =0,7a -2b -20=0,解得{a =4,b =4.当a=b=4时,f (x )=f (-2-x )恒成立,即a=b=4满足题意.即f (x )=-x 2(x+2)2.当x=0时,f (x )取最大值0,故选C .(2)(方法一)设∠ABP=θ,则∠PCB=θ,∴PC=cos θ.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,∴AC=2,∠ACB=π3.在△PAC 中,∠APC=120°,∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC ,∴∠PAC=θ.由正弦定理,得AC sin∠APC =PC sin∠PAC ,即2sin120°=cosθsinθ,tan θ=sin120°2=√34.(方法二)借助平面几何知识,寻找到线段长度关系.延长BP ,过A 点作BP 延长线的垂线,垂足为D.记∠PBA=θ,由∠ABC=∠BPC=90°,得∠PCB=θ.Rt △ADB 中,AD=√3sin θ,BD=√3cos θ.Rt △BPC 中,BP=sin θ.又∠APB=150°,得∠APD=30°,Rt △ADP中,PD=AD tan30°=3sin θ,由BD=BP+PD ,得√3cos θ=sin θ+3sin θ,所以tan θ=√34,即tan ∠PBA=√34.【例2】(1)C (2)D 解析(1)由题意,x ∈[0,12],2ωx+π4∈[π4,ω+π4],在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,∴π2∈[π4,ω+π4],π∈[π4,ω+π4],3π2∉[π4,ω+π4],∴{ω+π4≥π2,ω+π≥π,ω+π4<3π2,即π≤ω+π4<3π2,即3π4≤f <5π4.故选C . (2)依题意|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=|3x -4y+a |5+|3x -4y -9|5, 表示P (x ,y )到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和,由距离之和与圆上任意一点的坐标x ,y 无关,故两条平行直线在圆的两侧,又直线3x-4y-9=0在圆的下方,所以直线3x-4y+a=0应该在圆的上方,故圆心(1,1)到直线3x-4y+a=0的距离d=|3-4+a |5≥1,解得a ≥6或a ≤-4(舍去),故选D . 【例3】C 解析(方法一)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c2cos A ,∴cos A=accosC+c 2cosA 2bc =acosC+ccosA 2b . ∴cos A=sinAcosC+cosAsinC 2sinB =sin (A+C )2sinB =12,又A ∈(0,π),∴A=π3.∵S △ABC =12bc sin A=25√34,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,∴b+c=10.∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形.∴sin B+sin C=√3.(方法二)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴b 2+c 2-a2=ac ·a 2+b 2-c 22ab +c 2·b 2+c 2-a 22bc =c (a 2+b 2-c 2+b 2+c 2-a 2)2b=2b 2c 2b =bc.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =12,又A ∈(0,π),∴A=π3.∵S △ABC =12bc sin A=25√34, ∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50.则(b+c )2=100,∴b+c=10,∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形.∴sin B+sin C=√3.【例4】①②③ 解析-f (b )-f (a )b -a表示区间端点连线斜率的负数,在[t 1,t 2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;在t 2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确;甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,甲企业在[t 1,t 2]这段时间内斜率最小,则其相反数最大,即在[t 1,t 2]的污水治理能力最强,④错误.故正确的结论为①②③.【例5】解(1)当x ≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y 与x 的函数解析式为y={3800,x ≤19,500x -5700,x >19(x ∈N ). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000元.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元,10台的费用为4500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050元.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【例6】23 [32,+∞) 解析由题意,f'(x )=2x ,g'(x )=2ax-1,因直线y=2x-b 与函数y=f (x ),y=g (x )的图象均相切,所以{2x =2,2ax -1=2,解得x=1,a=32;设直线l 与y=f (x )的图象相切于点P 1(x 1,y 1),x 1>0,则切线方程为y-2ln x 1=2x 1(x-x 1),代入g (x )=ax 2-x-12(a>0),得2x 1x-2+2ln x 1=ax 2-x-12,即ax 2-(1+2x 1)x+(32-2lnx 1)=0,所以Δ=(1+2x 1)2-4a ×(32-2lnx 1)=0, 所以a=(x 1+2)22x 12(3-4lnx 1)(x 1>0). 令y=(x 1+2)212(3-4lnx 1)(x 1>0), 则y'=2(x 1+2)(4lnx 1+x 1-1)x 1(3-4lnx 1)2,所以y'=0,解得x 1=1. 当x 1>1时,y'>0,y 单调递增,当0<x 1<1时,y'<0,y 单调递减,因此y ≥(1+2)22×12(3-4ln1)=32,即a ≥32. 【例7】A 解析令t=sin A+sin B ,t>0,cos A+cos B=√3,平方相加得t 2+3=2+2cos A cos B+2sin A sin B ,得t 2=2cos(A-B )-1,显然,当A=B 时,t 有最大值,t max =1,则cos A=cos B=√32.又A ,B ∈(0,π),得A=B=π6,则C=2π3,设D 为AB 的中点,如图所示,则CD=1,AC=BC=2,设内切圆的半径为r ,则S △ABC =12×2√3×1=12(2+2+2√3)r ,解得r=2√3-3.故选A .。

2023高考数学二轮专题复习与测试第二部分客观题的解题方法课件

)
A
B
C
D
客观题的解题方法
解析：易得 y＝xl2n＋|x|2为偶函数，故可排除 A，C 选项，当 x＝2 时，y＝4l＋n 22>0，故可排除 D 选项．故选 B. 答案：B
客观题的解题方法
若 a>b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( ) A．a＋1b<2ba<log2(a＋b) B．2ba<log2(a＋b)<a＋1b C．a＋1b<log2(a＋b)<2ba D．log2(a＋b)<a＋1b<2ba 解析：由题意知 a>1，0<b<1，所以2ba<1，log2(a＋b)>log22 ab＝1，排除
客观题的解题方法
如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为点 P，若 AP＝3，则A→P·A→C＝________．
解析：把平行四边形 ABCD 看成正方形，则点 P 为对角线的交点，AC＝6，则A→P·A→C＝18. 答案：18
客观题的解题方法
如果 a1，a2，a3，…，an 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0，则下列关系正确的为( )
＋1)，则下列说法正确的是( )
A．当 x>0 时，f(x)＝ex(1－x)
B．f(x)>0 的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
C．函数 f(x)有 2 个零点
D．∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2 解析：对于 C，当 x<0 时，令 f(x)＝0⇒x＝－1，所以 f(x)有 3 个零点分别
因为 B，H，C 三点共线．
所以 2λ＋2μ＝1，所以 λ＋μ＝12.故选 A.
客观题的解题方法

高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练4 从审题中寻找解题思路 Word版含解析

专题对点练4 从审题中寻找解题思路一、选择题1.已知方程x 2m 2+n −y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3) 答案 A解析因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3,故选A .2.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 答案 B解析当0≤x<2时,令f (x )=x 3-x=0,得x=0或x=1,根据周期函数的性质,由f (x )的最小正周期为2,可知y=f (x )在[0,6)上有6个零点, 又f (6)=f (3×2)=f (0)=0,所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 3.已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2最小的内角为30°,则双曲线C 的渐近线方程是( )A .√2x±y=0B .x±√2y=0C .x±2y=0D .2x±y=0 答案 A解析由题意,不妨设|PF 1|>|PF 2|,则根据双曲线的定义得,|PF 1|-|PF 2|=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=6a ,解得|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a.在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c ,而c>a ,所以有|PF 2|<|F 1F 2|,所以∠PF 1F 2=30°,所以(2a )2=(2c )2+(4a )2-2·2c ·4a cos 30°,得c=√3a ,所以b=√c 2-a 2=√2a ,所以双曲线的渐近线方程为y=±b ax=±√2x ,即√2x±y=0. 4.已知双曲线C :x 2-y 2=1,过点P (1,1)作直线l ,使l 与C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l 的条数共有( ) A .3 B .2 C .1 D .4答案 D解析当直线l 斜率存在时,令l :y-1=k (x-1),代入x 2-y 24=1中整理有(4-k 2)x 2+2k (k-1)x-k 2+2k-5=0.当4-k 2=0,即k=±2时,l 和双曲线的渐近线平行,有一个公共点.当k ≠±2时,由Δ=0,解得k=52,即k=52时,有一个切点.直线l 斜率不存在时,x=1也和曲线C 有一个切点. 综上,共有4条满足条件的直线.5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c ,其中b>a ,且对任意x ∈R 都有f (x )≥0,则M=a+2b+3c的最小值为( ) A .5-2√32 B .5+2√32C .7-3√52D .7+3√52答案 D解析由题意得a>0,b 2-4ac ≤0,即c ≥b 24a,则M=a+2b+3c b -a≥a+2b+3b24ab -a=1+2·b a +34·(b a )2b a -1.令ba=t ,则t>1,于是M ≥1+2t+34t 2t -1=34(t -1)2+72(t -1)+154t -1=34(t-1)+154·1t -1+72≥3√52+72, 当且仅当t-1=√5,即b=(1+√5)a ,c=b24a=3+√52a 时等号成立.所以M=a+2b+3cb -a的最小值为7+3√52. 6.设双曲线x 2a 2−y 2b2=1(0<a<b )的半焦距为c ,直线l 过(a ,0),(0,b )两点,已知原点到直线l 的距离为√34c ,则双曲线的离心率为( )〚导学号16804160〛 A .2 B .√3 C .√2 D .2√33答案 A解析 ∵直线l 过(a ,0),(0,b )两点,∴直线l 的方程为x a +yb =1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l 的距离为√34c ,∴√a 2+b=√3c ,即a 2b2a 2+b 2=3c 2,又c 2=a 2+b 2,∴a 2(c 2-a 2)=316c 4,即316c 4-a 2c 2+a 4=0, 化简得(e 2-4)(3e 2-4)=0,∴e 2=4或e 2=43.又∵0<a<b ,∴e 2=c2a 2=1+b 2a 2>2,∴e 2=4,即e=2,故选A . 二、填空题7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则ab = . 答案 2解法一因为b cos C+c cos B=2b ,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=2b ,化简可得ab =2.解法二因为b cos C+c cos B=2b ,所以sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,故sin(B+C )=2sin B ,故sin A=2sin B ,则a=2b ,即ab =2.8.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i 行第j 列的数为a i ,j (i ,j ∈N *),则(1)a 9,9= ;(2)表中的数82共出现次.〚导学号16804161〛答案 (1)82 (2)5解析 (1)a 9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……第9行的公差为9,第9行的首项b 1=10,则b 9=10+8×9=82.(2)第1行数组成的数列a 1,j (j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a 1,j =2+(j-1)·1=j+1;第i 行数组成的数列a i ,j (j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i 的等差数列,所以a i ,j =(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得a i ,j =ij+1=82,即ij=81,且i ,j ∈N *,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.9.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若b 是1和2的等比中项,c 是1和5的等差中项,则a 的取值范围是 . 〚导学号16804162〛答案 (2√2,√10)解析因为b 是12和2的等比中项,所以b=√12×2=1;因为c 是1和5的等差中项,所以c=1+52=3. 又因为△ABC 为锐角三角形,①当a 为最大边时,有{12+32-a 2>0,a ≥3,1+3>a ,解得3≤a<√10;②当c 为最大边时,有{12+a 2-32>0,a +1>3,a ≤3,解得2√2<a ≤3.由①②得2√2<a<√10,所以a 的取值范围是(2√2,√10). 三、解答题10.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项;(2)设{b n -(-1)n a n }是等比数列,且b 2=7,b 5=71.求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0),∵a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列, ∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2, 故a n =a 1+(n-1)d=2n.(2)令c n =b n -(-1)n a n ,设{c n }的公比为q. ∵b 2=7,b 5=71,a n =2n ,∴c 2=b 2-a 2=3,c 5=81,∴q 3=c5c 2=27,q=3,∴c n =c 2q n -2=3n-1.从而b n =3n-1+(-1)n 2n.T n =b 1+b 2+…+b n =(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n 2n ],当n为偶数时,T n =3n +2n -12,当n为奇数时,T n =3n -2n -32. 11.已知函数f (x )=4sin (ωx -π4)·cos ωx 在x=π4处取得最值,其中ω∈(0,2). (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=g (x )的图象,若α为锐角,g (α)=43−√2,求cos α. 解 (1)f (x )=4sin (ωx -π4)·cos ωx=2√2sin ωx ·cos ωx-2√2cos 2ωx=√2(sin 2ωx-cos 2ωx )-√2=2sin (2ωx -π4)−√2,∵f (x )在x=π4处取得最值, ∴2ω·π4−π4=k π+π2,k ∈Z , ∴ω=2k+32,k ∈Z ,∵ω∈(0,2),即0<2k+32<2,∴-34<k<14, 又k ∈Z ,∴k=0,则ω=32,∴f (x )=2sin (3x -π4)−√2,∴T=2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位,得到 h (x )=2sin [3(x +π36)-π4]−√2=2sin (3x -π6)−√2,再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到g (x )=2sin (x -π6)−√2.故g(α)=2sin(α-π6)−√2=43−√2,sin(α-π6)=23,∵α为锐角,∴-π6<α-π6<π3,因此cos(α-π6)=√1-(23)2=√53.故cos α=cos(α-π6+π6)=cos(α-π6)·cosπ6-sin(α-π6)·sinπ6=√53×√32−23×12=√15-26.12.已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(0,1a)时,f'(x)>0;当x∈(1a,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(0,1a )上单调递增,在(1a,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值; 当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f(1 a )=ln(1a)+a(1-1a)=-ln a+a-1.因此f(1a)>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).〚导学号16804163〛。

高考数学二轮习题：考前冲刺必备二审题方法秘籍含解析

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+1-4x,则关于x的不等式f(1-2xx2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sin x,f'(x)<0f(1-x2)<2-x=12x-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cos x-1-ln2-2x ln2,∴f2x'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.(2018苏北四市开学考试,14)已知a,b,c,d ∈R 且满足a+3lna b=d -32c =1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 . 二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2 已知函数f(x)=e x ,x ∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x -12x 2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x -x-1结论证明曲线y=e x 与曲线y=12x 2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x -12x 2-x-1零点的个数. ∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0. 又φ'(x)=e x -x-1,令h(x)=φ'(x)=e x -x-1, 则h'(x)=e x -1. 当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减; 当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2019泰州期末,19)设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B分别作函数y=f(x)图象的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.(1)若函数f(x)={lnx,0<x<1,ax2,x>1不存在“优点”,求实数a的值;(2)求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围;(3)求证:函数f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{1a n }的前n项和为T n,求使得|T n-1|<11 000成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→1a n =12n→T n=1-12n→解不等式|T n-1|<11 000n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1(n≥2),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列, 即a 1+a 3=2(a 2+1),所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n . (2)由(1)得1a n=12,所以T n =12+122+…+12n =12[1-(12)n ]1-12=1-12n .由|T n -1|<11 000,得|1-12-1|<11 000,即2n >1 000. 因为29=512<1 000<1 024=210,所以n ≥10. 所以使|T n -1|<11 000成立的n 的最小值为10.跟踪集训3.(2019江苏七大市三模,19)已知数列{a n }满足(na n-1-2)a n =(2a n -1)a n-1(n ≥2),b n =1a n-n(n ∈N *).(1)若a 1=3,证明:{b n }是等比数列; (2)若存在k ∈N *,使得1a k,1ak+1,1ak+2成等差数列.①求数列{a n }的通项公式; ②证明:ln n+12a n >ln(n+1)-12a n+1.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.典型例题例4已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x-π12)-f(x+π12)的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x 的单调区间,通过解不等式求得结果.解析 (1)由题图知,周期T=2(11π12-5π12)=π, 所以ω=2πT =2,因为点(5π12,0)在函数图象上,所以Asin (2×5π12+φ)=0,即sin (5π6+φ)=0. 又因为0<φ<π2,所以5π6<5π6+φ<4π3, 从而5π6+φ=π,即φ=π6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin π6=1,解得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6). (2)g(x)=2sin [2(x -π12)+π6]-2sin 2(x +π12)+π6 =2sin 2x-2sin (2x +π3) =2sin 2x-2(12sin2x +√32cos2x) =sin 2x-√3cos 2x =2sin (2x -π3).由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k ∈Z,得kπ-π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12],k ∈Z. 跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij (i,j ∈N *)是这个三角形数表中从上往下数第i 行,从左往右数第j 个数,如a 42=8,若a ij =2 015,则i+j= .1 2,4 3,5,7 6,8,10,12 9,11,13,15,17 14,16,18,20,22,24…▲审题指导 i 是奇数2 015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案 110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2 015=2×1 008-1,所以2 015为第1 008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+31×302×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+32×312×2=1 024,故2 015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1 921,所以第63行的第一个数为1 923,所以2 015=1 923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n },a n =2·(13)n,把数列{a n }的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m 行,第n 列的项,则A(10,8)= .a 1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10…6.下表给出一个“三角形数阵”.141 21 43 438316…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=ln a+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(0,1a )时,f'(x)>0;当x∈(1a,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得最大值,最大值为f(1a )=ln1a+a(1-1a)=-ln a+a-1.因此f(1a)>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)=1a+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.(2019苏锡常镇四市教学情况调查(二),19)已知函数f(x)=x2+(2-a)x-aln x,其中a∈R.(1)如果曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值;(2)若函数f(x)的极小值不超过a2,求实数a的最小值;(3)对任意x1∈[1,2],总存在x2∈[4,8],使得f(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例7已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为√63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S ▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=12|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程解析(1)由已知可得ca =√63,c=2,所以a=√6.由a2=b2+c2,得b=√2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.(2)设T 点的坐标为(-3,m), 则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m. 当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m , 则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得{x =my -2,x 26+y 22=1,消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2=4mm 2+3,y 1y 2=-2m 2+3, 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12m 2+3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =QT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以{x 1+x 2=-12m 2+3=-3,y 1+y 2=4mm 2+3=m,解得m=±1. 所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×12·|OF|·|y 1-y 2|=2√(4mm 2+3)2-4·-2m 2+3=2√3.跟踪集训8.(2019南京、盐城二模,18)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆C 短轴的一个端点到一个焦点的距离等于√2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设经过点P(2,0)的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点Q(m,0). ①若对任意直线l 总存在点Q,使得QA=QB,求实数m 的取值范围; ②设点F 为椭圆C 的左焦点,若点Q 是△FAB 的外心,求实数m 的值.答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案95(2-ln 3)2解析由a+3lnab=1可知点(a,b)在曲线y=x+3ln x上,由d-32c=1可知点(c,d)在直线y=2x+3上,作曲线y=x+3ln x与直线y=2x+3平行的切线,设切点为P(x0,x0+3ln x0),y'=1+3x ,则y'|x=x0=1+3x0=2,所以x0=3,故切点为P(3,3+3ln 3).√(a-c)2+(b-d)2的最小值为P到直线y=2x+3的距离,即√5=√5,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为9(2-ln3)25.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)由题意可知, f '(x)=f '(1x)对任意x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立, 不妨取x∈(0,1),则f '(x)=1x =2ax=f '(1x)恒成立,即a=12.经验证,a=12符合题意.(2)设A(t,t2),B(1t ,1t)(t≠0且t≠±1),因为f '(x)=2x,所以A,B 两点处的切线方程分别为y=2tx-t 2,y=2t x-1t 2, 令2tx-t 2=2t x-1t ,解得x=12(t +1t ),x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以“优点”的横坐标的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). (3)证明:设A(t,ln t),B (1t ,-lnt),t ∈(0,1), 因为f '(x)=1x ,所以A,B 两点处的切线方程分别为y=1t x+ln t-1,y=tx-ln t-1, 令1t x+ln t-1=tx-ln t-1, 解得x=2lnt t -1t,则x>0,所以y=1t ·2lnt t -1t+ln t-1=t 2+1t 2-1(lnt -t 2-1t 2+1),设h(m)=ln m-m 2-1m +1,m ∈(0,1), 则h'(m)=(m 2-1)2m (m 2+1)2,则h'(m)>0,所以h(m)在(0,1)上单调递增, 所以h(m)<h(1)=0,即ln t-t 2-1t 2+1<0. 因为t 2+1t 2-1<0,所以y=1t ·2lnt t -1t+ln t-1>0,所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,即“优点”在第一象限.三审审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:由(na n-1-2)a n =(2a n -1)a n-1,得1a n=2an -1+2-n,得1a n-n=2[1an -1-(n -1)],即b n =2b n-1,因为a 1=3,所以b 1=1a 1-1=-23≠0, 因为bn b n -1=2(n ≥2),所以{b n }是以b 1=-23为首项,2为公比的等比数列. (2)①设b 1=1a 1-1=λ,由(1)知,b n =2b n-1(n ≥2),所以b n =2b n-1=22b n-2=…=2n-1b 1, 即1a n-n=λ·2n-1,所以1a k=λ·2k-1+k.因为1a k,1ak+1,1ak+2成等差数列,所以(λ·2k-1+k)+(λ·2k+1+k+2)=2(λ·2k +k+1), 所以λ·2k-1=0,所以λ=0, 所以1a n=n,即a n =1n .②证明:要证ln n+12a n >ln(n+1)-12a n+1, 即证12(a n +a n+1)>ln n+1n,即证1n +1n+1>2lnn+1n.设t=n+1n,则1n +1n+1=t-1+t -1t =t-1t ,且1<t ≤2,从而只需证,当t>1时,t-1t >2ln t. 设f(x)=x-1x -2ln x(1<x ≤2), 则f '(x)=1+1x -2x =(1x -1)2, 则f '(x)>0,所以f(x)在(1,2]上单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即x-1x >2ln x,即t-1t >2ln t, 所以原不等式得证.四审审图形抓特点跟踪集训 4.答案 -√22解析由三角函数的图象可得34T=3-1=2,所以最小正周期T=83=2πω,解得ω=3π4.又f(1)=sin (3π4+φ)=1,解得φ=-π4+2k π,k ∈Z,所以f(x)=sin (3π4x -π4+2k π),k ∈Z, 则f(2)=sin (3π2-π4)=sin 5π4=-√22.五审审图表找规律跟踪集训 5.答案 2×(13)53解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n 行共n 项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S 9=9×(1+9)2=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a 53=2×(13)53,故答案为2×(1353).6.解析 (1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a 11=14,a 21=12,所以公差d=14,a 81=14+(8-1)×14=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a 31=34,a 32=38,所以,每行的公比q=12,故a 83=2×(12)2=12. (2)由(1)知a i1=14+(i-1)14=i4,所以a ij =a i1·(12)j -1=i4·(12)j -1=i ·(12)j+1.(3)A n =a n1[1+12+(12)2+…+(12)n -1]=n4[2-(12)n -1]=n2-n (12)n+1.B m =12(1+2+…+m)-12(12+24+38+ …+m2m ).设T m =12+24+38+…+m2,①则12T m =14+28+316+…+m2m+1,②由①-②,得12T m =12+14+18+…+12-m2=1-12-m2=1-m+22, 所以B m =12·m (1+m )2-(1-m+22m+1)=m (1+m )4+m+22m+1-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析因为f(x)=x 2+(2-a)x-aln x, 所以f '(x)=(x+1)(2x -a )x,x ∈(0,+∞).(1)因为曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1, 所以f '(1)=2(2-a)=1,解得a=32.(2)①当a ≤0时, f '(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 故函数f(x)不存在极值. ②当a>0时,令f '(x)=0,得x=a 2. 列表: x (0,a 2) a 2 (a2,+∞) f '(x)-0 +f(x) ↘ 极小值↗则f(x)min =f (a2)=a-a 24-aln a2≤a 2, 因为a>0,所以12-a4-ln a2≤0. 令g(a)=12-a4-ln a2=12+ln 2-a4-ln a,则g'(a)=-14-1a ,当a>0时,g'(a)<0, 则g(a)在(0,+∞)上单调递减,又g(2)=0,所以需满足g(a)≤g(2)=0,则a ≥2, 则实数a 的最小值为2.(3)记f(x)在[1,2]上的值域为A,在[4,8]上的值域为B.“对任意x 1∈[1,2],总存在x 2∈[4,8],使得f(x 1)=f(x 2)成立”等价于“A ⊆B ”. ①当a2≤1或a2≥8,即a ≤2或a ≥16时,由(2)知f(x)在[1,8]上为单调函数,不合题意;②当1<a2≤2,即2<a ≤4时,由(2)知 f(x)在(0,a2)上单调递减,在(a2,+∞)上单调递增,故f (a2)∈A,但f (a2)∉B,不合题意;③当2<a 2≤4,即4<a ≤8时,A=[f(2), f(1)],B=[f(4), f(8)], 由A ⊆B 得{f (2)≥f (4),f (1)≤f (8),即{8-2a -aln2≥24-4a -2aln2,3-a ≤80-8a -3aln2, 解得{a ≥162+ln2,a ≤777+3ln2,因为0<ln 2<1,所以2<2+ln 2<3, 所以4<163<162+ln2<8.又因为e>2.7,计算得e 3>24, 则e 72>e 3>24,即72>ln 24=4ln 2,即7>8ln 2, 亦即21>24ln 2, 则777+3ln2-8=21-24ln27+3ln2>0,即777+3ln2>8. 此时162+ln2≤a ≤8.④当4<a2<8,即8<a<16时,由A ⊆B,得f(8)≥f(1),得 a ≤777+3ln2<777=11<16, 则8<a ≤777+3ln2. 综上,162+ln2≤a ≤777+3ln2.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析 (1)由题意得{ca=√22,a =√2,解得{c =1,a =√2,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. (2)设直线l 的方程为y=k(x-2),代入椭圆C 的方程,消去y,得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0, 由Δ=64k 4-4(1+2k 2)(8k 2-2)>0得-√22<k<√22. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=8k 21+2k ,x 1x 2=8k 2-21+2k . ①设AB 的中点为M(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 21+2k 2,y 0=k(x 0-2)=-2k1+2k 2.当k ≠0时,因为QA=QB,所以QM ⊥l, 即k QM ·k=-2k1+2k 2-04k 21+2k 2-m ·k=-1.解得m=2k 21+2k 2.当k=0时,可得m=0,符合m=2k 21+2k 2. 由0≤k 2=m2(1-m )<12,得0≤m<12.②因为点Q 为△FAB 的外心,且F(-1,0),所以QA=QB=QF. 由{(m +1)2=(x -m )2+y 2,x 22+y 2=1,高三数学专题复习21 消去y,得x 2-4mx-4m=0,易知x 1,x 2也是此方程的两个根, 所以x 1+x 2=4m,x 1x 2=-4m. 又因为x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k 2,所以8k 21+2k 2=-8k 2-21+2k 2, 解得k 2=18.所以m=2k 21+2k 2=15.。

【原创】高三数学二轮复习的解题策略.docx

高三数学二轮复习的解题策略通过第一轮复习，同学们己经基本系统掌握了高中数学基础知识，并初步形成知识体系，但成绩捉高速度并不明显。

在考试中也暴露岀一些问题，如部分同学答题不规范，运算能力不强，知识不能纵横联系等等。

因此第二轮复习担负着进一步规范淫生解题思路与书写格式，进一步深化学生解题能力的重任，是学生把知识系统化、条理化与灵活运用的关键时期。

在第二轮屮，一是要看教师对“考什么”、“怎么考”的研究是否深入，把握是否到位；二是看教师对学生的引导、点拨是否正确、合理，做到减少重复，突出重点，让大部分学生学冇新意、学冇所得；三是看练习检测是否落实，与高考是否对路，做到不提高，不降低，难度适宜，梯度良好，重在基础知识的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法。

【选择题解题策略】36.6选择题是试卷小三大题型从它在全卷的作用和地位上看，能否在选择题上获高分，直接影响每位考生的情绪和全卷的成绩.解选择题的策略是：准确、快速.准确是解答高考选择题的先决条件.选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分.所以应仔细审题，认真分析，初选后认真检验，确保准确•快速求解是赢得时间获取全卷高分的必要条件.要快速解答选择题，必须：（1）熟练掌握各种基本题型的一般解法；（2）结合高考单项选择题的结构，题目木身提供的信息或特征，以及不耍书写解题过程的特点，灵活选用简便、最佳解法或特殊化法，避免繁琐的运算，避免“小题大做匕造成“超时失分J要把选择题当做选择题来做，不要当做解答题来做，作选择题时，不要只看题干，不看选项，一门心思去计算，要把四个选项和题干连成一个整体去对待，快速准确，给解答题（特别是中、高档题）留下充裕吋间.解答高考数学选择题的基木思路有：（1）直接思路；（2）间接思路.解答选择题的常用方法有：1概念辨析法：从题设条件岀发，通过对数学概念的辨析，少量运算或推理，直接选择出正确结论.例：（一练）卜•列命题中的真命题的个数是（）（1）命题“若x = \,贝Ijx2+X-2 = O"的否命题为“若x = l f则F+X-2H0”；2代入验值法：将选项或选项中某些值代入原题中验算，从中选出正确的答案.例：函数A-sin-的图像按向量2平移后，得到y = cos卜-打的图像，则2（2 4；向量2的坐标可能是( \0,疋B C.( \-,0 D.1 2丿L 2丿<4丿< 4丿3特殊值法：对于结论具有-般性的选择题，如果发现题设条件具有某种特殊的数量关系，或者观察岀所给的图形具有某种特征时，可选择合适的特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，通过简单的运算、推理或判断，便可迅速找到问题的止确答案，或者否定错谋的结论.例：如右上图，ABC中，|乔卜3, |方可= 1,DE垂直平分BC,E为垂足，则丽（AB-AC）的值是（）第9题图4 数形结合法：恰当应用数形结合的数学思想方法，充分利用图形的直观效应, 能使问题获得直观简捷的解答.例:已知两数/（X）是定义在尺上的以4为周期的两数，当xe（-l,3］时，5构造转化法：当题目给出的条件直接解题困难时，可利用题设条件具有的某种特殊数量关系或图形具冇的某种特点，构造满足题设条件的特殊图形或特殊函数，转化为一个熟知的模型或容易解决的问题，从而化难为易得出止确的答案.例：点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这三条弦长的和的最大值是6筛选排除法：从题目条件或选项入手，把不符合条件的选项逐个排除，缩小范围，从而得到正确的答案.例：函数y = Asin （（ur + 0）（0〉0,| ©|v 兰，兀G R ）的部分图彖如图所示，则该函数为（）’ r •/兀 3兀、B. y = 2sin(—x )‘ 4 4D. v = -2sin(—x + —)447 逆向思维法：有些数学题，从正面考虑比较困难时，不妨采用逆向思维.特别是当题目以否定形式给出时，冇时会使问题得到巧解.例：若止棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）・A ・三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥解：假设棱锥是六棱锥，那么这个六棱锥的底面外接I 员I 的半径、高线与侧棱共处在一个直角三角形中，11侧棱为斜边•此时棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱都相等，这是不可能的.因而选D.A. y = 2sin(—x + —)4 4小r・(兀兀、C. y = -2sm(—x -------- )例：复数2=占+备@丘尺）在复平血内对应的点不可能位于A.第一象限B.第一象限C.第一象限D.第一象限8 直接求解法：直接从题设条件出发，通过严密的数学推理、论证，准确的计算，得到结论，再与选择支对照确定选项.这是解选择题的最基本最常用的方法.但须注意：（1）切忌一拿到题目，不分析条件和要求，一味埋头推算；（2）注重等价转化，灵活应用技巧；（3）应考吋，要优先考虑运用上述方法，之后才考虑选用直接求解法.上述各种方法只是常用方法，而且它们不是互相排斥的.（1）同一个题目可能冇多种解法，对同一题目不同风格的解答，标志着观察问题的角度不同.它既可以让学生熟练掌握基木解题思路、基木技能方法与技巧，又可促进人们思维能力的逐步提高和深化.（2）用什么方法求解应该根据题目的具体条件而定，一般应选择合理简捷的方法.（3）充分应用特殊化解法，因为一般高考试题的选择题中总有儿道题都可用此法解之.【填空题解题策略】填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。

高考数学二轮总复习第二部分第4讲从审题中寻找解题思路课件

|3-4 + |
≥ 1,解得a≥6或a≤-4(舍去),故选D.
直线3x-4y+a=0的距离d=
5
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(1)审题指导“f(x)的图象在
π
t=2ωx+4 ,函数
y=sin t 在
1
0, 2
π
,
4
(π,0),(2π,0),…,f(x)的图象在
π
2
∈
π
,
4
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+
π
4
,π∈
则满足f(x-1)=f(-1-x).
运用特殊值法.
取x=1,x=2,代入上式,
(0)= (-2), 4-2 + = 0,
= 4,
则
解得
(1)= (-3), 7-2-20 = 0,
= 4.
当a=b=4时,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4满足题意.
即f(x)=-x2(x+2)2.
当x=0时,f(x)取最大值0,故选C.
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(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,
AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,
则tan ∠PBA=(
A.
3
2
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)
B.-
3
2
C.
3
4
D.-
面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和
所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条
件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题

高三数学二轮复习的解题策略.doc

高三数学二轮复习的解题策略通过第一轮复习，同学们已经基本系统掌握了高中数学基础知识，并初步形成知识体系，但成绩提高速度并不明显。

在考试中也暴露出一些问题，如部分同学答题不规范，运算能力不强，知识不能纵横联系等等。

因此第二轮复习担负着进一步规范学生解题思路与书写格式，进一步深化学生解题能力的重任，是学生把知识系统化、条理化与灵活运用的关键时期。

在第二轮中，一是要看教师对“考什么”、“怎么考”的研究是否深入，把握是否到位；二是看教师对学生的引导、点拨是否正确、合理，做到减少重复，突出重点，让大部分学生学有新意、学有所得；三是看练习检测是否落实，与高考是否对路，做到不提高，不降低，难度适宜，梯度良好，重在基础知识的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法。

【选择题解题策略】36.6选择题是试卷中三大题型之一．从它在全卷的作用和地位上看，能否在选择题上获高分，直接影响每位考生的情绪和全卷的成绩．解选择题的策略是：准确、快速．准确是解答高考选择题的先决条件．选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分．所以应仔细审题，认真分析，初选后认真检验，确保准确．快速求解是赢得时间获取全卷高分的必要条件．要快速解答选择题，必须：（1）熟练掌握各种基本题型的一般解法；（2）结合高考单项选择题的结构，题目本身提供的信息或特征，以及不要书写解题过程的特点，灵活选用简便、最佳解法或特殊化法，避免繁琐的运算，避免“小题大做”，造成“超时失分”，要把选择题当做选择题来做，不要当做解答题来做，作选择题时，不要只看题干，不看选项，一门心思去计算，要把四个选项和题干连成一个整体去对待，快速准确，给解答题（特别是中、高档题）留下充裕时间．解答高考数学选择题的基本思路有：（1）直接思路；（2）间接思路．解答选择题的常用方法有： 1概念辨析法：从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，少量运算或推理，直接选择出正确结论．例：（一练）下列命题中的真命题的个数是（）⑴ 命题“若1,x = 则220x x +-=”的否命题为“若1x =，则220x x +-≠”；2代入验值法：将选项或选项中某些值代入原题中验算，从中选出正确的答案．例：函数sin 2x y =的图像按向量a 平移后，得到cos 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则向量a 的坐标可能是A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3特殊值法：对于结论具有一般性的选择题，如果发现题设条件具有某种特殊的数量关系，或者观察出所给的图形具有某种特征时，可选择合适的特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，通过简单的运算、推理或判断，便可迅速找到问题的正确答案，或者否定错误的结论．例：如右上图，ABC 中，3AB =，1AC =，DE 垂直平分BC ，E 为垂足，则()AD AB AC -的值是（）A ．1B ．2C ．2D ．44数形结合法：恰当应用数形结合的数学思想方法，充分利用图形的直观效应，能使问题获得直观简捷的解答．例：已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，(](]21,1,1,()(12),1,3,x x f x t x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中t >0.若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（）A ．2(,1)5B ．26(,)55C ．6(1,)5D ．(1,)+∞5构造转化法：当题目给出的条件直接解题困难时，可利用题设条件具有的某种特殊数量关系或图形具有的某种特点，构造满足题设条件的特殊图形或特殊函数，转化为一个熟知的模型或容易解决的问题，从而化难为易得出正确的答案．例：点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这三条弦长的和的最大值是 . 6筛选排除法：从题目条件或选项入手，把不符合条件的选项逐个排除，缩小范围，从而得到正确的答案．例：函数sin()(0,||,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则该函数为（） A ．2sin()44y x ππ=+ B ．32sin()44y x ππ=- C ．2sin()44y x ππ=-- D ．2sin()44y x ππ=-+7逆向思维法：有些数学题，从正面考虑比较困难时，不妨采用逆向思维．特别是当题目以否定形式给出时，有时会使问题得到巧解．例：若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）．A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥解：假设棱锥是六棱锥，那么这个六棱锥的底面外接圆的半径、高线与侧棱共处在一个直角三角形中，且侧棱为斜边．此时棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱都相等，这是不可能的．因而选Ｄ．例：复数()111a z a R i i=+∈-+在复平面内对应的点不可能位于 A.第一象限 B.第一象限 C.第一象限 D.第一象限8直接求解法：直接从题设条件出发，通过严密的数学推理、论证，准确的计算，得到结论，再与选择支对照确定选项．这是解选择题的最基本最常用的方法．但须注意：（1）切忌一拿到题目，不分析条件和要求，一味埋头推算；（2）注重等价转化，灵活应用技巧；（3）应考时，要优先考虑运用上述方法，之后才考虑选用直接求解法．第5题图上述各种方法只是常用方法，而且它们不是互相排斥的．（1）同一个题目可能有多种解法，对同一题目不同风格的解答，标志着观察问题的角度不同．它既可以让学生熟练掌握基本解题思路、基本技能方法与技巧，又可促进人们思维能力的逐步提高和深化．（2）用什么方法求解应该根据题目的具体条件而定，一般应选择合理简捷的方法．（3）充分应用特殊化解法，因为一般高考试题的选择题中总有几道题都可用此法解之．【填空题解题策略】填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。

高考二轮复习数学题型解题方法与技巧

答案：B
3．(2013·辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列ann是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( ) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
解析：双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，因为一条渐近线与直线 y＝2x＋10 平行，所以ba＝2.
又因为双曲线的一个焦点在直线 y＝2x＋10 上，所以－2c＋10＝0，所以 c＝5.
由ba＝2， c＝ a2＋b2＝5
得ab22＝＝520，.
故双曲线的方程为x52－2y02 ＝1.
答案：A
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项 A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除 A；选项 B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除 B；选项 C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除 C.
答案：D
2．(2014·福建卷)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
答案：B
2．(2014·山西四校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2 的部分图象如图所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为 ()
A.xx＝kπ－6π，k∈Z
ห้องสมุดไป่ตู้
B.xx＝kπ－π3，k∈Z
C.xx＝2kπ－π6，k∈Z
D.xx＝2kπ－3π，k∈Z
【答案】 D
有些选择题，用常规方法直接求解较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单．

高三数学二轮专题复习专题-选择题的解题方法

C
小结：数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右.
6.割补法
“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度.
解：（特值法）当n＝2时，代入得C20＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C40＋C42＋C44＝8，排除答案D.所以选B. 另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有Cn0＋Cn2＋…＋Cnn-2＋Cnn＝2n-1选B.
B
例5．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）（A）130 （B）170 （C）210（D）260
解：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为所以正方体棱长为1.
A
我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”.
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。
1
2
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
3
这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.从而确定选择支的方法。
A
1
2
3
4
5.图象法
C
（B）（D）
例11．在（0，2π）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是（）

高考数学第二轮复习各题型的复习技巧

高考数学第二轮复习各题型的复习技巧虽然为艺术品添加颜色并不难，但是要想颜色搭配好看，也是考需要积累经验和花费大量的时间和精力。

高考数学二轮复习也是一样，下面为各位同学分享高考数学二轮复习各题型复习技巧。

1.选择题(1)概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强。

试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，绝不标新立异。

(2)量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容。

在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大。

而且，许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴涵了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。

(3)充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。

作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在。

绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力，思辨性的要求充满题目的字里行间。

(4)形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它辨证统一起来。

这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。

因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是：几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。

因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法。

(5)解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。

尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。

新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练4从审题中寻找解题思路

专题对点练4　从审题中寻找解题思路一、选择题1.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )x 2m 2+n -y 23m 2-n A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)332.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A .6B .7C .8D .93.已知F 1,F 2是双曲线C :=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△x 2a 2-y 2b 2PF 1F 2最小的内角为30°,则双曲线C 的渐近线方程是( )A .x±y=0B .x±y=022C .x±2y=0D .2x±y=04.已知双曲线C :x 2-=1,过点P (1,1)作直线l ,使l 与C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直y 24线l 的条数共有( )A .3B .2C .1D .45.已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c ,其中b>a ,且对任意x ∈R 都有f (x )≥0,则M=的最小值为( )a +2b +3cb -a A .B .C .D .5-2325+2327-3527+3526.(2018河北一模)设双曲线=1(0<a<b )的半焦距为c ,直线l 过(a ,0),(0,b )两点,已知原点到x2a 2-y2b 2直线l 的距离为c ,则双曲线的离心率为( )34A .2B .C .D .32233二、填空题7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则= .ab 8.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i 行第j 列的数为a i ,j (i ,j ∈N *),则(1)a 9,9= ;(2)表中的数82共出现次.234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………9.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若b 是和2的等比中项,c 是112和5的等差中项,则a 的取值范围是 . 三、解答题10.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列.(1)求数列{a n }的通项;(2)设{b n -(-1)n a n }是等比数列,且b 2=7,b 5=71.求数列{b n }的前n 项和T n .11.已知函数f (x )=4sin ·cos ωx 在x=处取得最值,其中ω∈(0,2).(ωx -π4)π4(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)将函数f (x )的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵π36坐标不变,得到函数y=g (x )的图象,若α为锐角,g (α)=,求cos α.43-212.已知函数f (x )=ln x+a (1-x ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a-2时,求a 的取值范围.专题对点练4答案1.A 解析因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3,故选A .2.B 解析当0≤x<2时,令f (x )=x 3-x=0,得x=0或x=1,根据周期函数的性质,由f (x )的最小正周期为2,可知y=f (x )在[0,6)上有6个零点,又f (6)=f (3×2)=f (0)=0,所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7.3.A 解析由题意,不妨设|PF 1|>|PF 2|,则根据双曲线的定义得,|PF 1|-|PF 2|=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=6a ,解得|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a.在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c ,而c>a ,所以有|PF 2|<|F 1F 2|,所以∠PF 1F 2=30°,所以(2a )2=(2c )2+(4a )2-2·2c·4a cos 30°,得c=a ,3所以b=a ,c 2-a 2=2所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ,即x±y=0.ba 224.D 解析当直线l 斜率存在时,令l :y-1=k (x-1),代入x 2-=1中整理有(4-k 2)x 2+2k·(k-1)x-k 2+2k-5=0.当4-k 2=0,即k=±2时,l 和双曲线的渐近线y 24平行,有一个公共点.当k ≠±2时,由Δ=0,解得k=,即k=时,有一个切点.5252直线l 斜率不存在时,x=1也和曲线C 有一个切点.综上,共有4条满足条件的直线.5.D 解析由题意得a>0,b 2-4ac ≤0,即c ≥,则M=.b 24a a +2b +3cb -a≥a +2b +3b 24ab -a=1+2·b a +34·(ba )2b a-1令=t ,则t>1,于是M ≥(t-1)+,ba 1+2t +34t 2t -1=34(t -1)2+72(t -1)+154t -1=34154·1t -1+72≥352+72当且仅当t-1=,即b=(1+)a ,c=a 时等号成立.55b24a =3+52所以M=的最小值为.a +2b +3cb -a 7+3526.A 解析 ∵直线l 过(a ,0),(0,b )两点,∴直线l的方程为=1,xa+yb 即bx+ay-ab=0.又原点到直线l 的距离为c ,34∴c ,即c 2,|ab|a 2+b 2=34a 2b 2a 2+b 2=316又c 2=a 2+b 2,∴a 2(c 2-a 2)=c 4,316即c 4-a 2c 2+a 4=0,316化简得(e 2-4)(3e 2-4)=0,∴e 2=4或e 2=.43又∵0<a<b ,∴e 2==1+>2,c 2a 2b 2a 2∴e 2=4,即e=2,故选A .7.2　解析 (法一)因为b cos C+c cos B=2b ,所以b·+c·=2b ,化简可得=2.a 2+b 2-c 22ab a 2+c 2-b 22ac ab (法二)因为b cos C+c cos B=2b ,所以sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,故sin(B+C )=2sin B ,故sin A=2sin B ,则a=2b ,即=2.ab 8.(1)82　(2)5　解析 (1)a 9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……第9行的公差为9,第9行的首项b 1=10,则b 9=10+8×9=82.(2)第1行数组成的数列a 1,j (j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a 1,j =2+(j-1)·1=j+1;第i 行数组成的数列a i ,j (j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i 的等差数列,所以a i ,j =(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得a i ,j =ij+1=82,即ij=81,且i ,j ∈N *,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.9.(2)　解析因为b 是和2的等比中项,所以b==1.2,101212×2因为c 是1和5的等差中项,所以c==3.1+52又因为△ABC 为锐角三角形,①当a 为最大边时,有{12+32-a 2>0,a ≥3,1+3>a,解得3≤a<;10②当c 为最大边时,有{12+a 2-32>0,a +1>3,a ≤3,解得2<a ≤3.2由①②得2<a<,210所以a 的取值范围是(2).2,1010.解 (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0),∵a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列,∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故a n =a 1+(n-1)d=2n.(2)令c n =b n -(-1)n a n ,设{c n }的公比为q.∵b 2=7,b 5=71,a n =2n ,∴c 2=b 2-a 2=3,c 5=81,∴q 3==27,q=3,c 5c 2∴c n =c 2=3n-1.q n -2从而b n =3n-1+(-1)n 2n.T n =b 1+b 2+…+b n =(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n 2n ],当n 为偶数时,T n =,当n 为奇数时,T n =.3n +2n -123n -2n -3211.解 (1)f (x )=4sin ·cos ωx(ωx -π4)=2sin ωx·cos ωx-2cos 2ωx 22=(sin 2ωx-cos 2ωx )-22=2sin,(2ωx -π4)-2∵f (x )在x=处取得最值,π4∴2ω·=k π+,k ∈Z ,π4-π4π2∴ω=2k+,k ∈Z .∵ω∈(0,2),32即0<2k+<2,∴-<k<,323414又k ∈Z ,∴k=0,则ω=,32∴f (x )=2sin ,∴T=.(3x -π4)-22π3(2)将函数f (x )的图象向左平移个单位长度,得到π36h (x )=2sin [3(x +π36)-π4]-2=2sin ,(3x -π6)-2再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到g (x )=2sin .(x -π6)-2故g (α)=2sin ,(α-π6)-2=43-2sin .(α-π6)=23∵α为锐角,∴-<α-,π6π6<π3因此cos (α-π6)=1-(23)2=53故cos α=cos =cos·cos -sin·sin(α-π6+π6)(α-π6)π6(α-π6).π6=53×32-23×12=15-2612.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=-a.1x 若a ≤0,则f'(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)内单调递增.若a>0,则当x ∈时,f'(x )>0;当x ∈时,f'(x )<0.(0,1a )(1a ,+∞)所以f (x )在内单调递增,在内单调递减.(0,1a )(1a ,+∞)(2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f (x )在x=处取得最大值,最大值为1a f =ln +a =-ln a+a-1.(1a )(1a )(1-1a )因此f >2a-2等价于ln a+a-1<0.(1a )令g (a )=ln a+a-1,则g (a )在(0,+∞)内单调递增,g (1)=0.于是,当0<a<1时,g (a )<0;当a>1时,g (a )>0.因此,a 的取值范围是(0,1).。

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