高中数学4-2实际问题的函数建模课件北师大版必修

1 ．用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作 ________，用图示表示数学建模的过程如图所示．
2．常见函数模型
答案]
1.数学建模 k≠0 k x k≠0 ax2＋bx＋c
2．kx＋b
思路方法技巧
一次函数模型应用
[例 1]
某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35
元， 卖出的价格是每份 0.50 元， 卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格退回报社．在一个月(30 天)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份．设每天从报社买进 的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使 每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得 多少元？
同时要活用配方法．本题主要考查应用函数知识解答实际问 题的能力． 这恰恰体现了“以能力立意”的命题指导思想． 应 用题型正是近几年的高考热点和重点题型． (2)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为 根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、 换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实 际问题中的最大、最小等问题．
2．注意题目类型的区分与各种类型问题对应的数学模型 的掌握． (1)建立函数关系的内容．根据已知条件建立函数关系是 函数应用的一个重要方面．这类问题有两类：一类是根据几 何、物理概念建立函数关系；另一类是通过观察、实验建立 函数关系．例如自由落体的距离公式就属于后者． (2)增长率问题给出的公式 y＝N(1＋p)x 的应用非常广泛， 复利是一个方面，其他方面如人口增长率、国民经济增长率 均属这类题目．
[方法总结]
(1)一次函数模型层次性不高， 求解也较为容
易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方 法来处理． (2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真 读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借 助图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本 2 元，铅笔每 支 0.5 元． 该店推出两种优惠办法： (1)买一本软皮本赠送一支 铅笔；(2)按总价的 92%付款．现在买软皮本 4 本，铅笔若干 支(不少于 4 支)，若购买铅笔数为 x 支，支付款数为 y 元，试 分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式， 并说明使 用哪种优惠办法更合算？
[分析]
(1)月租金增加时，未租出的车辆数也随之增加，
只需求出现在有多少辆车未租出，就可求出能租出多少辆车． (2) 公司的月收益＝租出的车辆数×( 租金－租出车辆的 维护费)－未租出的车辆数×未租出的车辆维护费．
[解析]
(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的
3600－3000 车辆数为 ＝12. 50 ∴这时租出 88 辆车． (2)设每辆车的月租金定为 x 元， 则租赁公司的月收益为
元，则日销量就减少 40 桶，然后设出有关未知量，建立函数 模型，进而解决问题．
[解析]
设每桶水在原来的基础上上涨 x 元， 利润为 y 元，
由表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，日销售量就减 少 40 桶，所以涨价 x 元后，日销售的桶数为 480－40(x－1)＝520－40x>0，所以 0<x<13， 则利润 y＝(520－40x)x－200 ＝－40x2＋520x－200 13 2 ＝－40(x－ 2 ) ＋1490，其中 0<x<13. 所以当 x＝6.5 时，利润最大，即当每桶水的价格为 11.5 元时，利润最大值为 1490 元.
[解析]
设每天应从报社买 x 份，易知 250≤x≤400.
设每月赚 y 元，得 y ＝ 0.5· x· 20 ＋ 0.5×250×10 ＋ (x － 250)×0.08×10－0.35· x· 30＝0.3x＋1050， x∈[250,400]． 因为 y＝0.3x＋1050 是定义域上的增函数， 所以当 x＝400 时，ymax＝120＋1050＝1170(元)． 可知每天应从报社买 400 份报纸，获得利润最大，每月 可赚 1170 元．
[ 分析]
每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社
的总价，而收入的总数分为 3 部分：(1)在可卖出 400 份的 20 天里，收入为 0.5x· 20；(2)在可卖出 250 份的 10 天里，在 x 份报纸中，有 250 份报纸可卖出，收入为 0.5×250×10；(3) 没 有 卖 掉 的 (x － 250) 份 报 纸 可 退 回 报 社 ， 报 社 付 出 (x － 250)×0.08×10 的钱，注意写出函数式的定义域．
指数函数型模型的应用
[例 3] 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律
及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检 测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种 病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候， 小白鼠将会死 亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的 98%.
x－3000 x－3000 f(x)＝100－ ×50. (x－150)－ 50 50
x2 ∴f(x)＝－ ＋162x－21000 50 1 ＝－50(x－4050)2＋307050. ∴当 x＝4050 时，f(x)最大，最大月收益为 307050 元．
[方法总结]
(1)思维方法是依月收入来建立函数解析式，
Q，则 2A 年后有两种结果： ①连续长 2A 年，木材量 N＝Q(1＋a%)A(1＋b%)A； ②生长 A 年后，出售再重栽，木材量 M＝2Q(1＋a%)A. M 2 因为 ＝ ， N 1＋b%A 所以当(1＋b%)A<2 时，用重栽的方案较好； 当(1＋b%)A>2 时，用连续生长的方案较好．
天数 t 1 2 3 4 5 6
病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010) [分析]
－
根据题意，建立病毒细胞个数 y 与时间 t 的函数
关系 y＝2t 1，然后利用不等式求解．
[解析] ＝2t－1.
(1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间 t 的函数为 y
则由 2t－1≤108 两边取对数得(t－1)lg2≤8， 得 t≤27.6.即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物． (2) 由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为 226×2%， 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞数为 226×2%×2x. 由题意 226×2%×2x≤108 ，两边取对数得 26lg2 ＋ lg2 － 2 ＋ xlg2≤8，得 x≤6.2， 即再经过 6 天必须注射药物，即第二次应在第 33 天注射药物．
即当购买铅笔数少于 3ຫໍສະໝຸດ 支(不少于 4 支)时，优惠办法(1) 合算；当购买铅笔数多于 34 支时，优惠办法(2)合算；当购买 铅笔数是 34 支时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即 一样合算.
二次函数模型应用
[例 2] 某租赁公司拥有汽车 100 辆．当每辆车的月租金
为 3000 元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加 50 元 时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护 费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元． (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时， 能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益 最大？最大月收益是多少元？
(2)文理关： 将实际问题的文字语言转化为数学符号语言， 恰当地设出符号或字母，将总结出来的文字语言表示的等量 关系，转化为数学符号表示的函数等量关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识 进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问 题向数学问题的转化．构建了数学模型之后，要真正解决数 学问题就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
§2
实际问题的函数建模
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
知能目标解读
1．了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的 联系，强化用数学方法解决实际问题的意识． 2．尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决 实际问题．
重点难点点拨
重点：理解问题背景，建立合理的相关函数解析式，应用 函数与方程、不等式的相关知识来解决实际问题． 难点：理解题意，把实际问题抽象、概括得到合理的数学 模型．
某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每桶水进价为 5 元，销售单价与日销售量的关系如下 表： 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 240
日销售量(桶) 480
440 400 360 320 280
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？最大利润是多少？ [分析] 解答本题可先分析表格，从中找到单价每增加 1
(2)当 A＝5 时，则 5lg(1＋b%)＝lg2，解得 b≈14.9. 因此， 对于 5 年成材的树木， 当 5 年后的生长率低于 14.9% 时，应考虑重栽； 当 5 年后的生长率高于 14.9%时， 应考虑用连续生长的方 案.
对数函数模型的应用
[例 4] 2003 年 10 月 15 日， 我国的“长征”二号 F 型火
箭成功发射了“神舟”五号载人飞船，这标志着中国人民在 航天事业上又迈出了历史性的一步．火箭的起飞质量 M 是箭 体(包括搭载的飞行器)的质量 m 和燃料的质量 x 之和．在不 考虑空气阻力的情况下，假设火箭的最大飞行速度 y 关于 x 的函数关系式为 y＝k[ln(m＋x)－ln( 2m)]＋4ln2(k≠0)．当燃 料质量为( e－1)m t 时，该火箭的最大飞行速度为 4km/s.