20动量矩定理

＝0 + rc × ∑ Fi
(e)
dLC + dt
rc × ∑ Fi
(e)பைடு நூலகம்
dLC (e) + = ∑ ri × Fi dt
rc × ∑ Fi
(e)
dLC + = ∑ ri × Fi ( e ) dt
z z' rC O C r'i x' ri mi vi y' y
dLC = ∑ (ri rc ) × Fi ( e ) dt dLC / (e) = ∑ ri × Fi dt
说明：1、投影式： d Lx = ∑ M x ( Fi (e ) ) 说明： 、投影式：
dt
d Ly dt = ∑ M y ( Fi )
(e )
d Lz = ∑ M z ( Fi (e ) ) dt
2、内力不能改变质点系的动量矩。 、内力不能改变质点系的动量矩。
质点系对某固 定轴的动量矩 对时间的导数， 等于作用于质 点系的外力对 于同一轴的矩 的代数和。
vi
mi
在国际单位制中，转动惯量的单位 是: kgm2 。同一刚体对不同轴的转 动惯量是不同的，因此在谈及转动 x 惯量时，必须指明它是对哪一轴的 转动惯量。
ω
O
y
二．转动惯量的计算 １．积分法 (1). 均质细杆 设均质细杆长 l，质量m m 取微段 dx, 则 d m = d x l O x l z1 x
二．质点系的动量矩 对点的动量矩 质点系对某点O的动量矩等于各质点对 同一点O的动量矩的矢量和。
LO = ∑ M O (mi vi )
对轴的动量矩 质点系对某轴 z 的动量矩等于各质 点对同一 z 轴的动量矩的代数和。
i =1
n
L z = ∑ M z ( mi v i )
i =1
n
[ LO ] z = Lz
四．质点系动量矩守恒定律
∑ M O ( F ( e ) ) ≡ 0 ，则 LO = 常矢量； 常矢量； 若
dLO (e) = ∑MO (F ) i dt
∑ M z ( F ( e ) ) ≡ 0 ，则 L z = 常量。 常量。 若
d Lz (e) = ∑Mz (Fi ) dt
高炉运送矿石的卷扬机如图。 例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径 轴转动。 为 R，质量为 1，绕O轴转动。 小车和矿石的总质 ， 质量为m 轴转动 量为m 作用在鼓轮上的力偶矩为M， 量为 2 。 作用在鼓轮上的力偶矩为 ， 鼓轮对转 轴的转动惯量为J， 轴的转动惯量为 ， 轨道倾角为 α 。 设绳质量和各 处摩擦不计，求小车的加速度a。 处摩擦不计，求小车的加速度 。
LO = ∑ M O (mi vi )
i =1
n
由于
∑MO (Fi ) = 0
(i)
得
dLO (e) = ∑ MO (Fi ) dt
dLO (e ) = ∑ M O ( Fi ) dt
称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O 称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点 质点系的动量矩定理 定点 的动量矩对时间的导数， 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和。 外力对于同一点的矩的矢量和。
一绳跨过定滑轮， 例 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物 ， 另一端有一质量为 的人以 的重物A，另一端有一质量为m的人以 速度u 相对细绳向上爬。 若滑轮半径为r， 速度 相对细绳向上爬 。 若滑轮半径为 ， 质量不计，并且开始时系统静止， 质量不计，并且开始时系统静止，求人的 速度。
O u
A mg mg
解：以系统为研究对象，受力如图。 以系统为研究对象，受力如图。 由于Σ 由于ΣMO(F (e))＝0，且系统初始静止， ＝ ，且系统初始静止，
所以 LO＝0。 。
设重物A上升的速度为 ， 设重物 上升的速度为v， 上升的速度为 则人的绝对速度v 则人的绝对速度 a的大小为
O
FOy FOx u
x e d Lc = ∑ M c (F i ) dt 质点系相对于质心的动量矩对时 间的导数，等于作用于质点系的 外力对质心的主矩。
§20-4 刚体对轴的转动惯量
一．定义
Jz = ∑mi ri
i
2
z
对于质量连续分布的刚体， 对于质量连续分布的刚体，上式可写 成积分形式
Jz = ∫ r d m
2
ri
称为质点的动量矩定理： 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 质点的动量矩定理 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 投影式： 投影式：
d M x (mv ) = M x ( F ) dt d M y ( mv ) = M y ( F ) dt
d M z (mv ) = M z ( F ) dt
l 2
z x dx
J Z = ∫ r dm
2
l
m 1 2 2 Jz = ∫ d x x = ml 0 l 3
C
x
dx
Jz1 = ∫
l 2 l 2
m 1 2 2 d x x = ml l 12
(2)半径为 ，质量为 的均质薄圆盘 半径为R，质量为m 半径为
Jz = ∫
R
0
2m 3 1 r dr = mR2 2 R2
va = u v
v
A mg u mg
ve＝v
谁最先到 达顶点
§20-3 质点系相对于质心的动量矩定理
动量矩定理只适用于惯性参考系中的 固定点或固定轴
d Lx = ∑ M x ( Fi (e ) ) dt d Ly = ∑ M y ( Fi (e ) ) dt d Lz = ∑ M z ( Fi (e ) ) dt
(3)半径为 ，质量为 的均质薄圆环 半径为R，质量为m 半径为
J z = mR
2
2. 惯性半径 （或回转半径） 或回转半径） 在工程上常用回转半径来计算刚体 的转动惯量， 的转动惯量，其定义为
ρz =
Jz m
如果已知回转半径， 如果已知回转半径，则物体的转动惯量为
J z = mρ
2 z
3、平行轴定理 、 定理： 刚体对于任一轴的转动惯量， 定理 ： 刚体对于任一轴的转动惯量 ， 等于刚 体对于通过质心、 体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积. 量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
ω
O M
v
MR m2 gR 2 sin α a= 2 J + m2 R
α
若M＞m2gR sin α，则 a＞0，小车的加速度沿轨道向上。 ＞ ＞ 小车的加速度沿轨道向上。
必须强调的是：为使动量矩定理 为使动量矩定理 中各物理量的正负号保持协调， 中各物理量的正负号保持协调，动量 矩和力矩的正负号必须完全一致。 矩和力矩的正负号必须完全一致。
ω
O M
v
α
受力如图。 解：以系统为研究对象，看作为质点系,受力如图。 以系统为研究对象，看作为质点系 受力如图
LO = L鼓轮 + L车
= Jω + m2 vR
∑M O ( F (e) ) )== M m m2 g sin α R M M g sin R
ω
FOy O M m1g m2g FOx
第20章 章 动量矩定理
问题的提出： 问题的提出：
m, r m, l
C C
p=0
§20-1
质点和质点系的动量矩
z
一．质点的动量矩 对点O 的动量矩
MO(mv)
mv
M O (mv ) = r × mv
说明： 说明：1．矢量，方向 矢量，
x
Q
r O
y
2．单位：Kg.m2/s 单位：
对轴z的动量矩
z
质点对某固 定轴的动量矩 对时间的一阶 导数等于质点 上的力对同一 轴的矩。
二．质点动量矩守恒定律 若
M O ( F ) ≡ 0 ，则 M O (mv) = 常矢量； 常矢量；
d MO (mv) = MO (F ) dt
若
M z (F ) ≡ 0
常量。 ，则 M z ( mv) =常量。
d Mz (mv) = Mz (F ) dt
三. 质点系的动量矩定理 设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点 设由 个质点组成的质点系。其中第 个质点 个质点组成的质点系 的动量为m 的动量为 ivi，作用在该质点上的外力 F (e)
i
内力为
Fi
(i)
，由质点的动量矩定理
d M O (mi vi ) = M O ( Fi ( i ) ) + M O ( Fi ( e ) ) dt
若O为固定点
dLO = ∑ M O ( Fi (e ) ) dt
dLO = ∑ M O ( Fi (e ) ) dt
LO = rC × mvC + LC
(e) d d = (rC × mvC + LC ) = ∑ r i × F i dt dt
drc d (mvc ) dLC 左：＝ × mvc + rc × + dt dt dt
LO = ∑ M O (mi vi ) = ∑ ri × mi vi
对于任一质点
ri = rC + r ′ i
x
i
rC O
于是 L = ∑(r + r ′ ) × m v i O C i i
O C i i
= rC × ∑ mi vi + ∑ r ′ i ×mi vi
由于 ∑ mi vi = mvC
LC = ∑ r ′i × mi vi
LO = mva r mvr LO = m(u v)r mvr = 0 u u va = v= 2 2