2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
[配套K12]2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课
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方程的根与函数的零点(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·烟台高一检测)函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令log5(x-1)=0,得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2.2.(2017·开封高一检测)二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.二次函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)=0的实根个数有关,由于Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.3.(2017·聊城高一检测)函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3,则它的另一个零点是( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选B.设另一个零点是x,由根与系数的关系得-3+x=-=-2,所以x=1.即另一个零点是1.4.(2017·吉安高一检测)已知函数f(x)=-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x1) ( )A.恒为负值B.等于0C.恒为正值D.不大于0【解析】选C.由实数x0是方程f(x)=0的解,得=log2x0,分别作出函数y=,y=log2x 的图象,由图象可知,当0<x1<x0时,>log2x1,所以f(x1)=-log2x1>0.【一题多解】因为函数y=是单调减函数,y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以根据函数单调性的性质可知,函数f(x)=-log2x在(0,+∞)上是减函数.因为0<x1<x0,所以f(x1)>f(x0)=0.5.(2017·黄冈高一检测)若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有( )A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以在(0,+∞)上有且仅有一个零点2,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2,所以函数f(x)的零点有两个.6.(2017·郑州高一检测)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.由2a=3,3b=2,得a=log23,b=log32,ab=1,f(-1)=a-1-1-b=-1<0,f(0)=1-b=1-log32>0.所以零点所在区间是(-1,0).7.函数g(x)=x2+a存在零点,则a的取值范围是( )A.a>0B.a≤0C.a≥0D.a<0【解析】选B.函数g(x)=x2+a存在零点,则x2=-a有解,所以a≤0.【延伸探究】若本题中条件“存在零点”换为“有两个零点”,其结论又如何呢?【解析】选D.函数g(x)=x2+a有两个零点,则x2=-a有两个实数解,所以a<0,故选D.【补偿训练】函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选D.在平面直角坐标系中作出函数y=|x|-1和y=ax的图象如图,结合图象可以看出:当a≥1时,两函数的图象只有一个交点,且交点横坐标小于0,即函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点.故应选D.8.已知函数f(x)=x--1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x2<x1<x3B.x2<x3<x1C.x3<x1<x2D.x1<x2<x3【解析】选 B.f(x)=x--1=0⇔x-1=,根据图象可得两个函数图象的交点x1>1,g(x)=x+2x=0⇔2x=-x,根据两个函数图象的交点可知x2<0,h(x)=x+lnx=0⇔lnx=-x,根据两个函数图象的交点可知0<x3<1,所以x2<x3<x1.【一题多解】选B.三个函数图象y=--1,y=2x,y=lnx与y=-x的交点横坐标比较大小,这样画在同一坐标系下也清楚交点的大小.由图可知x2<x3<x1.【补偿训练】(2017·德州高一检测)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点【解析】选C.因为f(0)·f(1)<0,故f(x)在(0,1)内一定有零点.尽管f(1)·f(2)>0,f(x)在(1,2)内也可能有零点,如图,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·嘉兴高一检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为________.【解析】当x≤1时,令2x-1=0,得x=0.当x>1时,令1+log2x=0,得x=,此时无解.综上所述,函数零点为0.答案:010.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为________.【解析】易知函数f(x)=x2+x+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=-.若函数f(x)在区间(0,1)上有零点,则只需满足f(0)·f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0.答案:-2<a<0【补偿训练】已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=f(x).若f(x)有2015个零点,则这2015个零点之和为________.【解析】设x0为其中一根,即f(x0)=0,因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(-x0)=f(x0)=0,即-x0也为方程一根,又因为方程f(x)=0有2015个实数解,所以其中必有一根x1,满足x1=-x1,即x1=0,所以这2015个零点之和为0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)11.判断函数f(x)=lnx-在区间[1,3]内是否存在零点.【解析】因为函数f(x)=lnx-的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线,且f(1)=-1<0,f(3)=ln3->0,从而由零点存在性定理知,函数在[1,3]内存在零点.12.(2017·大同高一检测)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-(舍去),所以x=0,所以函数f(x)的零点为0.(2)若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解.于是2a==+=-,因为>0,所以2a>-=0,即a>0.【补偿训练】已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的范围.【解题指南】第(2)问将函数的零点转化为函数图象与x轴交点的横坐标,利用图象找出关于b的不等式,然后解不等式即可.【解析】(1)因为f(0)=f(4),所以3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.【能力挑战题】已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.求当m为何值时,函数f(x)有两个零点.【解析】函数f(x)有两个零点,即方程2(m+1)x2+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根,所以解得m<1且m≠-1,所以当m<1且m≠-1时,函数f(x)有两个零点.。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教案数学教案
3．1.1 方程的根与函数的零点[目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．[重点] 函数零点的概念以及函数零点的求法．[难点] 对函数零点的判断方法的理解及应用.知识点一函数的零点[填一填]对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．[答一答]1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．方程的根、函数的零点、图象知识点二之间的关系[填一填]方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[答一答]3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．知识点三函数零点的存在性定理[填一填]如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[答一答]4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不一定．如f (x )＝x 3－x 在区间[－2,2]上有f (2)·f (－2)<0，但f (x )在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f (x )＝x ＋1，在区间[－2,0]上有f (－2)·f (0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.5．若函数y ＝f (x )满足在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )>0，是不是说函数y ＝f (x )在(a ，b )内没有零点？提示：y ＝f (x )在(a ，b )内也可能有零点．如f (x )＝x 2－1，在区间[－2,2]上有f (－2)f (2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1. 类型一 求函数的零点[例1] (1)求函数f (x )＝x 2－x －2的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点．[解] (1)因为f (x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f (x )＝0，即(x ＋1)(x －2)＝0.解得x ＝－1或x ＝2.所以函数f (x )的零点为－1和2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a .故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)．令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13. 1求函数f x 的零点就是求方程f x ＝0的解，求解时注意函数的定义域. 2已知x 0是函数f x 的零点，则必有f x 0＝0.[变式训练1] 已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．解：由题意知f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2， 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两个实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－3m ＋1，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)．令log 2(－2x ＋1)＝0，得x ＝0.所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.类型二 判断函数零点所在区间[例2] (1)方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________. x－1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09x ＋2 1 2 3 4 5[答案] (1)C (2)1[解析] (1)令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 323<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0，f (4)＝log 34＋4－3＝log 312>0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．(2)记f (x )＝e x －x －2，则该函数的零点就是方程e x －x －2＝0的实根．由题表可知f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，f (3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f (1)f (2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k ＝1.判断函数零点所在区间的三个步骤：1代.将区间端点代入函数求出函数的值. 2判.把所得函数值相乘，并进行符号判断. 3结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.[变式训练2] 函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( B )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1e ，1)和(3,4)D ．(e ，＋∞)解析：∵f (1)＝－2<0, f (2)＝ln2－1<0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，∴在(1,2)内f (x )无零点．又∵f (3)＝ln3－23>0，∴f (2)·f (3)<0. ∴f (x )在(2,3)内有一个零点．∴选B.类型三 函数零点个数的有关问题命题视角1：判断函数零点的个数[例3] 求函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．[解] 方法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f (x )有且只有一个零点．方法二：如图，在同一坐标系中作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的图象． 由图知，g (x )＝lg(x ＋1)和h (x )＝2－2x 的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：1对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.2由f x ＝g x －h x ＝0，得g x ＝h x ，在同一坐标系中作出y 1＝g x和y 2＝h x 的图象，利用图象判定方程根的个数. [变式训练3] 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：易知函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.[变式训练4] 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)．解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b<2.1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( B )A．(－2,3) B．2,3C．(2,3) D．－2，－3解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.2．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是( C ) A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4>0，则x0∈(2,3)．3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a ＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2.解析：由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．——本课须掌握的三大问题1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．学习至此，请完成课时作业23二次函数的零点问题开讲啦二次函数零点的分布问题又称为一元二次方程根的分布问题，求解此类问题，一定要注意数形结合方法的应用，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，如判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．[典例] 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．[分析] 本题首先要确定二次项系数的取值，故应分类讨论．[解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m <0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m >0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0，3－m 2m >0，m >0，解得0<m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]． [对应训练] 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，画出示意图(如图所示)，观察图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝2m ＋1<0f －1＝2>0f 1＝4m ＋2<0f 2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12. 所以m 的取值范围是(－56，－12)．。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件
2.函数y=f(x)的图象与方程f(x)=0的实根及函数f(x) 的零点有何关系？ 提示：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有 交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.若f(a)·f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内 一定没有零点吗？ 提示：不一定.如y=x2-1在区间(-2，2)上有两个零点， 但f(2)·f(-2)>0.
【解析】由题意知，抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的 交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，如图，观察图象 可得：
f 1 2 0,
f(x)=lgx- 1 的零点所在的大致区间是(1，10). x
【规律总结】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断. (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则 在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该 区间内至少有一个零点.
(2)图象法：由f(x)=g(x)-h(x)=0，得g(x)=h(x)，在 同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象，根据两 个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
(3)定理法：函数y=f(x)的图象在区间[a，b]上是一条 连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=f(x) 在区间(a，b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间 (a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只 有一个零点.
【解析】(1)选C.因为f(x)=ex-(x+2)，由题设知f(1)
≈-0.28<0，f(2)≈3.39>0，故有一个根在区间(1，2)
内，故选C.
(2)因在第一象限内y=lgx的图象与y= 的图象只有一
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的
由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln
x只有一个零点.
2
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln e <0,
所以f(3)·f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.
h(x)与g(x)的图象如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2 判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. 解:(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如 图所示.
解得 ������ = -2, ������ = 2.
所以函数 y=logn(mx+1)的解析式为 y=log2(-2x+1). 令 log2(-2x+1)=0,得 x=0. 所以函数 y=log2(-2x+1)的零点为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究二判断函数零点的个数
【例 2】求函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究三判断函数的零点所在的大致区间
[推荐学习]2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数
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3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的零点对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 思考1：函数的零点是函数与x 轴的交点吗？[提示] 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x 轴交点的横坐标． 2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．思考2：该定理具备哪些条件？[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0.[基础自测]1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)(x 2,0)．( ) (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )<0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝2x －1的零点是( ) A.12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．2A [由2x －1＝0得x ＝12.]3．函数f (x )＝3x－4的零点所在区间为( )【导学号：37102345】A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(2,3)D ．(1,2)D [由f (1)＝3－4＝－1<0，f (2)＝9－4＝5>0得f (x )的零点所在区间为(1,2)．] 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有________个零点． 两 [由Δ＝b 2－4ac >0得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的零点(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点.【导学号：37102346】[解] (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)． 令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.代数法：求方程x ＝几何法：对于不能用求根公式的方程x ＝x 的图象联系起来图象与轴的交点的横坐标即为函数的零点[跟踪训练]1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.[解] (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0， 得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.判断函数零点所在的区间(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(3,4)B ．(2，e)C ．(1,2)D ．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x－x －3＝0的一个根所在区间是( )【导学号：37102347】C ．(1,2)D ．(2,3)(1)C (2)C [(1)因为f (1)＝ln 2－21<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f (x )＝e x－x －3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f (0)＝1－3＝－2<0， f (1)＝2.72－4＝－1.28<0， f (2)＝7.39－5＝2.39>0， f (3)＝20.08－6＝14.08>0，f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]代入：将区间端点值代入函数求出函数的值 判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点[跟踪训练]2．若函数f (x )＝x ＋a x(a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．3A [f (x )＝x ＋a x(a ∈R )的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]函数零点的个数 [探究问题]1．方程f (x )＝a 的根的个数与函数y ＝f (x )及y ＝a 的图象交点个数什么关系？ 提示：相等．2．若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，如何求实数a 的取值范围？提示：法一：若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则方程x 2－2x ＋a ＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a ≥0，故a ≤1.法二：由f (x )＝0有解可知a ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，即a 的范围为a ≤1.法三：在同一坐标系中分别画出y ＝a 及y ＝－x 2＋2x 的图象，数形结合得a 的范围为a ≤1.已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 思路探究：构造函数f x ＝a |x |0<a与g x ＝|log a xa→画出f x 与g x 的图象→观察图象得零点的个数B [函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数． 画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.]时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2[当 堂 达 标·固 双 基]1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点个数是( )【导学号：37102348】A ．0B ．1C ．2D ．3C [由f (x )＝0得2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝12或x ＝1，所以函数f (x )有2个零点．]2．函数f (x )＝2x－3的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)B [∵f (1)＝2－3＝－1<0，f (2)＝4－3＝1>0， ∴f (1)·f (2)<0，即f (x )的零点所在的区间为(1,2)．] 3．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( )【导学号：37102349】A ．方程f (x )＝0一定有实数解B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解D [∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． (－1,0) [∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0，f 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0，∴－1<b <0.]5．已知函数f (x )＝x 2－x －2a . (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求实数a 的取值范围.【导学号：37102350】[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －2. 令f (x )＝x 2－x －2＝0，得x ＝－1或x ＝2. 即函数f (x )的零点为－1和2.(2)要使f (x )有零点，则Δ＝1＋8a ≥0，解得a ≥－18，所以a 的取值范围是a ≥－18.。
高中数学 第三章《函数的应用》3.1.1方程的根与函数的零点教学设计高一数学教案
3.1.1方程的根与函数的零点教学设计课题：3.1.1方程的根与函数的零点教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1（人民教育出版社A版）第三章函数的应用一、教学目标二、教学重点与难点三、教学的方法与手段四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章 函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。
通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。
为此，我们还要做一些基本的知识储备。
方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。
教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。
【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。
用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。
对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。
教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。
学生活动：观察图像，思考作答。
教师活动：我们来认真地对比一下。
用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。
学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1
《方程的根与函数的零点》精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
2018学年高中数学必修一课件：第三章3.1-3.1.1方程的根与函数的零点 精品
3．方程 x3－x－1＝0 在[1，1.5]内的实数解( )
A． 1 个
D．有 0 个
解析：令 f(x)＝x3－x－1，则 f(1)＝－1<0，f(1.5)＝
1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.
答案：C
4．函数 f(x)＝34x＋6 的零点是________． 解析：由34x＋6＝0 得 x＝－8，即函数 f(x)＝34x＋6 的零点是－8. 答案：－8
3．函数零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 温 馨提 示 (1)函 数 y ＝ f(x)在 (a ， b)内 有零 点 ，
2．下列函数没有零点的是( )
A．f(x)＝0
B．f(x)＝3
C．f(x)＝x2－2
D．f(x)＝x－1x
解析：函数 f(x)＝3 不能满足 f(x)＝0，因此没有零点；
函数 f(x)＝0 有无数个零点；函数 f(x)＝x2－2 有两个零点，
为± 2；函数 f(x)＝x－1x有两个零点，为±1. 答案：B
解析：因为 f(x)＝ax－b 的零点是 3， 所以 f(3)＝0，即 3a－b＝0，也就是 b＝3a.
所以 g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)．所以方程 g(x)＝0 的两个根为－1 和 0，即函数 g(x)的零点为－1 和 0.
答案：－1 和 0
类型 2 探求零点所在区间
5．函数 f(x)＝x3－3x2＋2x 的零点个数为________． 解析：由 x3－3x2＋2x＝0 得 x(x－1)(x－2)＝0， 得 x＝0 或 x＝1 或 x＝2.故函数 f(x)有 3 个零点． 答案：3
高中数学第三章函数的应用3.1.1函数的零点与方程的根教学设计1
函数的零点与方程的根【教学内容分析】本节内容是人教A版高中数学必修1第三章“函数与方程”的第一节。
方程的根与函数零点的关系研究，在内容上承上于基本初等函数和函数性质的学习,启下于“用二分法求方程的近似解”的学习；在思想上，揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想"的理论基础．可见，本节在中学数学中具有重要地位。
【学生学情分析】知识层面：学生已经基本理解了函数零点和方程根的关系.能力层面：已初步掌握函数与方程的转化思想,具有一定的数形结合能力．学之难：对含绝对值函数、分段函数的零点个数的求解有困难．难之所在：其一、如何处理局部与整体的关系；其二、转化之技巧与转化之本质.【教学目标分析】1、理解函数的零点的概念;2、掌握判定函数零点个数的方法；3、渗透分类讨论,数形结合,转化与化归的数学思想。
【教学重难点分析】重点：通过函数图象判定函数的零点的个数;难点：通过引导,让学生能从感性认知跃迁到理性的认识，体会数形结合的数学思想.【教学过程设计】一、考点评估从近两年高考来看,该专题2017年高考命题热点考向为：同时,分段函数是高考频点,这两年,有11个省市在此知识点命题.二、 知识回顾问题1。
函数()26f x x =-的零点为（ ）.(.A B C问题2. 什么是函数的零点？对于函数()y f x =,使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 问题3. 你能求出函数()2ln 6f x x x =+-的零点吗？问题4. 函数()2ln 6f x x x =+-有零点吗？问题5。
函数零点存在性定理的内容是什么？如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在(,)a b 内有零点,即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
2018版高中人教A版数学必修1课件：第三章 函数的应用3-1-1 精品
3．函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线， 并且区间(a，b)内存在零点，那么 f(a)·f(b)＜0 一定成立吗？
答案：不一定成立．如函数 y＝x2.
类型 1 函数零点的定义 [要点点击] 对函数零点概念的三点说明 (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴交点的横坐标，函数的 零点是一个实数，不是一个点．当函数的自变量取这个实数时， 函数值为零． (2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的，若 方程没有实数根，则函数没有零点，反映在图象上就是函数图象 与 x 轴无交点，如函数 y＝5，y＝x2＋1 就没有零点． (3)方程有几个解，则其对应的函数就有几个零点．若函数 y ＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域内．
(2)有多个零点： 此时 f(x)在[a，b]上满足情况(1)中的①且图象多次与 x 轴相 交． (3)无零点： ①f(x)在[a，b]上的图象不是连续不断的，如 y＝x12在[－1,0) ∪(0,1]上无零点； ②f(x)在[a，b]上的最小(大)值都大(小)于零，如 y＝(x＋1)2 ＋1.
[典例 3] 函数 f(x)＝ln x＋2x－8 的零点所在区间为( )
由图可知函数 y＝ln x，y＝－x＋3 的图象只有一个交点，即 函数 f(x)＝x－3＋ln x 只有一个零点．
解法二：因为 f(3)＝ln 3>0， f(2)＝－1＋ln 2＝ln 2e<0， 所以 f(3)·f(2)<0，说明函数 f(x)＝x－3＋ln x 在区间(2,3)内有 零点． 又 f(x)＝x－3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只 有一个零点．
答案：0，－1 解析：∵函数 f(x)＝ax－b 的一个零点是 3， ∴3a－b＝0，即 b＝3a， ∴函数 g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， 令 g(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1.
人教版 高一数学必修一 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教学课件 (共22张PPT)
x
四、解题体验
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5； （2）f(x)=2x ·ln(x－2)－3； （3）f(x)=ex－1+4x－4; （4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
1(1) －x2＋3x＋5＝0 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不 相等的实数根。
.
y
8 6
. . . .
4
2
－2 －1
0
1
2
3 4
x
1(2) 2x(x－2)＝－3 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
一、方程的根与相应函数图象的关系
我们知道，令一个一元二次 y ax bx c(a 0) 函数的函数值 y＝0，则得到一元二次方程:
2
ax2 bx c 0(a 0)
思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系
4
2 f ( x ) log
(2) x 8
2
x3
答案(1) x 2
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
【警示】零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ； 二 是 f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那 么就不能使用该定理.如本例 f(x)＝x＋1x在[－1,1]上不连续，故 不能在区间[－1,1]上直接使用零点存在性定理.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标.( ) (2)函数y＝f(x)的零点即为对应方程f(x)＝0的根.( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内满足f(a)·f(b)>0，则该函 数在区间(a，b)内可能没有零点.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√
【方法规律】求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可 以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出 零点.
1.判断下列说法是否正确. (1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1. 【解析】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所 以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错. (2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义 域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.
2018版高中数学第三章函数的应用3_1_1方程的根与函数的零点学案新人教A版必修1
- 让每一个人同等地提高自我方程的根与函数的零点学习目标 1. 理解函数零点的定义，会求某些函数的零点( 要点 ).2.掌握函数零点的判定方法 ( 重、难点 ).3. 认识函数的零点与方程的根的联系( 要点 ) ．预习教材 P86－P88，达成下边问题：知识点 1函数的零点(1)观点：函数 f ( x)的零点是使 f ( x)＝0的实数 x.(2)函数的零点与函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评论】(1) 函数 f ( x)＝x 2－4x的零点是 ________．(2) 若 2 是函数fxx 的零点，则a＝________. ( x) ＝a·2－ log 2分析 (1) 令 f ( x)＝0，即 x2－4x＝0，解得 x＝0或 x＝4，因此 f ( x)的零点是0和 4.1(2) 由 f (2) ＝ 4a－ 1＝ 0 得a＝4.1答案(1)0和4(2)4知识点 2函数零点的判断(1) 条件：①函数y ＝ f ( x)在区间[ a， b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f( a) ·f ( b)<0.(2)结论：函数 y＝ f ( x)在区间( a，b)内有零点，即存在 c∈( a， b)，使得 f ( c)＝0，这个c 也就是方程 f ( x)＝0的根．【预习评论】( 正确的打“√”，错误的打“×”)1 1(1) 设 f ( x)＝x，因为 f (－1) f (1)<0，因此 f ( x)＝x在(－1,1)内有零点()(2) 若函数 f ( x)在( a， b)内有零点，则 f ( a) f ( b)<0.()(3) 若函数 f ( x)的图象在区间[ a， b]上是一条连续不停的曲线，且 f ( a)· f ( b)<0，则f ( x)在( a，b)内只有一个零点．()1提示 (1) ×因为f ( x) ＝x的图象在 [ － 1,1] 上不是连续不停的曲线，因此不可以得出其有零的结论．(2) × 反例： f ( x ) ＝ x 2－2x ，区间为 ( － 1,3) ，则 f ( －1) · f (3)>0.(3) × 反例： f ( x ) ＝ x ( x －1)( x － 2) ，区间为 ( －1,3) ，知足条件，但 f ( x ) 在 ( － 1,3) 内有 0,1,2 三个零点．题型一 函数零点的观点及求法1【例 1】(1) 函数 y ＝ 1＋ x 的零点是 ()A ． ( －1,0)B ． x ＝－ 1C ． x ＝1D ．x ＝ 0(2) 设函数 f ( x ) ＝ 21－x －4， g ( x ) ＝ 1－ log 2( x ＋ 3) ，则函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) 的零点之和为 ________．(3) 若 3 是函数 f ( x ) ＝ x 2－mx 的一个零点，则m ＝ ________.1分析(1) 令 1＋ x ＝ 0，解得 x ＝－ 1，应选 B ．(2) 令 f ( x ) ＝21－x －4＝ 0 解得 x ＝－ 1，即 f ( x ) 的零点为－ 1，令 g ( x ) ＝ 1－ log 2( x ＋ 3)＝ 0，解得 x ＝－ 1，因此函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) 的零点之和为－ 2.(3) 由 f (3) ＝ 32－ 3m ＝ 0 解得 m ＝ 3.答案(1)B(2) － 2 (3)3规律方法函数零点的两种求法(1) 代数法：求方程 f ( x ) ＝ 0 的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，不然函数不存在零点．(2) 几何法：与函数＝ ( x ) 的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的y f零点．【训练 1】 函数 f ( x ) ＝ ax ＋ b 有一个零点是 2，那么函数( ) ＝ bx 2－ ax 的零点是g x________．分析 ∵函数 f ( x ) ＝ ax ＋ b 有一个零点是 2，∴ 2a ＋b ＝ 0? b ＝－ 2a ，∴ g ( x ) ＝bx 2－ ax212＝－ 2ax － ax ＝－ ax (2 x ＋ 1) ，∵－ ax (2 x ＋ 1) ＝ 0? x ＝ 0， x ＝－ 2，∴函数 g ( x ) ＝ bx － ax的零点是 10，－ .21 答案0，－ 2题型二 确立函数零点的个数【例 2】判断以下函数零点的个数．(1) f ( x ) ＝ x 2－ 34x ＋58；(2) f ( x)＝ln x＋ x2－3.2 3 5 3 2 5 31解(1) 由f ( x) ＝ 0，即x －4x＋8＝0，得＝－4 －4×8＝－16<0，2 3 5因此方程 x －4x＋8＝0 没有实数根，即 f ( x)零点的个数为0.(2) 法一函数对应的方程为ln x＋x2－ 3＝ 0，因此原函数零点的个数即为函数y＝ln x 与 y＝3－ x2的图象交点个数．在同向来角坐标系下，作出两函数的图象( 如图 ) ．由图象知，函数y＝3－ x2与 y＝ln x 的图象只有一个交点．进而方程ln x＋ x2－3＝0 有一个根，即函数 y＝ln x＋ x2－3有一个零点．2法二因为 f (1)＝ln 1＋1－3＝－2<0，因此 f (1)· f (2)<0，又 f ( x)＝ln x＋ x2－3的图象在(1,2)上是不中断的，因此 f ( x)在(1,2)上必有零点，又 f ( x)在(0，＋∞)上是递加的，因此零点只有一个．规律方法判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转变为解方程，有几个不一样的实数根就有几个零点．(2)画出函数 y＝ f ( x)的图象，判断它与 x 轴的交点个数，进而判断零点的个数．(3)联合单一性，利用零点存在性定理，可判断y＝ f ( x)在( a，b)上零点的个数．(4)转变成两个函数图象的交点问题．【训练 2】函数f ( x) ＝ln x－1) 的零点的个数是 (x－1A． 0 B． 1 C． 2 D． 31 1分析如图画出 y＝ln x 与 y＝x－1的图象，由图知y＝ln x 与 y＝x－1( x>0，且 x≠1)1的图象有两个交点．故函数 f ( x)＝ln x－x－1的零点有 2 个．- 让每一个人同等地提高自我答案 C题型三 判断函数零点所在的区间【例 3】 (1) 二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋bx ＋ c 的部分对应值以下表：x －3 － 2 － 1 0 1 2 3 4y6m － 4－6－ 6－ 4n6 不求 a ， b ， c 的值，判断方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0 的两根所在区间是 ( )A ． ( －3，－ 1) 和 (2,4)B ．( －3，－ 1) 和( －1,1)C ． ( －1,1) 和 (1,2)D ． ( －∞，－ 3) 和 (4 ，＋∞)62f ( x ) 零点的区间是 ()(2) 已知函数 f ( x ) ＝ x － log x ，在以下区间中，包括 A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,4)D ． (4 ，＋∞)分析 (1) 易知 f ( x ) ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象是一条连续不停的曲线，又 f ( － 3) f ( － 1) ＝6×( － 4) ＝－ 24<0，因此 f ( x ) 在( － 3，－1) 内有零点，即方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0 在 ( －3，－ 1)内有根，同理方程 ax 2＋bx ＋ c ＝0 在 (2,4) 内有根．应选 A ．(2) ∵ ( x ) ＝ 6－log 2 x ，∴ ( x ) 为 (0 ，＋∞ ) 上的减函数， 且f (1)＝ 6>0， (2) ＝ 3－ log 22 fxff3 1＝2>0， f (4) ＝ 2－ 2＝－ 2<0，由零点存在性定理，可知包括f ( x ) 零点的区间是 (2,4) ．答案 (1)A(2)C规律方法确立函数 f ( x ) 零点所在区间的常用方法(1) 解方程法：当对应方程 f ( x ) ＝ 0 易解时，可先解方程，再看求得的根能否落在给定区间上．(2) 利用函数零点存在性定理：第一看函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象能否连续，再看能否有 f ( a ) · f ( b )<0. 若 f ( a ) · f ( b )<0 ，则函数 y ＝f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内必有零点．(3) 数形联合法：经过画函数图象，察看图象与x 轴在给定区间上能否有交点来判断．【训练 3】 (1) 函数 f ( ) ＝ e x ＋ －2 的零点所在的一个区间是()xxA ． ( －2，－ 1)B ． ( －1,0)C ． (0,1)D ． (1,2)(2) 若方程 x lg( x ＋ 2) ＝ 1 的实根在区间 ( k ， k ＋ 1)( k ∈ Z) 上，则 k 等于 () A ．－ 2 B ． 1C ．－2或 1D ． 0分析 (1) ∵ f (0)＝ e 0＋ 0－2＝－ 1＜0，f (1) ＝e 1＋ 1－ 2＝e － 1＞ 0，∴ f (0) · f (1) ＜ 0，- 让每一个人同等地提高自我∴ f ( x ) 在 (0,1) 内有零点．1(2) 由题意知， x ≠0，则原方程即为 lg( x ＋ 2) ＝ x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg( x ＋ 2) 与 y ＝ 1的图象，以下图，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间 ( －2，x－1) 上，一个在区间 (1,2) 上，因此k ＝－ 2 或 ＝1. 应选 C ．k答案(1)C (2)C讲堂达标1．函数 f ( x ) ＝2x 2－ 4x － 3 的零点有 ( )A ．0 个B ．1个C ．2 个D ．不可以确立分析 由 f ( x ) ＝ 0，即 2x 2－ 4x － 3＝ 0，因为＝ ( － 4) 2－4×2×( － 3) ＝ 40>0. 因此方程 2 2－ 4 x － 3＝ 0 有两个根，即f ( x ) 有两个零点．x答案 C2．函数 f ( x ) ＝4x －2x － 2 的零点是 ( )A ． (1,0)B ． 11D ．－ 1C ．2分析x－ x x－ 2)(2 x1)＝0 x由 f ( x ) ＝ 4 2 －2＝ (2 ＋ 得 2 ＝2，解得 x ＝ 1. 答案 B3．函数 f ( x ) ＝2x－1的零点所在的区间是()x11 11 1A ． (1 ，＋∞)B ． 2，1C ． 3，2D ． 4，31112分析f (1) ＝ 2－ 1＝ 1， f 2 ＝ 2 － 2＝ 2－ 2<0，即 f2 f (1)<0 ，且 f ( x ) 的图象在1 f ( x ) 的零点所在的区间是 1， 1 .， 1 内是一条连续不停的曲线，故 2 2答案 B4．函数 f ( x ) ＝x 2－2 x 在 R 上的零点个数是 ________．分析 由题意可知，函数 f ( x ) ＝x 2－ 2x 的零点个数，等价于函数 y ＝ 2x ，y ＝ x 2的图象交点个数．如图，画出函数y ＝2x ， y ＝ x 2 的大概图象．- 让每一个人同等地提高自我由图象可知有 3 个交点，即 f ( x ) ＝ x 2－ 2x 有 3 个零点．答案3325．若 2是函数 f ( x ) ＝ 2x－ ax ＋ 3 的一个零点，求 f ( x ) 的零点．解 由 3 ＝2× 9－ 3＋3＝0 得 a ＝5，则 f ( x ) ＝ 2 2－5 ＋3，令 f ( )＝0，即 22－ 5f 24 2axx xxx33＋3＝ 0，解得 x 1＝ 2， x 2＝1，因此 f ( x ) 的零点是 2和 1.讲堂小结1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1) 函数是连续的；(2) 定理不行逆； (3)起码存在一个零点．2．方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根是函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象交点的横坐标，也是函数 y ＝f ( x )－g ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着亲密的联系，有些方程问题能够转变为函数问题求解，相同，函数问题有时能够转变为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．6。