一类具有饱和发生率和治疗的SEIS模型的分析

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具有饱和发生率的SIRS传染病模型的稳定性

了当Ｐ—ｑ一１时的ＳＩＲＳ型传染病模型：
ｅｎｄｒｉｃｈ建立了传染病动力学中经典的ＳＩＲ仓室模
型（简称Ｋ— Ｍ模型），这种仓室建模思想一直被广泛使用并且推广。Ｋ — Ｍ模型将人群分为易感者、染病
人群在时刻ｔ人群数，并假设传染力与易感者类成
正比。这在一定程度上是成立的，但当易感者人数很大时，一个病人与他人的接触能力总是有限的，这时再假设传染力与易感者成正比就不合理了。由于
ＣＵＩＱｉａｎｑｉａｎ，ＺＨＡＮＧＱｉａｎｇ。ＹＡＮＧＸｉａ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈｉｈｅｚｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｉｈｅｚｉ８３２００３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｃｌａｓｓｏｆＳＩＲＳｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈｓａｔｕｒａｔｉｏｎｉｎｃｉｄｅｎｃｅａｎｄｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｐｕｔｎｕｍｂｅｒｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．ＢｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｓｕｉｔａｂｌｅＬｙａｐｕｎｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｕｎｄｅｒｃｅｒｔａｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｗｅｇｅｔｔｈｅｇｌｏｂａｌａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｆｏｒｔｈｉｓ

具常数输入有饱和传染率和垂直传染的SEIR模型

ＣｅｉｎｕｎｉｎｕｎＷａｇＧｕｎｊｈｎＪａｊａ，ＬａＸｉｙａ，ｎａｇｕｏ
（ｃｏｆＭａｈｍａｉｓ＆Ｐｈｓｃ，ｎｖｒｉｙｏｕｈＣｈｎＨｅｇｙｎ２０１。ｕａＣｈｎａＳｈｏｌｏｔｅｔｃｙｉｓＵｉｅｓｔｆＳｏｔｉａ，ｎａｇ４１０Ｈｎｎ，ｉ）
第２卷第４期９２１０１年１２月
徐州师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＸｕｈｕＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｄｔｎｏｒａｚｏｒｌｏＵｎｖｒｉｙＮａｕａｃｅｃｉｉ）ｏ
Ｖｏ１９，ｏ．．２Ｎ４
众所周知，传染病历来就是人类的大敌．近年来，由于环境污染和生态变迁使得许多病原体发生变异，出
现了很多新传染病，如艾滋病、典、流感、非禽乙肝等，因此对传染病的控制已成为当今迫切需要解决的问题．对传染病的发病机理、播规律及防治策略的研究日益受到人们的重视．传目前国内外学者利用数学模型建立了大量能反映传染病特性的动力系统并取得了许多重要成果］对传染病的预防起到了很大的作用．，经典的传染病传播模型，定发生率是双线性的，ＡｎｅｓｎＭａ假但ｄｒｏ，ｙ等人指出，人类和某些群居动物对
法、ｒｔ判据分析了平衡点的局部稳定性，据Ｌｚｓｉ测度分析了系统不存在周期轨道，由Ｐｉｃｒ—ｅ — Ｈｕｗｉｚ根ｏｉｋｌｎ并ｏｎａｅＢｎｄｘｏ性质、ｉｓｎ比较法等得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性．关键词：和传染率；直传染；Ｈｕｗｔ判据饱垂ｒｉｚ

一类具有饱和发生率的SEIS传染病模型全局稳定性研究

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｎＳＥＩＳｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈａｓａｔｕｒａｔｉｏｎｉｎｃｉｄｅｎｃｅｒａｔｅａｎｄｃｏｎｓｔａｎｔｒｅ — ｃｒｕｉｔｍｅｎｔｓｂｏｔｈｆｏｒｔｈｅｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅｓａｎｄｔｈｅｅｘｐｏｓｅｄｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｆｔｅｒｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｗｅｇｉｖｅｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌ，ａｎｄｉｔｉｓａｌｓｏｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｍｏｄｅｌｈａｓａｕｎｉｑｕｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｉｆｔｈｅｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｉｓｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎｕｎｉ — ｔｙ．ＷｉｔｈｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄＨｕｒｗｉｔｚｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｔｈｅｌｏｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉ — ｕｍｉｓａｎａｌｙｚｅｄ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅｃｏｎｄａｄｄｉｔｉｖｅｃｏｍｐｏｕｎｄｍａｔｒｉｘｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｇｌｏｂａｌａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｉｓａｌｓｏｄｅｒｉｖｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓａｔｕｒａｔｉｏｎｉｎｃｉｄｅｎｃｅ；ｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌ；ｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ；ｂａｓｉｃｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ

具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略

具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略赵明;吕显瑞【摘要】A SIQRS epidemic model with saturating contact rate, isolation term and impulsive vaccination was established and analyzed. By means of Floquet theorem, impulsive differential inequality and limit system theory,the global asymptotic stable threshold conditions of disease-free periodic solution in the SIQRS epidemic model were paring the effectiveness of the two control strategies of impulsive vaccination and isolation shows that using the two strategies concurrently is superior to only one strategy for eradicating the disease.%建立并分析一类具有饱和接触率、隔离项和脉冲预防接种的 SIQRS 传染病模型。

通过综合运用 Floquet 定理、脉冲微分不等式和极限系统理论，获得了保证 SIQRS 传染病模型的无病周期解全局渐近稳定的阈值条件。

通过比较脉冲预防接种和隔离两种控制策略的有效性，表明同时使用脉冲预防接种和隔离两种策略比单独应用一种策略更有效。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)002【总页数】6页(P171-176)【关键词】SIQRS 传染病模型;脉冲预防接种;隔离;无病周期解;基本再生数【作者】赵明;吕显瑞【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132013;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.13近年来，对于病毒性传染病，根据康复后具有终身免疫力的实际情况，通常采用SIR模型［1－3］和SEIR模型［4］进行刻画；对于细菌感染性传染病，由于康复后可获得暂时免疫力，经过一段时间免疫力丧失后又再次发病，因此通常使用SIRS模型［5－7］、SEIRS模型［8－9］和SIQRS模型［10－11］进行描述．在传染病模型研究中，一般采用是否流行疾病的阈值——基本再生数进行分析．本文研究具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型，并对脉冲预防接种和隔离两种控制策略进行比较分析．将总人口N（t）分为易感者S（t）、染病者I（t）、隔离者Q（t）和恢复者R （t），且假设：（H1）易感人群具有常数输入（包括出生和移民），输入率为A；（H2）每个染病者对易感者的传染率为β（N（t））S（t），β（N（t））＝为饱和接触率系数，且为依赖于N（t）的函数，这里常数k＞0，α＞0；（H3）对易感者进行脉冲预防接种，p（0＜p＜1）为脉冲接种率，τ为脉冲接种周期；（H4）易感者接种或染病者康复后获得暂时的免疫力，经过一段时间失去免疫力后又变成易感者，δ≥0为失去免疫率；（H5）对传染者采取隔离措施，μ为隔离率，υ自然恢复率．建立具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型如下：其中：d为自然死亡率；a，b分别为染病者类和隔离者类的因病死亡率；γ为染病者类的自然恢复率；δ≥0；其他系数均为正数．定义基本再生数为这里：由N（t）＝S（t）＋I（t）＋Q（t）＋R（t）和N′（t）＝A－dN（t）－aI（t）－bQ（t），将模型（1）化为如下等价系统：当N（t）＞N0时N′（t）＜0，系统（2）的所有解（S（t），I（t），Q（t），N（t））最终趋于且停留在域内，因此域Ω是系统（2）的正向不变集和最终有界区域．本文主要研究系统（2）无病周期解的存在性和全局渐近稳定性，并分析比较脉冲预防接种与隔离两种控制策略的有效性．引理1［11］设常数a＞0，b＞0，0＜p＜1，则脉冲微分周期系统存在唯一的全局渐近稳定的正周期解引理2（Floquet定理）［12］设脉冲微分周期系统其中：f（t＋1，y）＝f（t，y），且系统（3）关于其周期解y（t）的线性近似系统为并设Φ（t）是系统（4）中方程的一个基本解矩阵，即满足若矩阵M＝B1Φ（1）一切特征根的绝对值均小于1，则系统（4）的零解，即系统（3）的周期解y（t）局部渐近稳定．引理3（脉冲微分系统比较定理）［12］假设函数满足脉冲微分不等式：其中：dk≥0，bk（k＝1，2，…）是常数．则对t≥t0，有引理4 系统（2）存在无病周期解其中证明：当I（t）＝Q（t）＝0时，由系统（2）知所以系统（2）的极限系统为于是，由系统（7）和引理1知系统（2）存在无病周期解定理1 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，系统（2）的无病周期解是不稳定的．证明：设（S（t），I（t），Q（t），N（t））是系统（2）的任意解，做变换则系统（2）在0＜t≤τ内的近似线性系统为易得到满足条件Φ（0）＝E（单位矩阵）的基本解矩阵为其中：0＜t≤τ；因为在下面的计算中没有用到Ei（i＝1，2，…，6），所以其具体表达式略．相应地，系统（2）的脉冲条件化为从而可获得系统（2）的单值矩阵由引理2知，无病周期解局部渐近稳定的充分必要条件是矩阵M的特征值：的模均小于1，即这等价于R0＜1．因此，当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，矩阵M的特征值λ2模大于1，无病周期解是不稳定的．定理2 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．证明：当R0＜1时，可选择充分小的ε＞0，使得由0≤N（t）≤N0与系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程由引理1和式（9）得由引理3，对任意小的ε＞0，存在一个正整数T1，使得当t＞T1时，恒有从而由式（10）和系统（2）的第二个方程有根据引理2，得利用r0＜0，由此递推得I（nτ）≤I（0＋）exp｛nr0｝，因此，又对任意的nτ＜t≤（n＋1）τ和有于是存在一个正整数T2＞T1，使得当t＞T2时，恒有I（t）＜ε．由系统（2）的第三个方程有因为ε是任意小的，所以即存在一个正整数T3＞T2，使得当t＞T3时，恒有Q（t）＜ε．类似地，由系统（2）的第四个方程有同理，由ε任意小知于是，存在正整数T4＞T3，使得当t＞T4时，恒有N（t）≥N0－ε．从而由系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程根据引理1，由系统（14）存在唯一全局渐近稳定的正周期解又由脉冲微分系统比较定理有令ε→0，则当t充分大时，由式（10），（16）有再由ε的任意性，有综上知当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局吸引的，进而由定理1知故系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．为方便，引入记号：易见k0＞kΔ．由定理1和定理2获得了疾病是否消除的阈值R0＝1，并且可得下列结论：1）当R0＜1时，系统（2）有周期为τ的全局渐近稳定的无病周期解，即疾病将逐渐消除；当R0＞1时，由定理1知无病周期解是不稳定的，表明疾病将持续存在；2）当脉冲预防接种率p＞pc或隔离率μ＞μc时，则R0＜1，疾病将逐渐消除；3）当μ＝0时，有因此，如果不采取隔离措施，则必须加大脉冲预防接种率，才能控制疾病流行并最终消除疾病；4）当p＝0时，有μ0＝β0N0－（d＋a＋γ）＞μc，表明当不进行脉冲预防接种时，传染病将会发生，需要适当加大隔离人数，才能控制疾病流行并使之逐渐消除．【相关文献】［1］ Stone L，Shulgin B，Agur Z．Theoretical Examination of the Pulse Vaccination Policy in the SIR Epidemic Model ［J］．Math Computer Modeling，2000，31（4／5）：207－215．［2］ Yoshida Naoki，Hara Tadayuki．Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Density Dependent Birth and Death Rates［J］．J Comput Appl Math，2007，201（2）：339－347．［3］朱玑，李维德，朱凌峰．基于SIR传染病模型的不同控制策略比较［J］．北华大学学报（自然科学版），2011，12（3）：265－269．（ZHU Ji，LI Weide，ZHU Lingfeng．Comparison among Different Control Strategies on SIR Epidemic Model ［J］．Journal of Beihua University（Natural Science），2011，12（3）：265－269．）［4］刘开源，陈兰荪．一类具有垂直传染与脉冲免疫的SEIR传染病模型的全局分析［J］．系统科学与数学，2010，30（3）：323－332．（LIU Kaiyuan，CHEN Lansun．Global Analysisof an SEIR Epidemic Disease Model with Vertical Transmission and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（3）：323－332．）［5］赵文才，孟新柱．一类具有Logistic死亡率的脉冲免疫接种SIRS传染病模型［J］．吉林大学学报（理学版），2009，47（6）：1165－1171．（ZHAO Wencai，MENG Xinzhu．Impulsively Vaccinating SIRS Epidemic Model with Logistic Death Rate ［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2009，47（6）：1165－1171．）［6］庞国萍，陈兰荪．具饱和传染率的脉冲免疫接种SIRS模型［J］．系统科学与数学，2007，27（4）：563－572．（PANG Guoping，CHEN Lansun．The SIRS Epidemical Model with Saturated Contact Rate and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2007，27（4）：563－572．）［7］焦建军，鲍磊，陈兰荪．具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型［J］．吉林大学学报（理学版），2011，49（1）：6－10．（JIAO Jianjun，BAO Lei，CHEN Lansun．Dynamics on a Stage－Structured Single Population Model with Birth Pulse and Impulsive Harvesting［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2011，49（1）：6－10．）［8］芦雪娟，王伟华，堵秀凤．一类具有双时滞的SEIRS传染病模型的分析［J］．数学的实践与认识，2010，40（22）：135－142．（LU Xuejuan，WANG Weihua，DU Xiufeng．A Research of SEIRS Epidemic Model with Two Delays ［J］．Mathematics in Practice and Theory，2010，40（22）：135－142．）［9］黄灿云，安小峰．一类具有多时滞和非线性发生率的脉冲接种SEIRS传染病模型［J］．兰州理工大学学报，2011，37（1）：121－125．（HUANG Canyun，AN Xiaofeng．A Impulsive Vaccination SEIRS Epidemic Model with Multi－delay and Nonlinear Incidence Rate［J］．Journal of Lanzhou University of Technology，2011，37（1）：121－125．）［10］朱凌峰，李维德，章培军．具有连续和脉冲接种的SIQVS传染病模型［J］．兰州大学学报（自然科学版），2011，47（4）：99－102．（ZHU Lingfeng，LI Weide，ZHANG Peijun．A SIQVS Epidemic Model with Continuous and Impulsive Vaccination ［J］．Journal of Lanzhou University（Natural Sciences），2011，47（4）：99－102．）［11］徐为坚．具常数输入及饱和发生率的脉冲接种SIQRS传染病模型［J］．系统科学与数学，2010，30（1）：43－52．（XU Weijian．The SIQRS Epidemic Model of Impulsive Vaccination with Constant Input and Saturation Incidence Rate［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（1）：43－52．）［12］马知恩，周义仓．传染病动力学的数学建模与研究［M］．北京：科学出版社，2004：153－164．（MA Zhi’en，ZHOU Yicang．Mathematical Modeling and Study on the Dynamics of Infectious Diseases［M］．Beijing：Science Press，2004：153－164．）。

一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性

一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性杨彩虹;胡志兴【摘要】讨论了一类具有垂直传染与饱和发生率的 SEIR 模型的稳定性，考虑了接种免疫对传染病传播的影响。

通过计算得到模型的基本再生数 R0，证明了当R0≤1时，无病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的。

利用 Hurwitz 判据和第二加性复合矩阵证明了当 R0＞1时，地方病平衡点是局部渐近稳定的，且在一定条件下是全局渐近稳定的。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】6页(P78-83)【关键词】垂直传染;饱和发生率;SEIR;稳定性【作者】杨彩虹;胡志兴【作者单位】北京科技大学数理学院，北京 100083;北京科技大学数理学院，北京 100083【正文语种】中文【中图分类】O175传染病严重威胁人类健康，所以对传染病模型的研究越来越得到人们的重视，而且近20年来的研究也取得了显著成果。

比较简单的传染病模型有易感者-患病者(susceptible-infectious，SI)模型、易感者-患病者-康复者(susceptible-infectious-recovered，SIR)模型和易感者-潜伏者-患病者-康复者(susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR)模型等仓室模型。

文献[1-2]对具有饱和感染率、饱和治愈率以及垂直感染的SIR传染病模型进行了研究,这类模型将人口种群分为易感者S、患病者I和康复者R，简称SIR模型，研究发现：系统会出现后向分支和hopf分支，并分析了此类传染病的传播过程和预防治疗方向。

然而现实生活中有些传染病是具有潜伏期的，一般将携带病毒但没有发病的人群记为潜伏者E，对这类传染病可建立SEIR仓室模型。

文献[3]分别对SIR模型和SEIR模型进行了讨论，发现虽然SEIR模型比SIR模型复杂，但研究方法和结果有许多相似之处，而且当具有线性治愈率时，系统仅存在无病平衡点和一个地方病平衡点，当然也存在众多差异。

一类具有垂直传染和连续治疗的SIRS传染病模型的动力学性质

一类具有垂直传染和连续治疗的SIRS传染病模型的动力学性质宋志强;李明山;周效良【摘要】探讨一类具有垂直传染和连续治疗传染病模型.从模型中找到无病平衡点和地方病平衡点,借助李雅普诺夫函数和 LaSalle 不变集原理证明平衡点的全局渐近稳定性,最后通过中心流形研究了模型的跨临界分岔和正规形,得到了模型平衡点的稳定性与分岔性质.%This paper discusses a type of vertical transmission and continuous treatment model of an infectious disease. First, the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point were determined from the model. Then, the invariant set principle was proved by the global asymptotic stability of the equilibrium point using Lyapunov function and LaSalle. Using the center manifold and normal form of the cross critical bifurcation model, a biological explanation for the transcritical bifurcation was provided. Eventually, the stability and bifurcation properties of the equilibrium point model were obtained.【期刊名称】《广东海洋大学学报》【年(卷),期】2017(037)006【总页数】6页(P51-56)【关键词】SIRS垂直传染病模型;治疗函数;全局渐近稳定;跨临界分岔;正规形【作者】宋志强;李明山;周效良【作者单位】暨南大学信息与计算科学学院,广东广州 510632;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江 524048;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江 524048【正文语种】中文【中图分类】O175.12传染病病毒的垂直传播给人类健康带来极大的威胁作用，人们为了把握传染病的传播方式及其规律，通过建立治疗模型来使之达到更好的效果。

一类随机SIR传染病模型的非标准数值离散化

一类随机SIR传染病模型的非标准数值离散化
谭伟;刘茂省
【期刊名称】《西北师范大学学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2024(60)1
【摘要】研究一个具有饱和发生率和疫苗接种率的随机离散SIR传染病模型的稳定性.首先,引入一个具有饱和发生率和疫苗接种率的确定性SIR模型,考虑到随机噪声对疾病传播有很大影响,应用非标准有限差分(NSFD)方法将模型离散化,最终得到一个随机离散的SIR传染病模型.这种离散方法是对系统的右侧进行局部离散,得出离散模型,然后系统左侧用广义前向差分法对一阶导数进行逼近,并且要选取恰当的分母函数.其次,应用Lyapunov函数和矩阵方法给出了系统平衡解稳定的充分条件,并且得到了非线性差分方程概率稳定的充分条件和线性差分方程渐近均方稳定的充分条件.最后,通过数值仿真对理论分析结论进行验证.
【总页数】9页(P30-38)
【作者】谭伟;刘茂省
【作者单位】中北大学数学学院;北京建筑大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.一类具有非线性发生率的随机SIRS传染病模型的动力学行为
2.一类具有饱和发生率和心理作用的随机SIR传染病模型
3.一类具有非线性发生率和接种的随机SIRS传染病模型
4.一类基于心理作用的随机SIRS传染病模型
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一类具饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型的分析

一类具饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型的分析杨俊仙;闫萍【摘要】A delayed SEIR epidemic model with saturation incidence rate is proposed and analyzed,and the basic reproductive number R0 is defined.By analyzing the corresponding characteristic equations,the local stability of a disease-free equilibrium P0 and an endemic equilibrium P* are discussed.Further,by the comparison principle and constructing Lyapunov functions,it is found that if R0 <1 ,the disease free equilibrium P0 is globally asymptotically stable,and ifR0 >1 ,the endemic equilibrium P* is permanent.%提出并分析了一类具有饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型，定义了基本再生数 R0。

通过分析系统对应的特征方程，得到了无病平衡点 P0和地方病平衡点 P*的局部渐近稳定性。

进一步，通过比较原理和构造李雅普诺夫函数，得出：当 R0＜1时，无病平衡点 P0是全局渐近稳定的；当 R0＞1时，地方病平衡点 P*是持久的。

【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P51-55)【关键词】SEIR 传染病模型;饱和发生率;时滞;基本再生数;全局稳定性【作者】杨俊仙;闫萍【作者单位】安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036;安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036【正文语种】中文【中图分类】O175.13传染病是危害人类身体健康，威胁人类生命安全的重要疾病[1]。

毕业答辩具有饱和传染率的SIQR传染病模型的研究

S 1S
(pb
)I
ddQt I (pb )Q
当R0≤1时，方程组有两个平衡点
P0
( 1 ,0,0)，P(S,I,Q；) m1
当R0>1时，方程组有惟一旳平衡点P(S,I,Q)。
模型二：一类具有垂直传染和预防接种旳SIQR传染病模型
分析讨论
经过对模型旳分析，得到了模型旳平衡点以及平衡点稳定性旳条件R0，并证明了平衡点旳稳定性。同步讨论了R0不但与种群旳传染率、因病死亡率、隔离率和恢复率有关,还与新生儿旳染病百分比有关。所以，在防治具有垂直传染旳传染病时，对个体生育旳控制也能有效旳防治传染病旳传播.
I
(n
)
I
(n
)
Q(n ) Q(n )
t n
R(n ) R(n ) mS(n )
模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种旳SIQR传染病模型
假设b=d,b’=d’,pb’<b,N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,则得到方程组
S
(t )
1
SI S
I
(t )
SI 1 S
S 1 S
qb (
d )I
dQ dt
I
(qb
d )Q
dR
dt
I
Q
dR
mbS
模型二：一类具有垂直传染和预防接种旳SIQR传染病模型
假设b=d,b’=d’,N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,则得到方程组
dS dt
b(m1)S
SI 1S
(pb
b)(I
Q)
b
dI dt
谢谢老师！

具有饱和发生率的离散SIS模型的动力学性态

生数，得到了无病平衡点和地方病平衡点的存在性，讨论了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性．关键词：离散传染病模型；基本再生数；稳定性；动力学性态
中图分类号：０１７５文献标识码：Ａ
０引言
由于公共卫生部门收集的传染病数据都是以年、月、周或者天为单位的离散数据，且离散模型比较容易理解和应用，因此近年来离散传染病模型的应用和研究越来越多Ｊ．离散传染病模型在描述ＳＡＲＳ和
２平衡点的存在性和稳定性
本节先讨论模型（１）的无病平衡点和地方病平衡点的存在性，然后讨论这些平衡点的全局稳定性．
肺结核等具体疾病的传播过程中得到了成功的应用Ｉ４￣６Ｊ．目前，有关离散传染病模型的研究主要集中在定义和计算其基本再生数Ｉ８Ｊ、讨论疾病的消失与持久 ’ 引、无病平衡点和地方病平衡点的存在性和稳定性．
另外对离散传染病模型的分支问题（如跨临界分支、ｌｆｉｐ分支、鞍结点分支、Ｈｏｐｆ分支以及倍周期分岔引起的混沌现象）也有一些研究ｊ．与连续模型相比，离散模型具有更丰富的动力学性态，能得到更有趣和更复杂的结论．但由于离散动
足 Ⅳ（ｆ）＝Ｓ（）＋，（ｔ）．我们忽略所考虑国家或地区中人口的迁入和迁出，假设生育是人口输入的唯一方

一类具有饱和发生率和治疗的SEIR模型

，
ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｅｎｄｅｍｉｃｅｑｕｉｌｉｂｉｕｒｍＰｉｓａｌｓｏｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｈｅｔｓｅｃｏｎｄａｄｄｉｔｉｖｅｃｏｍｐｏｕｎｄｍａｔｒｉｘ．
ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａｌｌＳＥＩＲｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈｓａｔｕｒａｔｅｄｒａｔｅａｎｄｔｒｅａｔｍｅｎｔ
ＬｉｕＧｕｏｙｏｎｇ，ＬｉＧｕｉｈｕａ
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍＰ‘ ｉｓｐｒｏｖｅｎｂｙｕｓｉｎｇｈｅｔＲｏｕｈ— ｔＨｕｒｗｉｔｚｃｒｉｔｅｒｉｏｎａｎｄｈｅｔｓｕｉｃｆｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｇｌｏｂａｌａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ
Ｖ．０１．２７ＮＯ．２
Ｊｕｎ．２０１５
一
类具有饱和发生率和治疗的ＳＥＩＲ模型
刘国永，李桂花
（中北大学数学系，山西太原，０３００５１）
摘要：利用定义法给出ＳＥＩＲ模型的基本再生数，得到了各类平衡点存在的条件。利用Ｒｏｕｔｈ。Ｈｕｒｗｉｔｚ判据证
第２７卷第２期２０１５年６月
湖南文理学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅ（ＳｃｉｅｎｃｅｎｄａＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）

具有饱和发生率的SIR动力学模型的NSFD方法

收稿日期：２０１３－０４－２８
作者简介：崔倩倩（１９８７一），女，讲师，主要从事常微分方程及其应用研究
兰兰塑旦签兰２笙鲞保持连续模型的动力学性质，比如Ｅｕｌｅｒ方法，Ｒｕｎｇｅ — Ｋｕｔｔａ方法等标准的离散化方法可以实现模型解的非负性的动力学性质．本文采用Ｍｉｃｋｅｎｓ的非标准有限差分方法（ＮＳＦＤ）来讨论和分析模型（１）．使用ＮＳＦＤ方法需要满足两个条件：（ａ）关于一阶导数标准离散化中的分母函数ｈ将由分母函数（ｈ）代替，且０＜咖（ｈ）＜１，（ｈ）＝ｈ＋Ｏ（ｈ），其中ｈ表示步长；（ｂ）非线性项将采用非局部代换的方式替代．这种方法最早是由Ｍｉｃｋｅｎｓ提出，文献［９ — １０］采用这种方法解决微分方程离散化后的许多动力学问题，本文采用ＮＳＦＤ方法离散模型（１），并得到解的正性在离散和连续模型中保持一致性的结论．
１引
言
数学模型是研究传染病的传播规律并给定相应的预防措施的重要数学方法，而疾病的发生率在研究
传染病模型的定性分析时有着重要的作用．文献［１－３］考虑了一类饱和发生率的传染病模型，文献［４］考虑了易感者类和移除者类具有常数输入且具有饱和发生率的ＳＩＲＳ传染病模型．文献［４］的模型在不考虑移出者类再次感染和因病死亡率的情况下，模型为

一类具有接种和饱和发生率的SIR—SVS传染病模型的全局稳定性

Ｋｅｒｓｖｃｉａｉｎ；ａｕａｉｎｉｃｄｎｅ；ｔｂｉｉｙｙｗｏｄ：ａｃｎｔｏｓｔｒｔｏｎｉｅｃｓａｌｔ
１准备工作
传染病的防治是一件关系国计民生的大事，受
在文献Ｅ３，ｉＹａｇ究了如下具有接种３中Ｌ和ｎ研
生数＜１时，病平衡点是全局渐近稳定的；无当基本再生数＞１时，出了地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件．给关键词：接种；饱和发生率；稳定性中图分类号：Ｏ１５１７．文献标识码：Ａ文章编号：１０～９６（０２０—０５００８２５２１）２０７ —４
一
ｄＩ
Ａ —Ｗ（￡，｝＋一＋（ｓ）１）
ｌ
使易感者具有暂时的免疫能力，提高人体免疫水是
平，制疾病发生和流行的重要措施，天花、控对流感、
—（ｄ（ｙａ，Ｊ＋一十）９）＋，ｓ
田晓红，徐瑞，马成军
（．军械工程学院基础部１２光学与电要：研究一类具有接种和饱和发生率的ＳＲＳＳ传染病模型．过构造适当的ＬａｕｏＩ—Ｖ通ｙｐｎｖ函数证明了当基本再
的传染病模型
ｄＳ
到了越来越多的关注，而对传染病最直接的控制措施是对易感者人群进行预防接种或对染病者人群进行隔离，以减少疾病的发生率．中，防接种可以其预

一类具有信息变量和饱和恢复率的SIR传染病模型的研究

Ｖｏ１．２７Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ２０１３
文章编号：１００９－４４９０（２０１３）０２－００１３－０６
一
类具有信息变量和饱和恢复率的ＳＩＲ传染病模型的研究
闫彩娟，贾建文
（山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾０４１００４）
ｃｕ
为染
．ｒ１．
病者接受医院治疗的恢复率．所有参数均为正常数．
将上述系统中的积分方程求导，注意到前三个方程与Ｒ无关，故只须考虑如下等价系统：
收稿日期：２０１３－０３－２６
基金项目：山西省自然科学基金（２０１３０１１００２— ２）．作者简介：闫彩娟（１９８８一），女，山西运城人，山西师范大学数学与计算机科学学院硕士研究生，主要从事生物数学方面的研究．通讯作者：贾建文（１９６３一），男，山西运城人，山西师范大学数学与计算机科学学院教授，主要从事生物数学方面的研究．
０引言
传染病数学模型，是生态数学模型中重要的一种．在经典的流行病模型中，对总人口通常考虑常数输入或者指数输入；对传染率一般采用的是双线性型、标准型和非线性的传染率ｊ．为了更好地描述传染病的传染与控制规律，在治疗过程中，需要总结当地有关疾病的信息，以及现在发生的状态变量值和总结过去的状态变量的信息间的关系．因此需要考虑信息变量２Ｊ，文献［４］研究了指数输入的带有饱和发生率和信息变量的ＳＩＲ模型．其次，在许多发展中国家，由于医疗条件的限制，需要接受治疗的病人超出当地医院的容纳量．因此，在传染病模型中采用饱和治疗率是更好地选择．文献［５，６］中研究了带有饱和发生率

一类具有饱和发生率和恢复率的生态流行病模型

一类具有饱和发生率和恢复率的生态流行病模型
冯宇星，雒志学，胡永亮，梁丽宇
（兰州交通大学数理学院，兰州７３００７０）
摘要：研究了一类食饵具有传染病的捕食?食饵模型，考虑食饵的庇护作用，以及染病食饵和捕食者的恢复作用．利用Ｈｕｒｗｉｔｚ判据、ＬａＳａｌｌ不变集原理和微分不等式，证明了系统解的有界性，分析了系统非负平衡点的存在性，最后通过特征根法讨论了非负平衡点的局部稳定性．结果表明：存在一个使疾病灭绝平衡点全局渐进稳定且系统持续共存的阈值．关键词：食饵?捕食者；平衡点；局部稳定；流行病；Ｈｕｒｗｉｔｚ判据中图分类号：Ｏ１７５．１文献标志码：Ａ
ＡｎＥｃｏ?ｅｐｉｄｅｍｉｏｌｏｇｉｃａｌＭｏｄｅｌｗｉｔｈＳａｔｕｒａｔｉｏｎＩｎｃｉｄｅｎｃｅａｎｄＲｅｃｏｖｅｒｙＲａｔｅ
ＦＥＮＧＹｕ?ｘｉｎｇ，ＬＵＯＺｈｉ?ｘｕｅ，ＨＵＹｏｎｇ?ｌｉａｎｇ，ＬＩＡＮＧＬｉ?ｙｕ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）
第３９卷第１期２０２０年２月
兰州交通大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０２０
文章编号：１００１?４３７３（２０２０）０１?０１２４?０６
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１?４３７３．２０２０．０１．０２０
第１期
冯宇星等：一类具有饱和发生率和恢复率的生态流行病模型
１２５
态．目前，在生态流行病领域虽然取得了丰硕的成
果［３?２０］，但基本上是考虑感染者不可康复的生态流行病模型，但在现实生活中好多流行病是可以康复的．同时庇护所也是生态流行病模型考虑的一个重要因素，在自然界中，被捕食者通常会进入它们不受捕食者伤害的地方，这样的避护所通常扮演着两个重要的角色，它既可以减少被捕食者由于捕食而灭绝的机会，又可以抑制猎物捕食者的振荡．文献［５］研究的是双线性发生率 βＳＩ且不考虑捕食者对易感食饵的捕食情况以及染病食饵的恢复情况．文献［６］研究的是饱和发生率１β＋ＳαＩＩ也不考虑捕食者对易感食饵的捕食情况以及染病食饵的恢复情况．文献［７］也没有考虑染病食饵的恢复情况，但在现实生活中众多的生态流行病是可以康复的．故本文在文献［５?７］的基础上，研究一类具有饱和发生率、恢复率和避护所的生态流行病模型，且假设捕食者无病，仅考虑食饵的染病情况，首先证明系统解的有界性，其次讨论非负平衡点的存在性，再利用特征根法和Ｈｕｒｗｉｔｚ定理等方法［２１］分别判断每一个非负平衡点的局部稳定性，最后再利用极限理论、Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数、Ｄｕｌａｃ判据以及ＬａＳａｌｌｅ不变集原理［８］等知识证明这种生态流行病模型的非负平衡点的全局稳定性．最后找到该生态流行病模型中传染病灭绝平衡点局部渐近稳定的阈值和全局渐近稳定的充分条件．

具有饱和治愈率的离散SIS传染病模型的动力学性态

跨临界分支、Ｆｌｉｐ分支、鞍结点分支、Ｈｏｐｆ分支、以
问题，我们将总人口划分为易感者和染病者两类，
分别用Ｓ（）和（）表示ｔ时刻在易感者和染病者
＊
收稿日期：２０１３－０８ — ０６
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｄｙｎａｍｉｃｓ
及倍周期分岔引起的混沌现象）也有一些研
０引言
究＇．
２０１３年１Ｏ月
文章编号：１０００ — ５８１１（２０１３）０５ — ０１４７ — ０４
具有饱和治愈率的离散ＳＩＳ传染病模型的动力学性态
曹慧，王玉萍
（陕西科技大学理学院，陕西西安７１００２１）
摘要：研究了一类具有饱和发生率的离散ＳＩＳ传染病模型的动力学性态，定义了模型的基本再生数，得到了无病平衡点和地方病平衡 பைடு நூலகம்的存在与稳定的条件，讨论了系统的持久性，并通过数值模拟展示了所得到的理论结果和模型复杂的动力学性态．
１模型
比较容易理解和应用，因此，近年来有关离散传染
病模型的应用和研究越来越多口］．离散传染病模型在描述ＳＡＲＳ和肺结核等具体疾病的传播过程中已经得到了成功地应用ｌ４］．

具有种群Logistic增长及饱和增长率SIR传染病模型的稳定性

：（１一）。源自 ’ ： “ 一
典传染病模型大多数都采用双线性发生率（３ｓｓ）和
与
收稿日期：２０１２－０７－１３；修改日期：２０１３ — ０１ — １０基金项目：街阳市科技局计划项目（２０１２ＫＳ１５）Ｉ湖南省自然科学基金项目（１２ＪＪ９００１）；湖南省科技计划项目（２０１２ＳＫ３１１７）湖南省“ 十二五” 重点建设学科资助项目作者简介：・宫兆刚（１９７８一），男。吉林集安人，讲师，硕士。主要从事生物数学研杨柳（１９７１一），男，安徽淮北人，副教授，博士，主要从事分数阶微分方程的研究：蛐ｉ！：幽皿４ｇｉ）ｖａｈｏｏ．ｃｏｎ．ｒ
ＧＯＮＧＺｈａｏ．ｇａｎｇＹＡＮＧｌｉｕ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｍｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＨｅｎｇｙａｎｇＨｕｎｎａ４２１００８，Ｃｌａｉｍ）
文章编号：１６７４－８０８５（２０１３）０３ — ００１３ — ０５
具有种群Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长及饱和增长率ＳＩＲ传染病模型的稳定性
’ 宫兆刚，杨柳