高中数学讲义微专题76 存在性问题

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高中数学微专题【不等式恒成立或有解问题】

突破点一分离法求参数的取值范围

【例1】已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥1

3＋1，求a的取值范围.

解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x2－x，x∈R，

f′(x)＝e x＋2x－1.

因为f′(x)＝e x＋2x－1在(－∞，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.

(2)由f(x)≥1

3＋1得，e x＋ax2－x≥

3＋1，其中x≥0，

①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a∈R.

②当x>0时，分离参数a，得a≥－e x－

3－x－1

x2，

记g(x)＝－e x－

3－x－1

x2，

g′(x)＝－（x－2）

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

e x－

2－x－1

x3.

令h(x)＝e x－1

2－x－1(x>0)，则h′(x)＝e x－x－1，

令H(x)＝e x－x－1，则H′(x)＝e x－1>0，

所以H(x)在(0，＋∞)上是增函数，且H(0)＝1－0－1＝0，所以h′(x)>0，故函数h(x)在(0，＋∞)上递增，

∴h(x)>h(0)＝0，

即e x－1

2－x－1>0恒成立，

故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 2

微专题44多变量的不等式恒成立与存在性问题

微专题44 多变量的不等式恒成立与存在性问题

多变量的不等式恒成立与存在性问题探究历来是高考的热点与难点，解决此类问题的难点是目标函数的选取以及最值的求解．本专题主要研究多变量的不等式恒成立与存在性问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用

例题：已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝x )21(－m ，若对∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[1，2]，f(x 1)≥g(x 2)，求实数m 的取值范围．

变式1已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝x )21(－m ，若对∀x 1∈[2，3]，∀x 2∈[1，2]，f(x 1)≥g(x 2)，求实数m 的

取值范围．

变式2已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝x )21(－m ，若

x 1∈[2，3]，∃x 2∈[1，2]，f(x 1)≥g(x 2)，求实数m 的取

值范围．

串讲1已知f(x)＝x 2，g(x)＝x )21(－m ，若对∀x 1∈[2，3]，∀x 2∈[1，2]，f(x 1)＝g(x 2)，求实数m 的取值范围．

串讲2已知f(x)＝x 2，g(x)＝x

)21(－m ，若∃x 1∈[2，3]，∃x 2∈[1，2]，f(x 1)＝g(x 2)，求实数m 的取值范围．

(2018·苏大考前指导)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2

2e ，x ≥a ，ln x ，0

若对任意实数k ，总存在实数x 0，使得f(x 0)＝kx 0成立，则实数a 的值为________________．

已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x. (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)设F(x)＝a 2·[f 2(x)－2]＋f(x)(a 为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)； (3)对(2)中g(a)，若－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0所有的实数a 及t ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．

微专题抽象函数与奇偶性、周期性、对称性等综合问题

抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，尤其函数奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往使考生无从下手，本文从多方面例举其应用．考向1 抽象函数的单调性

【例1】（2019秋•静宁县校级期末）已知偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则满足(21)

()f x f x -的

x 取值范围是( )

A ．[1，)+∞

B ．(-∞，1]

C ．(-∞，1

][13，)+∞

D ．1

，1]

解：根据题意，偶函数()f x 在区间(-∞，0]单调递减，则()f x 在[0，)+∞上为增函数，则22(21)()(|21|)(||)|21|||(21)f x f x f x f x x x x x -⇒-⇒-⇒-，解可得：

x ，即x 取值范围是1

，1]；故选：D ．

【例2】（2019秋•武汉期末）若146()7a -=，1

57()6b =，27

log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意

的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212

()()

0f x f x x x -<-，则f （a ）

，f （b ），f （c ）的大小顺序为( ) A ．f （b ）f <（a ）f <（c ） B ．f （c ）f >（b ）f >（a ） C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）

D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）

解：根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有

微专题44多变量的不等式恒成立与存在性问题答案

微专题44 例题答案：),415[+∞- 解析：g(x 2)≤f(x 1)min ＝4，所以g(x 2)min ＝14－m ≤4，所以m ≥－154，即实数m 的取值范围为),415[+∞- 变式联想

变式1

答案：[－72，＋∞)．解析：g(x 2)max ≤f(x 1)min ＝4，所以g(x 2)max ＝12－m ≤4，所以m ≥－72，即实数m 的取值范围为[－72

，＋∞)．. 变式2

答案：),4

35[+∞-. 解析：g(x 2)≤f(x 1)max ＝9，所以g(x 2)min ＝14－m ≤9，所以m ≥－354，即实数m 的取值范围为),4

35[+∞-. 串讲激活串讲1

答案：]4

15,217[-- 解析：g(x 2)的值域是f(x 1)的值域的子集，[14－m ，12－m][4，9]，所以⎩⎨⎧1

2－m ≤9，14－m ≥4，所以－172≤m ≤－154，即实数m 的取值范围为]415,217[--

. 串讲2

答案：]2

7,435[--. 解析：g(x 2)的值域与f(x 1)的值域有交集，即[14－m ，12－m]∩[4，9]≠φ，可考虑[14－m ，12

－m]∩[4，9]＝φ，所以12－m<4或14－m>9所以m>－72或m<－354，补集为－354≤m ≤－72

，即实数m 的取值范围为]2

7,435[--. 新题在线

答案：e .

解析：设h(x)＝ln x －x 22e ，则h′(x)＝1x －x e ＝e －x 2

e x

，所以当x ∈(0，e )时，h ′(x)>0，h(x)单调递增，当x ∈(e ，

中考数学平面直角坐标系中几何图形的存在性问题综合训练

第三单元函数

微专题平面直角坐标系中几何图形的存在性问题

1. 如图，已知直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋2x＋c相交于点A(－1，0)和点B(2，m)两点

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在x轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. 如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－3)交x轴于A、C两点，交y轴于点B，且OB＝2CO.

(1)求点A、B、C的坐标及抛物线的解析式；

(2)抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)．

(1)求抛物线解析式；

(2)E为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在一点D，使得以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

4. 如图，抛物线y＝－x2＋6x－5与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BC于点E.

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

参考答案

综合训练

1. 解：(1)∵点B (2，m )在直线y ＝x ＋1上， ∴m ＝2＋1＝3， ∴点B 坐标为(2，3)，

∵点A (－1，0)和点B (2，3)在抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 上，代入得

二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题

考向3.9 二次函数-存在性问题

例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数3

y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数2

y x bx c =

++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；

（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）对于3

3y x =

：当x =0时，3y = 当y =0时，

303

x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-2

3y bx c ++得： 33+3+=0

3b c c ⎧⎪⎨

=-⎪⎩

解得，23

3b c ⎧=⎪⎨

⎪=⎩

∴抛物线的解析式为：23233y =

（2）抛物线的对称轴为直线23

3123

b x a -

=-=-=⨯

故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图，

∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上，当x =1时，232343

113=333

y =⨯-⨯--

∴Q （1，433

）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，

∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴，

∴令3y =23233=3y

解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)；

专题五微专题4圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题-2021届高三数学二轮专题复习PPT全文课件

微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
对点训练
(2)解：因为 yN＝12(x21＋x22)＝12(x1＋x2)2－x1x2＝2t2－t＋2，所以 N(t，2t2－t＋2)．
因为 kAB＝xx211－－xx222＝x1＋x2＝2t，所以直线 AB：y－(2t2 －t＋2)＝2t(x－t)，即 y－2＝2tx－12，所以直线 AB 过定点 12，2.
微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
对点训练
(1)证明：设切点 A(x1，x21)，B(x2，x22)，y′＝2x，所以切线 MA 的斜率为 2x1，切线 MA：y－x21＝2x1(x－ x1)，设 M(t，t－2)，则有 t－2－x21＝2x1(t－x1)，化简得 x21－ 2tx1＋t－2＝0，同理可得 x22－2tx2＋t－2＝0. 所以 x1，x2 是方程 x2－2tx＋t－2＝0 的两根，所以 x1＋ x2＝2t，x1x2＝t－2， xN＝x1＋2 x2＝t＝xM，所以 MN⊥x 轴．
微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
对点训练
解：(1)由 x2＋y2－4 2x＋7＝0，可得(x－2 2)2＋y2＝1，则圆心坐标为(2 2，0)，即 F1(2 2，0)，所以半焦距 c＝ 2 2. 因为△HF1F2 的面积为 2 2，所以12·b·2c＝2 2，所以 b＝1，所以 a2＝b2＋c2＝9，所以椭圆 C 的方程为x92＋y2＝1. (2)假设存在这样的直线满足题设条件，设 M(x1，y1)，N(x2， y2)．

微专题五二次函数中的存在性问题

3
2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A(-4,0),P
是抛物线上一点(点P与点A,B,C不重合).
(1)b=________,点B坐标是________. (2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P, 使得PM∶MB=1∶2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在, 请说明理由. (3)连接AC,BC,判断∠CAB与∠CBA的数量关系,并说明理由.
9 99 ＝ 8 a2 68 a 32＝ 8 (a 17)2 225 .
9 9 9 9 4 18
∵- 8<0,∴当a=- 17时,矩形PEFG的周长最大,此时,
9
4
点P的横坐标为- 17 .
4
(3)存在. ∵AD=BD,∴∠DAB=∠DBA. ∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA, 又∵∠DMN=∠DBA,∴∠AMN=∠MDB, ∴△AMN∽△BDM,∴ AN ＝A.M
【题组过关】
1.(2019·眉山中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物
线y=- 4 x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0). 世纪
9
金榜导学号
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F. 当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标.

微专题4：+立体几何中的探索问题+2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

【解析】（1）证明：连接CE交AD于O，连接CE. 因为，AD为 ABC 的中线，则O为 ABC的重心，
故 CF CO 2 CC1 CE 3
，故 OF∥C1E
，
因为 OF 平面ADF，C1E 平面 ADF ，
所以 C1E 平面ADF.
（2）存在点M，当时BM=1，平面 CAM 平面ADF .
法二：存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE∥平面 AB1C1. 证明如下：如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，则 DF∥B1C1. ∵DF⊄ 平面 AB1C1，B1C1⊂ 平面 AB1C1，∴DF∥平面 AB1C1. ∵AB 的中点为 E，连接 EF，ED，则 EF∥AB1. ∵EF⊄ 平面 AB1C1，AB1⊂ 平面 AB1C1，∴EF∥平面 AB1C1. ∵DF∩EF＝F，∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE⊂ 平面 DEF，∴DE∥平面 AB1C1.
立体几何中的探索性问题---平行Байду номын сангаас
练习如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C，D 的点．
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC. (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
[解] (1)证明：由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD. 因为 BC⊥CD，BC⊂平面 ABCD，

高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题

微专题10 函数零点的个数问题

一、知识点讲解与分析：

1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点

2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号

3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一

4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系

设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若

()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()()

,g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。（详见方法技巧）二、方法与技巧：

2024届高考数学二轮复习专题4圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课件

微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
故 C：x42＋y32＝1，所以 C 的离心率为
4－4 3＝12.
(2)设 l：y＝kx＋m，联立方程组y3＝x2＋kx4＋y2m＝，12，消去 y 可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则xxNN＋ xM＝xM＝ 43m＋－2－43k＋1822km4，k2，
微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
又 M 是 AP 的中点，所以 M(x0－2 2，y20)．从而O→M＝(x0－2 2，y20)，F→Q＝(3，x04＋y02)，所以O→M·F→Q＝3（x02－2）＋x02＋y202＝3（2x（02－x04＋）2＋）4y02，① 因为点 P 在椭圆 C 上，所以x420＋y302＝1，故 3x20＝12－4y20，代入式①可得O→M·F→Q＝0，从而 OM⊥FQ，
所以 kBM＝kxxMM＋＋2m，kBN＝k2x＋N＋xNm，
微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
以 kBM＋kBN＝kxxMM＋＋2m＋k2x＋N＋xNm ＝（kxM＋m）（（22＋＋xNx）M）＋（（2k＋xNx＋N）m）（2＋xM）＝2kxNxM＋xNx（M＋2k＋2（mx）N＋（xxMN）＋＋xM4）＋4m ＝2k（4m2－12）4m＋2－（122k－＋1m6）km（＋－128＋km1）6k＋2 12m＋16mk2 ＝4k2－3m4－km6＋k m2，

【独家】高考数学微专题(学生版)(至第3波) (1)

A.
,
e
1 e
B.
,
e
1 e
C.
e
1 e
,
2
D.
,
1 e
1
6.已知函数
f
(x)
1 2
2x 1, x 0, x2 2x 1, x
，方程
0,
f
2 (x) af
(x) b
0(b
0)
有六个不同的实数解，则
3a b 的取值范围是（）.
A. [6，11]
B.[3，11]
C.（6，11）
D.（3，11）
7.己知函数
f
(x)
x2 ex
,
x
0, e
为自然对数的底数，若关于
x
的方程
f (x)
2 0 有四个相异 f (x)
实根，则实数λ的取值范围是（）.
A. (0, 2) e
B. （ 2 2 ，+∞）
C. （ e 2 ，+∞） e
D.（
e2 2
4 e2
，+∞）
8.已知定义在 R
上函数，满足
f
(x)
2 x1 1, x 0,
x
2
2x
1,
x
0,
，若关于
x
的方程
f
2 ( x)

多变量的不等式恒成立与存在性问题专题

微专题44 多变量的不等式恒成立与存在性问题

1.函数f(x)＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．

2．已知不等式x 12－2ln x 1－⎝⎛⎭⎫

12x 2－2m ≤0，对任意x 1∈[1，4]，x 2∈[－2，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．

3．若不等式bx ＋c ＋9ln x ≤x 2对任意实数x ∈(0，＋∞)，b ∈(0，3)恒成立，则实数c 的取值范围是________．

4．函数f(x)＝x 2－4x ＋3，g(x)＝mx ＋5－2m ，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，f(x 1)＝

g(x 2)成立，实数m 的取值范围是________．

5．已知函数f(x)＝2x －2

x －5ln x ，g(x)

＝x 2－mx ＋4，若存在x 1∈(0，1)，对任意x 2∈[1，2]，总有

f(x 1)≥g(x 2)成立，则实数m 的取值范围为

________．

6．已知不等式(m －n)2＋(m －ln n ＋λ)2

≥2对任意m ∈R ，n ∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．

7.已知函数f(x)＝x 2－2ln x －m ，g(x)＝

⎝⎛⎭

⎫12x ＋m ，(m ∈R ) (1)若存在实数x 1∈[1，4]，对任意实数x 2∈[－2，－1]，有不等式f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．

(2)对任意实数x 1∈[1，4]，存在实数x 2

2021年高考微专题函数中恒成立与存在性问题

函数中恒成立问题

【一】分离参数法

1.例题

【例1】不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（） A ．(,1]e -∞-

B ．2(,2]e -∞-

C ．(,2]-∞-

D ．(,3]-∞-

【解析】3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，

即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x

---=，()1,x ∈+∞的最小值，

而3

3ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+，故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-，

即313ln 3ln ln x x e x x

x x

----≥=-，当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，

故3min

13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D.

【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∵'()ln 1f x a x =++,

又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3,∵'(e)3f =,即lne 13a ++=,∵1a =； (2)由（1）知,()ln f x x x x =+,∵2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln x

人教版贵州贵阳市中考数学一轮培优：第3单元微专题平面直角坐标系中几何图形的存在性问题

【温馨提示】①当A、B、C三点在一条直线上时,不能构成三角形；②当C点在直线x ＝a或y＝a(a为实数)上时,求解方法相同．
直角三角形
模型分析
此类问题三角形三个点中一般已知两个定点,一个动点,则用这两个定点(设为A、B) 和其连成的线段(AB)分类讨论：①以A为直角顶点；②以B为直角顶点；③以C为直角顶点．
第3题图①
第3题解图①
由题意得AB＝4,若C(0,3),设D(e,3), ∵在以A、B、C、D为顶点,AB为边的平行四边形中,CD∥AB,CD＝AB＝4, ∴D1点为C点向左平移4个单位, D2点为C点向右平移4个单位, ∴D1(－4,3),D2(4,3)；
(2)若C为x轴上一点,在图②中画出以A、B、C、D为顶点,AB为对角线的矩形,并求出点D的坐标；【自主解答】请在虚线框中画出草图
第2题解图②
(3) 若点A、B的坐标分别为(1,1)、(4,2),∠ACB＝90°,在图③中画出以A、B、C为顶点的△ABC,并求出点C的坐标．【自主解答】请在虚线框中画出草图
第2题图③
Biblioteka Baidu
第2题解图③
设C(b,0), ∵∠ACB＝90°, ∴AC2＋BC2＝AB2. ∵AB2＝(4－1)2＋(2－1)2＝10, AC2＝(b－1)2＋1＝b2－2b＋2, BC2＝(b－4)2＋22＝b2－8b＋20, ∴b2－2b＋2＋b2－8b＋20＝10, 解得b1＝3,b2＝2, 即C1(2,0),C2(3,0)．

中考数学微专题6 等腰三角形、直角三角形形存在性问题

①典型考题：例Βιβλιοθήκη Baidu1 (2021 广安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝－x2＋ bx＋c 的图象与坐标轴相交于 A、B、C 三点，其中 A 点坐标为(3， 0)，B 点坐标为(－1，0)，连接 AC、BC.动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 2个单位长度向点 Q 做匀速运动；同时，动点 B 出发，在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度向点 A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒．
(2)存在．假设点 M 是线段 AC 上方的抛物线上的点，如图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，过 M 作 y 轴的垂线，与 PE 交于 F，连接 MQ，MP. ∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°， ∴∠MPF＋∠QPE＝90°，又∠MPF＋∠PMF＝90°， ∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM 和△QEP 中， ∠F＝∠QEP，∠PMF＝∠QPE，PM＝PQ.
问题3：在坐标系中有AB两点，则在坐标平面内是否存在点C，使△ABC是等腰直角三角形？
①画出点C可能存在的所有位置：如图，固定会有六个答案点．
②代数法在等腰Rt△ABC外做出K型全等，如图，△ADB全等于△BEC，设出A，B，C三点的坐标，表示出AD， BD，BE，EC的长，列出方程 AD＝BE；DB＝EC.