数学建模习题-人口问题

数学建模报告
——浙江省人口增长预测模型的建立与分析
问题综述:
为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。

我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。

人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有
关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。

一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。

所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。

浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。

近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。

从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发, 建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

解：假设：不考虑特别年份的特殊性,例如特大自然灾害等对人口增长的影响；
在研究 Logistic生物模型,假设其研究对象p(t) {p(t)表示在t时刻种群的大小}是连续的；不考虑男女出生比例对人口增长的影响。

模型建立：1.短期人口预测
影响人口增长的因素有很多，有经济、政策、科学技术、自然环境等，这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来, 它们对人口增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的。

人口系统具有明显的灰色性, 是一个部分信息已知而部分信息未知的系统。

灰色系统理论把这样受众多因素影响, 而又无法确定其复杂关系的量,称为灰色量。

灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的喜用，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。

本题采用了灰色系统预测方法进行短期人口预测
灰色系统模型建模是利用离散的时间序列数据建立近似连续的微分模型。

灰色模型预测的方法：
1.给定原始数据为
)()2(),1()0()0()0(n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （5） 2.将不同年份)0(x 累加得到新的数列)1(x 。

即
n i m x x
i
m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∑=3,2,1,)(1
)0(1(）
（6）
3.构造数据矩阵B 和)(n Y
)]2()1([21
)1()1(x x +- 1
B= )]3()2([2
1
)1()1(x x +- 1
(7)
……
)]()1([2
1
)1()1(n x n x +-- 1
T
n n x x Y )](3x 2[)0((0)0(⋅⋅⋅=），（），（） (8) 根据)1(x 可以建立白化形式微分方程，解得GM （1，1）模型。

4.求解a 和u:
设a 和u 构成的待估参数向量
A=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡u a ，根据最小二乘法有：
A=n T T Y B B B ⋅⋅-1)( 。

（9） 5.GM （1，1）模型:
a
u e a u x k x ak +⋅-=+-∧]1[)1()
0()
1(）（
（10） 6.求还原函数
ak a e a
u
x e k x --∧⋅--=+])1()[11()0()
0(（） （11）
年份
1978
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
设)0(x =[3750.96,3792.33,3826.58,3871.51, 3924.32, 3963.1, 3993.09, 4029.56, 4070.07, 4121.19, 4169.85, 4208.88, 4234.91,4261.37, 4285.91, 4313.3, 4341.2, 4369.63, 4400.09, 4422.28]
———浙江省1978至1997年的连续20 年的总人口数如上表1所示:
)1(x =[3750.96,7543.29,11369.87,15241.38,19165.7,23128.8,27121.89,31151
.45,35221.52,39342.71,43512.56,47721.44,51956.35,56217.72,60503.63,64816.93,69158.13,73527.76,77927.85,82350.13] A=[a;u]=[-0.0086;3777.265]
k)*exp(0.0086*0.0086))377.7265/(+(375.096*6))exp(-0.008-(11()
0(=+∧）k x 下面是由灰色模型预测的2007年到2020年的浙江省人口数
2.长期人口预测
用Logistic 模型对浙江省人口进行分析预测。

人口总数 3750.96
3792.33 3826.58 3871.51 3924.32 3963.1 3993.09 4029.56 4070.07 4121.19
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 人口总数
4169.85
4208.88 4234.91 4261.37 4285.91 4313.3 4341.2 4369.63 4400.09 4422.28 年份 预测人口(万) 2007 4867.63 2014 5169.66 2008 4909.67 2015 5214.31 2009 4952.08 2016 5259.35 2010 4994.85 2017 5304.77 2011 5037.99 2018 5350.59 2012 5081.5 2019 5396.81 2013 5125.39 2020 5443.42
由0001()at
ap p bp a bp e -=
+- 可得0111at
b b e p a p a -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
由1 p2=
1(1)at ap bp a bp e -+- 可得1121at
b b e p a p a -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
所以01111[]121at
e p p p p --=-
, 011
11ln 1112
p p a t p p -
=- , 0(/11/)1at at
a e p p
b e -=- 选择1978,1992,2006间距相等的三个年份p(1978)=3750.96 ，p(1992)=4285.91,p(2006)= 4629.43,计算可得 a =0.0467 b =0.00921 令p(t)=
00()002()a t t ap a b bp a bp e --=+- 得(0)
00
a t t bp e a bp --=
- 0001ln bp t t a a bp =--,0000()()
()0000
//()()11a t t a t t a t t ap a b a b
p t a bp bp a bp e e e bp ------===
-+-++
将有关数据代入可求得
1956
t =
a/b =5.0706 ∴p(t)=0.0467()5.0706
()1t t p t e --=+
附录
#include<iostream>//灰色系统模型预测2007-2020人口数
#include<cmath>
using namespace std;
void main()
{ int i;
double x[15],y[15];
double
z[11]={0,3792.33,3826.58,3871.51,3924.32,3963.1,3993.09,4029.56,4070. 07,4121.19,4169.85};
for(i=1;i<=14;i++)
{ cin>>x[i];
y[i]=(1-exp(-0.0086))*(375.096+377.7265/(0.0086))*exp(0.0086*(x[i]));
}
for(i=1;i<=14;i++)
{ cout<<y[i]*10<<endl;
}
}
#include<iostream>//Logistic模型预测每年人口数
#include<cmath>
using namespace std;
void main()
{ double x,a;
for(int i=0;i<100;i++)
{ cin>>x;
a=5.0706/((1+1/exp(0.0467*(x-1956)))*1.0);
cout<<a<<endl;
}
}。