第十二章 稳定电流的磁场

2．磁场的高斯定理 （1） 磁感应通量
磁感应强度等于通过单位垂直面积的磁感应通量。 d d BdS B dS d BcosdS B d S（12-5）
B cosdS
B dS
S S
（12-6）
图8. 通过任一小面的磁感应线
的单位为韦伯（Wb)
（12-3）
洛仑兹公式
F q( E v B)
（12-4）
§12-2 磁感应通量 磁感应线的闭合性
1. 磁感应线
图6. 分别为(a)长直电流 (b)圆电流 (c)螺线管电流的磁感应线
图7. 螺绕环
磁感应线都是围绕电流的闭合线 , 或者说是从 无限远处来，到无限远处去，没有起点，也没有 终点。
(1) 求闭合曲线不包围电流时 LB dl 的值。
AD 段：
B dl Bdl cos
＇ B

dl cos ds rd
r
dl
图16 磁场环路定律
所以
2 I B dl Brd rd 2 Id 4 r 4
EF 段用同样方法可得：
（12-23）
d 2B 令 x 0 处的 0 ,可得在 O 点磁场最均匀的 dx 2 条件为
aR
例：一半径为 R 的均匀带电球面,球面上电势
为 u 。今球面绕直径以角速度 匀速旋转，如图
示。试求球心 O 处的磁感应强度。
1 Q 解： Qu 4 R \Q 4 Ru
B nI
（12-20）
（2）若在螺线管的一端，而另一段无限长,即 1 0， 2 , 2 （12-21） B nI 2
4. 亥姆霍兹线圈
1. 求轴线上任意一 点的磁感应强度。
·
2. 讨论a的取值为多 大时, 距两线圈圆心等 远的点o处的磁场最均 匀。
图15 亥姆霍兹线圈
B
图在下一页
2 R d
2

R 2 I
2

3
2
dl对 应 的 电 流强 度 为 , 代入上式，有 Indl
dB 2 R2 l 2

R nI
2

3
dl
2
（12-18）
x
图14 螺线管轴线上的磁场
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由图中几何条件知
l Rctg( ) Rctg
R l R csc R csc
2 2 a a 2 2 4 x R 4 x R 2 d B 2 2 2 3R I 2 7 7 2 dx 2 2 2 2 2 a a 2 R x R x 2 2
B
(12-15)
式分母中的 R 2
R 2 I
2d
3
2R 2 I 4 d 3
（12-16）
令
R I SI Pm
2
（称为圆电流磁矩）
于是（12-16）式可改写为
2 Pm B 4 d 3
2 Pm B 4 d 3
（12-17）
3. 螺线管轴线上的磁场 据（12-15）式

2


3
r
Rr d
3 2
Z
2

3
2

R
2

2 0
2 R sin d u 3
3
方向沿 z 轴正方向. 要点：将旋转的带电球面看成半径不同而同轴 放置的一系列的圆电流构成的系统，利用圆电流轴 线上任一点的磁感应强度公式求解。
§12-4 磁场环路定律（安培环路定律） 1. 磁场环路定律

2
1
I cos1 cos 2 sin d 4 r
（12-13）
方向垂直于板面向内。
当导线趋于无限长时，1 0， 2 ，则在离
r 它为 处的磁感应强度为
I 2I cos0 cos B 4 r 4 r
2. 圆电流在轴线上所产生的磁场 （12-14）
磁力 F 的方向永远与试验电荷的速度方向垂直。 当试验电荷沿某一直线通过 P 点，磁力F 等
于零。
图4.
磁力与运动电荷的速度的方向关系
定义： B的方向即为F v 的方向。
B的大小为
MKSA有理制
Bkqv
F B q v
F
。

(牛· 秒/库· 米—特斯拉）
（2） 磁场的高斯定理
B dS 0 （12-7）
S
表明磁场是无源场， 且 B A ，有旋场。
图8. 通过闭合面的磁通量
§12-3 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律
载流导体中任一电流元 Idl ( dl 的方向即电流 流动的方向),在空间某点 p 处产生的磁感应强度 dB 的大小与 Idl 的大小成正比,与 dl 和矢径 r (即由电流
图13. 圆电流在轴 线上的磁场
任一直径两端的电流元在 p 点产生的磁感应强度dB 的垂直分量dB 的大小相等、方向相反，因而相互
抵消，故总场强的大小即为 dB// 的代数和，即
B dB //
R Idl R dB// dB sin dB r 4 r 2 r
1 B F v 2 q v
（12-1）
3.洛仑兹力
F qv B F q v B
（12-2）
v B 图5. F 、 、 三者的方向关系
F q v B q v sin B
即有洛仑兹力
F q v B
由上式可知
a a x x dB 2 2 2 3R I 5 5 dx 2 2 2 2 2 2 a a 2 R x R x 2 2 dB x0 0 （12-22） dx
L S
（12-26）
磁场的环流不等于零。因此，在磁场中不能引
入标量势的概念，即磁场不是有势场，所以，磁场
不是保守力场。
B
对应关系为

2 R2 d 2

IR
2

3
2
B dB
有
dZ
I dI
R r
3
dB

2 r Z
2

r dI
2
2

3

2
Rr d
2 r Z
2

2

3
2
r R sin
Z R cos
考虑到上下两半球在 o 点 的方向一致,有
B
B 2 dB
B 4
2R

0
2R 2 I R 2 I RI dl 3 3 4 r r 2 R2 d 2


3
2
(12-15)
26页
方向平行于 OO 向右。
讨论：
（1） d 0 ，上式化为
B
I
2R
圆电流在圆心处产生的磁场。 （2）若 d R ，则 可忽略不计，得
dN nSdl
（12-11）
(a) B
垂直于直面向外
(b) B
图11. 运动电荷 的磁场方向
垂直于直面向内
qv r B 4 r 3
3.毕—萨—拉定律的应用
(1)直电流所产生的磁场 设有一长直导线载有电流 I , 求离导线为 r 处的磁感应强 度 B。
（12-12）
解：
Idl sin dB 4r 2
图12. 直电流产生的磁场
Байду номын сангаас B dB 4
由图可知
Idl sin r2
l r ctg r ctg r r csc 则
dl r csc d
2
有
I B 4 r
1.毕—萨—拉定律
元指向场点的矢量)之间的夹角 的正弦成正比,而
与矢径长度 r 的平方成反比,即
k 4
Idl sin （12-8） dB k 2 r 7 7 4 10 亨 米 12.57 10 特 米 安
Idl r dB 3 4 r Idl r B r3 4
μ B dl Bdl cos θ Br d 2Id 4π
B dl B dl
GADH
μ B dl 4π 2I 2I 0 HEFG
(2) 求闭合曲线包围电流时 B dl 的值。
2 2 2 2 2 2
dl R csc 2 d
代入
(12-18)
式，得
dB

2
nI sin d
B dB

2
nI sin d
1
2

2
nI cos 1 cos 2
（12-19）
方向与电流流动方向成右手系。
讨论：
（1）若是无限长螺线管，则有1 0， 2 ，
L
B dl 4 2I d I
如电流方向反向，而沿闭 合曲线的绕行方向不变， 则有 B dl I
图16 磁场环路定律
综合以上三种情况得： B dl I
（12-24）
如果闭合曲线包含的 电流不止一个，那么 推广上面的结果得
n B dl I k L k 1