[高三联考]黑龙江省哈尔滨市2016届高三上学期第四次月考数学(文)试卷
【解析】黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷(文科)Word版含解析
【解析】黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（文科）Word版含解析2016年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷(文科)一、选择题:本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只12560.有一项是符合题目要求的 .1(已知集合，B={y|y=lgx，x?A}，则A?B=( ) A( B({10} C({1} D(?2(复数=( )A(i B(,i C(2i D(,2i3(命题?m?[0，1]，则的否定形式是( )A(?m?[0，1]，则 B(?m?[0，1]，则 C(?m?(,?，0)?(1，+?)，则 D(?m?[0，1]，则 4(从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为( )A(20 B(25 C(30 D(355(若非零向量，满足||=||，(2+)•=0，则与的夹角为( ) A(30? B(60? C(120? D(150?6(已知等差数列{a}中，a=6，a=15，若b=a，则数列{b}的前5项和等于( )n25n2nnA(90 B(45 C(30 D(186227(直线x,2y,3=0与圆(x,2)+(y+3)=9交于E，F两点，则?EOF(O是原点)的面积为( )A( B( C( D(8(某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为( )A( B( C( D(9(下列命题中正确的是( )A(函数y=sinx，x?[0，2π]是奇函数B(函数在区间上是单调递增的C(函数的最小值是,1D(函数y=sinπx•cosπx是最小正周期为2的奇函数210(直线y=kx,k与抛物线y=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到y轴的距离为( )1 C(2 D( A( B(x11(设f(x)的零点为x，函数g(x)=4+2x,2的零点为x，若|x,x|,，则f(x)1212可以是( )2xA(f(x)=2x+ B(f(x)=,x+x, C(f(x)=1,10 D(f(x)=ln(8x,7)x12(已知函数f(x)=e，g(x)=ln+，对任意a?R存在b?(0，+?)使f(a)=g(b)，则b,a的最小值为( )2A(2,1 B(e, C(2,ln2 D(2+ln2二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，将答案填在机读卡上相应的位置) 4520.13(设等比数列{a}的前n项和为S，若S:S=1:2，则S:S______( nn12618614(如图，程序框图输出的结果是______(15(若实数x，y满足不等式组，则z=x,2y的最大值为______( 16(在四棱锥P,ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=2，PB与平面PAC所成的角的正弦值为，若这个四棱锥各顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为______(三、解答题(本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 570..22217(在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b+c,a=bc， (?)求角A的大小;2(?)设函数f(x)=sinx+2cos，a=2，f(B)=+1时，求边长b( 18(某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如表:[80，100] [60，80] [40，60][80，100] 8 m 9 [60，80] 9 n 9 [40，60] 8 15 7 若历史成绩在[80，100]区间的占30%，(1)求m，n的值;(2)请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分布表:[80，100] [60，80] [40，60]地理历史根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表)，并估计哪个学科成绩更稳定(19(如图，平行四边形ABCD中，AB?BD，DE?BC，?A=60?，将?ABD，?DCE分别沿BD，DE折起，使AB?CE((1)求证:AB?BE;(2)若四棱锥D,ABEC的体积为，求CE长(20(已知椭圆C: +=1(a,b,0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x,y+12=0相切((1)求椭圆C的方程;(2)设A(,4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k、k，试问:12kk是否为定值,若是，求出该定值，若不是，请说明理由( 122)=ax+b(lnx,x)，已知曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x21(设函数f(x,y+1=0垂直((1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值点(请考生在、、三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修:222324.4-1几何证明选讲]22(如图，在?ABC和?ACD中，?ACB=?ADC=90?，?BAC=?CAD，?O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E((?)求证:DC是?O的切线;(?)若EB=6，EC=6，求BC的长([选修:坐标系与参数方程] 4-423(在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ?0)(注:本题限定:ρ?0，θ?[0，2π))(1)把椭圆C的参数方程化为极坐标方程;(2)设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90?，得到射线OB 与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由([选修:不等式选讲] 4-524(已知函数f(x)=|x,2|(?)解不等式;f(x)+f(2x+1)?6;(?)已知a+b=1(a，b,0)(且对于?x?R，f(x,m),f(,x)?恒成立，求实数m的取值范围(2016年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只12560.有一项是符合题目要求的 .1(已知集合，B={y|y=lgx，x?A}，则A?B=( ) A( B({10} C({1} D(?【考点】交集及其运算(【分析】将集合A中的元素代入集合B中的函数y=lgx中，求出可对应y的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集(【解答】解:将x=1代入得:y=lg1=0;将x=10代入得:y=lg10=1;将x=代入得:y=lg=,1，集合B={0，,1，1}，又A={1，10， }，则A?B={1}(故选C(复数=( ) 2A(i B(,i C(2i D(,2i【考点】复数代数形式的乘除运算(【分析】把的分子分母同时乘以分母的共轭复数，得到，再由复数的代数形式的乘除运算能够求出结果(【解答】解:===i(选A(3(命题?m?[0，1]，则的否定形式是( ) A(?m?[0，1]，则 B(?m?[0，1]，则C(?m?(,?，0)?(1，+?)，则D(?m?[0，1]，则【考点】命题的否定(【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可(【解答】解:因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题?m?[0，1]，则的否定形式是:?m?[0，1]，则故选:D(4(从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为( )A(20 B(25 C(30 D(35【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图(【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数【解答】解:由图知，(0.035+a+0.020+0.010+0.005)×10=1，解得a=0.03 ?身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0.03×10=0.3 故身高在[120，130]内的学生人数为0.3×100=30故选C5(若非零向量，满足||=||，(2+)•=0，则与的夹角为( ) A(30? B(60? C(120? D(150?【考点】数量积表示两个向量的夹角(【分析】由题意，可先由条件|，(2+)•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项【解答】解:由题意(2+)•=02•+=0，即2||||cos,，,+=0又||=||cos,，,=,，又0,,，,,π则与的夹角为120?故选C6(已知等差数列{a}中，a=6，a=15，若b=a，则数列{b}的前5项和等于( ) n25n2nnA(90 B(45 C(30 D(186【考点】等差数列的性质(【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a，d的方程组，解出a，d，11可得a，进而得到b，然后利用前n项和公式求解即可( nn 【解答】解:设{a}的公差为d，首项为a， n1由题意得，解得;a=3n， nb=a=6n，且b=6，公差为6， n2n1S=5×6+×6=90( 5故选:A(227(直线x,2y,3=0与圆(x,2)+(y+3)=9交于E，F两点，则?EOF(O是原点)的面积为( )A( B( C( D(【考点】直线与圆相交的性质(【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案( 22【解答】解:圆(x,2)+(y+3)=9的圆心为(2，,3) ?(2，,3)到直线x,2y,3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=EOF的面积为故选D(8(某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为( )A( B( C( D( 【考点】由三视图求面积、体积(【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积(【解答】解:几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面( 且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1( 四个侧面都是直角三角形，其中?PBC的高PB===故其侧面积是S=S+S+S+S?PAB?PBC?PCD?PAD==故选A9(下列命题中正确的是( )A(函数y=sinx，x?[0，2π]是奇函数B(函数在区间上是单调递增的C(函数的最小值是,1D(函数y=sinπx•cosπx是最小正周期为2的奇函数【考点】命题的真假判断与应用(【分析】A:利用奇函数的定义域必须关于原点对称，可得A不正确( B:由x?得出的取值范围，再利用正弦函数的单调性进行判断( C:利用诱导公式化简函数的解析式为 y=2sin(,x)，再根据正弦函数的值域求出它的最小值(D:利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为sin2πx，从而得到函数的周期性和奇偶性(【解答】解:对于A:由于函数y=sinx，x?[0，2π]的定义域不关于原点对称，故它不奇函数，故A不正确(得出?(,，)，正弦函数f(x)=sinx在(,，)B:由x上是增函数，函数在区间上是单调递减的，故B错误( C:由于函数=,=，它的最小值是,1，正确(D:由函数y=sinπx•cosπx=sin2πx，它是最小正周期为1的奇函数，故D不正确(故选C(210(直线y=kx,k与抛物线y=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到y轴的距离为( )A( B(1 C(2 D(【考点】直线与抛物线的位置关系(【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦AB的中点到准线的距离，进而可求弦AB的中点到y轴的距离(【解答】解:由题意，直线y=kx,k恒过(1，0)，2抛物线y=4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x=,1，根据抛物线的定义，?|AB|=4，?A、B到准线的距离和为4， ?弦AB的中点到准线的距离为2弦AB的中点到y轴的距离为2,1=1故选:B(x11(设f(x)的零点为x，函数g(x)=4+2x,2的零点为x，若|x,x|,，则f(x)1212可以是( )2xA(f(x)=2x+ B(f(x)=,x+x, C(f(x)=1,10 D(f(x)=ln(8x,7) 【考点】函数的零点与方程根的关系(【分析】首先确定选项A、B、C、D中的零点为x，从而利用二分法可求得x?(，)，12从而得到答案【解答】解:对于选项A，由题意可得x=,，对于选项B，由题意可得x=， 11对于选项C，由题意可得x=0，对于选项D，由题意可得x=1( 11x对于函数g(x)=4+2x,2，它在定义域R上单调递增且连续， ?g(1)=4+2,2,0，g(0)=1,2,0，g()=2+1,2,0，g()=+,2,0，则x?(，)， 2故选:B(x12(已知函数f(x)=e，g(x)=ln+，对任意a?R存在b?(0，+?)使f(a)=g(b)，则b,a的最小值为( )2A(2,1 B(e, C(2,ln2 D(2+ln2【考点】对数函数图象与性质的综合应用(a【分析】令 y=e，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2，利用导数求得b,a取得最小值(a【解答】解:令 y=e，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2，则b,a=2,lny，?(b,a)′=2,(显然，(b,a)′是增函数，观察可得当y=时，(b,a)′=0，故(b,a)′有唯一零点(故当y=时，b,a取得最小值为2,lny=2,ln=2+ln2，故选D(二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，将答案填在机读卡上相应的位置) 4520.13(设等比数列{a}的前n项和为S，若S:S=1:2，则S:S 3:4 ( nn126186【考点】等比数列的性质(【分析】不妨设S=2，S=1，由等比数列的性质可得，S，S,S，S,S成等比数列，612612618122即(S,S)=S•(S,S)，代入可求S，即可得出结论( 1266181218 【解答】解:不妨设S=2，S=1， 612由等比数列的性质可得，S，S,S，S,S成等比数列612618122?(S,S)=S•(S,S) 126618121=2(S,1) 18S=， 18S:S=:2=3:4( 186故答案为:3:4(14(如图，程序框图输出的结果是 1320 (【考点】程序框图(【分析】模拟执行程序框图，写出每次循环s，i的值，根据判断条件不难得到输出的结果(【解答】解:模拟执行程序框图，可得i=12，s=1，满足条件i?10，执行循环体，可得s=12，i=11满足条件i?10，执行循环体，可得s=12×11，i=10 满足条件i?10，执行循环体，可得s=12×11×10，i=9不满足条件i?10，退出循环，输出s的值为12×11×10=1320( 故答案为:1320(15(若实数x，y满足不等式组，则z=x,2y的最大值为 4 ( 【考点】简单线性规划(【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可( 【解答】解:由z=x,2y得y=x,，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线y=x,，由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由，得，即A(4，0)，代入目标函数z=x,2y，得z=4，目标函数z=x,2y的最大值是4，( 故答案为:416(在四棱锥P,ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=2，PB与平面PAC所成的角的正弦值为，若这个四棱锥各顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为24π (【考点】球内接多面体;球的体积和表面积(【分析】判断BO?面PAC，可得?BPO为直线PB与平面PAC所成的角，利用正弦函数即可求得PB，求出四棱锥P,ABCD的外接球的半径，即可求出球的表面积( 【解答】解:连接AC与BD交于O，连接OP，则BOAC，BO?PA，AC?PA=ABO面PAC，BPO为PB与平面PAC所成的角，AB=2，OB=，PB与平面PAC所成的角的正弦值为，=，PB=2，PA==4，四棱锥P,ABCD的外接球的直径为=，四棱锥P,ABCD的外接球的半径为，2?球的表面积为4πR=24π(故答案为:24π(三、解答题(本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 570..22217(在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b+c,a=bc， (?)求角A的大小;2(?)设函数f(x)=sinx+2cos，a=2，f(B)=+1时，求边长b( 【考点】余弦定理(【分析】(?)由已知及余弦定理可得cosA=，结合范围0,A,π，即可解得A的值( (?)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(x+)+1，由sin(B+)+1=，解得B的值，利用正弦定理即可求b的值( 【解答】(本题满分为12分)222解:(?)在?ABC中，因为b+c,a=bc，由余弦定理可得cosA===，…0,A,π，A=( …2(?)?f(x)=sinx+2cos=sinx+cosx+1=sin(x+)+1， ?f(B)=sin(B+)+1=，B=，…，即: =，b==( …18(某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如表:[80，100] [60，80] [40，60][80，100] 8 m 9 [60，80] 9 n 9 [40，60] 8 15 7 若历史成绩在[80，100]区间的占30%，n的值; (1)求m，(2)请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分布表:[80，100] [60，80] [40，60]地理历史根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表)，并估计哪个学科成绩更稳定(【考点】极差、方差与标准差(【分析】(1)根据图表，利用它们的数量关系即可求出m、n的值; (2)根据题意，分别求出地理、历史成绩在各分数段内的人数，填频率分布表，计算对应的平均数与方差(【解答】解:(1)?由历史成绩在[80，100]区间的占30%， ?=0.3，解得m=13，n=100,8,9,8,15,9,9,7,13=22;(2)根据题意，可得地理成绩在[80，100]内的人数为8+9+8=25，在[60，80]内的人数为13+22+15=50，在[40，60]内的人数为9+9+7=25;同理，历史成绩在[80，100]内的人数为30，在[60，80]内的人数为40，在[40，60]内的人数为30;填表如下:[80，100] [60，80] [40，60]地理 25 50 25 历史 30 40 30计算平均数与方差为==70，222=×[25×(90,70)+50×(70,70)+25×(50,70)]=200;==70，222=×[30×(90,70)+40×(70,70)+30×(50,70)]=240; 从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定(…19(如图，平行四边形ABCD中，AB?BD，DE?BC，?A=60?，将?ABD，?DCE分别沿BD，DE折起，使AB?CE((1)求证:AB?BE;(2)若四棱锥D,ABEC的体积为，求CE长(【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定(【分析】(1)由DE?CE，CE?AB可得AB?DE，又AB?BD得出AB?平面BDE，故而AB?BE;(2)在平行四边形ABCD中，设CE=x，求出AB，BE，DE，于是V=SD,ABEC梯形•DE=，从而解出x( ABEC【解答】证明:(1)?DE?CE，AB?CE，ABDE，又AB?BD，DE?平面BDE，BD?平面BDE，BD?DE=D， ?AB?平面BDE，?BE?平面BDE，ABBE(DE?BE，DE?CE，BE?CE=E， (2)?DE平面ABEC，在平行四边形ABCD中，设CE=x，则AB=CD=2x，DE=，BE=3x，?V==(x+2x)×3x×==( D,ABECx=1(即CE=1(20(已知椭圆C: +=1(a,b,0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x,y+12=0相切((1)求椭圆C的方程;(2)设A(,4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k、k，试问:12kk是否为定值,若是，求出该定值，若不是，请说明理由( 12【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程(【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b 的值，进而得到椭圆方程;(2)设P(x，y)，Q(x，y)，直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定1122理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值( 222【解答】解:(1)由题意得e==，a,b=c，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x,y+12=0相切，可得d==b，解得a=4，b=2，c=2，故椭圆C的方程为+=1;(2)设P(x，y)，Q(x，y)， 112222直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x+4y=48，22得(4+3m)y+18my,21=0，y+y=,，yy=,， 1212由A，P，M三点共线可知， =，即y=•; M同理可得y=•( N所以kk=•==( 122因为(x+4)(x+4)=(my+7)(my+7=myy+7m(y+y)+49， 12121212所以kk= 12==,(即kk为定值,( 12221(设函数f(x)=ax+b(lnx,x)，已知曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x,y+1=0垂直((1)求a的值;(x)的极值点( 2)求函数f(【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程( 【分析】(1)求导数，利用曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x,y+1=0垂直，得到f′(1)=2a=,1，即可求a的值;(2)求导数，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性，即可求函数f(x)的极值点(2【解答】解:(1)因为f(x)=ax+b(lnx,x)，所以f′(x)=2ax+,b，因为曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x,y+1=0垂直，所以f′(1)=2a=,1，所以a=,(2(2)f(x)=,x+b(lnx,x)，其定义域为(0，+?)，f′(x)=，22令h(x)=,x,bx+b，x?(0，+?)，?=b+4b，当,4?b?0时，有h(x)?0，即f′(x)?0，所以在区间(0，+?)上单调递减，故在区间(0，+?)无极值点(当b,,4时，?,0，令h(x)=0，有x=,,，x=,+，x,x1221,0，当x?(0，x)时，即f′(x),0，得f(x)在(0，x)上递减; 11当x?(x，x)时，h(x),0，即f′(x),0，得f(x)在(x，x_上递增; 1212当x?(x，+?)时，h(x),0，即f′(x),0，得f(x)在(x，+?)上递减， 22此时f(x)有一个极小值点,,和一个极大值点(当b,0时，?,0，令h(x)=0，有，当x?(0，x)时，h(x),0，即f′(x),0，得f(x)在上递增; 2当x?(x，+?)时，h(x),0，即f′(x),0，得f(x)在x?(x，+?)上递减， 22此时有唯一的极大值点,+(综上可知，当时，函数(fx)有一个极小值点,,和一个极大值点,+; 当,4?b?0时，函数f(x)在(0，+?)无极值点;当b,0时，函数有唯一的极大值点,+，无极小值点(请考生在、、三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修:222324.4-1几何证明选讲]22(如图，在?ABC和?ACD中，?ACB=?ADC=90?，?BAC=?CAD，?O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E((?)求证:DC是?O的切线;(?)若EB=6，EC=6，求BC的长(【考点】弦切角;相似三角形的判定;相似三角形的性质(【分析】(?)先得出点C在?O上，连接OC，可得?OCA=?OAC=?DAC，从而OC?AD，结合AD?DC得出DC?OC，从而DC是?O的切线(?)利用切割线定理求出EA=12，再证出?ECB??EAC，得出AC=BC，在RT?ACB中求解(【解答】(?)证明:??O是以AB为直径的圆，?ACB=90?，?点C在?O上，连接OC，可得?OCA=?OAC=?DAC，?OC?AD，又?AD?DC，?DC?OC，?OC为半径，?DC是?O的切线(2(?)解:?DC是?O的切线，?EC=EB•EA，又?EB=6，EC=6，?EA=12( ??ECB=?EAC，?CEB=?AEC，??ECB??EAC，?，AC=BC，222?AC+BC=AB=36，?BC=选修:坐标系与参数方程] [4-423(在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α(ρ?0)(注:本题限定:ρ?0，θ?[0，2π))(1)把椭圆C的参数方程化为极坐标方程;(2)设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90?，得到射线OB 与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由(【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程( 【分析】(1)椭圆C 的参数方程为(θ为参数)，利用三角函数基本关系式可得:椭圆C的普通方程(把代入直角坐标方程可得极坐标方程( (2)由(1)得椭圆的极坐标方程可化为(由已知可得:在极坐标下，可设，分别代入中:可得，(即可得出(【解答】解:(1)?椭圆C的参数方程为(θ为参数)， ?椭圆C的普通方程为(把代入直角坐标方程可得:，化为:222ρ+ρsinθ=2((2)由(1)得椭圆的极坐标方程可化为，由已知可得:在极坐标下，可设，分别代入中:有，，，(则即(故为定值([选修:不等式选讲] 4-524(已知函数f(x)=|x,2|(?)解不等式;f(x)+f(2x+1)?6;(?)已知a+b=1(a，b,0)(且对于?x?R，f(x,m),f(,x)?恒成立，求实数m的取值范围(【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法(【分析】(?)根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可( (?)利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可(【解答】解:(?)，当时，由3,3x?6，解得x?,1;当时，x+1?6不成立;当x,2时，由3x,3?6，解得x?3(所以不等式f(x)?6的解集为(,?，,1]?[3，+?)(…(?)?a+b=1(a，b,0)，对于?x?R，恒成立等价于:对?x?R，|x,2,m|,|,x,2|?9，即[|x,2,m|,|,x,2|]?9 max|x,2,m|,|,x,2||(x,2,m),(x+2)|=|,4,m| ,9m+49，,13m5年月日 2016920。
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
2016年黑龙江省哈尔滨九中高考数学四模试卷(文科)
2016年黑龙江省哈尔滨九中高考数学四模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数（i是虚数单位）的虚部是（）A.1B.iC.D.i【答案】C【解析】解：∵=，∴复数（i是虚数单位）的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设集合A={x|lg（10-x2）＞0}，集合B={x|2x＜}，则A∩B=（）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（1，3）【答案】C【解析】解：由A中lg（10-x2）＞0=lg1，得到10-x2＞1，解得：-3＜x＜3，即A=（-3，3），由B中不等式变形得：2x＜=2-1，得到x＜-1，即B=（-∞，-1），则A∩B=（-3，-1），故选：C．求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.已知cos（-α）=，α∈（0，），则=（）A. B.- C. D.【答案】A【解析】解：∵α∈（0，），∴∈（0，），又cos（-α）=，∴sin（）=．又cos2α=sin（）=2sin（）cos（）．∴===．故选：A．由已知求得sin（），然后利用诱导公式及倍角公式化简得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式与同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．4.命题“若x2≠4，则x≠2且x≠-2”的否命题为（）A.若x2=4，则x≠2且x≠-2B.若x2≠4，则x=2且x=-2C.若x2≠4，则x=2或x=-2D.若x2=4，则x=2或x=-2【答案】D【解析】解：“若x2≠4，则x≠2且x≠-2”的否命题是：“若x2=4，则x=2或x=-2”，故选：D．将原命题：“若x2≠4，则x≠2且x≠-2”的条件、结论同时否定，即得到答案．本题考查命题的否定形式是将条件、结论同时否定，注意与命题的否定的区别，属于基础题．5.抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A.（0，a）B.（a，0）C.（0，）D.（，0）【答案】C【解析】解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．6.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S＜-1，S=-lg3，k=3不满足条件S＜-1，S=-lg5，k=5不满足条件S＜-1，S=-lg7，k=7不满足条件S＜-1，S=-lg9，k=9不满足条件S＜-1，S=-lg11，k=11满足条件S＜-1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=-lg11时，满足条件S ＜-1，退出循环，输出k的值为11．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是甲=（27+39+33）=33，乙的平均数是乙=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目．8.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）A.存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αB.存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC.存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bD.存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α【答案】A【解析】解：对于A，在a上任取一点A，过A作b′∥b，设a，b′确定的平面为α，显然α是唯一的，且a⊂α，且b∥α．故A正确．对于B，假设存在直线l使得l∥a，且l⊥b，则a⊥b，与已知矛盾，故B错误．对于C，设a，b的公垂线为AB，则所有与AB垂直的直线与a，b都垂直，故C错误．对于D，若存在平面α，使得a⊂α，且b⊥α，则b⊥a，与已知矛盾，故D错误．故选：A．根据线面位置关系的判定与性质判断，或举出反例．本题考查了空间线面位置关系的判断，结合判定定理和性质说明，属于中档题．9.已知实数x，y满足，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为（）A.4B.3C.2D.-【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（4-m，m），此时z=2×（4-m）+m=8-m，当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m-1，m），此时z=2×（m-1）+m=3m-2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，∴8-m-3m+2=2，即m=2．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，建立方程关系，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A.24πB.6πC.4πD.2π【答案】B【解析】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，R=所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故选：B由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力11.为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m-n|的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m-n|=|2（k1-k2）π-|，易知（k1-k2）=1时，|m-n|min=．故选：B．依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m-n|=|2（k1-k2）π-|，从而可求得|m-n|的最小值．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，得到|m-n|=|2（k1-k2）π-|是关键，考查转化思想．12.已知函数f（x）=a x-log a x，要使f（x）恒有两个零点，则a的取值范围是（）A.（1，e）B.（1，e]C.（1，e2）D.（e，e2）【答案】A【解析】解：由f（x）=0得a x=log a x，设函数f（x）=a x与g（x）=log a x，则两个函数关于y=x对称，只需要讨论与y=x有两个解即可，令h（x）=a x-x，则函数h（x）有两个零点，当0＜a＜1时，函数h（x）为减函数，至多有一个零点不满足要求，当a＞1时，令h′（x）=a x lna-1=0，则x=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数；当x＞时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；故当x=时，函数h（x）取最小值若函数h（x）有两个零点，则h（）＜0，即＜，即＜，即＜，即＜＜，即＜＜，故实数a的取值范围是（1，e），故选：A由f（x）=0得a x=log a x，构造函数f（x）=a x与g（x）=log a x，关于y=x对称，只需要讨论与y=x有两个解即可，构造函数h（x）=a x-x，求函数的导数，只须h（x）的最小值小于0，即可．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，反函数，导数法判断函数的单调性，导数法求函数的最值，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量大，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则λ= ______ ．【答案】-【解析】解：∵向量，是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，-1），=（1，λ）；又∵、共线，∴2λ-（-1）×1=0；解得λ=-．故答案为：．由向量，是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出λ的值．本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用平面向量的坐标表示进行解答，是基础题．14.△ABC的顶点A（-5，0），B（5，0），△ABC 的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是______ ．【答案】-=1（x＞3）【解析】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|-|CB|=8-2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为-=1（x＞3）．故答案为：-=1（x＞3）．根据图可得：|CA|-|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．15.若函数f（x）=2|x-a|（a∈R）满足f（2+x）=f（2-x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：∵f（x）=2|x-a|；∴f（x）关于x=a对称；又f（2+x）=f（2-x）；∴f（x）关于x=2对称；∴a=2；∴f（x）=；∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；又f（x）在[m，+∞）上单调递增；∴实数m的最小值为2．故答案为：2由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3-x）知f（x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2考查函数图象的对称性，清楚f（x）=|x-a|的图象关于x=a对称，由f（x+a）=f（b-x）知f（x）关于直线x=对称，以及指数函数和分段函数的单调性16.数列{a n}的通项为a n=（-1）n（2n-1）•cos+1前n项和为S n，则S60= ______ ．【答案】120【解析】解：由函数f（n）=cos的周期性可得a1=a3=…=a59=1，a2+a4=a6+a8=…=a58+a60=6，∴S60=1×30+6×15=120．故答案为：120．利用余弦函数的周期性找出规律即可求得．本题考查了余弦函数的周期性及数列分组求和知识，属基础题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点（a，b）在直线2xcos B-ycos C=ccos B 上．（1）求cos B的值；（2）若a=，b=2，求角A的大小及向量在方向上的投影．【答案】解：（1）因为点（a，b）在直线2xcos B-ycos C=ccos B上．所以2acos B-bcos C=ccos B，由正弦定理变形得2sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B，所以2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B=sin（B+C）=sin A，又sin A≠0，所以cos B=；（2）由（1）得B=60°，因为a=，b=2，所以cos A=，所以A=arccos；因为∠B=60°，所以向量在方向上的投影为acos60°=．【解析】（1）利用点在直线上，得到三角形边角关系式，利用正弦定理变形求cos B；（2）利用（1）的结论，解直角三角形．本题考查了三角函数式的恒等变形以及解三角形、向量的投影的知识；属于基础题．18.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【答案】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．【解析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求三棱锥P-CDE的表面积．【答案】证明：（1）因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE．…（2分）又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB．…（3分）因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．…（4分）．因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD…．（6分）解：（2）由（1）可知PE⊥底面ABCD，PE==．EC=，ED==．CD==，PC===，PD===．S△CDE=-=，S△CDP==．S△CPE==；S△PDE==三棱锥P-CDE的表面积：…（12分）【解析】（1）证明AD⊥PE，PE⊥AB．即可证明PE⊥平面ABCD．然后证明PE⊥CD．（2）求出三棱锥的棱长，各个面的面积，然后求解三棱锥P-CDE的表面积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，三棱锥的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知平面上的动点R（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线RA、RB斜率分别为k1、k2，且k1•k2=-，设动点R的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点S（4，0）的直线与曲线C交于M，N两点，过点M作MQ⊥x轴，交曲线C于点Q．求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标．【答案】（Ⅰ）解：由题知x≠±2，且，，则，---（2分）整理得，曲线C的方程为．（5分）（Ⅱ）证明：设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，-y2），由消x得：（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0，（7分）所以△=48（3m2+4-t2）＞0，故，（9分）由M、N、S三点共线知k NS=k MS，即，所以y1（my2+t-4）+y2（my1+t-4）=0，整理得2my1y2+（t-4）（y1+y2）=0，（10分）所以，即24m（t-1）=0，t=1，所以直线NQ过定点D（1，0）．（12分）【解析】（Ⅰ）由题知x≠±2，且，，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设NQ与x轴交于D（t，0），则直线NQ的方程为x=my+t（m≠0），记N（x1，y1），Q（x2，y2），由对称性知M（x2，-y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2-12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、三点共线，结合已知条件能证明直线NQ过定点D（1，0）．本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=e x，a，b∈R，且a＞0．（1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）=a（x-1）e x-f（x）．①当a=1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；②设g′（x）为g（x）的导函数，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求的取值范围．【答案】解：（1）当a=2，b=1时，，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），∴′，令f′（x）＞0得：＜或＞，令′＜得＜＜或＜＜，∴函数y=f（x），在（-∞，-1）和，∞上单调递增，在（-1，0）和（0，）上单调递减；∴f（x）的极大值是，极小值是；（2）g（x）=（ax-）e x，①当a=1时，g（x）=，∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立．记，（x＞0），则′，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴′，∴函数的小值为-1-e-1．②∵，所以′，由g（x）+g′（x）=0，得，整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0．存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，等价于存在x＞1，2ax3-3ax2-2bx+b=0成立，∵a＞0，∴，设（x＞1），则′，∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴u（x）＞u（1）=-1，∴＞，即的取值范围为（-1，+∞）．【解析】（1）根据导数的性质，可以判断原函数的单调区间，进行求出极值；（2）利用分离变量法，由已知变量的取值范围求出参数的取值范围，通过构造新的函数，等价转化，解决存在性问题，若存在x＞1，成立，即求出u（x）的最小值．本题考查了，利用导数的性质，求函数的极值，构造函数，利用化归，等价转化思想，解决恒成立问题和存在性的问题，这是常考的题型，也是高考的热点．平时要多多留意．22.如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【答案】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF-AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，=∴AE=∠【解析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．∠本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23.在平面直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数），若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相切，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，化为ρ2•2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为：y=+m，代入抛物线方程可得：3x2-x+m2=0，∵直线l与曲线C相切，∴△=-12m2=0，化为．∴直线l的方程为：-，可得与坐标轴的交点，或，．∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积S==．【解析】（1）利用公式与即可得出；（2）由直线l的参数方程消去参数化为：y=+m，代入抛物线方程可得：3x2-x+m2=0，由于直线l与曲线C相切，可得△=0，解出m即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相切问题转化为一元二次的判别式满足的条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：（Ⅰ）++≥8；（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．【答案】证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴++==2（）=2（）=2（）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号），∴++≥8；（Ⅱ）∵（1+）（1+）=1+++，由（Ⅰ）知，++≥8，∴1+++≥9，∴（1+）（1+）≥9．【解析】（Ⅰ）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论；（Ⅱ）（1+）（1+）=1+++，由（Ⅰ）代入，即可得出结论．本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市2016届高三数学上学期期末考试试题 文
哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）满分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若复数,215iiz-=则z的共轭复数对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限2．如果命题" ()"p q⌝∨为假命题，则（）A．,p q均为真命题 B．,p q均为假命题C．,p q中至少有一个为真命题 D．,p q中至多有一个真命题3．设1.05.0=a,1.0log4=b，1.04.0=c,则( )A.a c b>> B．acb>> C．cab>> D. c a b>>4．已知向量(,),a x y=r若实数,x y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-35xyxyx,则ar的最大值是( ) A．73 B．52C．43 D.325．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（）A.1B.2C.3D.46．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（）A. 82万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒7．函数()()2sinf x xωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如上图所示，其中,A B两点之间的距离为5， 则=)1(f ( )A ．3B ．3-C ．1D ．1-8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．21B ．1C ．1-D ．29．数列}{},{n n b a 满足111==b a ，*11,2N n b b a a nn nn ∈==-++, 则数列}{n a b 的前10项的和为（ ）A ．)14(349- B ．)14(3110- C ．)14(319- D ．)14(3410-10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C相交于A 、B 两点,则22OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D . 1211．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()xf x e >的解是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D . 0ln 2x <<12．若)(x f零点（ ）A ．)(--=x e x f y C ．)(-=xe xf y 二、填空题：（每小题513．正四棱锥O -ABCD O -14．向量,若a r⊥15．若直线2-+by ax 则12a b+16是 . 三、解答题：17.（本小题满分12在ABC ∆，10cos A =25sin sin sin sin a A b B c C B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .xyO ONM18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差;（2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ， 且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 与圆O :25122=+y x 相切， 证明：MON ∠为定值；21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间；（3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图所示，AB 是圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，AC AB =，CO 交圆O 于点P ， CO 的延长线交圆O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ．（1）求证：AP FAPC AB=； （2）若圆O 的直径1AB =，求tan CPE ∠的值．(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，πα<≤0）， 设(2,1)P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围．（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）答案一、选择题：CCAAB DDABC CB二、填空题： 13． π)74(- 14．3 15．223+ 16． 1->a 三、解答题：17.解析：（1）Q sin sin sinC sin 5a Ab Bc a B +-=，∴2225a b c ab +-=．∴222cos 25a b c C ab +-==．又Q A B C 、、是ABC ∆的内角，∴sin A C ==Q ()cos cos cos sin sin 1051052A C A C A C +=-=-=- 又Q ABC 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，∴34A C π+=．∴()4B A C ππ=-+=．（2）Q sin sin c b C B =，∴sin sin bc C B=⨯=∴ABC ∆的面积11sin 106022S bc A ==⨯⨯= 18．解析：（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13.19.解析：（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥． 又,,BD SA SA AC A BD ⊥⋂=∴⊥Q 平面SAC ． 又,SO SAC BD SO ⊂⊥Q 平面 ,,SA SC AO OC SO AC ==∴⊥Q又,AC BD O SO ⋂=∴⊥Q 平面ABCD ． （2）连接OP ，∵SB P 平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC OP =，SB OP ∴P ． 又∵O 是BD 的中点，∴P 是SD 的中点．由题意知ABD V 为正三角形．1OD ∴=．由（1）知SO ⊥平面ABCD ，∴SO OD ⊥．又2SD =Q ，∴在Rt SOD V 中，SO =P 到面ABCD11122sin120322A PCD P ACD V V --⎛⎫∴==⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭20．解析：（1）229161x y +=；（2）2π=∠MON ;21. 解析：（1）20x y +-=；（2）当1a >-时，单调递增区间为(1,)a ++∞时，单调递减区间为(0,1)a +；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞时，无单调递减区间；（3）211e a e +≥-或2a ≤﹣.22. 解析：（1）见解析；（223. 解析：(1)||AB =分 (2)22||||(14,22]PA PB +∈——————————10分24. 解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->等价于：3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩或322350x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩或210x x ≤⎧⎨-+>⎩ 解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（2）()2|2|f x x x a =---所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<-①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +< Q (,2)x ∈-∞， ∴a ∈∅或4a ≥ 4a ∴≥。
2016年黑龙江省哈尔滨四校高三年级统一检测(文科)
2016年黑龙江省哈尔滨四校高三年级统一检测（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集，集合，，则A. B. C. D.2. 已知复数（是虚数单位）的实部与虚部的和为，则实数的值为A. B. C. D.3. 在等比数列中，，是方程的根，则的值为A. B. C. 或 D. 或4. 已知在平面直角坐标系中，，，为坐标原点，点在第二象限，且，若，则的值为A. B. C. D.5. 已知的两条渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D.6. 在长度为的线段上任取一点（异于，），则以，为半径的两圆面积之和小于的概率是A. B. C. D.7. 如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.8. 已知，满足不等式组则的最小值为A. B. C. D.9. 定义为不超过的最大整数，例如．执行如图所示的程序框图，当输入的为时，输出的值为A. B. C. D.10. 设函数若，，则关于的方程的解的个数为A. B. C. D.11. 已知椭圆及圆：，如图过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为A. B. C. D.12. 设定义在上的函数，其导函数为，若恒成立，则A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 某校共有名学生，其中男生名，为调查学生对学校伙食的满意度，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则样本中女生的人数为．14. 已知函数和的图象仅有两个公共点，，则过点且与曲线相切的直线的方程为．15. 已知过球面上三点，，的平面与球心的距离为球半径的一半，且的三边长分别为，，，则该球的表面积为．16. 已知数列的前项和为，若对任意的恒成立，则的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，其中为最长边．（1）若，试判断的形状．（2）若，且，求的值．18. 对甲、乙两名同学的次数学测试的成绩（满分分）进行统计分析，记录的成绩如下：甲乙（1）画出两名同学成绩的茎叶图，并分别求两名同学成绩的平均值和方差，对两名同学的成绩进行统计分析；（2）现从甲同学的成绩中抽取一数据，从乙同学的成绩中抽取一数据，求的概率．19. 如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且．（1）求证： 平面；（2）若，求该几何体的体积．20. 已知点是抛物线：在第四象限内的点，抛物线在点处的切线分别交轴，轴于不同的两点，．（1）若圆心在轴上的圆与切线也相切于点，且满足，求圆的标准方程；（2）在（）的条件下，记过点且与直线垂直的直线为，是抛物线上的点，若点到直线的距离最小，求点的坐标．21. 已知函数，．（1）判断函数的单调性并求其极值；（2）若函数的图象与函数的图象相切，求的值及切点的坐标．22. 如图，在中，的平分线交于，交的外接圆于，延长交的外接圆于．（1）求证：；（2）若，，求的长．23. 已知曲线的极坐标方程为．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．（1）若直线过原点，且被曲线截得的弦长最小，求直线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的动点，且点的直角坐标为，求的最大值．24. 已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．答案第一部分1. A 【解析】通解 由已知得全集 ，所以 ，而 ，故 ．优解 因为 ，所以 ，故 ，所以排除B ，C ，D 选项． 2. C 【解析】由已知则，得 ．3. A【解析】因为 ， 是方程 的根，所以 ， ，因而 ， 均为正，由等比数列的性质知，，所以 ，．4. C【解析】由已知得， ，， 则， 又点 在第二象限， 故 ， ， 则 ， 由于 ， 所以， 解得 ． 5. A【解析】双曲线的渐近线为，代入抛物线方程得，， 所以，故， 所以 6. B【解析】设 ，则 ， ．由题意知， ，即 ，解得 ． 故所求的概率为．7. C【解析】由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即．8. B 【解析】由不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义为可行域内的点与定点之间的距离的平方，其最小值为．9. C 【解析】当输入的为，执行程序框图可知，，即不等于，因而可得，输出的值为．10. C【解析】由得解得所以则方程等价于或解得或或．11. A 【解析】由已知，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为，则由得，所以，结合图形解得，即直线的方程为．通解与联立得，，由，因而，即，所以，得．优解故直线的斜率为，由于，设与轴交于点，则在中，，因而．12. D第二部分13.【解析】设样本中女生的人数为，则，所以，即样本中女生的人数为．14.【解析】由题意得，，两点为两曲线的切点，且，直线为两曲线的公切线，所以整理得，，两边取对数得，所以，，，，所以直线的方程为，即．15.【解析】设球的半径为，由题意可知，，解得，则球的表面积为．16.【解析】由已知可得，时，，时，，适合上式，因而数列是公差为的等差数列．若对任意的不等式恒成立，则恒成立，因而，的最大值为．第三部分17. （1）由已知，，所以，由于为最长边，所以，均为锐角，则，所以，所以，即，故为直角三角形．（2）由已知，结合正弦定理和余弦定理得，即，又，所以，又，所以．18. （1）茎叶图如图所示．甲同学的平均成绩为分，乙同学的平均成绩为分，甲同学成绩的方差为，乙同学成绩的方差为，由于平均成绩反映的是两名同学的平均水平，因而可知甲、乙两名同学的平均水平相当，而甲同学成绩的方差远远小于乙同学成绩的方差，因而从考试发挥的稳定程度上看，甲同学的成绩更稳定．（2）现从甲同学的成绩中抽取一数据，有，，三种可能，从乙同学的成绩中抽取一数据，有，，，四种可能，因而总的可能结果有，，，，，，，，，，，共种情况，设“”为事件，则所包含的情况有共种，故．19. （1）由题意知，平面，平面，所以 平面，又，平面，平面，所以 平面．因为，平面，平面，所以平面 平面，又平面，所以 平面．（2）连接，，且，因为四边形为菱形，所以，又平面，所以，又，所以平面，又，所以，因为，，，，所以四边形所以，所以该几何体的体积为．20. （1）设，，切线的方程为，其中，联立得，由得，因此直线的方程为，即．令，得，所以，令，得，所以．设，因为圆与相切于点，，且，所以，即，所以又，所以，即联立解得或（舍去），，所以圆的标准方程为．（2）由（）知，直线的斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为．设与直线平行且与抛物线相切的直线为，代入抛物线方程，得，即，由得，此时，，所以点的坐标为．21. （1）由已知得的定义域为，因为，令，得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以有极大值，无极小值．（2）设函数的图象与函数的图象相切于点，由，得，且，消去得．设，则．设，则，所以在其定义域上单调递增，即单调递增．又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，所以仅有一解，此时，切点为．22. （1）在的外接圆中，∠，在的外接圆中，，因而．又是的平分线，所以，又，所以，所以．（2）由（），同理得，，，所以，所以，因而，即，即．23. （1），即，将代入得曲线的直角坐标方程为，圆心，若直线被曲线截得的弦长最小，则直线与垂直，即，因而，故直线的直角坐标方程为．（2）因为是曲线上的动点，因而利用圆的参数方程可设为参数，则，当时，取得最大值．24. （1）当时，不等式，即，从而即，或即，或即，从而不等式的解集为或．（2）存在，使得，即存在，使得，即存在，使得，设，则的最大值为，因而，即．第11页（共11 页）。
黑龙江省哈尔滨市高三数学第四次模拟考试试题 文-人教版高三全册数学试题
某某省某某市2017届高三数学第四次模拟考试试题 文考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.若复数i z 21+=，则复数z 的模等于 A.5B.2C.3D.22. 设集合{})1(log 2-==x y x A ，{}x y y B -==2，则=B AA.(]2,0B.()2,1C.()∞+，1 D.(]2,13.已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈，点),(n n a n P 都在曲线xy 3=上”是“数列{}n a 为等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 对于平面α和不重合的两条直线n m 、，下列选项中正确的是 A ．如果,α⊂m n ∥α，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,α⊂m n 与α相交，那么n m 、是异面直线 C ．如果,α⊂m α⊄n ，n m 、是异面直线，那么n ∥α D. 如果α⊥m ，m n ⊥，那么n ∥α5. 设21,e e 是不共线的向量，+=1e a k 2e ，=b k +1e 2e ，若a 与b 共线，则实数k 为否1,0==n S 开始 结束①？ 输出S是n S S += 2+=n nA ．0B ．-1C ．-2D ．±16. 已知，131log 2b =，21log 3c =，则 A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >>D ．c a b >>7. 执行如图所示的程序框图，若输出16=S ，则框图中①处 可以填入A.2>nB.4>nC.6>nD.8>n8.若圆()()22211x y r -++=上有且只有两个点到直线10x y -+=的距离等于22,则半径r 的取值X 围是 A.(2,22⎤⎦ B.()2,22 C. )2,22⎡⎣ D.2,22⎡⎤⎣⎦9. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n S n -22=，则数列{}n a 2的前10项和等于A.380B.390C. 400D. 41010.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A.π36 B.π30 C.π29 D.π2011. 已知函数)3sin()(πω-=x x f ()0>ω，若函数()f x 在区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ23，上为单调递减函数，则实数ω的取值X 围是 A.]911,32[ B.]911,65[ C.]43,32[ D.65,32[24 3 俯视图侧视图12. 已知定义域为)0(∞+，的函数()f x 的图象经过点)4,2(，且对)0(∞+∈∀，x ,都有1)(>'x f ，则不等式xxf 2)22(<-的解集为A. )0(∞+，B. )20(，C. )2,1(D.)10(，第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13. 若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为14. 动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为15.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________ 16. 已知)2,1(23)1(1≥>-+-=-n b bb b n a n n ，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式n n a a >+1成立，则实数b 的取值X 围是三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222sin sin sin 3sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，()5cos A C -=，求线段DC 的长.18．（本小题满分12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日温差x /℃ 12 11 13 10 8 发芽数y /颗2625302316（Ⅰ）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；（Ⅱ）请根据4月1日，4月2日，4月3日这3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程， 预测温差为16C ︒时，种子发芽的颗数.（参考公式：∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=）19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为边长为2的菱形，︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅱ）求点A 到平面BDEF 的距离．20. （本小题满分12分）EDF在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：E 12222=+bx a y ()0>>b a 经过点()0,3A 和点()2,0B ，斜率为k ()0≠k 的直线经过点()02，P 且交E 于N M ,两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当AOM ∆与AON ∆面积比值为7，某某数k 的值.21. （本小题满分12分）已知函数()()22x f x e x a x b ⎡⎤=-++⎣⎦，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为220a x y b +-=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）确定,a b 的关系式（用a 表示b ）；（Ⅱ）对任意0<a ，总存在0x >，使得()f x M <成立，某某数M 的取值X 围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，将圆:O 422=+y x 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的21，得到曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线αθ=()0≥ρ与圆O 和曲线C 分别交于点B A ,，求AB 的最大值.23. （本小题满分10分）已知函数21f x tx tx （R a ∈）（Ⅰ）当1t时，解不等式1)(≤x f ；（Ⅱ）若对任意实数t ，f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当abcm 时，m c b a ≤++ .四模文科数学答案一、选择题：1-12：ACAAD ADBDC BC 二、填空题13. 12ln -； 14. 3； 15. nn ； 16. ），（∞+3 三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，2223a c b ac +-=所以3cos B =因为()0,B π∈，所以6B π=..............................................6分（Ⅱ）由条件.由()()525cos sin A C A C -=⇒-=。
高考专题4模数学文科答案
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作哈尔滨三中2016年第四次模拟考试数学试卷（文史类）答案及评分标准一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C C B B C B D D C 二、填空题：13. 13614.5215. 22(2)(1)10x y-+-=16. 7三、解答题：17. （I）1()sin(2)46f x xππ=-………3分单调递减区间为15,,36k k k Z⎛⎫++∈⎪⎝⎭………5分对称轴方程为1,23kx k Z=+∈………7分（II）52,666xππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，若有两个零点，则11,84m⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭………12分18. 解：（Ⅰ）图略4分（Ⅱ）22200(80503040)49006.6358090110120297K⨯-⨯==>⨯⨯⨯10分所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与喜欢科目有关系 12分 19．（1）取CD 上一点K ，且知2DK KC =，则MK //PD,BK //AD ，所以CD MK,CD BK ⊥⊥， MK,BK 是平面内的两条相交直线，∴CD BMK,CD BM ⊥⊥， ---------------6分（2）228339P ABM M ABP C ABP P ABC V V V V ----====-------------12分20. (1) 24x y =, --------------------4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A ，依题意直线斜率存在，设为,k 将 直线l ：y kx b =+代入24x y =并整理得2440x kx b --=，则124x x k +=，0421<-=b x x -------------------6分又2122121111)11(1111x x k x x k MBMA -+=++=+ bk b k x x x x k 11112221212⋅++=-+ -------------------10分 依题意，对任意的实数k ，上式均为定值，则1=b ----------------12分 21. 解：（1）()xx x x g 1ln ++='， 切线方程为()222-=-x a y ，过原点，则2=a ．---------------------------------------------3分（2）()xa x f 1+='， 由题知：(]e x ,0∈时，()0≥'x f 恒成立，即xa 1-≥恒成立． 函数()x x h 1-=在(]e ,0上单调递增，则()()ee h x h 1max -==，由题知只须()m a x x h a ≥，故ea 1-≥．--------------------------------------------------------------7（3）()()01ln ≥--⇔≤xx a x x g x f ， 令xx a x x F 1ln )(--=， 则()2xax x F -='， ①0≤a 时，()0>'x F ，则()x F 在()+∞,0上单调递增， 故()1,0∈x 时，()()01=<F x F ，不符题意；②0>a 时，()x F 在()a ,0上单调递减，在()+∞,a 上单调递增， 只须()0≥a F ，即()01ln ≥--a a ． 令()1ln +-=a a a G ，则()()11--='a a a G ，则()a G 在()1,0上单调递增，在()+∞,1上单调递减，故()()01=≤G a G ，即()01ln ≤--a a ，（当1=a 时取等号） 又()01ln ≥--a a ，故()01ln =--a a ，即1=a ．综上，1=a ．-----------------------------------------12分 22.证明：（1）AE 切圆O 于点A ，EAD EBA ∴∠=∠E E DAE ∠∠∴∆又＝，∽ABE ∆，DA DE ,AB AE∴=即AB AEAD DE ＝…………………………………………………4分 （2）过点D 作DH AC ⊥，垂足为H ，连接CD EAD ABD DAC DBC ∠∠∠∠＝，＝，BD 平分ABC ∠，EAD DAC ∴∠∠＝，………………………………………………………6分 又DF AE DH AC DF DH ⊥⊥∴，，＝ 在Rt DFA ∆和Rt DHA ∆中，Rt DFA ∆≌()Rt DHA HL ,AF AH ∆∴=ABD CBD,DC DA ∠=∠∴=，又222DH AC,AH CH,AC AH AF ⊥∴==== ……………………10分23.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=()2224C :x y -+= …………3分（2）将直线l 的参数方程带入曲线C 的直角方程，得2230t t --=12122,3t t t t +==- …………7分1212||+||=|-|14PA PB t t t t ∴+== …………10分24．（1）3344x x ≤-≥或， …………4分 （2）由题意知{|=()}{|=()}y y f x y y g x ⊆，又()1f x |a |≥-，()5g x ≥， …………8分∴15|a |-≥解得6a ≥或4a ≤-． …………10分。
黑龙江省校届高三数学月月考试题文0.doc
哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知全集={1,2,3,4,5}U ，集合={2,3,4}A ，{}3,1=B ，则(C A)B=U （ ）A ．{1}B ．{1，5}C ．{1，3，5}D ．{1，4} 2.已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=( ) A. 1- B. 1 C. 2 D. 33．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是 （ ）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∃∈-+> D ．2,320x R x x ∀∈-+≠4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则（ ）A ．>>a c bB ．>>a b cC ．>>c a bD ．>>c b a5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π6．直线02=-+y x 与圆()()22122=-+-y x 相交于A ，B 两点，则弦|AB|=（ ）A ．2B C ．6 D 7．执行右面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6否8.设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.25 B.5 C.6 D.26 9．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位10．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（ ）A ．）（32sinπ+=x y B ．）（654sin2π+=x y C ．）（32sin π-=x y D. ）（322sin 2π+=x y11. 已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围为（ ）A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞ 12.设()f x 是定义在R 上的函数， f(0)=2,对任意R x ∈,f(x)+f ’(x)>1,则1)(+>x x e x f e 的解集为（ ）A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. (,1)(1)-∞-⋃+∞，D.(,1)(01)-∞-⋃， 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()()()2200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()[]=-3f f ________. 14.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为 .15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为 . 16．长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共5题,共70分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
【解析】黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析[ 高考]
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2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=( )A．B． C．D．2．计算1﹣2sin222.5°的结果等于( )A．B．C．D．3．已知向量，若与平行，则实数x的值是( ) A．﹣2 B．0 C．1 D．24．直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．在△ABC中，若c2+ab=a2+b2，则角C=( )A．30° B．45° C．60° D．120°6．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．log2sin+log2sin+log2sinπ=( )A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=( )A．B．C．﹣D．﹣9．函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．等差数列{a n}的通项公式a n=2n+1，其前n项和为S n，则数列前10项的和为( ) A．120 B．70 C．75 D．100二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．已知，则=__________．12．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于__________．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a9+a11=30，则S13=__________．14．在等比数列{a n}中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=__________．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．16．已知在△ABC中，b=2，a=1，cosC=．（1）求c的值（2）求sin（A+C）的值．17．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=（1）求a n与b n；（2）求+．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=( )A．B． C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】解：tanα==﹣，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，又α是第二象限角，sinα＞0，∴sinα=，故选：C．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限的符号．要做到牢记公式，并熟练应用．2．计算1﹣2sin222.5°的结果等于( )A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选 B．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．3．已知向量，若与平行，则实数x的值是( ) A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x的方程，解之即可．【解答】解：由题意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x），因为与平行，所以3×（1﹣x）﹣（x+1）×（﹣1）=0，解得x=2故选D【点评】本题为向量平行的问题，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．4．直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程，又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，且y0=ln（x0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即==1，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=﹣1，∴a=2．故选D．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在解方程时注意利用消元的数学思想．5．在△ABC中，若c2+ab=a2+b2，则角C=( )A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】把已知等式代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．【解答】解：∵c2+ab=a2+b2，∴cosC==，∴C=60°，故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．属于基础题．6．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sinC不为0得到sin（A﹣B）=sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，【解答】解：∵△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴已知等式变形得：sinCsin（A﹣B）=sin2C，即sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），整理得：sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB=0，∴cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去），∴A=90°，则此三角形形状为直角三角形．故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．log2sin+log2sin+log2sinπ=( )A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】二倍角的正弦；对数的运算性质；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】利用对数的运算法则以及诱导公式，二倍角的正弦函数化简求解即可．【解答】解：log2sin+log2sin+log2sinπ=log2（sin sin sinπ）=log2（cos sin sinπ）=log2（cos sinπ）=log2（sinπ）=log2=﹣3．故选：A．【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式，对数运算法则的应用，考查计算能力．8．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=( )A．B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．9．函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin，根据y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2．要得到函数g（x）=Acosωx=sin的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，y=Asin（ωx+∅）的周期性，属于中档题．10．等差数列{a n}的通项公式a n=2n+1，其前n项和为S n，则数列前10项的和为( ) A．120 B．70 C．75 D．100【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式，可得S n==n（n+2），进而可得=n+2，分析可得数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，由等差数列的前n 项和公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}的通项公式a n=2n+1，则其首项为3，公差为2，其前n项和为S n==n（n+2），则=n+2，数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，有a1=3，a10=12，则其前10项的和为=75；故选C．【点评】本题考查数列的求和，关键是求出数列的通项，推出数列的性质，进而选择合适的求和公式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．已知，则=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用即可得出．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题．12．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于或．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，正弦定理及“大边对大角”的定理，还考查了三角形的面积公式，在利用正弦定理求解三角形中的角时，在求出正弦值后，一定不要忘记验证“大边对大角”．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a9+a11=30，则S13=130．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；整体思想；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a7，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9+a11=a1+a11+a9=a5+a7+a9=3a7=30，解得a7=10，∴S13===13a7=130，故答案为：130．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，求出数列a7是解决问题的关键，属基础题．14．在等比数列{a n}中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=5．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质化简已知等式左边的第一与第三项，再利用完全平方公式变形求出（a3+a5）2的值，根据等比数列的各项都为正数，开方即可求出a3+a5的值．【解答】解：在等比数列{a n} 中，a n＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，解得：a3+a5 =5．故答案为：5【点评】此题考查了等比数列的性质，以及完全平方公式的应用，根据等比数列的性质得出a32+2a3a5+a52=25是解本题的关键．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；图表型；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．【解答】（本小题满分10分）解：根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，是中档题．16．已知在△ABC中，b=2，a=1，cosC=．（1）求c的值（2）求sin（A+C）的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理即可得出；（2）利用平方关系可得sinC，利用诱导公式可得sin（A+C）=sinB，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：（1）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC==2，∴．（2）由cosC=，0＜C＜π，∴=．sin（A+C）=sinB，由正弦定理可得，∴==．【点评】熟练掌握正弦、余弦定理、平方关系、诱导公式等是解题的关键．17．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=（1）求a n与b n；（2）求+．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由题意，据b2+S2=12，{b n}的公比q=建立方程即可求得q，d，由公式求a n与b n；（2）求+．要先求，根据其形式要选择裂项求和的技巧．【解答】解：（1）由已知可得解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3n，b n=3n﹣1（2）证明：S n=∴==∴==【点评】本题考查等差与等比数列的综合，考查了根据题设条件建立方程求参数的能力，以及根据所得的结论灵活选择方法求和的能力．求解本题的关键是对的变形．。
黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
哈三中2016—2017学年度上学期高三学年期中考试 数学(文科) 试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． ︒15sin ︒+15cos 的值为A ．22B ．22-C ．26 D ． 26- 2. 已知向量=a),3,2(=b )1,(x ，若b a ⊥，则实数x 的值为 A.23 B.23- C. 32 D. 32- 3. 设B A ,是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊇”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若等差数列{}n a 满足π=++1371a a a ，则7tan a 的值为 A.3- B.33- C.3± D.3 5. 将函数)62cos()(π-=x x f 的图象向右平移12π个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是A.6π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 12π=x6. 在边长为4的菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ,E 为CD 的中点，则=⋅−→−−→−BD AEA.4B.8C.6-D.4-7. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a cos 2=，则ABC ∆的形状是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形8. 设P 为ABC ∆所在平面内一点, 且=++−→−−→−−→−PC PB PA 220,则PAC ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于 A ．14 BC D ．不确定9． 函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=01lg 02122x x x x x x f 的零点个数为A.1个B.2个C.3个D.4个 10. 已知31)cos(,31cos -=+=βαα，且)2,0(,πβα∈，则=βcos A.51 B. 21 C. 95 D. 97 11．在ABC ∆中,⊥-)3(，则角A 的最大值为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 12.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心,且4A π∠=,若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=,则m =A.21 B. 22 C. 31 D. 33第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分） 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 已知向量a ),2,1(=b ()1,1=,则a 在b 方向上的投影为 . 14. 已知,3)4tan(=+θπ则θθ2cos 22sin -= .15. 已知,8,0,0=++>>xy y x y x 则y x +的最小值是 .16. 设ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为a b c 、、，且2,sin sin sin 2=+=a C B A ,则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知向量m (),1,2a ==n ()C c b cos ,2-，且n m //.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若,3=a ，求c b +的取值范围.18．（本小题满分12分）若向量=a ),sin x x ωω，=b ()sin ,0x ω，其中0ω>，记函数()f x ()12=+⋅-a b b .若函数()f x 的图象与直线y m =（m 为常数）相 切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列.（Ⅰ）求()f x 的表达式及m 的值；（Ⅱ）将()f x 的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到()y g x =的图象， 求()y g x =在]2,0[π上的值域. 19．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知22=a ，972cos -=A ，1-=⋅.（Ⅰ）求b 和c ；（Ⅱ）求()B A -sin 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()()3log 91xf x mx =++为偶函数，()93x x ng x +=为奇函数. （Ⅰ）求m n -的值；（Ⅱ）若函数()y f x =与a x g y x 33log ]43)([log +-+=-的图象有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()1ln )(--=x a x x f ，其中a 为实数.（Ⅰ）讨论并求出()x f 的极值；（Ⅱ）若1≥x 时，不等式()()21-≤x a x f 恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ,(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.23. （本小题满分10分）已知c b a 、、均为正数．（Ⅰ）求证：22211a b a b ⎛⎫+++≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）若194=++c b a ，求证：941100a b c++≥.文科答案一、选择题1-12CBCDA ACBDD AB二、填空题 13.223 14.54- 15.4 16.3 三、解答题17.（1））3π（2）]323，（ 18.（1）)62sin()(π-=x x f ，1±=m （2）[]2,1-19. （1）3==c b（2）935 20. （1）0（2）1>a21.（1）当0≤a 时，没有极值；当0>a 时，有极大值a a a f ln 1)1(--=，没有极小值.（2）1≥a22.（1）04=-+y x （2）22210+ 23.略。
数学文卷·2014届黑龙江省哈三中高三上学期第四次月考(2014.01)pdf版
．
14．如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C ， 使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的 仰角为 60° ， 再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D ，测得
BDC 45 ，若 AB 平面 BCD ,则塔 AB 的高是
米．
15．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， B1C 和 C1 D 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角分别为 60 和 45° ，则异面直线 B1C 和 C1 D 所成的角的余弦值为 ．
哈三中 2013－2014 学年度 高三学年第四次验收考试数学试卷（文）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
ex 1 为偶函数， ex 1
4． 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 已知 a 2 a3 2a1 ， 且 a 4 与 2a7 的等差中项为 A． 35 B． 33 C． 31 D． 29
5 ， 则 S5 4
数学试卷（文） 第 1 页 共 6 页
5．下列几个命题中，真命题是 A． l , m, n 是空间的三条不同直线，若 m l , n l ，则 m // n ； B． , , 是空间的三个不同平面，若 , ，则 // ； C．两条异面直线所成的角的范围是 (0, ) ； D．两个平面 , 相交但不垂直，直线 m ，则在平面 内不一定存在直线与 m 平 行，但一定存在直线与 m 垂直．
黑龙江省实验中学2016届高三上学期第四次月考(即期末)数学(文)试题 含答案
黑龙江省实验中学2015——2016学年度上学期高三第四次月考文科数学试题试卷分数：150分 考试时间 :120分钟一、选择题：(本题共12题，每小题5分,满分60分)1。
设全集,R U =集合{},2log 2≤=x x A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=134|x x B , 则=⋂B A ( ） A 。
[)3,1- B. ]((]431,，⋃-∞- C. (]3,0 D 。
()3,02.设i 是虚数单位，复数ii z +=12，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 3。
某单位有职工750人，其中青年职工350人,中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ )A ．7B ．15C ．25D ．35 4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）5。
已知正项等比数列{}na 满足:1232a a a+=,若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为（ ）A ．23B ．35C ．625D ．不存在6.若向量b a ,2||=a ,1||=b ,则向量a 与b a 2+的夹角为（ ) A B C D7。
AB 是半径为1的圆的直径,在AB 上任取一点M ,过点M 作垂直于AB 的弦,则弦长 ()A.14B.13 C 。
12D.238。
设x y R 、∈+且x y xy -+=()1，则（ ) A ．x y +≥+221() B ．xy ≤+21C ．xy +≤+()212D ．x y ≥+221() 9。
已知三棱锥ABC O -中，A 、B 、C 三点在以O 为球心的球面上， 若1==BC AB0120=∠ABC ，三棱锥ABC O -的体积为45,则球O 的表面积为( )A 。
π332 B 。
π16 C 。
π64D 。
π54410.下列说法中正确的个数是（ ）错误!命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a =,则0ab ≠”；②命题p ：“(,0),23xxx ∃∈-∞<"，则p ⌝:“），，∞+∈∀[0x xx32≥”；③对于实数"0",,<<a b b a 是"11"ab >成立的充分不必要条件 ④如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题．A 。
黑龙江省哈尔滨2016_2017学年高二数学4月月考试题文
哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月考试题高二学年数学文科试题试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知32()37,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( )A.113 B.1 C.13- D.2 2.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 3.已知直线ax ﹣by ﹣2=0与曲线y=x 3在点P （1， 1）处的切线互相平行，则为（ ） BA ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )．A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.456．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )①若K 2满足K 2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． A ．① B ．①③ C ．③ D ．②7．如图是Ⅰ，Ⅱ两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设Ⅰ，Ⅱ两组数据的平均数依次为x －1和x －2，标准差依次为s 1和s 2，那么( )A.x －1>x －2，s 1>s 2B.x －1>x －2，s 1<s 2C. x －1<x －2，s 1<s 2D. x －1<x －2，s 1>s 28. 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和 极小值，则a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．a <－3或a >6C ．a <－1或a >2D ．－3<a <69．函数y=在区间[，2]上的最小值为（ ）A ．2B ．C ． eD ．10.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为'()f x ，当(,0]x ∈-∞时，恒有'()()xf x f x <-，令()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,1- 12．设函数()(sin cos )x f x e x x =-(02015)x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．220152(1)1e e e πππ--B ．22015(1)1e e e πππ--C ．2015211e e ππ--D ．20162(1)1e e eπππ-- 第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题．（每小题5分，共4小题，共20分）13. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为____ 14.曲线y ＝12+x 在点x ＝1处的切线方程为_____15.函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为_____16.在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P ,则点P 恰好落在第二象限的概率为 .三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题12分，满分70分） 17.（本小题满分10分）为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策。
2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三第四次联合模拟考试数学(文)试题
文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集R U =，{}{}0)2(,)1ln(<-=-==x x x N x y x M ，则=N M C U )(（ ） A ．{}1≥x x B ．{}21<≤x x C ．{}10<≤x x D ．{}10≤<x x 2.复数=+---+iii i 1111（ ） A ．0 B ．2 C ．i 2- D ．i 23.根据如图所示的程序语句，若输入的x 值为3，则输出的y 值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．274.观察下列各式：,,11,7,4,3,155443322⋅⋅⋅=+=+=+=+=+n m n m n m n m n m 则=+99n m （ ）A ．29B ．47C ．76D ．1235.命题“R x ∈，若02>x ，则0>x ”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.在等腰ABC ∆中，=⋅==AC AB BC ,,4（ ） A ．4- B ．4 C ．8- D ．87.某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ） A ．29B ．539+C ．18D ．5312+8.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则=++87109a a aa （ ) A ．21+ B ．21- C ．223+ D ．223-9.已知函数)(x f y =为定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，)1(log )(3+=x x f ，若)2()(t f t f ->，则实数t 的取值范围是( )A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．)2,32( D ．),2(+∞10.已知双曲线)0,0(122>>=-n m ny mx 的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为（ ） A ．33 B ． 332 C ．36D ．3111.函数),0()0,(,sin ππ -∈=x xxy 的图象可能是下列图形中的（ ）12.在平行四边形ABCD 中，0=⋅BD AB ，沿ABD ∆沿BD 折起，使平面⊥ABD 平面BCD，且4=，则三棱锥BCD A -的外接球的半径为（ ）A ．1B ．22C ．42D ．41第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,0,02,01y y x y x 则y x z -=2的最大值为________.14.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机抽取2个球，则所抽的2个球颜色不同的概率等于_______.15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积⨯=121V （底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为_______.16.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若3,2π=∠=C c ，且02sin 2)sin(sin =--+A A B C ，下列命题正确的是_______（写出所有正确命题的编号）①a b 2=；②ABC ∆的周长为322+；③ABC ∆的面积为332；④ABC ∆的外接圆半径为332. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)(22*∈+=N n nn S n .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设)(3*∈⋅=N n a b n an n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如下表：推销员 A B C D E 工作年限x （万元） 2 3 5 7 8 年推销金额y （万元）33.546.58（Ⅰ）画出年推销金额y 关于工作年限x 的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y 关于工作年限x 的回归直线方程； （Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额.附：x b y a x x y yx x b ni ini ii∧∧==∧-=---=∑∑,)())((121.19.（本小题满分12分）长方体1111D C B A ABCD -中，P AA AD AB ,2221===为11B A 中点. （Ⅰ）求证：⊥CP 平面P AD 1； （Ⅱ）求点P 到平面1ACD 的距离.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆)1(1:2221>=+a y ax C 的长轴长为22，抛物线)0(2:22>=p px y C 的焦点F 是椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）求椭圆1C 与抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交抛物线2C 于B A ,两点，射线OB OA ,与椭圆1C 的交点分别为D C ,，若=⋅，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(,ln )1()(R a x a x g x x x f ∈-=+=. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)()(x g x f ≥对任意的),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，其中CBD ABD AC AB ∠=∠=,，AC 与BD 交于点F ，直线BC 与AD 交于点E . （Ⅰ）证明：CE AC =；（Ⅱ）若4,2==BF DF ，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，将曲线为参数）ααα(sin ,cos :1⎩⎨⎧==y x C 上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C ，将曲线1C 向上平移一个单位得到曲线3C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程及曲线3C 的极坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线2C 上任意一点，点Q 是曲线3C 上任意一点，求PQ 的最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知b a ,为实数.（Ⅰ）若0,0>>b a ，求证：9)11)(1(22≥++++ab a ab a ； （Ⅱ）若1,1<<b a ，求证：b a ab ->-1.哈师大附中2016年高三第四次模拟考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 BCACC 6-10 DDCBC 11-12 CA 二、填空题 13.4 14.5315.3 16.②③④ 17.解：（Ⅰ）当2≥n 时，n S S a n n n =-=-1； 当1=n 时，111==S a ，符合上式. 综上，n a n =. （Ⅱ）n n n b 3⋅=.则n n n T 3333231321⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=，143233332313+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n T ，∴1132331)31(3333332++⋅---=⋅-+⋅⋅⋅+++=-n n n nn n n T ，∴13)412(43+⋅-+=n n n T . 18.解：（Ⅰ）年推销金额y 关于工作年限x 的散点图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大. （Ⅱ）5585.645.33,5587532=++++==++++=y x ，262194049335.120)5.1()2()2()3()())((121=++++⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=---=∑∑==∧ni ini iix x y yx x b ，2625526215=⨯-=-=∧∧x b y a ， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的回归直线方程为26252621+=∧x y . （Ⅲ）当10=x 时，262352625102621=+⨯=∧y ，同理，P A D Rt 11∆中，21=P D ，连接P C 1中，P CC Rt 1∆中，3,2,1111=∴===CP P D P C CC ， ∴21212222,C D P D CP AC AP CP =+=+，即P D CP AP CP 1,⊥⊥， 又P P D AP =1 ，∴⊥CP 平面P AD 1. （Ⅱ）1ACD ∆中，23223221,2,5111=⨯⨯=∴===∆ACD S AD C D ACP AD 1∆中，211===P D AP AD ，∴231=∆P AD S ， 设点P 到平面1ACD 的距离为h ， 由P AD C ACD P V V 11--=，得CP S h S P AD ACD ⋅=∆∆113131， ∴123323=⨯=h ，即点P 到平面1ACD 的距离为1.20.解：（Ⅰ）由条件1:2221=+y a x C ，离心率为2221=，又221,12=-∴>a a a ， ∴12:,2222=+=y x C a ， ∴x y C p pF 4:,2,12),0,1(22=∴=∴=∴. （Ⅱ）设),(),,(),,4(),,4(,1:4433222121y x D y x C y y B y y A my x l +=，⎩⎨⎧=+=xy my x 4,12得,4,4,04421212-==+∴=--y y m y y my y 016162>-=∆m ，∴y y x l y y y k OA OA 4:,4411211=∴==， ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=0224221y x y y x 得32322162,2)216(212123221+=+==+y y y y y ，同理32322224+=y y ， 344212221-=+⋅=⋅y y y y OB OA ，43434231434343)4()4(y y y y y y y y y y x x OD OC =+⋅=+=⋅，∵=⋅，∴3643-=y y ， ∴22222212*********423)36(81326432)(323232323232-=+=+++=+⋅+=m y y y y y y y y ， ∴32152=m ，∴830±=m ，∴1830:+±=y x l . 21.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，11ln )(++='x x x f 11ln )(++='xx x f ， 设11ln )()(++='=x x x f x g ，22111)(xx x x x g -=-='. 令0)(>'x g ，得1>x ，0)(<'x g ，得10<<x .∴)(x g 在)1,0(递减，在),1(+∞递增，2)1()(min ==g x g ，∴0)(>'x f 在0)(>'x g 上恒成立， ∴)(x f 的递增区间为),0(+∞，无递减区间. （Ⅱ）设a ax x x x h +--=ln )1()(， 由（Ⅰ）知：a x g a xx x h -=-=+=')(11ln )(，)(x g 在),1(+∞递增，∴2)1()(=≥g x g ， （1）当2≤a 时，)(,0)(x h x h ≥'在),1[+∞递增，∴0)1()(=≥h x h ，满足题意. （2）当2>a 时，设22111)(,11ln )()(xx x x x a x x x h x -=-='-++='=φφ， 当1≥x 时，0)(≥'x φ，∴)(x φ在),1[+∞递增，01)(,02)1(>+=<-=-a a e e a φφ， ∴),1(0a e x ∈∃，使0)(0=x φ，∵)(x φ在),1[+∞递增，∴0)(),,1(0<∈x x x φ，即0)(<'x h ， ∴当),1(0x x ∈时，0)1()(=<h x h ，不满足题意. 综上，a 的取值范围为2≤a .22.解：（Ⅰ）证明：∵,AC AB =∴ACB ABC ∠=∠， ∵DBC ACB DBC ABC ∠=∠∴∠=∠2,2， ∵DBC ADB ADB ACB ∠=∠∴∠=∠2,， ∵E DBC E DBC ADB ∠=∠∴∠+∠=∠,， ∵E CAE CAE DBC ∠=∠∴∠=∠,，∴CE AC =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ADB ADF CAD DBC ABD ∠=∠∠=∠=∠,，BDA ADF ∆∆∴~，∴12,2=⋅=∴=BD DF AD ADDFBD AD ，∴32=AD . 23.解：（Ⅰ）由已知得曲线为参数）ααα(sin ,cos 2:2⎩⎨⎧==y x C ， 曲线为参数）ααα(sin 1,cos :3⎩⎨⎧+==y x C ， 则曲线2C 、3C 的普通方程分别化为1)1(,142222=-+=+y x y x ， 所以曲线3C 的极坐标方程为θρsin 2=.（Ⅱ）设)1,0(),sin ,cos 2(C P θθ， 则5sin 2sin 31sin 2sin cos 4)1(sin )cos 2(222222+--=+-+=-+=θθθθθθθPC 当31sin -=θ，3165)31(2)31(322max =+-⨯--⨯-=PC ， 所以PQ 的最大值为1334+. 24.证明：（Ⅰ）∵0,0>>b a ，∴933)11)(1(3322=⋅≥++++b b a b a a b a . （Ⅱ）222222221)()1(1,1b ab a b a ab b a ab b a +->+-⇐->-⇐<<0)1)(1(01222222>--⇐>-+-⇐b a b b a a ， ∵1,1<<b a ，∴1,122<<b a ，∴0)1)(1(22>--b a ， 以上步骤步步可逆，所以b a ab ->-1.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学试题（文科）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，那么集合A．B．C．D．2．已知不共线的向量，，，则A．B．C．D．3．等差数列中，，则这个数列的前13项和为A．13 B．26 C．52 D．1564．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是A．B．C．D．5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则的最小值是A．B．1 C．D．26．设是两个非零向量，则使成立的一个必要不充分条件是A．B．C．D．7．设，则A．B．1 C．3 D．-18．设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则A．B．C．D．9．已知函数命题，则A．是真命题，B．是真命题，C．是假命题，D．是假命题，10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是A．B．C．D．11．在中，角的对边分别是，若，则的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形12．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等差数列中，，则．14．设为锐角，若则．15．已知向量，，在轴上存在一点使有最小值，则点的坐标是．16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点是角终边上一点，，定义．对于下列说法：E D CBA D 1C 1B 1A 1①函数的值域是； ②函数的图象关于原点对称；③函数的图象关于直线对称； ④函数是周期函数，其最小正周期为；⑤函数的单调递减区间是其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.18．（本题满分12分）已知向量，函数．（Ⅰ）求函数的图象的对称中心和单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且且，求的值．19．（本题满分12分）四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，P A =2PD ，CD =2AB ，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线BE 与P A 所成角的余弦值．20．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；（Ⅱ）在棱A 1D 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 若存在，求点M 的位置；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若AD =2，求点B 到平面AD 1E 的距离．21．（本题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的情况下，若满足有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）试讨论函数的图象上垂直于轴的切线的存在情况.请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知AB是半圆O的直径，AB=4，点C是半圆O上一点，过C作半圆O的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D的坐标．24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知不等式的解集是，求实数的值；（Ⅱ）已知实数满足，求的最大值．哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（文科）答案1—12 BABAD DCBAC DD13．6；14．；15．；16．①③④17．（1）当时，由，得，相减得：……2分当时，，∴，……3分，，又是首项为1，公差为1的等差数列；……6分（2），……9分则=．……12分18．解：（1）……2分令，，对称中心为……4分令，增区间：……6分（2），，，，……8分，，，，且，……12分19．解：（1）设，，……2分，又平面，平面平面，平面平面，平面……6分（2）取中点,连结为的中点，且又, ,四边形为平行四边形，为直线与所成的角，……9分设在中，直线与所成的角的余弦值为. ……12分20．证明：（1）连D1C，长方体中，EC⊥平面DCC1D1，∴EC⊥DC1∵AB=AA1，∴正方形DCC1D1中，D1C⊥DC1又EC∩D1C=C，∴DC1⊥平面ECD1∵D1E面ECD1，∴C1D⊥D1E ……4分解：（2）存在点M为A1D1中点，使得BM∥平面AD1E．NHO EDCBAD1C1B1A1证明：∵点M为A1D1中点，E为BC中点∴MD1BE∴四边形BED1M是平行四边形，∴BM∥D1E又BM平面AD1E，D1E平面AD1E∴BM∥平面AD1E ……8分解：（3）（方法一）设点B到平面AD1E的距离为∵DD1⊥平面ABCD由知，得∵Rt△AA1D中，AA1=1，A1D1=2，∴AD1=Rt△ABE中，AB=BE=1，∴AE=Rt△D1DE中，D1D=1，DE=，∴D1E=∴AD12=AE2+D1E2，即AE⊥D1E∴∴∴点B到平面AD1E的距离为．……12分（3）（方法二）连接DB交AE于点O，∵，∴OB=OD，∴点B到平面AD1E到平面AD1E距离的一半．连接DE，矩形ABCD中，E是BC中点，AB=1，AD=2，∴AE=DE=，∴DE⊥AE∵DD1⊥平面ABCD ，∴DD1⊥AE又DE∩DD1=D，∴AE⊥平面D1DE作DH⊥D1E于H，∴AE⊥DH又AE∩D1E=E，∴DH⊥平面AD1E，∴DH为点D到平面AD1E的距离，即DHRt△D1DE中，D1D=1，DE=，∴DH，即∴点B到平面AD1E的距离为．……12分21．解：（1）令，则；令，则；所以的单调递增区间为，单调递减区间为．……3分（2），……5分，……7分（3）函数的图象上存在垂直于y轴的切线，即方程存在正根，，令，即方程（*）存在正根．①当时，即时，方程（*）无解，此时函数的图象上不存在垂直于y轴的切线；……8分②当时，即时，方程（*）的解为，所以存在一条满足条件的切线；……9分③当时，即时，（i）当时，即时，方程（*）有且只有一个正根，所以存在一条满足条件的切线；（ii）当时，即时，方程（*）有两个不等的正根，所以存在两条满足条件的切线．……11分综上：时，不存在满足条件的切线；或时，存在一条满足条件的切线；时，存在两条满足条件的切线．……12分22.已知AB是半圆O的直径,AB=4,点D是半圆C上一点,过点D作半圆C的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.(I)求证AC平分∠BAD;(II)求BC的长.解(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA因为CD为半圆O的切线,所以OC⊥CD,因为AD⊥CD,所以OC∥AD,所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD………………5分(2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE.因A,B,C,D四点共圆,故∠ABC=∠CED,因为AB是半圆O的直径, 所以∠ACB是直角,Rt△CDE相似于Rt△ACB,DE:CE=CB:AB,BC=2.………………10分23.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为(I)求半圆C的参数方程;(II)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线垂直,根据(I)中的参数方程,确定D的坐标.解(I)半圆C的普通方程为; ………………2分半圆C的参数方程为………………5分(II)设点D对应的参数为,则点D的坐标为且由(1)可知半圆C的圆心是C(0,1),因半圆C在D处的切线与直线垂直,故直线DC的斜率与直线的斜率相等,………………8分所以点D的坐标为………………10分24.(I)已知函数,若不等式的解集是.求实数的值;(II)已知实数满足求的最大值.解(I)由的解集是得……5分(II)由柯西不等式得当且仅当即,亦即时() ……10分。
黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
哈尔滨市第六中学2016-2017学年度上学期期中考试高三文科数学满分150分 时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|60},{|13}A x N x x B x x =∈--+≥=-<<，则B A =（ ）A. {2}B. {0,1,2}C. (1,2]-D. [2,3) 2．若i z 21-=，则=-iz z 41（ ） A. 1 B. 1- C. i - D. i 3. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 ( )条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4.)2(b a -⊥，则|2|b a +=（ ）5. 已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S 公比0q >，43222,22a S a S =+=+，则=6a （ ）A. 16B. 32C. 64D. 128 6. 如图，在正方形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，沿AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体，使B,C,D 三点重合为P 点，点P 在△AEF 内的射影为O ， 则下列说法正确的是( )A. O 是△AEF 的垂心B. O 是△AEF 的内心C. O 是△AEF 的外心D. O 是△AEF 的重心7．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且侧棱均相等，若四棱锥的体积为316，则该球的表面积为（ ） A.332π B. π4 C. 814πD. 34π11218. 已知函数)0(ln )(>+=a ax x x f 在1=x 处的切线与曲线2y ax =也相切，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 21D.419．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.1312π+ B. 112π+ C. 134π+ D. 14π+10. 若方程12log (2)2x a x -=+有解，则a 的最小值为（ ）A.2B. 1C.32 D. 1211. 已知,(0,2]x y ∈，且2xy =，若不等式(2)(2)(4)a x y x y +≥--恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12a ≤B. 2a ≤C. 2a ≥D. 12a ≥ 12. 已知函数1()()x xf x x e e =-，则使()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围为（ ） A. 11(,)33- B. 1(,)(1,)3-∞+∞U C. 1(,1)3 D.11(,)(,)33-∞-+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数62ln )(-+=x x x f 的零点],[0b a x ∈，且1=-a b ，则ab14. 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若m 与n 的夹角为π3，则x =15．如图，点（x ，y ）在△ABC 边界及其内部，若目标函数z kx y =+当且仅当在点B 处取得最大值，则k 的取值范围是 16. 已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若9,100510==a S 则1094321S S S S S S -++-+-三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知函数()sin (0,0)f x m x x m ωωω=>>，4x π=与54x π=是相邻的两对称轴. （1）求函数()f x 的解析式；；（2）将()f x 图像上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移2π个单位得到()g x ，求()g x 在[0,]2π上的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC 1//平面CDB 1；(2)在棱CC 1上是否存在点E ，使1AE A B ⊥？若存在，求出EC 的长度；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）ADBC1A 1B 1C已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,， )6sin(2π+=B a c（1）求角A 的大小； （2）若3,2==a bc ，求C B sin sin +的值.20．（本小题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，2BC AB =，E 为线段AD 的中点，F 是BE 的中点，将ABE ∆沿直线BE 翻折成A BE '∆，使得A F CD '⊥， （1）求证：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若四棱锥A BCDE '-的体积为F 到平面A DE '的距离．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足*121,3313111N n n a a a n n ∈=++++++- . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的n 项和n T22.（本小题满分12分）已知函数()33x f x x e -=++， （1）求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）设3()(33)x x g x e x x a e x =-+-⋅-，当2x ≥-时，()0g x ≤有解，求实数a 的最小值.哈六中2017届高三上学期文科数学期中试题答案一、选择题：BCADC ACABB DC 二、填空题：13. 6 14.512π 15. 1(2,)2- 16. 55-三、解答题：17.解：（1）()sin )f x m x x x ωωωϕ==+ 5244T πππ=-=Q22,1T Tππω∴===()4f π=Q ，1+=即21102m +=m ∴=()2sin()4f x x π=+（2）3()2sin(2)4g x x π=-，当[0,]2x π∈时，332[,]444x πππ-∈- 当3242x ππ-=-即8x π=时，()g x 有最小值2-；当3244x ππ-=即2x π=时，()g x 18. （1）证明：连接C 1B 与B 1C 交于点O ，连接OD ∵ O,D 分别为C 1B 与AB 的中点∴OD ∥AC 1，又OD ⊂平面CDB 1，AC 1 ⊄平面CDB 1 ∴AC 1//平面CDB 1（2）解：假设存在点E 使1AE A B ⊥，连接A 1C ，交AE 于F ，易证1AE AC ⊥ 由11CFE AC C ∆∆:求得94CE =17：（1）)2sin sin()3A B A B π+=+B A A B A B A cos sin 3sin sin cos 3cos sin 3+=+∴sin 0B ≠Q 3t a n=∴A (0,)A π∈Q 3π=∴A bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= 3=+∴c b又22sin aR A==Q 232sin sin =+=+∴R c b C B 19.证明：（1）∵2BC AB =，E 为线段AD 的中点， ∴AB AE =，AF BE ⊥，故在四棱锥A BCDE '-中，A F BE '⊥又∵A F CD '⊥，且BE 、CD 为相交直线， ∴A F '⊥平面BCDE ，又A F '⊂平面'A BE ，∴平面A BE '⊥平面BCDE ； （2）设A B x '=，则2BC x =，CD DE x ==，在等腰直角ABE'∆中，BE=，12A F BE'==；由（Ⅰ）知A F'是四棱锥A BCDE'-的高，故()11123322A BCDE BCDEV S A F x x x'-'=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=，整理得38x=，∴2x=，连结DF，在DEF∆于是A D'==，∵A DE'∆为等腰三角形，其面积'A DES∆设点F到平面A DE'的距离为d，因11122FEDS ED CD∆=⋅=,由''F A DE A FEDV V--=1133A DE FDEd S A F S d'∆∆'⇒⋅⋅=⋅⋅⇒==所以点F到平面A DE'的距离为3解：（1）设数列11{}3nna-+的前n项和为nS，由已知有3nS n=当1n=时，111133a-+=即12a=当2n≥时，11133(1)33nn nnaS S n n--+=-=--=，解得31nna=-故*31()nna n N=-∈（2）11113111()(31)(31)23131nnn n n n nn naba a++++===-----Q1211111111111=()2288263131111=()223133=4(31)n nn nnnnTb b b++++∴=+++-+-++-------LL22. 解：（1）1()33()xf x x x Re=++∈由131()30xx xef x-'=-==解得1ln ln3x==-)(x f 的增区间为(ln3,)-+∞，减区间为(,ln3)-∞-，当ln3x =-时，)(x f 有极小值(ln3)63ln3f -=-，无极大值。
黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c6．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A． B． C． D．7．执行程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．6 C．5 D．48．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．9．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A． B． C． D．10．在△ABC中，A=60°，BC=，D是AB边上的一点，CD=，△CBD的面积为1，则BD的长为（）A． B．4 C．2 D．111．定义在R上的函数y=f（x）满足，（x﹣）f′（x）＞0，任意的x1＜x2，都有f （x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为（）A． B．C． D．随a的值而变化二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为．14．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2=x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为．15．直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥O﹣ABCD 的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．18．如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点，（1）证明：BD⊥平面PAC（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值．20．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．[选修4一1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．[选修4一4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．[选修4一5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．4．已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和与差的正弦公式、诱导公式对已知等式进行变形转换，得到：sin（α+）+cos（α﹣）=sin（α+），然后再利用诱导公式将cos（α+）转化为﹣sin（α+）的形式，即可解答．【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣）=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣．又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+），∴cos（α+）=．故选：C．5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：当c⊥α时，若c⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故A正确；当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则由三垂线定理知a⊥b，故B正确；当b⊂α时，若b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故C正确；当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b与c平行或异面，故D错误．故选：D．6．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．7．执行程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．6 C．5 D．4【考点】循环结构．【分析】由题意按照循环计算前几次结果，判断最后循环时的n值，求出判断框的条件，即可得到输入的数值．【解答】解：第1次循环，n=1，S=，第2次循环，n=2，S=，第3次循环，n=3，S=，第4次循环，n=4，S=，因为输出的结果为，所以判断框的条件为n＜4，所以输入的a为：4．故选D．8．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式为0，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式能求出结果．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，把y=x代入抛物线抛物线y=x2+1，得bx2﹣ax+b=0，∵渐近线与抛物线y=x2+1相切，∴△=a2﹣4b2=0，∴a=2b，∴e====．故选A．9．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．10．在△ABC中，A=60°，BC=，D是AB边上的一点，CD=，△CBD的面积为1，则BD的长为（）A．B．4 C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据三角形的面积求出sin∠BCD和cos∠BCD，结合余弦定理进行求解即可．【解答】解：∵△CBD的面积为1，∴S=CD•BCsin∠BCD=×sin∠BCD=1，即sin∠BCD=，∵A=60°，∴cos ∠BCD=，在三角形BCD 中，BD 2=CD 2+BC 2﹣2CD•BCcos ∠BCD=2+10﹣2••=12﹣8=4， 则BD=2， 故选：C ．11．定义在R 上的函数y=f （x ）满足，（x ﹣）f′（x ）＞0，任意的x 1＜x 2，都有f （x 1）＞f （x 2）是x 1+x 2＜5的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；函数的图象．【分析】由题意可得y=f （x ）的图象关于直线x=对称，在（，+∞）上是增函数，在（﹣∞，）上是减函数．根据任意的x 1＜x 2，都有f （x 1）＞f （x 2），可得 x 1+x 2＜5． 由x 1+x 2＜5可得x 2 ﹣＜﹣x 1，即x 1离对称轴较远， 故f （x 1）＞f （x 2），由此得出结论．【解答】解：∵，∴f （x ）=f （5﹣x ），即函数y=f （x ）的图象关于直线x=对称．又因，故函数y=f （x ）在（，+∞）上是增函数．再由对称性可得，函数y=f （x ）在（﹣∞，）上是减函数．∵任意的x 1＜x 2，都有f （x 1）＞f （x 2），故x 1和x 2在区间（﹣∞，）上，∴x 1+x 2＜5．反之，若 x 1+x 2＜5，则有x 2 ﹣＜﹣x 1，故x 1离对称轴较远，x 2 离对称轴较近， 由函数的图象的对称性和单调性，可得f （x 1）＞f （x 2）．综上可得，“任意的x 1＜x 2，都有f （x 1）＞f （x 2）”是“x 1+x 2＜5”的充要条件， 故选C ．12．已知函数f （x ）是定义在[a ﹣1，2a ]上的偶函数，且当x ＞0时，f （x ）单调递增，则关于x 的不等式f （x ﹣1）＞f （a ）的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．随a 的值而变化【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得a 值，由偶函数性质知，f （x ﹣1）＞f （a ）可化为f （|x ﹣1|）＞f （），根据f （x ）的单调性可得|x ﹣1|＞，再考虑到定义域即可解出不等式．【解答】解：因为f （x ）是定义在[a ﹣1，2a ]上的偶函数，所以（a ﹣1）+2a=0，解得a=．则f （x ）定义域为[﹣，]．由偶函数性质知，f （x ﹣1）＞f （a ）可化为f （|x ﹣1|）＞f （），又x ＞0时，f （x ）单调递增，所以|x ﹣1|＞①，又﹣≤x ﹣1②，联立①②解得x ＜或＜x ≤，故不等式f （x ﹣1）＞f （a ）的解集为[，）∪（，]． 故选C ．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x﹣2y过可行域内的点A时，从而得到z=3x﹣2y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=3x﹣2y，当直线经过A（0，﹣2）时，z取到最大值，Zmax=4．故答案为：4．14．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2=x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出的最小值即可【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物y2=x的线准线x=﹣，P到y轴距离S=||=﹣=﹣，∴﹣≥﹣=2﹣=，当且仅当M，N过F点时取等号，故答案为：．15．直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥O﹣ABCD 的体积的最大值为2．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用体积求出R，利用长方体的对角线d=2R=4，得出a2+b2=12，，即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，则=，∴R=2，从而长方体的对角线d=2R=4，设AB=a，BC=b，因为AA1=2则a2+b2+22=16，∴a2+b2=12故=2，当且仅当时，四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值为2．故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意得2a n=S n+，易求，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），由递推式可得结论；﹣1（2）由（1）可求=2n﹣2，从而可得b n，进而有=，利用裂项相消法可得T n；【解答】解：（1）证明：由S n，a n，成等差数列，知2a n=S n+，当n=1时，有，∴，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1，≠0，于是有=2（n≥2），由于{a n}为正项数列，∴a n﹣1∴数列{a n}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，∴数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴b n=log2a n+3==n+1，∴==，∴T n=（）+（）+…+（）==．18．如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y，（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解．（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大．得出结论：甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣所以甲的方差S2甲= [（75）2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+又乙的方差S2乙= [（（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点，（1）证明：BD⊥平面PAC（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，设AC与BD的交点为O，∵AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∴BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得GO=PA=，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=，Rt△COD中，OD==2，∴Rt△GOD中，tan．∴DG与平面APC所成的角的正切值为．20．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合，得到A，B的横坐标的乘积再由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）求得A，B的纵坐标的乘积，最后把△OAB的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，∴a=，c=2，∴b2=4，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，∵，∴，∴，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∴，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则====，∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，S△OAB=．即△OAB的面积为定值2．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）因为a=﹣2时，f（x）=inx+x﹣1，f′（x）=+1．所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．所以a=﹣2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．（II）（i）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1），所以f′（x）=﹣，①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，∴a≤0不合题意．②当a≥2即0≤1时，f′（x）=﹣＜0，在（1，+∞）上恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，∴a≥2满足题意．③若0＜a＜2即时，由f′（x）＞0，可得1＜x＜，由f′（x）＜0，可得x，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（）＞f（1）=0，∴0＜a＜2不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．（ii）a≥2时，“比较e a﹣2与a e﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．则g′（x）=1﹣=＞0．∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以e x﹣2＜x e﹣2．当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴e x﹣2＞x e﹣2．综上所述，当a∈[2，e）时，e a﹣2＜a e﹣2；当a=e时，e a﹣2=a e﹣2；当a∈（e，+∞）时，e a﹣2＞a e﹣2．[选修4一1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∠FGE=∠BAF，证明∠EFG=∠FGE，即可证明：△EFG为等腰三角形；（2）求出EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，即可求线段MG的长．【解答】（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE∴EF=EG，∴△EFG为等腰三角形；（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4EF2=ED•EC=48，∴EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．[选修4一4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程；（2）将直线x+2y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案【解答】解：（1）∵后得到曲线C2，∴，代入圆C1：x2+y2=1得：，故曲线C2的直角坐标方程为；直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．即ρcosθ+2ρsinθ=10，即x+2y﹣10=0，（2）将直线x+2y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，设过M的直线为x+2y+C=0，则由得：x2+Cx+C2﹣36=0，由△=（C）2﹣4××（C2﹣36）=0得：C=±，故x=，或x=﹣，（舍去），则y=，即M点的坐标为（，），则点M到直线l的距离d==[选修4一5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）依题意，|x﹣1|+|x﹣2|＜2，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式来解即可；（Ⅱ）利用分段函数y=|x﹣1|+|x﹣2|，根据绝对值的意义，可求得y min，只需a ≤y min即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＜2即|x﹣1|+|x﹣2|＜2，原不等式可化为：或或，解得：＜x≤1或1＜x＜2或2≤x＜，∴不等式的解集是{x|＜x＜}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1，故若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，则a＞1，∴a的范围是（1，+∞）．2017年1月15日。
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阿城朝中2015—2016学年度高三年级上学期第四次月考
数学（文科）试卷
一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
)
1．已知集合A={x|x 2+3x+2≤0}，B={y|y=2x
﹣1，x ∈R}，则A∩∁R B=（ ）
A. φ B 。
{}1- C 。
[]1,2-- D. [)1,2--
2．若复数Z 满足
i Z
i =+21，则Z 的共轭复数是（ ） A. i +2- B. i -2- C. i -2 D. i +2 3．一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图所示，
则该几何体的侧面积为（ ）cm 2．
A. 48
B. 12
C. 80
D. 20
4．若将函数的图象向右平移m （0＜
m ＜π）个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m=（ ）
A. 65π
B. 6π
C. 62π
D. 3
π 5.已知三个互不重合的平面γβα，，，且c b a ===γβγαβα ,,,给出下列命题：
（1）若c b c a b a ⊥⊥⊥则,,（2）若p c a p b a == 则,;（3）若γ⊥⊥⊥a c a b a 则,,;
（4）若c a b a //,//则。
其中正确的个数为（ ）。
A 。
1个
B 。
2个
C 。
3个
D 。
4个
6.已知角α是第二象限角，直线01)(tan 2=++y x α的斜率为
38，则αcos 等于（ ） A. 53 B 。
53- C 。
54 D 。
5
4- 7．设14710
563log ,log ,log ===c b a ，则（ ）
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b c a >>
D. c b a >>
8．已知点F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的）1+9.已知正数x 、y 满足，则z=的最小值为（ ）
A. 1
B. 423
C. 161
D. 32
1 10．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且52,6==BC AB ，则棱锥ABCD O -的体积是（ ）
A 。
5512
B 。
556
C 。
554
D 。
552
11．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x+2），当x ∈[3，5]时，f （x ）=2﹣|x ﹣4|，则（ ）
A.)6(cos )6(sin π
πf f < B.)1(cos )1(sin f f > B.C.)3
2(sin )32(cos ππf f < D.)2(sin )2(cos f f >
12．已知f （x ）是定义在R 上的增函数，函数y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若
对任意的x ，y ∈R ，不等式f （x 2﹣6x+21）+f （y 2﹣8y ）＜0恒成立，则当x ＞3时，x 2+y 2的取值范围是（ ）A 。
()73，
B 。
()259，
C 。
()4913，
D 。
()499， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=--）
1(,)1(,1log )(2)1(2x x x x f x ，若3(=）a f ，则=a 。
14.曲线)1ln 3(+=x
x y 在点()11，处的切线方程为 。
15.已知抛物线)0(2:2>=P Px y E 经过圆0442:2
2=-+-+y x y x F 的圆心，则抛物线E 的准线与圆F 相交所得的弦长为 。
16．已知AD 是△ABC 的中线，若∠A=120°，
，则的最小值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n s ，若.1,1411=+-=+a s a n n
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和为n T 。
18.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且为钝角），C C (,4
12cos -= ,
2=a 2sin )sin(=+A
B A .（1）求
C cos 的值；（2）求b 的长。
19．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AB=2，AA 1=1，D 是BC 的中点， 点P 在平面BCC 1B 1内，PB 1=PC 1=．
（1）求证：BC PA ⊥1； （2）求11ADC A V -．
20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 上的点到焦点距离最大值为3，离心率为2
1。
（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆交于B A ,两点，且AOB ∆的面积为3，求2
2OB OA +的值。
21．（12分）已知.ln )(,1)kx x x g axe x f x +=-=（
(1)求)(x g 的单调区间；（2）若)()(,1x g x f k ≥=恒成立，求实数a 的取值范围。
22．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α
＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．。